20150102解答12高等代数1期末试卷

2012学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷)

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1、设,A B 为n 阶方阵，下列运算正确的是（ D ） (A) ()12

1212AB A B = (B) A A -=-

(C ）()()22A B A B A B -=-+ (D) 若A 可逆，则()1

1

11212

A A --= 分析：()12

1212,AB AB AB AB A B AA

ABA B =⋅⋅⋅=，矩阵乘法不满足交换

律，故两者不一定相等；

同理，()()2222-A B A B A AB BA B A B -+=+-≠-

n

-A A A -=≠-（1）；

2、设A 是56⨯矩阵，其秩为5，则齐次线性方程组0AX = （ C ） (A) 基础解系恰有5个解向量 (B) 基础解系恰有6个解向量 (C) 基础解系恰有1个解向量 (D) 只有零解

分析：基础解系所含向量个数：n(未知数个数)-r （A 的秩）0=6-5=1 3、若矩阵n m A ⨯的秩为r ，则下列结论正确的是（ D ） (A)A 的任何级数不超过r 的子式都不等于零 (B)A 的任何级数不超过r 的子式都等于零 (C)A 的任何级数大于r 的子式都不等于零 (D)A 的任何级数大于r 的子式都等于零 分析：细读课本134页定理6. 4、 设12,,,r ααα是n 维列向量，则12,,,r ααα线性无关的充要条件是

（ D ）

(A) 向量组12,,

,r ααα中任意两个向量线性无关

(B) 存在一组不全为0的数12,,,r c c c ，使得11220r r c c c ααα++

=

(C) 向量组12,,,r ααα中存在一个向量不能由其余向量线性表示 (D) 向量组12,,

,r ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5、设,A B 都是n 阶正定矩阵，则下列结论正确的是（ C ）

(A) A B -是正定矩阵 (B) AB 是正定矩阵 (C) AB 是可逆矩阵 (D) AB 是实对称矩阵 分析：A B ，正定000A B AB A B AB ⇒>>⇒=≠⇒，可逆 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、设() f x 和()g x 是两个多项式,若()()(),1f x g x =，则()(

)(),()f x g x f x -

证明 由于((),())1f x g x =，所以存在多项式(),()u x v x 使得

()()()())1u x f x v x g x +=

于是 ()()()()-()()()u x f x v x g x v x f x v x f x

++= [()()]()()[()(u x v x f x v x f x g x -++=

故 ((),()())f x f x g x +=. 2、六阶行列式中，561234234165a a a a a a 这一项该带 正 号；

分析：该项符号为

+14

-=-=1ττ（5,1,3,2，4,6）（6,2,4,3，1,5）

（1）（1）

3、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且有2A =，则1

1(3)*2

A A --

；

分析：**2

-1

*A A A ==A =A =4A 2

，，故

1*1

3*11111(3)*-*=-*=-*=-A 2326233

A A A A A A A ---=（）=4

27-

4、设()()()1231,1,2,1,0,0,

1,4,k ααα===的一个极大线性无关组是13,αα，

则 8k =；

分析：依题意123,,ααα线性相关，从而112

10

00814k

=⇒

5、若二次型()2221231231223,,22f

x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则

t

满足条件：t

三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”）

1．,A B 均为n 阶复对称矩阵，则,A B 合同的充要条件是()()A B =秩秩；（ √ ） 2、含有n 个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于n ；（ ⨯ ） 分析：Ax b =⇔有解r(A)=r(A)

3、,A B 均为矩阵，若0AB =，则0A =或者0B =；（⨯ ） 分析：矩阵乘法不满足交换律，消去律，即

=BA =0B==AB AB AB AC B C =不一定成立；不一定得到A=0或0；不一定有

4、如果向量组12,,,r ααα线性相关，则每个i α都可以表示为其余向量的线

性组合；（⨯ ） 分析：向量组12,,,r ααα线性相关，则至少有一个i α都可以表示为其余向量的线

性组合；

5、若多项式()f x 和()g x 的最大公因式唯一，则()()0f x g x ==。（√ ） 四、简答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）

1、设100*021011A ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，又0A <，求矩阵A 以及它的逆矩阵1A -。 解：因为*AA A E =，所以有*1()A A A -=，1*

1A A A

-=

（2分） 而31

*

,01A A

A A -=<∴=-且，，

（4分） *1100()011012A -⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭又， （6分）

所以*1

100()011012A A --⎛⎫

⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，