【独家内部】2020届高考全国名校考前提分仿真卷(共十套)理科数学(七)试卷(有答案)

2020年高考全国名校考前提分仿真卷（共十套）
理科数学（七）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2
{|20}M x x x =-<，{2,1,0,1,2}N =--，则M N =I （ ）
A ．∅
B ．{1}
C ．{0,1}
D ．{1,0,1}-
2．设(2i)(3i)3(5)i x y +-=++(i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则|i |x y +等于（ ） A ．5
B
C
．D ．2
3．某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，
其中自习时间的范围是[17.5,30]=，样本数据分组为[17.5,20]，[20,22.5]，[22.5,25]，[25,27.5]，[27.5,30]，根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（ ）
A ．68
B ．72
C ．76
D ．80
4．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A ．3600种
B ．1440种
C ．4820种
D ．4800种
5．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是CD ，BC 的中点，那么EF =u u u r
（ ）
A ．1122A
B AD +u u u
r u u u r
B ．1122AB AD --u u u r u u u r
C ．1122AB A
D -+u u u
r u u u r D ．1122
AB AD -u u u r u u u r
6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） A
B ．2
C
D ．3
7．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线为2y x =，且一个焦点与抛物线24y x =的焦
点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A ．2
25514
x y -= B ．22
5514
y x -= C ．2
25514
x y -=
D ．
2
25514
y x -= 8
．函数2cos 2y x x =
-的图象向右平移π(0)2
ϕϕ<<个单位后，得到函数()y g x =的
图象，若()y g x =为偶函数，则ϕ的值为（ ）
A ．
π6
B ．
π4
C ．
π3
D ．
5π12
9．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ∥的一个充分条件是（ ） A ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥ B ．存在一条直线a ，a α∥，a β∥ C ．存在一条直线a ，a α⊂，a β∥
D ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥
10．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若
2FM MN =u u u u r u u u u r
，则||FN =（ ）
A ．
58
B ．
12
C ．
38
D ．1
11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(,)x y ，再统计其中x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是34m =，那么可以估计π的值为（ ）
A ．
237
B ．
4715
C ．
1715
D ．
5317
12
．已知函数()|)|f x x =，设3(log 0.2)a f =，0.2
)(3b f -=， 1.1
(3)c f =-，
则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知54
x >
，则函数1
445y x x =+-的最小值为_______．
14．在ABC △中，π
4
ABC ∠=
，AB =3BC =，则sin BAC ∠=_______． 15．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．已知1S ，2S ，4S 成等比数列， 且35a =，则数列{}n a 的通项公式为________．
16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为_______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知ABC △的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B
C A B C
-+=+-．
（1）求角A ；
（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △的面积S 的最大值．
18．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1224AB BC AA ===，E 为11A D 的中点，N
为BC 的中点，M 为线段11C D 上一点，且满足11114
MC D C =u u u u r u u u u r
，F 为MC 的中点．
（1）求证：EF ∥平面1A DC ； （2）求二面角1N AC F --的余弦值．
19．（12分）在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50
分，最终积分以家庭为单位计分，已知张明每次击中鼓的概率为3
4
，王慧每次击中鼓的概率为
2
3
，
每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏．（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？
（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和ξ的分布列和数学期望()
Eξ．
20．（12分）已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
C
的一个焦点与抛物线
2
y=的焦点重合．过点(1,0)
E的直线l交椭圆C于
11
)
(,
M x y，
22
)
(,
N x y两点，O为坐标原
点．
（1）若直线l过椭圆C的上顶点，求MON
△的面积；
（2）若A，B分别为椭圆C的左、右顶点，直线MA，NB，MB的斜率分别为1k，2k，3k，求
312
()
k k k
+的值．
21．（12分）已知函数2
()x
f x e ax
=-．
（1）已知直线:10
l x y
--=，
1
:220
l x y
--=，若直线
2
l与
1
l关于l对称，又函数()
f x在1
x=处
的切线与2l垂直，求实数a的值；
（2）若函数()(2)1
g x e x
=-+，则当0
x>，1
a=时，求证：
①()()
f x
g x
≥；
②1(ln1)
x
e ex x x
--≥-．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3x t
y t =⎧⎨=-⎩
（t 为参数）．在以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，求OAB △的面积．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知()|1||1|f x x ax a =++-+．
（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．
理科数学答案（七）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B
【解析】由M 中不等式得(2)0x x -<，解得02x <<，即(0,2)M =，∴{1}M N =I ． 2．【答案】A
【解析】由(2i)(3i)3(5)i x y +-=++，得6(32)i 3(5)i x x y ++-=++，
∴63325x x y +=⎧⎨
-=+⎩，解得3
4
x y =-⎧⎨=⎩，∴|i ||34i |5x y +=-+=．
3．【答案】B
【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是
320(0.020.07) 2.572⨯+⨯=人．
4．【答案】A
【解析】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，5
5A 54321120=⨯⨯⨯⨯=种， 第二步，将甲乙2人插入6个空中，2
6A 6530=⨯=种， 则不同的排法种数是52
56A A 120303600⋅=⨯=种．
5．【答案】D
【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =u u u r u u u r
，点得F 是BC 的中点，
所以1122CF CB AD ==-u u u r u u u r u u u
r ，所以1122
EF EC CF AB AD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．
6．【答案】B
【解析】根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±；
若639S S =，则6311119()()11a q a q q q --=⨯--，解可得3
8q =，则2q =，
又由562S =，则有5151131621()
a q S a q
-=
==-，解可得12a =． 7．【答案】C
【解析】因为抛物线的焦点为(1,0)，所以22212c b a
c a b =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得221
5
45a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
双曲线方程为2
2
5514
y x -=．
8．【答案】A
【解析】
因为函数2cos 22sin(π
2)6
y x x x =-=-，
所以π
()2sin[2()]2sin(22)66
πg x x x ϕϕ=--=--，
因为()g x 为偶函数，所以2π62
ππ
k ϕ--
=+，k ∈Z ， 因为π02ϕ<<
，所以当1k =-时，π6
ϕ=． 9．【答案】A
【解析】对于A 选项，如图：a ，b 为异面直线，且a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥， 在β内过b 上一点作c a ∥，
则β内有两相交直线平行于α，则有αβ∥，故A 正确；
对于B 选项，若a α∥，a β∥，则a 可能平行于α与β的交线， 因此α与β可能平行，也可能相交，故B 错；
对于C 选项，若a α⊂，a β∥，则α与β可能平行，也可能相交，故C 错； 对于D 选项，若a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥， 则α与β可能平行，也可能相交，故D 错． 10．【答案】A
【解析】由题意得点F 的坐标为(10,)8
， 设点M 的坐标00(,)x y ，点N 的坐标(,0)a ，
所以向量001
(,)8
FM x y =-u u u u r ，00(),MN a x y =--u u u u r ，
由向量线性关系可得03x a =，00124y y -=-，解得01
12y =，
代入抛物线方程可得012x =±
4
a =±，
由两点之间的距离公式可得5
||8
FN =． 11．【答案】B
【解析】由题意，120名同学随机写下的实数对(,)x y 落在由01
01x y <<⎧⎨<<⎩
的正方形内，其面积为1，
两个数能与1构成钝角三角形应满足22
11x y x y +>⎧⎨+<⎩且01
01x y <<⎧⎨<<⎩
， 此为一弓形区域，其面积为
π142
-， 由题意
134421π120
-=，解得47π15=． 12．【答案】D
【解析】
∵()|)|f x x =
，∴()|)|||f x x ==，
∴()|)|f x x -=，
∵当0x >
1x >；当0x <
时，01x <，
∴当0x >
时，()|)|))f x x x x ==-=
，
())f x x -=，
当0x <
时，()|)|)f x x x ==
，
()))f x x x -=-=，
∴()()f x f x =-，∴函数()f x 是偶函数，
∴当0x >
时，易得())f x x =为增函数，
∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=， ∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>，
∴ 1.10.2
3(3)(log 5)(3)f f f ->>，∴c a b >>．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】7
【解析】∵5
4x >，∴450x ->，114(45)52574545
y x x x x =+
=-++≥+=--， 当且仅当14545x x -=-，即3
2
x =时等号成立．
14．【答案
【解析】因为在ABC △中，π
4
ABC ∠=
，AB =3BC =，
由余弦定理22222cos 32352
AC BA BC BA BC ABC =+-⨯
=+⨯⨯⨯∠=-，
可得AC =
sin sin BC AC
BAC ABC
=∠∠，
得3sin BAC ⨯
∠=
=
15．【答案】21n a n =-
【解析】设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠， 则152S d =-，2103S d =-，4202S d =-，
因为2214S S S =⋅，所以2
(103)(52)(202)d d d -=--，整理得25100d d -=，
∵0d ≠，∴2d =，3(3)52(3)21n a a n d n n =+-=+-=-． 16．【答案】
4
3
【解析】如图所示，由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则4AB =， 设AD x =
，则BD =，
又BD 边上的高1CH =，当CH ⊥平面ABD 时，棱锥A BCD -的体积最大，
此时1132V x =
⨯⋅= 当28x =时，体积V 最大，此时最大值为4
3
．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）π3
A =
；（2
．
【解析】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B
C A B C
-+=+-，
可得
222a b c b a b c bc c a b c
-+=⇒=+-+-， 所以2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===，
又因为0πA <<，所以π
3
A =
． （2
）
22sin 2sin si 3
π
n a R a R A A =⇒=== 所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=，
所以11sin 322S bc A =
≤⨯=
（b c =时取等号）． 18．【答案】（1）证明见解析；（2
）． 【解析】（1）∵在长方体1111ABCD A B C D -中，DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，
建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，
则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，
(0,4,0)C ，1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，1(2,4,2)B ，1(0,4,2)C ，(1,0,2)E ，(1,4,0)N ，(0,3,2)M ，7
(0,,1)2
F ．
设平面1A DC 的一个法向量为(,,)x y z =m ，
则110(,,)(2,0,2)00
(,,)(2,4,2)0200A D x y z x z x y z x y z A C ⎧⋅=⋅--=+=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅--=-+=⋅=⎩
⎩⎪⎩u u u u r
u u u r m m ，
令1x =，则1z =-，0y =，∴(1,0,1)=-m ，
又7
(1,,1)2
EF =--u u u r ，0EF ⋅=u u u r m ，EF ⊥u u u r m ，
又EF ⊄平面1A DC ，EF ∥平面1A DC ．
（2）设平面1A CN 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，
则()()11111111,,(1,4,2)00420
,,(2,4,2)0200
x y z A N x y z x y z x y z A C ⎧⎧⋅--=⋅=-+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅--=-+=⋅=⎪⎩⎪⎩⎩u u u u r u u u r n n ，
令1y =，则2z =，0x =，∴(0,1,2)=n ． 同理可算得平面1A FC 的一个法向量为1(3,2,1)=m ，
∴111cos ,||||⋅<>=
=⋅m n m n m n ，
又由图可知二面角1N AC F --的平面角为一个钝角， 故二面角1
N AC F --
的余弦值为35
-． 19．【答案】（1）
2
3
；（2）分布列见解析，()225E ξ=（分）． 【解析】（1）由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机， 所以要想领取一台全自动洗衣机，
则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓．
设事件i A 为“张明第i 次击中”，事件i B 为“王慧第i 次击中”，1i =，2， 由事件的独立性和互斥性可得P （张明和王慧家庭至少击中三次鼓）
12121212121212121221(((())))()P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A B A B =++++ 33221322331222()4433443344333
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是
2
3
． （2）ξ的所有可能的取值为200-，50-，100，250，400，
11111
(200)4433144
P ξ=-=⨯⨯⨯=，
111231115
(50)2()4433443372
P ξ=-=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，
13123311112237
(100)4()443344334433144P ξ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，
331231225
(250)2()4433443312P ξ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，
3322361
(400)44331444
P ξ==⨯⨯⨯==，
∴ξ的分布列为
∴153751
()(200)(50)10025040022514472144124
E ξ=-⨯
+-⨯+⨯+⨯+⨯=（分）． 20．【答案】（1）
4
5
；（2）1-． 【解析】（1
）因为抛物线2y =
的焦点坐标为， 所以椭圆C
的右焦点的坐标为
，所以c =
因为椭圆C
的离心率为
2
，所以2c a =，解得2a =，所以2221b a c =-=，
故椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=，
其上顶点为(0,1)，所以直线:10l x y +-=，
联立22
1044
x y x y +-=⎧⎨+=⎩，消去x 整理得2
5230y y --=，解得11y =，235y =-， 所以MON △的面积134
1(1)255
MON MOE NOE S S S =+=
⨯⨯+=△△△． （2）由题知，(2,0)A -，(2,0)B ，设11)(,M x y ，22)(,N x y ， 由题还可知，直线MN 的斜率不为0，故可设:1MN x my =+，
由22
11
4x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22
(4)230m y my ++-=，所以1221222434m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩
， 所以12122321212123
(2)(2)(1)4
y y y y k k x x m y y m y y ⋅=
==----++，
又因为点M 在椭圆上，所以21132
11
44
y k k x ⋅==--， 所以312()31
144
k k k +=-
-=-． 21．【答案】（1）12
e +
；（2）①证明见解析；②证明见解析． 【解析】（1）由10220x y x y --=⎧⎨
--=⎩，解得1
x y =⎧⎨=⎩，
2l 必过1l 与l 的交点(1,0)A ，在1l 上取点(0,2)B -，
易得点(0,2)B -关于l 对称的点为(1,1)B '--，
2l 即为直线AB '，所以2l 的方程为
01
1011
y x --=----，即210x y --=， 其斜率为
12
，
又因为2()x f x e ax =-，所以()2x f x e ax '=-，(1)2f e a '=-，
由题意1(2)12e a -⨯=-，解得12
e
a =+．
（2）因为1a =，所以2
()x f x e x =-，
①令()()()h x f x g x =-，则2
()(2)1x h x e x e x =----，
则()2(2)2(1)x
x
h x e x e e e x '=---=---，且(1)0h '=，()2x
h x e ''=-，(,ln 2)x ∈-∞时，
()0h x ''<，()h x '单调递减；
(ln 2,)x ∈+∞时，()0h x ''>，()h x '单调递增，
因为(1)0h '=，所以min ()(ln 2)42ln 20h x h e ''==--<， 因为(0)30h e '=->，所以存在0(0,1)x ∈， 使0(0,)x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；
0(,1)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，
又(0)(1)0h h ==，所以0x >时，()0h x ≥，即2
(2)10x
e x e x ----≥，
所以()()0f x g x -≥，即()()f x g x ≥成立．
②由①知2
(2)10x
e x e x ----≥成立，即有2
(2)1x e e x x ---≥成立，
令()ln x x x ϕ=-，即11()1x
x x x
ϕ-'=
-=， 所以(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；
(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，
所以()(1)1x ϕϕ≤=-，即ln 1x x +≤，
因为0x >，所以2
(ln 1)x x x +≤，所以0x >时，(2)1(ln 1)x
e e x x x ---≥+，
即0x >时，1(ln 1)x
e ex x x --≥-．
22．【答案】（1）1:30C x y +-=，2
22:40x y x C +-=；（2
． 【解析】（1）消去参数可得1C 的普通方程为30x y +-=，
由4cos ρθ=，得2
4cos ρρθ=，
又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为22
40x y x +-=．
（2）如图：
原点O 到直线30x y +-=
的距离d =
， 曲线2C 的标准方程为2
2
(2)4x y -+=，
表示圆心为2(2,0)C ，半径2r =的圆2C 到直线30x y +-=
的距离2
d '=
，
故||AB ==
，所以11||222OAB S AB d =
==
△， 综上，OAB △
． 23．【答案】（1）(,2][1,)-∞-+∞U ；（2）[0,)+∞．
【解析】（1）当1a =时，不等式()3f x ≥可化简为|1|||3x x ++≥， 当–1x <时，13x x ---≥，解得2x ≤-，所以2x ≤-； 当10x -≤<时，13x x +-≥，13≥，无解； 当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥， 综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞U ．
（2）当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为|1|1ax a -+≥，
令()(1)1g x a x =-+，则()g x 的图像为过定点(1,1)斜率为a 的一条直线， 数形结合可知，当0a ≥时，|1|1ax a -+≥在[1,)+∞上恒成立，
所以，所求a 的取值范围为[0,)+∞．。