数值分析填空练习

1 绪论

(1). 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取___4____位有效数字。

20＝0.4…⨯10, a 1=4, εr ≤

1

21

a ⨯10-(n-1)< 0.1% ，故可取n ≥4, 即4位有效数字。 (2). 要使20的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取___4___位有效数字,此时的绝对

误差限为

31

102

-´ (3). 设y =f (x 1,x 2) 若x 1,x 2,的近似值分别为x 1*, x 2*,令y *=f (x 1*,x 2*)作为y 的近似值,其绝

对误差限的估计式为: ε ≤| |f (x 1*,x 2*)|x 1-x*1|+ |f (x 1*,x 2*)|x 2-x*2| (4). 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：

__C_____. (A)

6

121)(-, (B) (3-22)2, (C)

3

2231)(+, (D) 99-702

(5). 要使17的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取_________位有效数字？

17＝0.4…⨯10, a 1=4, εr ≤

1

21

a ⨯10-(n-1)< 0.1% 故可取n ≥3.097, 即4位有效数字。 (6). 设x =3.214, y =3.213，欲计算u =

y x -, 请给出一个精度较高的算式u =.

u=

y

x y x +-

(7). 设x =3.214, y =3.213，欲计算u =

y x -, 请给出一个精度较高的算式u = .

u=

y

x y x +-

(8). 设y =f (x 1,x 2) 若x 1,x 2,的近似值分别为x 1*, x 2*,令y *=f (x 1*,x 2*)作为y 的近似值,其绝对误

差限的估计式为: ε ≤| |f (x 1*,x 2*)|x 1-x*1|+ |f (x 1*,x 2*)|x 2-x*2|；

2 方程根

(9). 设迭代函数ϕ(x )在x *邻近有r （≥1）阶连续导数，且x * = ϕ(x *)，并且有ϕ(k )(x *)=0

(k =1,…,r -1)，但ϕ(r ) (x *)≠0，则x n +1=ϕ(x n )产生的序列{ x n }的收敛阶数为___r___

(10). 称序列{x n }是p 阶收敛的如果c x x x x p

n n n =--+∞

→*

*lim

1

(11). 用牛顿法求 f (x)=0 的n 重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数u(x)=0

的单根，u(x)=

()

()

f x f x '

(12). 用N e w t o n 法求方程f (x )=x 3+10x -20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= ________ 解

x 1=1.5970149 (13). 用牛顿法解方程012

3

=--x x 的迭代格式为_______________ 解 k

k k k k k x x x x x x 231

2

231

----=+ (14). 迭代过程)(1k k x x ϕ=+收敛的充分条件是)(x ϕ' ≤ 1.___

(15). 用Newton 法求方程f(x)=x 3

+10x-20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= 1.5970149 (16). 用牛顿法解方程012

3

=--x x 的迭代格式为

(17). 用N e w t o n 法求方程f (x )=x 3+10x -20=0 的根，取初值x 0= 1.5, 则x 1= ________ 解

x 1=1.5970149

(18). 迭代公式x k +1=x k (x k 2+3a )/(3x k 2+a )是求a 1/2的 (12) 阶方法

3方程组

(19). 矩阵的 LU 分解中L 是一个 _为单位下三角阵，而U 是一个上三角阵____。

(20). 设线性方程组的系数矩阵为A =⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛-68

4715313148

3412,全主元消元法的第一次可选的主元素为 -8，或8___，第二次可选的主元素为 8+7/8或-8-7/8 ____. 列主元消

元法的第一次主元素为 _－8_________；第二次主元素为(用小数表示) 7.5_____;

(21). 在方阵A 的LU 分解中, 方阵A 的所有顺序主子不为零,是方阵A 能进行LU 分解的

充 分 (充分,必要)条件；严格行对角占优阵 能__(能,不能)进行LU 分解；非奇异矩阵___不一定___(一定，不一定)能进行LU 分解。

(22). 设A 是正定矩阵，则A 的cholesky 的分解 唯一 (唯一,不唯一).

(23). 设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2021012a a A ，为使A 可分解为A=LL T ，其中L 是对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围是 ，取a=1，则L= 。

(24). 解 )3,3(-∈a ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡

323

20

02321002

4迭代 (1). ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣⎡-=3211A ，则=1||||A ，=2||||A ，=∞||||A ； 答：4，3.6180340，5；

(2). 已知方程组⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121132.021

b b x x ，则解此方程组的Jacobi 迭代法___是___收敛

（填“是”或“不”）。

(3). 给定方程组 ⎥⎥

⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111 211111112321x x x 记此方程组的Jacobi 迭代矩阵为

B J =(a ij )3⨯3，则a 23= -1； , 且 相应的Jacobi 迭代序列是__发散_____的。 (4). 设()3

()1f x x =-，则()f x 关于[0,1]C 的

f

¥

= 1

, 2

f

=

(5). ⎥

⎦

⎤⎢

⎣⎡-=1301A ，则)1,)1(|(|1)(,4||||2,12

1=-=-==λλλρA I A A (6). R n 上的两个范数||x||p , ||x||q 等价指的是_∃C,D ∈R,_C_||x||q _≤||x||p ≤D ||x||q _； R n 上的

两个范数_一定____是等价的。（选填“一定”或“不一定”）。 (7). T

x )12,4,0,3(-=，则=1||||x 19 ,=2||||x 13____，=∞||||x ____12 ；

(8). 已知方程组⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121132.021b b x x ，

则解此方程组的Jacobi 迭代法___收敛（填“收敛”或“发散”），

(9). T

X )4,3,2(-=则=1||||X ，=2||||X ，=∞||||X