高数B(上)试题及答案

“对”或“错” )

1. 设f(x 1) 2

x ,则 f(3)

16

2.

lim xsin 1 = 1 o

x

x

3

. lim xsi n

1 1 . sin

x x

2 x

x

x x

x

1 e 2

4.曲线x 2

6 y y 3在(2,2)点切线的斜率为

f(x o 2h) f (x o 3h)

5•设 f (x 0) A ，则 lim 0

—

h 0

h

6. 设 f (x) sin xcos-, (x 0)，当 f(0)

0 x

------

7. 函数y x 3 3x 在x 1 处有极大值.

5A

时，f (x)在x

0点连续.

高等数学B (上)试题1答案

-、判断题(每题2分，共16分)(在括号里填写“V”或“X”分别表示 (X ) 1.两个无穷大量之和必定是无穷大量

.

(X ) 2•闭区间上的间断函数必无界 .

( V ) 3•若f(x)在某点处连续，则 f(x)在该点处必有极限. (X ) 4.单调函数的导函数也是单调函数 .

(V ) 5.无穷小量与有界变量之积为无穷小量

•

(X ) 6. y f (x)在点x o 连续，则y f (x)在点x o 必定可导. (X ) 7.若x o 点为y f (x)的极值点，则必有f (X 。)0.

(X ) 8•若 f (x) g (x)，则 f (x) g(x).

8.设 f(x)为可导函数，f (1) 1 , F(x) f 1 f(x 2

)，则 F (1)

x

三、计算题(每题 6分，共42分)

1.求极限 lim (n 2)(n 3)(n 4)n

5n 3

解：ng (n 2)(n 33)(n

4)

n

5n 3

、填空题(每题 3分，共24 分)

lim 1

2

n 2.求极限

xcosx lim x x 0x sinx

解

: lim x x 0 xcosx x sin x 1 cosx xsinx

lim x 0 1 cosx 2sin x xcosx lim x

sin x 3•求y (x 1)(x 2)2

(x 3

3）在（0,）内的导数• 解：In ln(x 1) 2ln( x 2) 3ln(x 3) 2 3 (x 1)(x 2) (x 3) 4.求不定积分 解: x 2)

2x

Jdx . x 2 ln(1 x ) arctan x C （3分）

（3分）

（2分）

（2分） （2分）

（2分）

（2 分）

（2 分）

（3 分）

（3 分）

5.求不定积分 xsinx 2

dx . 2 解: xsin x dx sin x 2d x 2

cosx 2C

(3 分) (3 分)

6.求不定积分

xsin 2xdx .

解： xsi n2xdx

1 1

2

xsin 2xd(2x) xdcos2x （2 分）

1 xcos2x cos2xdx （

2 分）

2

1 x cos2x ^sin2x C （

2 分）

2 4

cosx

7.求函数y sin x 的导数•

(3 分)

解：In y cosxln sin x

. cosx 1 9 . .

y sin x cot x Insin x (3 分)

四、解答题（共9分）

某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成的长方形的长宽各为多少才能使这间小屋面积最大

所以，面积为S x(20 2x) 2x2 20x，（3 分）

由S 4x 20 0，知（3 分）

当宽x 5时, 长y 20 2x 10，（3 分）

面积最大S 5 10 50 （平方米）。

解：设垂直于墙壁的边为x，所以平行于墙壁的边为20 2x，

五、证明题（共9分）

若在（,)上f (x) 0, f (0) 0.证明：F(x) f （x）、

在区间（x

增加•

证明：F(x) xf(x)2

x

丄凶，令G(x) xf (x) f(x)

,0）和（0,）上单调

（2分）

G(0) 0 f (0) f(0) 0，（2 分）在区间（,0）上，G(x) xf (x) 0，（2 分）所以G（x）G(0) 0 ,单调增加。（2 分）在区间（0, ）上，G (x) xf (x) 0，

所以0 G（0）G（x），单调增加。(1 分)