用因式分解法解一元二次方程二ppt
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《一元二次方程的解法因式分解法》课件
一元二次方程是初中数学的重要知识点之一，也是高中数学的基础知识。
因式分解法是一种简便的一元二次方程求解方法，适合初中生学习。
教学背景
1
教学目的
2
3
使学生掌握因式分解法的基本原理和解题步骤，能够熟练运用此方法求解一元二次方程。
知识与技能
通过案例分析和解题实践，培养学生的数学思维能力和创新精神。
过程与方法
同时，通过对一元二次方程的根的判别式的计算，也可以得到一些有用的结论，如一元二次方程的根与系数的关系、根的对称性等。
一元二次方程的根的判别式是判定方程是否有实数根的依据，也是因式分解的一个重要应用。
回顾一元二次方程的根的判别式与因式分解的关系
利用根的判别式可以判断方程是否可以因式分解，如果判别式大于零，则方程有两个不相等的实数根，此时可以将其因式分解为两个一次因式的乘积；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实数根，此时可以将其因式分解为两个一次因式的乘积；如果判别式小于零，则方程没有实数根，此时不能将其因式分解。
xx年xx月xx日
《一元二次方程的解法因式分解法》课件
目录
contents
引言因式分解法基本概念因式分解法在一元二次方程中的应用解题示例总结与回顾练习与思考
引言
01
课程简介
课程名称：《一元二次方程的解法因式分解法》
所属学科：数学
课程目标：通过学习，使学生掌握一元二次方程的因式分解法解法，提高数学解题能力和思维逻辑水平。
例如：对于方程3x²-10x+5=0，有△=(-10)²-4×3×5=100-60=40。
确定方程的“△”值
判断方程的根
例如：对于方程3x²-10x+5=0，因为△=40＞0，所以方程有两个不相等的实数根。
用因式分解法求解一元二次方程 课件 数学九年级上册
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程
x2＝3x.但他们的解法各不相同．
由方程x2＝3x，得
x2－3x＝0.
因此x＝ 3 9 ， x1＝0，x2＝23. 所以这个数是0或3.
方程x2＝3x两边 同时约去x，得 x＝3. 所以这个数是3.
新课导入
由方程x2＝3x，得 x2－3x＝0， 即x(x－3)＝0. 于是x＝0，或x－3＝0. 因此x1＝0，x2＝3. 所以这个数是0或3.
第二章 一元二次方程
2.4 用因式分解法求解一元二次方 程
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. （重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方 程.（难点）
新课导入
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.
讲授新课
解方程：x2+5x-6=0.
x2 5x 6 (x 6)(x 1)
x
6 步骤：
解：因式分解得 (x+7)(x-1)=0.
∴x+7=0,或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1.
x
①竖分二次项与常数项
1
x 6x 5x ②交叉相乘，积相加
解：化简，得
4x2+12x+9-25=0
x2+2x=4
x2+3x-4=0
x2+2x+1=5
分解因式，得
(x+1)2=5
(x-1)(x+4)=0
x1 5
x1=1, x2=-4
x1 1 5, x2 1 5
北师大版九年级数学上册《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程ppt
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
第十四页，共十八页。
小结 拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘 积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方
程的方法称为分解因式法.
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌 握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少
completing the square)
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且
a2±2ab+b2 =(a±b)2.
第二页，共十八页。
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系
有一个因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二
次”转化为“一次”的过程.
数); 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平 方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
第三页，共十八页。
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的解法 因式分解法PPT课件
.
展示内容
探究案1
探究案2
归纳
展示与点评
展示小组 点评小组
G9 G7 G5
要求：⑴口头展示，声音洪亮、清楚；书面展示要分 层次、要点化，书写要认真、 规范。 ⑵非展示 同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。 不浪费一分钟，小组长做好安排和检查。
.
配方法
公式法
10x4.9x20
10x4.9x20
.
知识要点
上述解法中,由①到②的过程，先因式分解使方程 化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一 次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分 解法. w提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边 等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0 ”
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方 程 的解法，体会解决问题方法的多样性。
.
一、情景导入
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0) 配方法 (x+m)2=n (n≥0) 公式法 xbb24a.cb24a c0.
2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式. .
21.2.3 因式分解法
一、情景引入 二、合作探究
探究点一 因式分解法解一元二 次方程
提出 问题
知识 要点
典例 精析
巩固 训练
三、课堂小结 四、课后作业
探究点二 选择适当的方法解一元
二次方程
提出 问题
知识 要点
典例 精析
巩固 训练
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法、十字相 乘法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
展示内容
探究案1
探究案2
归纳
展示与点评
展示小组 点评小组
G9 G7 G5
要求：⑴口头展示，声音洪亮、清楚；书面展示要分 层次、要点化，书写要认真、 规范。 ⑵非展示 同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。 不浪费一分钟，小组长做好安排和检查。
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配方法
公式法
10x4.9x20
10x4.9x20
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知识要点
上述解法中,由①到②的过程，先因式分解使方程 化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一 次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分 解法. w提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边 等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0 ”
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方 程 的解法，体会解决问题方法的多样性。
.
一、情景导入
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0) 配方法 (x+m)2=n (n≥0) 公式法 xbb24a.cb24a c0.
2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式. .
21.2.3 因式分解法
一、情景引入 二、合作探究
探究点一 因式分解法解一元二 次方程
提出 问题
知识 要点
典例 精析
巩固 训练
三、课堂小结 四、课后作业
探究点二 选择适当的方法解一元
二次方程
提出 问题
知识 要点
典例 精析
巩固 训练
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法、十字相 乘法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
人教版九年级数学上册《一元二次方程的解法——因式分解法》PPT
简记歌诀： 右化零 左分解
三化-----方程化为两个一元一次方程; 两因式 各求解
四解-----写出方程两个解;
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
• 3．二次三项式x²＋20x＋96分解因式的结
果为
；如果令x²＋20x＋96＝0，
那么它的两个根是
．
4．选择适当的方法解下列方程：
• (1)(x－5)²＝4； • (2)x²＝8x； • (3)3x²－x－1＝0； • (4)(2x＋1)²＝－6x－3； • (5)(2x－1)²＝(3－x).²
1.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③
解: 原方程化为： x2 - 3x -28= 0， (x-7)(x+4)=0， x1=7，x2=-4.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境引入 我们知道ab=0，那么a=0或b=0， 类似的解方程（x+1）（x－1）=0时， 可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解， 你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？
一元二次方程因式分解法.ppt
解： （[ a + b)x - (a - b)][(a - b)x - (a + b)] = 0
x1 =
a- b， a+ b
x2 =
a+ b a- b
解下列于x的方程：
1. x2 - (2a + 1)x + a2 + a = 0
2. (a2 - b2 )x2 - 2(a2 + b2 )x + a2 - b2 = 0(a2 - b2 ? 0)
而右边等于零;即一元二次方程可以转化为 A·B=0的形式
2.因式分解法解一元二次方程的本质就是降次
转化为解两个一元一次方程
3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
思考：
注：运用因式分解法的前提是方程右边为零。
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
练一练练一练解：源自x 0或x 8原方程的根为x1 0，x2 8
例2：(x 3) x(x 3) 0
解： (x 3)(1 x) 0
得：x 3 0或1 x 0
x 3或x 1
原方程的根为x1 3，x2 1
例3：x2 4 0
解：(x 2)(x 2) 0
x20 或 x20
平方差公式
x 2 或 x 2
原方程的根为x1 2，x2 2
例4：(x 2)2 2 0
解：(x 2 2)(x 2 2) 0
x 2 2 0或 x 2 2 0
x 2 2 或 x 2 2
x 3 或 x -2
原方程的根为x1 3, x2 2
例7： 0.1x2 1.2 0.4x
_因式分解法解一元二次方程课件课件
2
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0
x 2 0或2 x 3 0
x1 2, x2
3 2
.
想一想
先胜为快
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0.
2 2
解方程 : x 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 x 3 ( x 3)( x 1);
2
3 而4 x 2 12 x 9 4( x 3 )( x 3 解方程 : 4 x 12 x 9 0得x1 , x2 ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程 : 3x 7 x 4 0得x1 , x2 1; 而3 x 7 x 4 3( x )( x 1) 3 3 看出了点什么?有没有规律 ? 3
2
4 .2 ( x 3) x 9;
2 2
3.x1
3 2
; x2
1 2
.
4.x1 3; x2 9.
先胜 为快
2 2
解下列方程
6 .( x 2 ) 2 x 3 ;
2 2
5 . 5 ( x x ) 3 ( x x );
5.x1 0; x2 4.
把下列各式分解因式 :
1.x 2 7; 解 : 1. 一元二次方程
x 7 0
2
2.3 y 2 y 14. 解 : 2 . 一元二次方程
3 y y 14 0
2
的两个根是x1
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0
x 2 0或2 x 3 0
x1 2, x2
3 2
.
想一想
先胜为快
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0.
2 2
解方程 : x 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 x 3 ( x 3)( x 1);
2
3 而4 x 2 12 x 9 4( x 3 )( x 3 解方程 : 4 x 12 x 9 0得x1 , x2 ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程 : 3x 7 x 4 0得x1 , x2 1; 而3 x 7 x 4 3( x )( x 1) 3 3 看出了点什么?有没有规律 ? 3
2
4 .2 ( x 3) x 9;
2 2
3.x1
3 2
; x2
1 2
.
4.x1 3; x2 9.
先胜 为快
2 2
解下列方程
6 .( x 2 ) 2 x 3 ;
2 2
5 . 5 ( x x ) 3 ( x x );
5.x1 0; x2 4.
把下列各式分解因式 :
1.x 2 7; 解 : 1. 一元二次方程
x 7 0
2
2.3 y 2 y 14. 解 : 2 . 一元二次方程
3 y y 14 0
2
的两个根是x1
一元二次方程的解法--因式分解法PPT省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
C、x1 2, x2 4 D、 x1 2, x2 4
2、假如方程 x 2 3x c 0 有一种根为1，
那么c= ，该方程旳另一根为
。
3、用合适旳措施解下列方程
（1）25y 2 16 0 （2）(x 2)2 3x 6
（3）(6y 5)(6y 5) 24 0（4）x2 2 5x 10 0
2、把小圆形场地旳半径增长5得到大圆形 场地，场地面积增长了一倍，求小 圆形场地旳半径。
画龙点睛:
归纳：用因式分解法解一元二次方程，将方程
化为形如：A· B=0旳形式，则A=0或B=0.（A、 B为整式）
（1）ma mb 0 m(a b) 0
则： m 0 或 a b 0
（2）m(a b) n(a b) 0 (a b)(m n) 0
变式1：解方程：x(x 2) x 2 0
解：因式分解，得：(x 2)(x 1) 0 于是得：(x 2) 0 或 (x 1) 0 ∴ x1 2 ； x2 1
相应练习：3x(x 1) 2(x 1)
变式2：解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
解：移项、合并同类项，得：4x 2 1 0
＆22.2.3一元二次方程旳解法 因式分解法
温故知新:
1、我们学习了解一元二次方程旳哪些措 施？ 直接开平措施、配措施、公式法
2、因式分解旳措施： （1）提公因式法：
ma mb mc _________
（2）公式法：
a 2 2ab b2 ___________ a 2 2ab b2 ___________
3、用合适旳措施解下列方程
（1）( y 2)( y 3) 0 （2） x 2 2x 0
（3） 7x 2 21
因式分解法解一元二次方程课件
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 解 (x ： 1)x (7)0
1 1
x 10 或 x70
1 7
x11,x27
1.解下列方程
(1)x2 x0
解:x(x1)0.
x10,x21.
(3)3x26x3
解: x2 2x10 (x1)2 0.
x1x21.
书P40, 练习:1、2.
(2)x22 3x0
2x 10 ,或 2x 10.
x12,x21.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
12;x2
1. 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
7. 5
2.x132;x2 1.
3.2 (x3)24(2x3);
4.2(x3)2x29;
3.x1
23;x2
1. 2
4.x13 ;x29.
先胜
解下列方程
为快
5.5(x2x)3(x2x); 6 .x (2 )22x 3 2;
5.x10 ;x24.
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 8.x252x80.
x12;x24.
2 .4 x 2 1 x 3 2 1 x 0 ,
2 x 1 4- x 3 0 ,
2 x 1 0 ,或 4 x 3 0 .
x1
12,x2
3. 4
先胜
解下列方程
为快
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
1 1
x 10 或 x70
1 7
x11,x27
1.解下列方程
(1)x2 x0
解:x(x1)0.
x10,x21.
(3)3x26x3
解: x2 2x10 (x1)2 0.
x1x21.
书P40, 练习:1、2.
(2)x22 3x0
2x 10 ,或 2x 10.
x12,x21.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
12;x2
1. 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
7. 5
2.x132;x2 1.
3.2 (x3)24(2x3);
4.2(x3)2x29;
3.x1
23;x2
1. 2
4.x13 ;x29.
先胜
解下列方程
为快
5.5(x2x)3(x2x); 6 .x (2 )22x 3 2;
5.x10 ;x24.
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 8.x252x80.
x12;x24.
2 .4 x 2 1 x 3 2 1 x 0 ,
2 x 1 4- x 3 0 ,
2 x 1 0 ,或 4 x 3 0 .
x1
12,x2
3. 4
先胜
解下列方程
为快
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件
第二章一元二次方程
用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先 考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系 数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系 数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，
用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲解 因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先 考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系 数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系 数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法； 方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，
《用因式分解法求解一元二次方程》PPT课件
解：令 x2－x＝y，则原方程可化为 y2－4y－12＝0， 即(y＋2)(y－6)＝0. 所以 y＋2＝0 或 y－6＝0，解得 y1＝－2，y2＝6. 当 y＝－2 时，x2－x＝－2，即 x2－x＋2＝0，此方程无实数解； 当 y＝6 时，x2－x＝6，即(x＋2)(x－3)＝0， 解得 x1＝－2，x2＝3. 所以原方程的解为 x1＝－2，x2＝3.
②(x－2)2＋x2＝5；
③(x－2)(x－4)＝4； ④x2－3x－1＝0；
⑤x2－ 2x＋14＝0； ⑥x2＋3x＝0. (1)直接开平方法：___①_____；(2)配方法：__②___③___；
(3)公式法：__④__⑤____；
(4)因式分解法：___⑥_______．
11．解方程 2(x－1)2＝3x－3，最适当的方法是( D )
x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根为 x1＝－1，x2＝7；乙同学 说：应把方程右边化为 0，得 x2－9＝0，再分解因式，即
(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为 x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙
两名同学的说法，下列判断正确的是A( )
A．甲错误，乙正确
B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都正确
D．甲、乙都错误
15．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x－k－2＝0 有 两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； 解：根据题意得 Δ＝(－2)2－4(－k－2)＞0，解得 k＞－3.
15．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x－k－2＝0 有 两个不相等的实数根．
(2)配方法(3)公式法 15 见习题
(4)因式分解法
16 见习题
10 (1)① (2)②③
用因式分解法求解一元二次方程ppt课件
3.完全平方公式法：a2±2ab＋b2=(a±b)2；
4.(拓展) 二次三项式型：x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b).
知1－练
例 1 用因式分解法解下列方程：
解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解
的方法.
知1－练
(1)(x－5)(x－6)=x－5；
解：移项，得(x－5)(x－ 6)－(x－5)=0.
因式分解，得(x－5)(x－7)=0.
∴ x－5 =0 或x－7=0. ∴ x1=5，x2=7.
知1－练
(2)(2x＋1)2=(3－x)2；
解：原方程可化为(2x＋1)2－(3－x)2=0.
因式分解，得(2x＋1＋3－x)(2x＋1－3＋x)= 0，
即(x＋4)(3x－2)=0.
∴ x＋4 = 0 或3x－2=0. ∴ x1=－4，x2=
方程的方法称为因式分解法.
体现了转化思想.
知1－讲
2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据
若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，
即若ab= 0，则a=0 或b=0.
达到降次的目的.
知1－讲
3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想
通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化
为两个一元一次方程.
知2－练
(3)x2－ x－1=0.
解：这里 a＝1，b＝－
2，c＝－1.
∵Δ＝b2－4ac＝2＋4＝6>0，
∴方程有两个不相等的实数根，x＝
即 x1＝
2＋
2
6
，x2＝
2－
2
6
.
2± 6
，
2
用因式分解法解
一元二次方程
4.(拓展) 二次三项式型：x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b).
知1－练
例 1 用因式分解法解下列方程：
解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解
的方法.
知1－练
(1)(x－5)(x－6)=x－5；
解：移项，得(x－5)(x－ 6)－(x－5)=0.
因式分解，得(x－5)(x－7)=0.
∴ x－5 =0 或x－7=0. ∴ x1=5，x2=7.
知1－练
(2)(2x＋1)2=(3－x)2；
解：原方程可化为(2x＋1)2－(3－x)2=0.
因式分解，得(2x＋1＋3－x)(2x＋1－3＋x)= 0，
即(x＋4)(3x－2)=0.
∴ x＋4 = 0 或3x－2=0. ∴ x1=－4，x2=
方程的方法称为因式分解法.
体现了转化思想.
知1－讲
2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据
若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，
即若ab= 0，则a=0 或b=0.
达到降次的目的.
知1－讲
3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想
通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化
为两个一元一次方程.
知2－练
(3)x2－ x－1=0.
解：这里 a＝1，b＝－
2，c＝－1.
∵Δ＝b2－4ac＝2＋4＝6>0，
∴方程有两个不相等的实数根，x＝
即 x1＝
2＋
2
6
，x2＝
2－
2
6
.
2± 6
，
2
用因式分解法解
一元二次方程
因式分解法解一元二次方程初中数学原创课件
x1=0 ， x2=2 .
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(3) 3x²-6x=-3
解：化为一般式为
x2-2x+1 = 0.
因式分解，得
( x-1 )(x-1 ) = 0.
x1=0， x2=-1.
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(2)x²-2 x=0
解：因式分解，得
x(x-2 )=0.
则有x=0或x-2 =0，
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x -2 = 0 或 2x + 1 = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1= ，x2=- .
练习
1.解下列方程：
(6)(x-4)²=(5-2x)²
(1)x²+x=0；
解：变形得
(2)x²-2 x=0；
( x-4 ) 2-( 5-2x )2=0.
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(3) 3x²-6x=-3
解：化为一般式为
x2-2x+1 = 0.
因式分解，得
( x-1 )(x-1 ) = 0.
x1=0， x2=-1.
练习
1.解下列方程：
(1)x²+x=0；
(2)x²-2 x=0；
(3)3x²-6x=-3；
(4)4x²-121=0；
(5)3x(2x+1)=4x+2；
(6)(x-4)²=(5-2x)².
(2)x²-2 x=0
解：因式分解，得
x(x-2 )=0.
则有x=0或x-2 =0，
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x -2 = 0 或 2x + 1 = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1= ，x2=- .
练习
1.解下列方程：
(6)(x-4)²=(5-2x)²
(1)x²+x=0；
解：变形得
(2)x²-2 x=0；
( x-4 ) 2-( 5-2x )2=0.
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
2 解一元二次方程 因式分解法PPT课件(人教版)
15．先阅读下列材料，然后解决后面的问题： 材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程 x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x ＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b. 问题： (1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数， 则k的值可以为_____－__1_5_，__－__6_，__0_，__6_，__1_5____； (2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1 的值为__7__．
解：x1＝3＋ 5，x2＝3－ 5
(3)x2－4＝3x－6； 解：x1＝1，x2＝2
(4)(x＋5)2＋x2＝25. 解：x1＝－5，x2＝0
13．一跳水运动员从10 m高台上跳下，他离水面的高度h(单位： m)与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从 起跳到入水所用的时间是多少？
九年级上册人教版数学
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因一边可以分解成两个一次因式 的乘积时，通常将一元二次方程化为__两__个__一__次__因__式____的乘积等于0 的情势，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法 叫做____因__式__分__解_____法．
体，设x＋1＝y，则原方程可化为y2－5y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝3. 当y＝2时，即x＋1＝2，解得x＝1；当y＝3时，即x＋1＝3，解得x＝
2，所以原方程的解为x1＝1，x2＝2.利用这种方法求方程(2x－1)2－ 4(2x－1)＋3＝0的解为( C )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝－3 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－1
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7 x1 0, x2 . 2
我最棒
参考答案： x 2 (5 2 ) x 5 2 0 ; 1. 1.x1 5; x2 2. x2 ( 3 5) x 15 0 ； 2.x1 5; x2 3. 2. 3.x1 3; x2 2. 3.x 2 (3 2 ) x 18 0;
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当b 2 4ac 0时, 它的根是 :
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
争先赛
1.x 2x - 4 0, 2.4x2x 1 32x 1. 解 :1x 2 0, x - 4 0. . 或
x1 2; x2 4. 2.4x2x 1 32x 1 0,
开启
智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式 法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直 接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了. 即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
9.x 12x 27 0; 2 2 10.2( x 3) x 9 .
2
8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9. 1 3 10.x1 ; x2 .
4 4
开启
智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
独立 作业
知识的升华
1、P62习题2.7 1,2题;
祝你成功！
独立 作业
1.4 x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2 x;
3.(2 x 3)2 4(2 x 3);
解下列方程
1 7 1.x1 ; x2 . 42 5 2.x1 ; x2 1. 3 3 1 3.x1 ; x2 . 2 2 4.x1 3; x2 9.
那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的 : 解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
我思
我进步
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分 解因式法.
九年级数学(上)第二章 一元二次方程
4.分解因式法(1) 一元二次方程解法
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
助手:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
参考答案：
4.2( x 3)2 x 2 9;
5.5( x x) 3( x x); 2 2 6.(x 2) 2x 3 ; 7.(x 2)x 3 12; 8.x 2 5 2 x 8 0.
2 2
5.x1 0; x2 4. 1 6.x1 5; x2 . 3 7.x1 1, x2 6. 8.x1 4 2; x2 2.
解方程 : x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6);
解方程 : x 2 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1); 3 3 而4 x 2 12 x 9 4( x 3 )( x 3 2 解方程 : 4 x 12 x 9 0得x1 , x2 ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程 : 3x 7 x 4 0得x1 , x2 1; 而3x 7 x 4 3( x )( x 1) 3 3 看出了点什么?有没有规律 ?
x1 2; x2 1.
学习是件很愉快的事
淘金者
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0;
解：1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
下课了!
•
结束寄语
•
配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来 掌握.而某些方程可以用分解因式 法简便快捷地求解,. 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
1.x 2 7; 2.3 y 2 y 14. 解 : 1. 一元二次方程 解 : 2. 一元二次方程
x2 7 0 的两个根是x1 7 , x2 7 .
3 y 2 y 14 0 7 的两个根是y1 2, y2 . 3 7 2 3 y y 14 3( y 2)( y ). 3
把下列各式分解因式 :
x 2 7 ( x 7 )( x 7 ).
小结
拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式 的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式 解一元二次方程的方法称为分解因式法.
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是 熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于 零,那么至少有一个因式等于零.”
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小颖是这样解的 :
解 : x 2 3x 0.
3 9 x . 2
小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去x, 得. x 3.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例题欣赏
☞
分解因式法
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
解 : 1.5 x 2 4 x 0, 分解因式法解一元二次方程的步骤是: x5x 4 0. 1.化方程为一般形式; x 0, 或5x 4 0. 2. 将方程左边因式分解; 4 x1 0; x2 . 3. 根据“至少有一个因式为 5 零”,转化为两个一元一次方程. 2.x 2 xx 2 0, 4. 分别解两个一元一次 x 21 x 0. 方程，它们的根就是原方 程的根. x 2 0, 或1 x 0.
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
这个数是3.
小明做得对吗?
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小亮是这样想的 : 0 3 0,15 0 0, 0 0 0. 反过来, 如果a b 0, 那么a 0或b 0 或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于0,
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
,用分解因式法解下列方程
4. (4x 2) x(2x 1) 5.3x( x 2) 5( x 2); ; 2 6.(3x 1) 5 0; 2 7.2( x 3) xx 3; 2 8.(x 1) 3x 1 2 0;
2
1 4 4.x1 ; x2 . 2 5 7 5.x1 2; x2 . 4 3 6.x1 2; x2 . 3 7.x1 3, x2 6.
x 2 6 x 9 ( x 3) 2 ; x 2 5x 6 ( x 2)( x 3);
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4 x 2 12 x 9 ? .
3x 2 7 x 4 ?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
1.解下列方程:
2x 14x 3 0,
2 x 1 0, 或4 x 3 0. 1 3 x1 , x2 . 2 4