20150102解答12高等代数1期末试卷

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高等代数期末试题及答案

高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。

求解该线性方程组的解。

1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。

令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。

选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。

新课标版2015-2016学年高一上学期期末考试数学 Word版含答案[ 高考]

2015-2016学年度上学期（期末）考试高一数学试题【新课标】考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能．．．是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.323．点P (sin2014°，tan2014°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知0<a <1，log a m <log a n <0，则( )A ．1<n <mB ．1<m <nC ．m <n <1D ．n <m <1 5．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )6．已知映射B A f →:，其中法则()():,,2,,35f x y z x y y z z →+-+．若(){}8,1,4=B ，则集合A 可以为（）A ．(){}1,2,1B ．(){}1,2,1或(){}2,0,1-C ．(){}2,0,1-D ．(){}1,2,1或(){}2,0,1-或()(){}1,0,2,1,2,1-7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )A ．3a －bB ．3a ＋bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b8．若sin2θ＝1，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．2B ．－2C ．±2 D.129．向量a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ满足( )A ．λ<－53B ．λ>－53C ．λ>－53且λ≠0D ．λ<－53且λ≠－510．函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则m 的最小值是( )A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π11．设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 212．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x －x －e2x＋m (x >0)，若f (x )＝0有两个相异实根，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(－e 2＋2e ，0)B ．(－e 2＋2e ，＋∞)C ．(0，e 2－2e)D ．(－∞，－e 2＋2e)第Ⅱ卷（非选择题满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝3sin(ωx ＋π6)(ω≠0)的最小正周期是π，则ω＝________。

河北省2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题含答案

2015-2016学年第一学期高一年级期末考试数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1．已知全集U R =， {|21}xA y y ==+， {|ln 0}B x x =≥，则AB =（）A ．{|1}x x ≥B ．{|1}x x >C ．{|01}x x <<D ．∅ 2．定义在R 的奇函数)(x f ，当0<x 时，x x x f +-=2)(，则(2)f 等于（） A ．4 B ．6 C ．4- D ．6- 3．已知向量()()1,2,23,2a a b =+=，则（）A ．()1,2b =-B ．()1,2b =C ．()5,6b =D ．()2,0b = 4．已知函数()f x 是定义在[)0,+∞上的增函数，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32,B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,31C ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,21 5．下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（）A ．2y x =-B ．2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭C ．x y 2=D ．22x x y -=+ 6．函数5()3f x x x =+-零点所在的区间是（）A ．[]1,0B ．[]2,1C ．[]3,2D ．[]4,37．若βα,都是锐角，且552sin =α，1010)sin(=-βα，则=βcos （）第11题A ．22 B ．102 C ．22或102- D ．22或1028．将函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图象关于原点对称，则ϕ的值为（） A ．3π-B ．3πC ．6πD ．6π- 9．函数)82ln(2+--=x x y 的单调递减区间是（）A ．)1,(--∞B ．)2,1(-C ．)1,4(--D ．),1(+∞-10．已知))1(2(a m b m ==-，，，，若()2a b b -⊥，则a =（）A ．2B ．3C ．4D ．5 11．已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><一个周期的图象如图所示，则ϕ的值为（） A.6π B.4π C.3π D.83π12．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=,2,13,2,12x x x x f x 若函数()()[]2-=x f f x g 的零点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13．已知三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a ，则,,a b c 的大小关系为．14．化简002sin15sin 75的值为___________.15.若αtan ，βtan 是方程23340x x -+=的两个根，则()=+βαtan ．16．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ⋅=_______.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）已知C B A ,,三点的坐标分别是)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，其中232παπ<<. （1）若||||BC AC =，求角α的值；（2）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值.18.（本小题满分12分） (sin ,sin()),(sin ,3sin )2a x xb x x πωωωω=+=已知()0>ω，记()f x a b =⋅．且()f x 的最小正周期为π.（1）求()x f 的最大值及取得最大值时x 的集合；（2）求()x f 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．19.（本小题满分12分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点(10,80)A ，过点(12,78)B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中(40,50)C ，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳. （1）试求()y f x =的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.20.（本小题满分12分）设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0,21x x 都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+，且0)1(>=a f .(1)求⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛41,21f f ；(2)求证：)(x f 是周期函数.21.（本小题满分12分）已知函数1()log ,(0,1)1ax f x a a x +=>≠-且. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若对于[2,4]x ∈，恒有()log (1)(7)a mf x x x >-⋅-成立，求m 的取值范围.22.（本小题满分12分）函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=2,0,2cos sin 2πθθθθm m g . (1)当3=m 时，求()θg 的单调递增区间；（2）若()01<+θg 恒成立，求m 的取值范围.2015-2016高一期末考试数学试卷答案一、选择题1-5．B B A D C 6-10 B A A B B 11-12 C B 二、填空题13. c a b >>14. 1 15. 三、填空题 17.解析:（1）54πα=………………………………………………….4分（2）cos (cos 3)sin (sin 3)AC BC αααα=-+-13(sin cos )1αα=-+=-2sin cos 9αα∴+=……………………………………………6分 252sin cos (sin cos )19αααα∴=+-=- ……………………8分原式=2sin (sin cos )52sin cos cos sin 9cos αααααααα+==-+ ……………………….10分18.解析：（Ⅰ）2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭1cos 2()22x f x x ωω-=112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 12分 19.解析：（1）当(]0,12x ∈时，设()()21080f x a x =-+ 因为这时图像过点(12,78)，代入得12a =- 所以()()2110802f x x =--+ 当[]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点(12,78)(40,50)B C 、得190k b =-⎧⎨=⎩，即90y x =-+ 6分故所求函数的关系式为()()(](]211080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩………7分（2）由题意得()201211080622x x <≤⎧⎪⎨--+>⎪⎩或12409062x x <≤⎧⎨-+>⎩ ……………9分得412x <≤或1228x <<，即428x <<则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳 …… 12分.20.解析：(1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,02x，于是()02222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫⎝⎛+=x f x xf x f ， ∵()22121211⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f f f ，且0)1(>=a f ，∴a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛21，同理，因为24121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，所以441a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛； ……………………6分(2)∵)(x f 是偶函数，∴ ()()x f x f =-，)(x f 图象关于直线1=x 对称， ∴ ()()x f x f -=+11，∴对任意实数x ，都有()()[]()[]()()x f x f x f x f x f =-=+-=++=+11112，∴)(x f 是周期为2的周期函数…………12分 21.解析:（1）因为101x x +>-解得11x x <->或所以函数()f x 的定义域为 (,1)(1,)-∞-+∞函数()f x 为奇函数，证明如下：由（I ）知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为11()log log ()11aa x x f x f x x x -+--===---+所以函数()f x 为奇函数…………4分（2）若对于[2,4]x ∈,()log (1)(7)amf x x x >-⋅-恒成立即1log log 1(1)(7)aa x mx x x +>--⋅-对[2,4]x ∈恒成立 111(1)(7)x ma x x x +>>--⋅-当时即对[2,4]x ∈成立. 1(7)mx x +>-, 即(1)(7)x x m +⋅->成立，所以015m <<同理111(1)(7)x ma x x x +<<--⋅-当0<时,解得16m > 综上所述：1a >当时0<m<15 ,1a <当0<时m>16 ………………………….12分22.解析：（1）令θcos =t []1,0∈，473223132322+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-=t t t y 记4732)23()(2+---=t t g ，)(t g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23上单调递减. 又θcos =t 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减.令123≤≤t ，解得60πθ≤≤ 故函数)(x f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π……………………………………6分（2）由)(θg <－1得θθ2cos 2)cos 2(->-m即]cos 22)cos 2[(4cos 2cos 22θθθθ-+--=-->m]2,1[cos 2]2,0[∈-∴∈θπθ22cos 22)cos 2(≥-+-∴θθ，等号成立时.22cos -=θ故4－θθcos 22)cos 2[(-+-]的最大值是.224- 从而224->m .…………………12分。

(完整word版)高一上学期期末考试数学试卷及答案 (2)

2015年高一上学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则()U A C B =I （） A.{}2 B. {}2,3 C.{}3 D.{}1,32．函数1()1f x x =+- ）A ．[2,)-+∞ B. [)()2,11,-+∞U C.R D. (],2-∞- 3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A ．2x y x y ==与 B ．2lg lg 2x y x y ==与C ．x y x y ==与33D ．1112+-=-=x x y x y 与4．已知点(,3)P x 是角θ终边上一点，且4cos 5θ=-，则x 的值为（） A ．5B ．5-C ．4D ．4-5．已知8.028.01.1,8.0log ,7.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a c b <<6．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4) 7．已知3tan =α，则αααα22cos 9cos sin 4sin 2-+的值为（） .A 301 .B 31 .C 1021.D 38．若两个非零向量b a ,==，则向量b a +与b a -的夹角是（）.A 6π .B 3π .C 32π .D 65π9．已知函数)(x f y =是)1,1(-上的偶函数，且在区间)0,1(-是单调递增的，C B A ,,是锐角ABC∆的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（） .A )(cos )(sin A f A f > .B )(cos )(sin B f A f > .C )(sin )(cos B f C f > .D )(cos )(sin B f C f >10．已知函数()[],f x x x x R =-∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如322⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，5[3]3,22⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域是（）A ．（0，1）B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 11. 函数22xy x =-的图像大致是（）A B C D12.定义在R 上的函数)(x f 满足()()();2)(,13,62+-=-<≤-=+x x f x x f x f 时当当=++++=<≤-)2012()3()2()1(,)(31f f f f x x f x Λ则时，（）A.335B.338C.1678D.2012第II 卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．已知tan 2α=，则cos2α= ．14.已知函数3,1(),,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()2f x =，则x = 15．把函数y ＝3sin2x 的图象向左平移6π个单位得到图像的函数解析是． 16.有下列五个命题： ① 函数3)(1+=-x ax f (0,1)a a >≠的图像一定过定点(1,4)P ；② 函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③ 已知)(x f =538x ax bx ++-,且(2)8f -=，则(2)8f =-； ④ 函数212log (23)y x x =--+的单调递增区间为(1,)-+∞.其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知集合A ={}71<≤x x ，{}{}210,B x x C x x a =<<=<，全集U R =. (1)求B A ⋃；B AC U ⋂)(.(2)如果A C φ⋂≠，求a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知C B A ,,的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，)23,2(ππα∈ （1）若|,|||=求角α的值；（2）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数2()163f x x x q =-++： (1) 若函数的最小值是-60，求实数q 的值；(2) 若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围.20.（本小题满分13分）辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单位:元)与上市时间x (单位:天)的数据如下:(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x 的变化关系并说明理由:①y ax b =+；②2y ax bx c =++；③log b y a x =．(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．21.(本小题满分13分)已知：)sin ,cos 2(x x =，)cos 2,cos 3(x x =，设函数)(3)(R x x f ∈-⋅= 求：（1）)(x f 的最小正周期；（2）)(x f 的单调递增区间；（3）若6)122()62(=+--παπαf f ，且),2(ππα∈，求α的值.22.（本小题满分14）设函数()()2221()log log 1log .1x f x x p x x +=+-+-- （1）求函数的定义域；（2）当3p >时，问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由.2015年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题：1-5 DBCCD 6-10 BCCCC 11-12 AB 二、填空题：13. 35-14．3log 2 15．y ＝3sin(2x + ) 16．① 三、解答题：17. ①{}110A B B x x ==≤<U ，{}17R C A x x x =<≥或--3分所以{}710R C A B x x =≤<I ； (2)()1,+∞18. （1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααΘαααcos 610sin )3(cos 22-=+-=，αααsin 610)3(sin cos 22-=-+==得ααcos sin =，又45),23,2(παππα=∴∈Θ （2）由1-=⋅得1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα32cos sin =+∴αα① ααααααααααcos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222=++=++又由①式两分平方得94cos sin 21=+αα 95cos sin 2-=∴αα，95tan 12sin sin 22-=++ααα19．（Ⅰ）()()min 861601;f x f q q ==-+=-∴=（Ⅱ）∵二次函数2()163f x x x q =-++的对称轴是8x = ∴函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减∴要函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点须满足(1)(1)0f f -⋅≤即 (1163)(1163)0q q +++⋅-++≤ 解得 2012q -≤≤20． (1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ax b =+和log b y a x =显然都是单调函数，不满足题意，∴2y ax bx c =++． (2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入2y ax bx c =++中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++90361296511010090416c b a c b a c b a 错误!未找到引用源。

北京大学数学科学学院《高等代数I》期末试题及答案【完整版】

北京大学数学科学学院期末试题考试科目高等代数I 考试时间姓名学号一．（10分）设F 4 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111, F 2 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111, D 2 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡i 001.1) 求矩阵C , 使得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222D I D I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22F 00F C = F 4 ; 2) 求F 4 的逆矩阵.解: 1) 比较 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2222D I D I⎥⎦⎤⎢⎣⎡22F 00F =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=222222F D F F D F ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i i 111111i i 111111 与 F 4 得 C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001001000001. 2) 由 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------i 1i 11111i 1i 11111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4000040000400004知 414F 41F =-.二. （10分）设n 阶方阵A n = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010010100110010 . 记θ = π / ( n+1 ) .1) 对1 ≤ j ≤ n, 证明 α j = [ sin( j θ ) sin( 2 j θ ) . . . sin( n j θ ) ] T是A n 的特征向量 ;2) 对 a ∈ R , 求矩阵a I + A n 的行列式. 解: 1) 对每个 1 ≤ j ≤ n, 我们有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)θj n sin()θj 3sin()θj 2sin()θj sin(θ)2cos(j )θj 1)(n sin()θj 4sin()θj 2sin()θj 3sin()θj sin()θj sin(2)θj n sin()θj 3sin()θj 2sin()θj sin(01001010011001即 A n α j = 2cos( j θ ) α j .于是α j ( 1 ≤ j ≤ n ) 是A n 的特征向量, 它们对应的特征值2cos( j θ ) ( 1 ≤ j ≤ n )互异.2) a I + A n 的特征值为a + 2cos( j θ ) ( 1 ≤ j ≤ n ) , 故| a I + A n | = ( a + 2cos θ ) ( a + 2cos( 2θ ) ) ...( a + 2cos( n θ ) ) .三. （10分）设A : XA X 是R 4到R 3的线性映射, 其中A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110110101101.1) 求A 的秩 r 及可逆矩阵P , Q , 使得 A = P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0I rQ , 这里 I r 是r 阶单位矩阵.2) 求R 4的一组基α 1 , α 2 , α 3 , α 4 与 R 3的一组基β 1 , β 2 , β 3 ,使得 A α i = β i , ∀ 1 ≤ i ≤ r 且 A α i = 0 , ∀ i > r . 解: 1)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000010010101101000000100001101010001000010101101101010001110110101101于是A 的秩为 2 , 可取 P = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001, Q = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010010101101. 2) 在上式两边右乘Q -1 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1000010*********, 得A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000001000011010100011000010010101101. 令α 1 , α 2 , α 3 , α 4 依次为Q -1的列向量, β 1 , β 2 , β 3 依次为P 的列向量, 则有 A α 1 = β 1 , A α 2 = β 2 , A α 3 = 0 , A α 4 = 0 . 三.（32分）填空题 .1．设 B, C, D 是n 阶矩阵, 其中D 可逆, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-D CB C D B 1的秩 = n . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D C 00D C B C D B I 0D B I 11,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-D 000I D C 0ID C 0012. 当t < - 1/4 时, 二次型 f = 5 t x 2 + t y 2 – z 2 + 2 t xy + 2 x z 负定 ; 当t >0 时, 二次型 f 的正、负惯性指数分别是 2 与 1 . 通过成对行列变换, 二次型 f 的矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000t 0001t 41000t t 0t 1t 51010t t 1t t 5f 负定 ⇔ 4 t + 1 < 0 且t < 0 ⇔ t < – 1 / 4f 的正、负惯性指数分别是 2 与 1 ⇔ 4 t + 1 > 0 且t > 0 ⇔ t > 0 .3. 已知 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--12222121231 是行列式为1的正交矩阵, 则线性变换X A X 是绕单位向量α = 的旋转, 旋转角为 .解特征方程组 ( A – I ) X = 0 , 得特征值1 的特征子空间基底 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011. 于是α = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡±01121. 取与α垂直的向量β = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011, 由A β =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-41131 求得β与A β 夹角的余弦值为 ( β, A β )/ ( | β| | A β| )= 1/3 . 故旋转角为 arccos( 1 / 3 ).4. 在欧氏空间R 4中,子空间 < ( 1,0,0,0) T, ( 0,1,0,0 ) T> 到⎩⎨⎧==+1x 2x x 321的解集合的最小距离是 1 .四. （18分）设f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 8 x 12 –7 x 22 + 8 x 32 + 8 x 1 x 2 – 2 x 1 x 3 + 8 x 2 x 3 . (1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量; (2) 求正交矩阵 P 及对角矩阵D , 使得 A = P D P T .解: (1) []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==321321Tx x x 841474148x x x X A X f8λ4147λ49λ09λ8λ4147λ4148λ|A λI |---+-+--=---+---=-)9λ()9λ()3249λ()9λ(7λ4187λ4009λ22+-=---=---+--=A 的特征值为λ = 9 (二重), – 9 . 对λ = 9解齐次方程组 ( A – 9 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0000001411414164141 通解为x 1 = 4 x2 - x3 , x 2 、x 3为自由变量. 解的向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101x 014x x x x 4x x x x 323232321于是α1 = [ 1 0 -1 ] T , α2 = [ 4 1 0 ] T 构成λ = 9特征子空间的一组基. 对λ = -9解齐次方程组 ( A + 9 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--00041010100036901741000212174117414241417 通解为 x 1 = x 3 , x 2 = - 4 x 3 , x 3为自由变量. 解的向量形式:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141x x 4x x x x x 3333321于是α3 = [ 1 -4 1 ] T 构成λ = -9特征子空间的一组基. (2) 将α1 = [ 1 0 -1 ] T , α2 = [ 4 1 0 ] T 正交化: 令 β1 = α1 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=21210124014β)β,β()β,α(αβ1111222 再单位化:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==21231β||β||1γ,10121β||β||1γ222111 将α3 = [ 1 -4 1 ] T 也单位化: .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=141231γ3 γ1 , γ2 , γ3 构成R 3 的标准正交基, P = [ γ1 γ2 γ3 ] =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--23132212343102313221为正交矩阵, 且.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==T 3T 2T1321Tγγγ999]γγγ[P D P A五.（10分）设β是欧氏空间R n 的单位向量, V 是子空间 < β > 的正交补. (1) 求矩阵A , 使得对任意列向量X ∈ R n , AX 是X 向V 所作的正交投影; (2) 求正交矩阵B , 使得线性变换 X B X 是R n 关于V 的镜面反射. 解: (1) 对任意列向量X ∈ R n , X 在一维子空间 < β > 上的正交投影为 ( X , β ) β = β βT X .于是X 在正交补 < β >⊥上的正交投影为X – ( X , β ) β = X – β βT X = ( I – β βT ) X .故所求矩阵为A = I – β βT .(2) 向量X ∈ R n , 关于 < β >⊥ 的镜面反射为X – 2 ( X , β ) β = X – 2 β βT X = ( I – 2 β βT ) X . 故所求正交矩阵为B = I – 2 β βT .六.（10分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 若A 是实对称矩阵, B 是实反对称矩阵, 则A + i B 的特征多项式在复数域上的根都是实数. 正确.证明: 设λ是A + i B 在复数域上的特征值, α是属于λ的复特征向量, 即 ( A + i B ) α = λ α , α ≠ 0 .则有 αT ( A – i B ) = λ αT , TT αλ)B i A (α=+.于是 ααλα)B i A (αααλTTT=+=, 由α ≠ 0 知0ααT≠, 于是 λλ=, λ 为实数.2) 在数域K 上, 若 n 阶方阵A 有 n + 1 个特征向量, 且其中任意 n 个都线性无关, 则 A 一定是数量矩阵. 正确.若A 不是数量矩阵, 则A 的特征子空间维数都小于n. 又因为A 有 n 个线性无关的特征向量, A 可对角化, 故A 的特征子空间的维数之和等于n. 任给n + 1 个特征向量, 必存在A 的一个特征子空间 V , 包含其中至少 dim V + 1≤ n 个特征向量, 这dim V + 1 个特征向量线性相关, 矛盾!。

高等代数14级数学系《高等代数 1》(A)

井冈山大学数理学院2014 ~2015学年度第一学期《高等代数 1》期末试卷（A 卷） 2015 年1 月一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）1. 设多项式 2()22g x x ax =-+ 整除多项式 42()3f x x x ax b =+++，其中,a b ∈，则 ,a b 的值为 .2. 多项式 5432()71681616f x x x x x x =+++-- 的全部有理根为 .（重根计算重数）3. 6 级行列式ij a 的展开式中，项 233142561465a a a a a a 前面带的正负号是 .4. 已知向量组 1234(0,2,1,1),(1,1,1,1),(1,5,3,1),(1,1,0,2)αααα==-==-，5α=(7,1,3,1)-，试写出它的一个极大线性无关组 .5. 设α为3维列向量，α' 为α的转置，若111111111αα-⎛⎫ ⎪'=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则 αα'= .二、选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设 ()f x 为实数域上的多项式，下列命题中正确的是 .A. 若 ()f x 无实根，则 ()f x 在上不可约；B. 若 ()f x 在上不可约，则 ()f x 无实根；C. 若 α 是 ()f x ' 的 k 重根，则 α 是 ()f x 的 1k + 重根；D. 若 ()f x 在上不可约，则 ()f x 无重根.2. 设 A 为 n 级方阵，B 为 m 级方阵，则AB = . A. A B ； B. A B -； C. (1)mnA B -； D. 0. 3. 齐次线性方程组 0AX = 与 0BX = 同解的充分必要条件是 . A. 秩(A )=秩(B )； B. A 与 B 等价； C. A 与 B 的行向量组等价； D. A 与 B 的列向量组等价.4. 设 n 级矩阵 A 的秩为 r 且 r n <，则 A 的 n 个行向量中 .A. 必有 r 个行向量线性无关；B. 任意 r 个行向量构成极大线性无关组； B. 任意 r 个行向量线性无关； D. 任一个行向量都可由其余行向量线性表出. 5. 齐次线性方程组21231231230,0,0.x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 的系数矩阵记为 A .若存在三级矩阵 0B ≠，使得 0AB =，则 . A. 2λ=-，且 0B =； B. 2λ=-，且 0B ≠； C.1λ=，且 0B =； D. 1λ=，且 0B ≠.三、计算题：（每题10 分，共40分） 1. 在[]x 中， 5432()32231f x x x x x x =-++-+.(1) 求一个没有重因式的多项式 ()g x ，使它与 ()f x 含有完全相同的不可约因子（不计重数）； (2) 求 ()f x 在 []x 中的标准分解式.2. 计算下列 1(2)n +≥ 级行列式：11111111111111111111111111n n n D n n n +--=---.3. 求下列齐次线性方程组1234512345123451234520,2230,3220,25220.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪+-+-=⎪⎨--+-=⎪⎪-+-+=⎩ 的通解和基础解系.4. 设有三级方阵423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.又 X 是三级未知方阵，解矩阵方程 2AX A X =+.四、证明题（20 分）1. ( 8 分) 已知向量组 123,,ααα 与向量组 1234,,,αααα 的秩都是 3，向量组1,α2,α35,αα的秩是 4. 证明：向量组 12354,,,ααααα- 的秩是 4.2. (12 分) 设 A 和 B 是 n 级方阵，且 0AB =，用 A r 和 B r 分别表示矩阵 A 和 B 的秩，证明： (1) A B r r n +≤；(2) 对一给定的矩阵 A 可以选择矩阵 B 使得 A B r r k +=，其中 k 是满足条件A r k n ≤≤ 的任何整数.。

高等代数第一学期试卷及答案(A)

高等代数第一学期试卷及答案(A)1. 若 $b_1c_1=b_3m$，则 $a_2=$B. $-15m$2. $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 A. $\vertA\vert\neq0$3. 下列说法不正确的是 B. 如果 $f(x)\mid g(x)$，$g(x)\mid h(x)$，则 $f(x)\mid h(x)$4. 设向量组 $\alpha,\beta,\gamma$ 线性无关，$\alpha,\beta,\delta$ 线性相关，则() D. $\mathrm{\delta}$ 一定不能由 $\mathrm{\alpha,\beta,\gamma}$ 线性表示5. 对于 $n$ 元方程组，下列命题正确的是 B. 如果$Ax=0$ 只有零解，则 $Ax=b$ 也只有零解6. 若$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\5&6&7\end{pmatrix}$，则$\vert A\vert=$ $-3$7. $f(x)=x^4+x^3-1$，则 $f^\prime(x)=4x^3+3x^2$8. 已知 $\vert A\vert=-113$，则 $A_{12}-A_{22}+A_{32}-A_{42}=$ $-1145$9. 设$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}$，则$(A^{-1})^*=$ $\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} $10. 若 $\alpha_1=(1,0,5,2)^T,\alpha_2=(3,-2,3,-4)^T,\alpha_3=(2,4,1,0)^T$，则 $\alpha_3$ 可以由$\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，且线性表示为 $\alpha_3=-\alpha_1+2\alpha_2$。

高代一期末考试试题及答案

高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 $ V $ 的基 $ B $ 包含 $ n $ 个线性无关向量，则 $ V $ 的维数为 _______。

7. 若 $ A $ 是 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是 $ n\times p $ 矩阵，则 $ AB $ 是 _______ 矩阵。

8. 线性变换 $ T: V \rightarrow W $ 的核是所有满足 $ T(v) = 0 $ 的向量 $ v $ 的集合，记为 _______。

9. 矩阵 $ A $ 与 $ B $ 相等，当且仅当它们具有相同的_______。

10. 一个 $ n $ 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。

12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。

13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。

14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 $ A $ 可逆，则 $ A $ 的行列式不为零。

(完整word版)高等代数期末复习试题

数学系《高等代数》期末考试试卷年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。

；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )2．若向量空间V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )5．每一个线性变换都有本征值. ( )6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间为σ的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1. 下列命题不正确的是 ( ).A. 若向量组},,,{21r ααα 线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B. 若向量组},,,{21r ααα 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组},,,{21r ααα 线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββ 线装订线性表示，则s r ≤；D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4．二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312； B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000013013；D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110125.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).A ．0>A ；B ．秩为3；C ．A 合同于三阶单位矩阵；D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.42分）1．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++033450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.3．写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五．证明题（每小题10分，共20分）1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，A 是σ关于V 的某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。

2015-2016高数(一.二)期末试卷A参考答案

课程名称:高等数学(一、二）（期末考试A ）第 3 页（共 4 页）学院: 专业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――提示：请将答案写在答题纸上，写在试卷页或草稿纸上的无效。

交卷时请将答题纸（1-2页）和试卷页、草稿纸分开上交。

写在背面或写错位置的一定要注明。

一、填空题（3分*5=15分）1. 设曲线L 是正方形区域{}(,)|01,01x y x y ≤≤≤≤的边界，则曲线积分4Lds =⎰16.2. 若级数∑∞=-1)1(n nu收敛，则=∞→n n u lim 1.3. 设0>p ，当p 满足1p >时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛. 4. 微分方程y x y y '=''-'''2)(的通解中含有 3 个相互独立的任意常数. 5. 微分方程212y x ''=满足初始条件00x y ==，01x y ='=的特解为4y x x =+. 二、单项选择题（3分*5=15分）1. 设∑是球面2221x y z ++=，而1∑是∑位于第一卦限部分，则曲面积分d z S ∑=⎰⎰（ A ）．（A ）0；（B ）12d z S ∑⎰⎰；（C ）18d z S ∑⎰⎰；（D ）⎰⎰∑1d 4S z ．2．若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则下列级数中发散的是（ C ）.（A ）1n n u ∞=∑；（B ）1n n u ∞=∑；（C ）11()n n u n ∞=+∑；（D ）11()3n n n u ∞=+∑.3．设2lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数20n n n a x ∞=∑的收敛半径=R （ A ）. （A ）21；（B ）1；（C ）2；（D ）2.4．函数221ec x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=-'-''y y y 的（C ）（A ）通解. (B)特解. (C)解但不是通解、特解. (D)不是解.5．已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 对应的特征方程有根2，3，则该微分方程通解为（ D ）.(A)12cos 2sin 3y C x C x =+. (B) 212()x y C C x e =+. (C)32x x y e e =+. (D)3212x x y C e C e =+.三、曲线积分与曲面积分（8分*2=16分）1. 沿曲线L 从点)01(，A 到点)10(，B 计算对坐标的曲线积分⎰++Ly x x xy 1)d (d 22，其中L 为折线AOB （O 是原点）．解：法（1）2P Qx y x∂∂==∂∂，所以积分与路径无关，（2分）选择路径：L x y -=1，则（4分）⎰⎰-++-=++0122d )]1)(1()1(2[1)d (d 2x x x x y x x xy L （6分）=+-=+-=⎰111d )123(12x x x 1．（8分）法（2）OB AO L +=，其中：AO 0=y ；：OB 0=x ，则⎰⎰⎰+++++=++OBAOLy x x xy y x x xy y x x xy 1)d (d 21)d (d 21)d (d 2222（2分）012120d 00(01)d x x x =⋅++++⎰⎰（6分）1=．（8分） 2. 计算曲面积分()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰，其中∑是z =在0,1z z ==部分下侧.解：补面1221:1z x y =⎧∑⎨+≤⎩方向向上，（2分）记22:1xy D x y +≤，100I I dv Ω+==⎰⎰⎰，（5分）所以1()0xyD I I x y dxdy =-=--=⎰⎰.（8分）课程名称:高等数学(一、二）（期末考试A ）第 3 页（共 4 页）学院: 专业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――四、级数（8分*3=24分） 1. 证明级数∑∞=+-121)1(n n n 条件收敛.解：由n nn n n n 2131111)1(2222=+≥+=+- ，及级数∑∞=121n n 发散，得级数∑∞=+-121)1(n n n 发散（3分）；又112+=n u n ，有nn u n n u =+≤++=+111)1(1221，及011limlim 2=+=∞→∞→n u n n n ，由莱布尼茨判别法，得∑∞=+-121)1(n n n 收敛．（6分）因此级数∑∞=+-121)1(n n n 条件收敛。

2015-2016学年高一第一学期期末考试数学试题 Word版含答案

2015-2016学年高一第一学期期末考试数学试题 Word版含答案2014-2015学年度高一第一学期期末考试数学试题一、选择题（每小题4分，共40分）1.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩(N-B)=（）A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}2.在△ABC中，AN=12NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+AC，则实数m的值为()A.1/3B.1/2C.2/3D.3/23.已知f(x)=log2x,x>1x+1,x≤1若f(x)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（）A.[0,2]B.[1,2]C.[-1,0]D.[-1,2]4.已知函数y=sin(ωx+φ)，ω>0,φ<π/2的部分图象如图所示，则（）图略A.ω=1，φ=π/6B.ω=2，φ=-π/6C.ω=1，φ=-π/6D.ω=2，φ=π/65.如果函数f(x)上存在两个不同点A、B关于原点对称，则称A、B两点为一对友好点，记作A,B。

规定A,B和B,A是同一对，已知f(x)=cosx,x≥0lgx,x<0则函数f(x)上共存在友好点（）A.1对B.3对C.5对D.7对6.已知方程sin2x+cosx+k=0有解，则实数k的取值范围为（）A.-1≤k≤5/4B.-5/4≤k≤1C.-1≤k≤1D.-5/4≤k≤-1二、填空题11.已知O为坐标原点，点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα)，且π/2<α<π。

若|OA+OC|=7，则OB与OC的夹角为______。

12.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在第三象限,与圆心在原点的单位圆交于点P(cosα,-sinα)，则tanα=________。

13.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间(0,a/2)上恒有f(x)>1，则实数a的取值范围是________。

2015下高等代数A参考答案

2015年秋季学期《高等代数》课程期末考试试卷（A 卷）参考答案注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、下列命题为真的是( A ).A. 最大公因式不唯一；B. 有理数域不是最小的数域；C. 若3()()p x f x , 则()p x 是()f x 三重因式；D.若()f x 有重因式, 则()f x有重根.2、已知432()341f x x x x x =+---，32()1g x x x x =+--，则((),())f x g x =（C ）(A) 21x + ； (B) 1x - ； (C) 1x + ； (D) 以上答案都不对.3、在6级行列式中, 132132465465324314516625;a a a a a a a a a a a a 这两项应带有什么符号 (A ).A. 正，正；B. 正，负；C. 负，正；D. 负，负.4. 设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（ C ）.A. 向量组s ααα,,,21Λ中如果存在1r +个不同的向量构成的向量组的话，则必线性相关；B. .r s ≤C. 如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ一定与s ααα,,,21Λ等价D. 如果r ααα,,,21Λ为s ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组，则必与s ααα,,,21Λ等价.5、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,, （1），下列结论为假的是（D ）A. 若0,1,2...i b i s ==，则方程组（1）的任意两个解之和还是（1）的解；B. 若0,1,2...i b i s ==，则方程组（1）的任意解的倍数还是（1）的解；C. 若存在某个0,i b ≠，则方程组（1）的任意两个解之和不是（1）的解;D. 若存在某个0,i b ≠，则方程组（1）的任意解之差是（1）的解.二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1、已知矩阵方程2122212111X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，则X =111000⎛⎫⎪⎝⎭．． 2. 一个齐次线性方程组中共有s 个线性方程、t 个未知量，其系数矩阵的秩为p ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于t p -．3、排列(1)321n n -L 的逆序数为(1)2n n - 4、1827641491612341111= 12 。

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（√ ）四、简答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）1、设100*021011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，又0A <，求矩阵A 以及它的逆矩阵1A -。

解：因为*AA A E =，所以有*1()A A A -=，1*1A A A-=（2分）而31*,01A AA A -=<∴=-且，，（4分） *1100()011012A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭又，（6分）所以*1100()011012A A --⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，注意：*1()A -的求法（1）利用为分块对角矩阵（2）()*E A 作初等行变换（3）()**1**=A AA-（），此法繁琐，不推荐设A 为n 阶矩阵，涉及*A 的题目充分利用以下公式：n-11**1=A A A A A-=， 2、求n 阶行列式1112112112112111n n nn ----的值。

解：行列式特点：每一行的和相等为“1” , 每一列的和相等为“1” 1112112112112111n n n n ----111111121(2,3,,)12112111i n r r i n nn -+=--11111010,2,3,,010010i n r r i nn n --=-- （4分）()()(1)1211n n n n --=-- （8分）3、讨论λ取何值时，线性方程组2123123123(1)0(1)(1)x x x x x x x x x λλλλλ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩+++=+++=++=-(1) 有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解，并求出此方程组的通解。

解：方程组的系数行列式为 2111111(3)111λλλλλ++=++ （1分） 100021011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1）当3λ≠-且0λ≠ 时，()()3R A R A n ===，方程组有唯一解; （2分）（2）3λ=-时，1321312211011291213121311292110r r r r r r A ↔-+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−−→--−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 3211291129033603360331800012r r +----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，阶梯型 ()3()2R A R A =≠=，此时，方程组无解; （4分）（3）0λ=时，111011101110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2131r r r r --−−−→111000000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，最简型()()13R A R A n ==<=，此时方程组有无穷多解，（6分）由最简型的一般解为1232233x x x x x x x=--⎧⎪=⎨⎪=⎩（23,x x 为自由未知量），所以所求通解为 12121231110,,01x x k k k k x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数。

（8分） 4、设有二次型()222123123121323,,2224f x x x x x x x x x x x x =+++++（1）写出二次型f 的矩阵A ；（2）把二次型()123,,f x x x 经过非退化线性替换化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。

解： (1) 二次型的矩阵为 111122121A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2分）2121323131(2)111111100100122011011011A 121010010001=E 100100111111010010010010001001001001r r c c r r r r c c -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -⎛⎫−−−→−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭32100010001110011001c c -⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪-−−−→⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（6分）令110011,001C -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭则非退化线性变换X CY = （7分）把二次型化为标准形()222123123,,f x x x y y y =+- 。

（8分）说明：A 作行变换而E 不变，接着”A 和E ”同时作和行变换相同的列变换，当A 化为对角元为“1，-1”的对角阵时，E 化为“C ”五、证明题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）1、证明：如果,A B 均是正定矩阵，则00A B ⎛⎫⎪⎝⎭也是正定矩阵。

证：① 因为A 和B 都是正定矩阵，所以A 和B 都是实对称矩阵，又000,000TT T A A A B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是实对称矩阵。

（2分） ② 由A 和B 都是正定矩阵知A 和B 都和E 合同，即存在可逆阵12,C C 使得1122,T TC AC E C BC E ==；（3分）构造分块阵1200C C C ⎛⎫=⎪⎝⎭，则C 可逆，且（4分）1111222200000000TT TC C A E C AC C C B E C BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （6分）即00A B ⎛⎫⎪⎝⎭与单位阵合同，结合①②知00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是正定矩阵。

（7分）2、设A 和B 是两个同型矩阵，证明：秩()A B -≤秩()A +秩()B 。

证明方法1：设矩阵A 的列向量组为12,,...,n A A A ，其极大无关组为12,,...,r i i i A A A ，（1分）矩阵B 的列向量组为12,,...,n B B B ，其极大无关组为12,,...,s i i i B B B ，（2分）则1212...r i i i r i A k A k A k A =+++，1,2,...,i n = （3分）1212...s i i i s i B l B l B l B =+++，1,2,...,i n = （4分）故12121212......r s i i i i r i i i s i A B k A k A k A l B l B l B -=+++----，1,2,...,i n =即A B -的列向量组可由12112,,,...,,,...r s i i i i i i A A A B B B 线性表示（6分）则秩()A B -≤12112,(,,...,,,...)r s i i i i i i rank A A A B B B ≤r s +=秩()A +秩()B （7分）注意：A 组可由B 组表示()(),rank A rank B ⇒≤ 证明方法二：由课本166页结论，秩()=A+-B A B -≤秩（（））秩()A +秩(-)B =秩()A +秩()B 负号不会改变行列式是否为零的性质，因此不会改变矩阵的秩，故秩(-)B =秩()B3、用f 代表()f x ，g 代表()g x ，设(,)1,(,1,2)i j f g i j ==，证明：()()11221212,,(,)f g f g f f g g =证明：因为121122,,(,)(,)f f f f f f 121122,,(,)(,)g g g g g g所以121211121222,,(,)(,)(,)(,)f g f g f f g g f f g g这表明1212(,)(,)f f g g 是11f g 与22f g 的一个公因式；又 121112(,)=f v f f f u + ①122122(,)=g v g g g u + ②而(,)1,(,1,2)i j f g i j ==，由课本习题一题13结论可知，12121(,)f f g g =，即12121uf f vg g =+ ③①②③式左右两边相乘知是1212(,)(,)f f g g 是11f g 与22f g 的组合，故由课本习题一题8结论可知1212(,)(,)f f g g 是11f g 与22f g 的最大公因式。