向量组及线性组合大连海事大学本科教学质量与教学改革工程

§1 向量组及其线性组合
例 n维向量
(1 i, 2 i, , n i)
第１个分量
第１个分量
第１个分量
例 三维实向量 a (1, 2, 3)
例 三维复向量 b (1 i, 2i, 3)
§1 向量组及其线性组合
定义:给定向量组A:a1 ,a2 , … ,am ,对于任何一组实数 k1 ,k2 , … ,km ,表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam
1
2
2,
§1 向量组及其线性组合
推论 向量组A:a1 ,a2 , … ,am 与向量组 B:b1 ,b2 , … ,bl等价的充分必要条件是
R(A) = R(B)= R(A,B) , 其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.
§1
向量组及其线性组合
1 0
a1
0
,
a2
1
,
1 1
b1
1
,
b2
,
a3
0 ,
0 0 1
1 2
b1
1
,
b2
3
,
1 4
1 0 0
1 2
R(
A)
R
0
1
0
3,R(B)
R
1
3 2,
0 0 1
1 4
例设有两个向量组A :
及B :
R(A) R(B)
向量组B能由向量组A线性表示.
§1 向量组及其线性组合
1 1 1 1
a1
1
2
,
a2
2 1
,
a3
b1
1 ,b2
2
,
例设有两个向量组A :
及B :
,
2
,
b1 a1 a2 , b2 a1 2a2 ,
则称向量组B能由向量组A线性表示.
§1 向量组及其线性组合
例
设有两个向量组A
:
a1
1
0
,
a2
0
1
,
及B
:
b1
1 1 ,b2
1
2
定义:设有两个向量组A:a1 ,a2 , … ,am 及 B :b1 ,b2 , … ,bm,若B组中的每个向量都能由 向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A 线性表示.
定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示,则 称这两个向量组等价.
§1 向量组及其线性组合
1 0
a1
0
,
a2
1
,
1 1
1 4
,
b
0 3
,
2
3
0
1
1 1 1 1 1 0 3 2
则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组 A线性表示.
注意:向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组 b =x1a1 + x2 a2 + … + xmam
有解.
§1 向量组及其线性组合
例
1 1 1 0 6
A:
a1
1 , a2
2
,
a3
0
,
a4
1
,Βιβλιοθήκη Baidu
b
7
2a1 3a2 a3 a4 b
即R(A) = R(A,B) .
§1 向量组及其线性组合
例设有两个向量组A
:
a1
1
0
,
a2
0
1
,
及B
:
b1
1 1 ,b2
1
2
,
向量组B能由向量组A线性表示.
b1 a1 a2 , b2 a1 2a2 ,
R( A)
R
1 0
0
1
2,
R( A, B)
R
1 0
0 1
1 1
R( A) R( A, B)
§1 向量组及其线性组合
例
1 1 1 0 6
a1
1 , a2
2
,
a3
0
,
a4
1
,
b
7
2a1 3a2 a3 a4 b
R( A) R(a1, a2 , a3, a4 ) 2,
R(B) R(a1, a2 , a3, a4 , b) 2.
§1 向量组及其线性组合
§1
向量组及其线性组合
1 0
a1
0
,
a2
1
,
1 1
b1
1 , b2
2 ,
1 0
1 1
R( A)
R
0
1
2,
R(B)
R
1
2
2,
例设有两个向量组A :
R( A) R(B) R( A, B)
及B :
向量组B能由向量组A线性表示.
§1
向量组及其线性组合
1 0 0
a1
0
,
a2
1
,
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a2 ,b2 a1 2a2 , a1 2b1 b2 ,a2 b1 b2 ,
则称向量组A与向量组B等价.
§1 向量组及其线性组合
定理 向量组B:b1 ,b2 , … ,bl,能由向量组 A:a1 ,a2 , … ,am线性表示的充分必要条件是 矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am)的秩等于 矩阵(A,B) =(a1 ,a2 , … ,am , b1 ,b2 , … ,bl)的秩,
向量b能由向量组A线性表示.
b x1a1 x2a2 x3a3 x4a4
方程组
x1 x2 x3 x1 2x2 x4
6 7
有解.
§1 向量组及其线性组合
定理 向量b能由向量组A: a1 ,a2 , … ,am线性表示的充分必要条 件是
矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am)的秩等于 矩阵B =(a1 ,a2 , … ,am ,b)的秩.
§1 向量组及其线性组合
主要内容： 一、n维向量的定义 二、向量组的定义 三、向量组的线性组合 四、向量组等价 五、向量组的相关定理
§1 向量组及其线性组合
定义:n个有次序的数a1 ,a2 , … ,an所组成 的数组称为n维向量,这 n个数称为该向 量的n个分量,第i个数称为第i个分量.
定义:分量全为实数的向量称为实向量, 分量全为复数的向量称为复向量.
2
,
R( A)
R
1
0
0
1
2,
R(B)
R
1 1
例设有R两( A个, 向B)量组RA
:
1 0
0 1
1 1
1
2
及2B,
:
向量组RB(能A)由向R量(组BA) 等价R.( A, B)
1
2
2,
§1 向量组及其线性组合
定理 设向量组B:b1 ,b2 , … ,bl,能由向量组 A:a1 ,a2 , … ,am线性表示,则 R(b1 ,b2 , … ,bl) ≤ R( a1 ,a2 , … ,am ) .
称为向量组的一个线性组合, k1 ,k2 , … ,km称为这个线性组 合的系数.
例
向量组A
:
a1
1 1
,
a2
1 2
,
a3
1
0
,
a4
0
1
向量组A的一个线性组合：2a1
3a2
a3
a4
2
1 1
3
1
2
1
0
0
1
§1 向量组及其线性组合
定义:给定向量组A:a1 ,a2 , … ,am ,和向量b ,如果存在 一组数λ1 , λ2 , … , λm ,使 b =λ1a1 + λ2 a2 + … + λmam ,