有限元分析方法
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种数值分析方法，用于解决物理问题的近似解。
它基于将有限元区域（即解释对象）分解成许多简单的几何形状（有限元）并对其进行数值计算的原理。
本文将深入探讨有限元分析的原理、应用和优点。
有限元分析的原理基于弹性力学理论和数值计算方法。
它通过将解释对象分解为有限个简单的几何区域（有限元）和节点，通过节点之间的连接来建立模型。
这些节点周围的解释对象区域称为“单元”，并且通过使用单元的形状函数近似解释对象的形状。
每个单元都有一个与之相连的节点，通过对每个单元的受力进行计算，可以得到整个解释对象的受力分布。
然后，利用一系列运算和迭代，可以计算出解释对象的位移、应力和变形等相关参数。
有限元分析的应用范围广泛，从结构力学、热传导、电磁场分析到流体力学等各个领域。
在结构力学中，它被用于分析各种结构的静力学、动力学和疲劳等性能。
在热传导领域，它可以用于研究物体内部的温度分布和传热性能。
在电磁场分析中，它可用于计算复杂电磁场下的电场、磁场和电磁场耦合问题。
在流体力学中，有限元方法可以解决各种流体流动、热传递和质量转移问题。
有限元分析的优点之一是可以处理各种复杂边界条件和非线性材料特性。
它可以考虑到不同材料的非线性本质，例如弹塑性和接触等问题。
另外，有限元方法还可以适应任意形状和尺寸的几何模型，因此非常适用于复杂工程问题的建模与分析。
有限元分析的使用需要一定的专业知识和经验。
首先，需要将解释对象抽象成几何模型，并进行细分和离散化。
其次，需要选择适当的几何元素和材料模型，以及合适的边界条件和加载方式。
然后，需要定义求解器和数值方法，并使用计算机程序对模型进行计算。
最后，需要对结果进行后处理和验证，以确保其准确性和可靠性。
总的来说，有限元分析是一种强大的工程分析工具，在解决各种物理问题方面有广泛的应用。
它通过将复杂的问题简化为简单的有限元模型，通过数值计算的方法获得近似解。
有限元分析方法
有限元法的基本概念
• 物体离散化(核心思想)
将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算 模型，离散后单元与单元之间利用单元的节点相 互连接起来，用有限元分析计算的结果只是近似 的，划分单元的数目越多而又合理，则所得结果
与实际情况越接近。 ANSYS中的单元举例
有限元法的基本概念
• 单元特性分析
1.选择位移模式 在有限元中，选择节点位移作为基本未知量时
中的关键一步。利用弹性力学中的几何方程和物 理方程建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
有限元法的基本概念
• 单元特性分析
3.计算等效节点力 对于实际的连续体，力是从单元的公共边界传
递到另一单元中去；物体离散化后，假定力是通 过单元节点从一个单元传递到另一个单元，因而 这种作用在单元边界上的表面力、体积力或集中 力都需要等效的移到节点上去。
有限元法的软件简介
3. ANSYS
ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一 体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分 析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能与多数CAD软件 接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I－DEAS, AutoCAD等， 是现代产品设计 中的高级CAE工具之一。ANSYS有限元软件包是一个多用 途的有限元法计算机设计程序，可以用来求解结构、流体 、电力、电磁场及碰撞等问题。因此它可应用于以下工业 领域： 航空航天、汽车工业、生物医学、桥梁、建筑、 电子产品、重型机械、微机电系统、运动器械等。
有限元法的软件求解步骤
• ANSYS有限元软件模块及功能
• 2分存进分。.求析盘入析解前点结，分选模处击果退析项块理快。出求、AS阶捷解载PONreL段工模荷SUp12345678YrT完 具块数........oS结结结动热电流声IOc成区。据软eN构构构力分磁体场s建的在和件s静动非学析场动分o模S该载提r，力力线分分力析A以阶荷V供点分学性析析学E后段步的_击析分分分D，，选分B实析析析将用用项析用前户户，类菜处可可然型单理以以后如项模在定 开下中块求义始：的生解分有S成o阶析限lu的段类元ti模o获型求n型，得、解 9.压电分析
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析方法是一种在数字计算机上定量分析变形、弹性以及现代结构的受力情况的方法。
有限元分析方法的发展日趋完善，是加强建筑物结构抗震能力的有力工具。
一、有限元分析方法的概念有限元分析方法是一种基于有限元分析原理的数学方法，它是一种用于计算低维受力系统的通用数值方法，尤其是用于非线性力学系统的数值分析方法。
在有限元数值分析中，计算对象由许多有限个结构物构成，这些结构物称为有限元。
每个有限元都有一定的体积和形状，如线元、面元和体元。
有限元分析的基本思想就是将复杂的物理结构模型分解为若干较小的有限元模型，再将这些小的有限元模型组合成一个完整的物理模型，并对其进行连续性研究，从而精确地确定受力构件的变形、位移、应力、变形能量等物理参数。
二、有限元分析方法在工程中的应用有限元分析方法可以用于结构分析、计算机辅助设计和工程校核。
有限元分析方法可以用于预测结构的受力情况、拓扑设计和优化，这对于重要的结构失效的防护和抗震性能的提高有重要意义。
在计算机辅助设计领域，有限元分析方法可以用于几何形状优化，减轻材料重量并提高刚度，这是一种非常有效的技术。
在建筑工程中，有限元分析方法可以用于计算建筑物的受力情况，确定其最大荷载量，为建筑物的改造和重建提供参考。
三、有限元分析方法的发展趋势随着计算机技术的发展，有限元分析方法的发展也在不断推进。
近年来，以网格化数值计算为基础的有限元分析方法已经取得了巨大的进展，如实施大型网格化分析、更加准确和可靠的模型细分、更准确的网格分解技术、更有效的数值求解技术等。
这些技术将使有限元分析技术更容易、更有效地应用于计算机辅助设计、工程校核和抗震分析等领域。
总之，有限元分析方法是一种重要的力学分析方法，它在结构分析、计算机辅助设计以及建筑物抗震性能的研究中都起着重要作用。
随着计算机技术的发展，有限元分析方法的发展也在不断发展，为实现地震安全建筑的建设做出贡献。
有限元分析法
2个移动自由度 1个转动自由度
3个移动自由度 （平面杆单元2个） 3个移动自由度（平面梁2个） 3个转动自由度（平面梁1个） 3个移动自由度（平面2个） 3个转动自由度（平面1个）
梁结构
弹簧结构
网格划分方法
. . .. . ..
线性
体(三维实体)
. . . . . ... .. .. . ..
二次
低阶单 元
更高阶单元
线单元
• 线单元: 用于螺栓(杆)，弹簧，桁架或细长构件
面单元
• 壳单元: –Shell (壳)单元 每块面板的主尺寸不低于其厚度的10倍。
面单元
-平面应力 分析是用来分析诸如承受面内载荷的平 板、承受压力或远离中心载荷的薄圆盘等结构。
details ignored
Geometric model for FEA
单元类型选择
Element type：
3节点三角形平面应力单元
单元特性定义
Element properties：
材料特性：E, µ 单元厚度：t
网格划分
模型检查 • • • • 低质量单元 畸形单元 重合节点 重合单元
2 nodes
. .
A
. .
..
B
1 node
. .
. .
A
. .
B
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
. .
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
第2节 有限元建模方法
Finite element model
Input data
材料力学中的有限元方法分析
材料力学中的有限元方法分析材料力学是研究物质初始状态至最终破坏状态之间的力学行为及其规律的科学。
有限元分析是一种数值计算方法，可以求解各种工程问题的数学模型。
有限元方法在材料力学研究中有着重要的应用，本文将从有限元方法的基本原理、材料力学中的有限元分析、有限元模拟在材料力学中的应用等方面进行分析。
一、有限元方法的基本原理有限元方法是一种通过建立复杂结构的有限元模型，将一个复杂的连续问题转化为离散问题来求解的方法。
其基本思想是将一个连续物体分割成很多小的单元，使用一些简单的解析方法求解每个小单元内的力学问题，然后将所有小单元的解组合在一起来求解整体力学问题。
有限元方法求解的过程分为以下基本步骤：1.建立有限元模型2.离散化3.施加约束4.建立刚度矩阵和荷载向量5.求解未知量二、材料力学中的有限元分析材料力学中的有限元分析是指通过有限元方法对材料力学问题进行分析、计算和评估的方法。
材料力学问题中的目标是通过施加荷载或外界力，来得到物体内部的应力和应变状态，以及其随时间和载荷变化的规律。
在建立材料力学有限元模型时，需要考虑以下因素：1.应力集中和应变集中的位置和程度2.物理边界和几何结构3.材料的力学性质和力学参数材料力学中的有限元分析包含以下几个方面：1.静态分析：研究物体在静态等效荷载下的应力状态，计算物体的静态变形。
2.动态分析：研究物体在动态载荷下的应力和应变状态，计算物体的动力响应。
3.疲劳分析：研究物体在周期性载荷下的损伤状态、损伤机理和寿命预估。
4.热力耦合分析：研究物体在温度场和应力场的共同作用下的应力和应变状态。
5.多物理场分析：研究物体在电、磁、声、液、气、红外、光、辐射等多个物理场的共同作用下的应力和应变状态。
三、有限元模拟在材料力学中的应用有限元模拟在材料力学中的应用范围非常广泛，包括了以下几个方面：1.材料的结构设计和分析2.材料的性质和参数的测试和评估3.材料的制造和加工工艺的模拟4.材料的破坏和损伤机理的研究5.材料的寿命评估和振动疲劳分析最终，有限元分析的结果可以在材料设计、材料优化和制造流程等方面提供准确的数据支持，帮助人们更好地理解材料的力学行为和性质，促进材料科学的发展。
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析是一种工程数值分析方法，它通过将复杂的结构分割成许多小的有限元素，然后利用数学方法对这些元素进行计算，最终得出整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
有限元分析方法的基本思想是将一个连续的结构分割成有限个小的单元，每个单元都是一个简单的几何形状，比如三角形、四边形等。
然后在每个单元内部建立一个数学模型，利用数学方法对这些单元进行计算，最终将它们组合起来得到整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法的核心是建立数学模型。
在建立数学模型的过程中，需要考虑结构的材料性质、边界条件、加载情况等因素。
通过合理地选择单元类型、网格划分、数学模型等参数，可以得到准确的分析结果。
有限元分析方法的优点之一是可以处理复杂的结构。
由于有限元分析方法将结构分割成小的单元，因此可以处理各种复杂的结构，比如曲面、异形、空腔等。
这使得有限元分析方法在工程设计中有着广泛的应用。
另外，有限元分析方法还可以进行结构优化。
通过改变单元类型、网格划分、边界条件等参数，可以对结构进行优化，使得结构在满足强度、刚度等要求的前提下，尽可能地减小材料消耗，降低成本。
当然，有限元分析方法也有一些局限性。
比如，在处理非线性、大变形、大变位等问题时，需要考虑材料的非线性特性、接触、接触、摩擦等效应，这会增加分析的复杂度。
另外，有限元分析方法的结果也受到网格划分、单元类型等参数的影响，需要谨慎选择这些参数。
总的来说，有限元分析方法是一种强大的工程数值分析方法，它在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
通过合理地建立数学模型、选择合适的参数，可以得到准确的分析结果，为工程设计和科学研究提供有力的支持。
有限元分析方法
k1 k1k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 0 0 u2 0 0k4uu4300 k4 u5 P
写成一般形式，可得：
[R ][K ]U [][F]
即： [反作]用 [总 力 体 矩 ]刚 位 [阵 度 移 ] [负 矩 矩荷 阵 阵 ]
引入边界条件，根据本题要求，节点1
有限元分析方法
第一章 概述
一、有限单元法的基本概念
一变横截面杆，一 端固定，另一端承受负 荷 P，试求杆沿长度方 向任一截面变形大小。 其中杆上边宽度为 w1 下边宽度为 w 2 ，厚度
为 t ，长度为 L，弹性
模量为 E。
① 采用材料力学的研究方法进行精确求解
解：设杆任一横截面面积为 A( y) ，平均应力
来，重新对上述五个方程进行变换，得：
节点1： k1u1k1u2R1
节点2： k 1 u 1 (k 1 k 2 )u 2 k 2 u 3 0
节点3： k 2 u 2 (k 2 k 3 )u 3 k 3 u 4 0 节点4： k 3 u 3 (k 3 k 4 )u 4 k 4 u 5 0
节点5： k4u4k5u5P
的位移为0，即 u1 0 ，则有如下矩阵形 式：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
0
0 0 u1 0
k1 k1 k2 k2
0
0 u2 0
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
0 0
0 k4 k4 u5 P
求解上述矩阵方程，可得每个节点位移，进 而求得每个节点反作用力，每一个单元的平均应 力和应变。即：
有限元分析-(FEA)方法
是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
还利用简单而又相互作用的元素，即
将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定有限个节
物理系统
每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。
作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。
真实的二次曲线
是未知的，但对每一单元可以近似地假设一位移函数，它在结点上等于结点位移。
此处，假设单元中
有了位移插值函数，就可以按材料力学公式求出应变和应力用节点
，则对结点2，3，
首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移模式，得到用
可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和节点位移之间的关系
代入边界条件后，经。
有限元法概述
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
.
刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
.
三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
常用的有限元分析方法
常用的有限元分析方法1、结构静力分析结构静力分析用来分析由于稳态外部载荷引起的系统或部件的位移、应力、应变和力。
静力分析很适合于求解惯性及阻力的时间相关作用对结构响应的影响并不显著的问题。
这种分析类型有很广泛的应用，如确定结构的应力集中程度，或预测结构中由温度引起的应力等。
静力分析包括线性静力分析和非线性静力分析。
如图1、图2所示。
非线性静力分析允许有大变形、蠕变、应力刚化、接触单元、超弹性单元等。
结构非线性可以分为：几何非线性，材料非线性和状态非线性三种类型。
几何非线性指物体在外部载荷作用下所产生的变形与其本身的几何尺寸相比不能忽略时，由物体的变形引起的非线性响应。
材料非线性指物体材料变形时，材料所表现的非线性应力应变关系。
常见的材料非线性有弹塑性、超弹性、粘弹塑性等。
许多因素可以影响材料的非线性应力-应变关系，如加载历史、环境温度、加载的时间总量等。
状态非线性是指结构表现出来的一种与状态相关的非线性行为，如二个变形体之间的接触。
随着接触状态的变化，其刚度矩阵发生显著的变化。
图1 图2汽车车架的线性结构静力分析应用云图发动机连杆小头连接部分的结构静力分析云图2、结构动力分析结构动力分析一般包括结构模态分析、谐响应分析和瞬态动力学分析。
结构模态分析用于确定结构或部件的振动特性（固有频率和振型）。
它也是其它瞬态动力学分析的起点，如谐响应分析、谱分析等。
结构模态分析中常用的模态提取方法有：子空间(Subspace)法、分块的兰索斯(BlockLanczos)法、PowerDynamics法、豪斯霍尔德(ReducedHouseholder)法、Damped法以及Unsysmmetric法等。
谐响应分析用于分析持速的周期载荷在结构系统中产生的持速的周期响应（谐响应），以及确定线性结构承受随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时稳态响应的一种分析方法，这种分析只计算结构的稳态受迫振动，不考虑发生在激励开始时的瞬态振动，谐响应分析是一种线性分析，但也可以分析有预应力的结构。
有限元分析的数值方法
有限元分析的数值方法有限元分析的基本思想是将连续介质分割成有限个小单元（如三角形或四边形），然后在每个单元上建立适当的数学模型，通过求解这些小单元的解，再通过其中一种插值方法将整个连续介质的解估计出来。
具体而言，有限元分析主要包括以下几个步骤：1.网格划分：将待分析的区域划分成有限个小单元，通常使用简单的几何元素如三角形、四边形、六面体等。
划分的网格越细密，分析结果越精确，但计算时间也会相应增加。
2. 建立数学模型：在每个小单元中，选择合适的数学模型来描述所研究的问题。
典型的模型包括结构力学中的线弹性模型、流体力学中的Navier-Stokes方程、热传导中的热传导方程等。
3.建立离散方程：根据数学模型和偏微分方程的性质，在每个小单元上建立离散方程。
通常采用变分法或加权残差法推导出离散方程。
4.求解方程：将离散方程组装成整个连续介质的方程组，并采用数值方法求解。
常用的求解方法包括直接法、迭代法和优化算法等。
5.后处理分析：通过对求解结果进行后处理，可以得到各种感兴趣的参数，如位移、应力、流速、温度等。
后处理方法包括绘图、数据分析等。
有限元分析的数值方法是一种近似求解方法，其精度主要取决于划分的网格密度和数学模型的适应性。
当网格足够细密时，有限元分析方法可以逼近实际问题的解。
而且，有限元分析方法还具有对复杂几何形状和非线性问题的适应性。
在实际应用中，有限元分析已经发展成为解决复杂工程问题的重要工具。
它广泛应用于结构分析、振动分析、流体力学、热传导、电磁场分析等领域。
通过有限元分析，工程师可以更好地理解和优化设计，提高产品的性能和可靠性。
总之，有限元分析是一种重要的数值方法，通过划分网格和建立数学模型，可以近似求解各种工程问题。
通过该方法，可以更好地理解和优化设计，提高产品的性能和可靠性。
随着计算机技术的不断发展，有限元分析在工程领域的应用也会越来越广泛。
有限元分析 (FEA) 方法(PPT 13)
有限元模型
.
A-4
自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
方向
结构 热 电
流体 磁
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
September 30, 1998
.
A-5
节点和单元
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
September 30, 1998
.
A-12
单元形函数(续)
遵循原则:
• 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元 类型所假定的单元形函数。
• 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时 有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。
September 30, 1998
September 30, 1998
.
A-7
节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
A
B
.. .
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
September 30, 1998
.
1 node
...
A
B
...
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
September 30, 1998
.
A-10
单元形函数(续)
DOF值二次分布
.
.
1
节点
单元
二次曲线的线性近 (不理想结果)
真实的二次曲线
.
.
2
有限元分析法概述
第十一章 有限元分析方法概述1、基本概念有限元分析方法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代没计计算方法。
它是20世纪50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。
求解这类场问题的方法主要有两种：用解析法求得精确解；用数值解法求其近似解。
应该指出，能用解析法求出精确解的只是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。
这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。
目前工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。
其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用最为广泛。
下面通过一个具体例子，分别采用解析法和数值解法进行求解，从而体会一下有限元分析方法的含义及其相关的一些基本概念。
如下图所示为一变横截面杆，杆的一端固定，另一端承受负荷P ，试求杆沿长度方向任一截面的变形大小。
其中，杆的上边宽度为1w ，下边宽度为2w ，厚度为t ，长度为L ，杆的材料弹性模量为E 。
已知P ＝4450N ，1w ＝50mm ，2w =25mm ，t =3mm ，L =250mm ，E =72GPa 。
① 采用解析法精确求解假设杆任一横截面面积为)(y A ，其上平均应力为σ，应变为ε。
根据静力平衡条件有：0)(=-y A P σ根据虎克定律有：εσE =而任一横截面面积为：t y L w w w y A )()(121-+= 任一横截面产生的应变为：dydu=ε将上述方程代入静力平衡条件，进行变换后有：dy y EA Pdu )(=沿杆的长度方向对上式两边进行积分，可得：⎰⎰⎰-+==y yudy y Lw w w Et P dy y EA P du 01210)()(将)(y A 表达式代入上式，并对两边进行积分，得杆沿长度方向任一横截面的变形量：]ln )[ln()()(112112w y Lw w w w w Et PL y u --+-=当y 分别取0、62.5、125、187.5、250值时，变截面杆相应横截面处的沿杆长方向的变形量分别为：m u m u m u m u m u 6564636211080.142 ;1083.96 ;1027.59 ;1051.27 ;0----⨯=⨯=⨯=⨯==② 采用数值解法近似求解将变横截面杆沿长度方向分成独立的4小段，每一小段采用等截面直杆近似，等截面直杆的横截面面积为相应的变截面杆横截面面积的平均面积表示，每一小段称为一个单元，小段之间通过节点连接起来。
第一节有限元分析概述
第一节有限元分析概述有限元分析是一种数值计算方法，用于求解连续物体的力学问题。
它是将连续体划分成有限个小元素，利用元素间的相互关系来近似描述物体的行为。
有限元分析可以用于求解各种力学问题，如固体力学、流体力学、热传导等。
有限元分析的基本步骤包括建立模型、离散化、求解和分析结果。
首先，需要根据实际问题建立一个几何形状和边界条件的模型。
然后，将模型离散化为有限个小元素，每个元素具有一些简单的形状和几何特征。
接下来，需要确定每个元素内部的应力和变形的形式，这通常与所采用的数学模型有关。
然后，根据力学原理和边界条件，可以通过数值方法求解每个元素的应力和变形。
最后，可以对求解结果进行后处理，分析模型的响应，并检查结果的合理性。
有限元分析的优点之一是可以处理复杂的几何形状。
因为问题的几何形状是通过离散化成有限个小元素来描述的，所以可以处理各种形状的物体，包括曲线、曲面和体积。
同时，有限元分析还可以考虑非线性和不均匀性。
对于具有非线性特性的材料或结构，可以通过数值方法来求解其行为。
此外，有限元分析还可以处理多物理场的耦合问题，如流固耦合、热力耦合等。
然而，有限元分析也有一些局限性。
首先，离散化过程中需要选择合适的元素类型和大小。
选择不当的元素可能导致结果的不准确性。
其次，有限元分析需要耗费大量的计算资源。
由于模型通常包含大量的节点和单元，需要进行大规模的计算，对计算机的存储和计算能力有一定的要求。
最后，有限元分析的结果需要进行验证和验证。
由于模型的简化和假设，有限元分析的结果可能与实际情况存在一定的差异，需要通过实验数据进行验证和验证。
总的来说，有限元分析是一种有效的数值计算方法，用于求解连续体的力学问题。
它可以处理复杂的几何形状、非线性和不均匀材料，以及多物理场的耦合问题。
然而，它也有一定的局限性，需要合适的离散化、大量的计算资源和验证结果的步骤。
在实际应用中，需要根据具体问题的性质和要求，选择适当的数值方法和参数，以获得准确可靠的结果。
有限元分析FEA
有限元分析FEA有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域，用于估算结构在特定工况下的力学性能。
FEA 将复杂的实际结构抽象为有限数量的简单几何形状，然后通过对这些几何形状进行分割，建立一个离散的节点网格，进而利用数学方法对节点网格上的几何、力学和材料性能进行模拟和计算，通过求解节点间的方程组，得到结构的应力、应变、位移等结果。
1.建立几何模型：通过计算机辅助设计软件建立结构的几何模型。
模型可以是二维或三维的，包括各种几何形状，如线段、矩形、圆形等，并包含结构的尺寸和几何特征。
2.网格划分：将几何模型划分为离散的节点网格，并在节点上分配适当的节点元素。
节点元素可以是线元素、平面元素或体元素，将结构的连续性转化为离散点之间的连接关系。
3.建立力学模型：根据所要研究的问题和加载条件，确定边界条件、加载情况和材料性能等。
边界条件包括约束和加载，在节点和元素上分配适当的约束和加载。
4.建立单元刚度矩阵：根据单元的几何形状和材料特性，建立单元的刚度矩阵。
刚度矩阵包含单元的弹性刚度、几何刚度和材料刚度。
5.组装刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵根据节点的连接关系进行组装，得到总体的刚度矩阵。
组装的过程包括将单元刚度矩阵映射到全局坐标系、考虑边界条件和加载等。
6.求解方程组：建立节点的位移和约束条件之间的关系，得到结构的位移、应力和应变等结果。
可以通过直接解方程组或迭代求解的方法得到最终结果。
7.后处理：根据具体问题的要求，对结果进行分析和解释。
可以绘制位移云图、应力云图、应变云图等，进行结构的评估和优化。
FEA有以下几个主要特点和优势：1.可适用于各种工程领域：FEA可以用于解决结构和材料的强度、稳定性、疲劳、振动、热传导、电磁等多种问题，广泛应用于航空航天、汽车、能源、建筑和机械制造等领域。
2.具有高精度：通过适当的剖分和合理的力学模型，能够在相对较短的时间内提供较准确的结果，并对结构进行合理和有效的评估。
有限元分析原理与步骤
有限元分析原理与步骤
有限元分析是一种数值计算方法，用于解决工程结构的力学问题。
它将任意复杂的结构分割成为若干个简单的子结构，通过数学模型和计算机软件进行力学分析。
有限元分析的步骤如下：
1. 建立几何模型：根据实际结构的几何形状，使用CAD软件
或者手工绘图等方式建立三维或二维模型。
2. 网格划分：将结构模型划分成若干个小单元，如三角形、四边形或六边形等，这些小单元构成了有限元网格。
3. 选择适当的元素类型：根据结构的特性选择合适的元素类型，如杆件元、梁单元、板单元等。
4. 建立整体刚度矩阵：根据每个小单元的几何形状和材料性质，计算每个小单元的刚度矩阵，将其组装成整个结构的刚度矩阵。
5. 施加边界条件：确定结构的边界条件，如固定支座、约束等。
6. 施加荷载：施加力、压力、温度等荷载条件。
7. 求解方程：通过求解结构的刚度方程，得到结构的位移、应力、应变等结果。
8. 后处理结果：根据求解得到的结果，进行结果的可视化及分
析。
通过以上步骤，有限元分析可以提供结构的力学性能分析，如应力、应变、变形等，为工程设计和优化提供参考依据。
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v i 0 0 0 1 xi v j 0 0 0 1 x j vm 0 0 0 1 xm
a1 a2 a3 yi a 4 y j a5 yj a6
假定
位移在此处易弹性变形：
u a1 a2 x
u f ( x)
（1）
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有限元分析方法
在结点1、2上，式（1）应分别有结点位移
u1 a1 a2 0
u2 a1 a2l
式中：l —— 单元长度 由式（2）解得：
（2）
a1 u1
a2 u 2 u1 l
飞机、船体等复杂结构进行应力、变形分析）
平衡问题 → 稳定问题与动力问题（对结构在地震力与波浪力作
用下的动力反应进行分析） 弹性问题 → 弹塑性与粘弹性问题，疲劳与脆性断裂问题 固体力学 → 流体力学、热传导与热应力问题（如焊接残余应力、 原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分 析），以及建筑声学与噪音问题。 工程力学 → 力学的其它领域（如冰川与地质力学、血管与眼球 力学等）
0 a1 a 0 2 0 a3 yi a 4 y j a5 yj a6
（15）
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有限元分析方法
式（14）~（15）：
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j u m a1 a2 xm a3 ym
（8）
表示为矩 阵形式：
f1 EA 1 1 u1 f l 1 1 u 2 2
（9）
f
单元刚度：
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e
K
e
式中： K
e
（10）
EA K l
e
k k
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ui 1 x i u 1 x j j u m 1 xm yi a1 a yj 2 ym a3
vi a4 a5 xi a6 yi v j a4 a5 x j a6 y j vm a4 a5 xm a6 ym
由式（15）解得 a1 ~ a6，再代入式（14），得到：
u N i ui N j u j N m u m v N i ui N j u j N m u m
（17）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中 Ni，Nj，Nm ——是（x,y）和单元三结点坐标的函数。
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有限元分析方法
有限元分析方法
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有限元分析方法
一、绪论
问题的提出
均态连续变化的、复杂几何形状等问题难以用传统解析法、实验法解决
有限元法——数值解法
研究对象 离散 多个单元体 分析 代数方程组 求解
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有限元分析方法
（1）有限元法特点
整体
离散
单元
综合
整体
多至成千上万
（2）有限元法应用的发展
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（16）
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有限元分析方法
ui 1 xi u 1 x j j um 1 xm
yi yj yj
0 0 0 a1 a 0 0 0 2 0 0 0 a3 a4 a5 a6
• • • 先将弹性连续体离散化，变为有限个三角形 单元在角点铰接的组合体； 分析每一个三角形单元受力与变形的关系， 列方程； 将各单元再进行组装，将全部关系式综合为 代数方程组。
现代有限元法的条件：计算机应用
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有限元分析方法
（3）有限元法应用的范围
弹性力学平面问题 → 空间问题和板壳问题（对拱坝、涡轮叶片、
x bi 1 y 2A 0 xy ci ui u 0 j um cm vi bm v j vm
F K
构件整体刚度矩阵：
k1 k1 K k2 k k 1 1 k2 0
0 k2 k2
（13）
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有限元分析方法
刚度叠加原理： 构件中若干单元间公共结点的刚度等于该结点在各相关独立单元中相应刚 度项之和。
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有限元分析方法
（4）近来研究较多的问题
新型单元的研究 有限元法的数学基础：变分法（把有限元法归结为求泛函的极值问题）、加
权余数法（直接从基本微分方程出发） 向新领域的扩展：专门化问题 通用程序编制，设计自动化的研究
（5）本课主要讲授内容
有限元位移法——取结点位移作为基本未知量 一维（杆件）有限元数学模型 二维（平面）有限元数学模型 刚度矩阵及线性方程组解法 有限元建模：单元网格划分、边界条件、载荷的简化 有限元计算程序
（14）
ui 1 xi u 1 x j j um 1 xm v i 0 0 v j 0 0 vm 0 0
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yi yj yj 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 xi
1 xj 1 xm
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（1）单元位移插值函数
设单元内一点的位移（ u, v）与其坐标值（x, y）成线性关系
u a1 a2 x a3 y v a4 a5 x a6 y
式中a1~a6为为待定系数 将点 i, j, m的坐标值和位移值分别代入上式，有：
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有限元分析方法
•多单元杆件：
根据式（9）有： 单元1有：
f11 k1 k1 u1 f k 12 1 k1 u2
f 22 k 2 f k 23 2 f 32 k3 f 33 k3 k 2 u 2 k2 u3 k 3 u3 k3 u 2
观察式（11）：
力F1只对单元1有作用，所以其相对结点位移u1、u2的刚度不变。 力F3只对单元3有作用，所以其相对结点位移u2、u3的刚度不变。 力F2作用在单元1、2的公共结点上，其大小要使两单元都在该点上产生位 移，所以其相对u2的刚度值等于原两独立单元的相应刚度之和。 观察式（13）： 构件整体刚度矩阵等于各单元刚度矩阵的组装。
（5）
（3）单元应力与结点位移的关系
E x E x (u2 u1 ) l
杆单元的轴向力为：
（6）
E——弹性模量
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EA F xA (u2 u1 ) l
（7）
A——横截面积
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有限元分析方法
（4）单元结点力与结点位移的关系——单元刚度矩阵
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三、二维弹性平面问题的有限元分析
二维弹性平面问题——构件呈平板状，且厚度很小，另外所受外力均作 用在其平面内。 以三结点三角形为例（其它有矩形单元、六结点三角形等）
已知单元三结点坐标为 [ xi yi xj yj xm ym ]
单元三结点位移为 {δ}e = [ui vi uj vj um vm] T
（3）
（3）代入（1）得单元位移插值函数：
u2 u1 u u1 x l
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（4）
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有限元分析方法
（2）单元应变与结点位移的关系
应变——单元长度的伸长 将（4）式对x求导得应变:
du u 2 u1 x dx l
应力：产生单位应变所需的力。 根据虎克定律：
古代：圆周率的近似算法 近代：力学中的刚架位移法
要点：
刚架
拆
杆件
组合
刚架
将复杂刚架的计算问题转化为简单杆件的 分析与综合问题
现代有限元法： 上述思路
推广应用
弹性力学平面问题
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有限元分析方法
弹性力学：
外力 作用 物体 变形 产生 应力
外力去除 全部或部分恢复
分析过程：
f11 k1 (u1 u2 )
F2 f12 f 22
3
矩阵形 F1 式
结点3： F 即：
f 23 k2 (u3 u2 )
k1 k F 2 1 F3 0
（12）
k1 k1 k 2 k2
0 u1 u (11） k2 2 k2 u3
在式（7）中，F表示杆件的轴力（内力），规定其正负号为：拉力为正，压力为负。
图示结点力f1、f2表示结点1、2对单元的作用力，其符号为：与坐标轴x方向相同为正， 相反时为负。
f1 F
则有：
EA EA (u2 u1) (u1 u2 ) l l
EA f2 F (u 2 u1 ) l
vi 1 x i v 1 x j j vm 1 xm yi a 4 a yj 5 ym a6
ui , j ,m a1 a2 xi , j ,m a3 yi , j ,m v i , j ,m a4 a5 xi , j ,m a6 yi , j ,m