完全平方式性质的最值问题 初中数学培优专题汇编

专题19 完全平方式性质最值问题

阅读与思考

在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：

1、 通过枚举选取.

2、 利用完全平方式性质.

3、 运用不等式（组）逼近求解.

4、 借用几何中的不等量性质、定理等.

解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.

例题与求解

【例1】 若c 为正整数，且a b c +=，b c d +=，d a b +=，则（a b +）（b c +）（c d +）（d a +）的最小值是 .

（北京市竞赛试题）

解题思路：条件中关于C 的信息量最多，应突出C 的作用，把a ，b ，d 及待求式用c 的代数式表示. 【例2】 已知实数a ，b 满足2

2

1a b +=，则4

4

a a

b b ++的最小值是（ ） A. 18- B.0 C.1 D.

98

( 全国初中数学竞赛试题) 解题思路：对4

4

a a

b b ++进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.

【例3】 如果正整数12345,,,,x x x x x 满足12345x x x x x ++++=12345x x x x x ，求5x 的最大值. 解

题

思

路

：

不

妨

设

12345

x x x x x ≤≤≤≤，由题中条件可知

23451345124512351234

11111

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=1.结合题意进行分析.

【例4】 已知,,x y z 都为非负数，满足1x y z +-=，234x y z ++=，记32w x y z =++，求w 的最大值与最小值.

（四川省竞赛试题） 解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示w .

【例5】 某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m 升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n 元，求完成此项任务最低的耗油费用.

（湖北省竞赛试题） 解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.

【例6】 直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边长为13，P 是三角形内或边界上的一点，P 到三边的距离分别为1d ，2d ，3d ，求1d +2d +3d 的最大值和最小值，并求当1d +2d +3d 取最大值和最小值时，P 点的位置.

（“创新杯”邀请赛试题） 解题思路：连接P 点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.

能力训练

A 级

1.社a ，b ，c 满足222

9a b c ++=，那么代数式2

2

2

()()()a b b c c a -+-+-的最大值是 .

（全国初中数学联赛试题） 2.在满足23,0,0x y x y +≤≥≥的条件下，2x y +能达到的最大值是 .

（“希望杯”邀请赛试题）

3.已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＞B ＞C.用α表示A-B ，B-C ，以及90-A 中的最小值，则α的最大值是 .

（全国初中数学联赛试题） 4.已知有理数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，.那么

c

a

的取值范围是 . （数学夏令营竞赛试题） 5.在式子1234x x x x +++++++中，代入不同的x 值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（ ）.

A.1

B.2

C.3

D.4

6.若a ，b ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足b c d +=，d c a +=，b a c +=，那么a b c d +++的最大值是（ ）.

A.-1

B.-5

C.0

D.1

(全国初中数学联赛试题) 7.已知,x y a -=10,z y -=则代数式2

2

2

x y z xy yz xz ++---的最小值是（ ）.

A.75

B.80

C.100

D.105

(江苏省竞赛试题)

8.已知x ，y ，z 均为非负数，且满足x y z ++=30， 350x y z +-=，又设542M x y Z =++，则M 的最小值与最大值分别为（ ）.

A.110，120

B.120，130

C.130，140

D.140，150

9.已知非负实数x ，y ，z 满足

123

234

x y z ---==，记345w x y z =++.求w 的最大值和最小值 （“希望杯”邀请赛试题）

10.某童装厂现有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L ，M 两种型号的童装共50套，已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M 型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生产的这批童装，当L 型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？

（江西省无锡市中考试题）

专题19 最值问题

例1 24 提示：,2,3a c b c d c =-==，原式324c ．

例2 B 提示：()2

4

4

2

2

2

2

2

2

19212248a ab b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+⎛⎫ ⎪⎝

⎭． 因为22

21ab a b ≤+=，所以112

2

ab -

≤≤

，从而3114

4

4

ab -

≤-

≤

，故2

190416

ab ≤-≤

⎛⎫ ⎪⎝

⎭

因此2

19902488ab ≤--+≤⎛⎫ ⎪⎝

⎭，即44908a ab b ≤++≤．

例3 设12345x x x x x ≤≤≤≤，则

2345

1345

1245

1235

1234

45

45

45

5

4

45

45

131

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =

+++

+

+

+

≤

+

+

+

+

于是得到

454

53x x x x ≤--．即()()45141x x -≤-．

若41x =，则12341x x x x ====，与题设等式为554x x +=矛盾；若41x >，则514x -≤，即55x ≤，当55

x =时，容易找到满足条件的数组(1，1，1，2，5)，所以5x 的最大值是5． 例4 由1234

x y z x y z +-=++=⎧⎨

⎩，得5234x z y z

=-=-⎧⎨

⎩，由520340

x z y z =-≥=-≥⎧⎨

⎩得

235

4

z ≤≤

，则

()()323522348x y z z z z z ω=++=-+-+=，当25

z =

时，ω有最小值

165

；当34

z =

时，ω有最大值6．

例5 提示：显然运送次数越少，所行驶的路程越短，所需邮费越少，因此，18根电线杆运送5次行驶路程较短，这5次有两种运送方法：（1）四次个4根，一次2根；（2）三次各4根，二次各3根． （1）考虑先送2根，后送4根；先送4根，后送2根．

①先送2根，再送4根，二次共走行驶：

()()