高等数学第六章 第1节 定积分的元素法
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A lim f ( i )xi
0
实际求面积 A的方法: (1)选取x为积分变量 , a x b. (2)在典型区间 [ x, x dx]上作近似 A f ( x )dx 即 dA f ( x )dx ___面积元素 (3)对面积元素从 a到b积分
A f ( x )dx
b
i 1
n
a
( max{ x1 , x2 ,xn })
上步骤若省略下标 i , 则 y f ( x )x ] [ xi , xi 1 ] [ xi , yx [ x, x x] [ x, x dx] i i Ai A 取 i xi f ( i )xi f ( xi )xi f ( x )x f ( x )dx o a x x dx bx b
3)将微元从 a到b积分
U f ( x )dx
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧 长；功；水压力；引力和平均值等．
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.
a
A f ( x )dx
a
b
分表示? 问 题: 什么样的量可以用定积 U 符合下列条件： 当所求量
（ 2 ） U 对 于 区 间 a , b 具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间a , b分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部 分量之和；
（1）U 是与一个变量 x 的变化区间a , b有 关的量；
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x [a , b ] ； 为积分变量，并确定它的变化区间
2)在[a, b]内考虑典型区间 [ x, x x],求微元 dU f ( x )dx
y
2、 近 似 Ai f ( i )xi
xi xi xi 1 , o a
n
n
x1
x i 1 x iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xn1
b
x
i为[ xi 1 , xi ]上任一点
3、 求 和 A Ai f ( i )xi
i 1
i 1
i
f ( i )xi 4、取极限A lim 0 f ( x )dx
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
x b 所围成。
b
o a
b x
A a f ( x )dx
求曲边梯形面积的步骤：
1、 分 割
A Ai
i 1 n
0
实际求面积 A的方法: (1)选取x为积分变量 , a x b. (2)在典型区间 [ x, x dx]上作近似 A f ( x )dx 即 dA f ( x )dx ___面积元素 (3)对面积元素从 a到b积分
A f ( x )dx
b
i 1
n
a
( max{ x1 , x2 ,xn })
上步骤若省略下标 i , 则 y f ( x )x ] [ xi , xi 1 ] [ xi , yx [ x, x x] [ x, x dx] i i Ai A 取 i xi f ( i )xi f ( xi )xi f ( x )x f ( x )dx o a x x dx bx b
3)将微元从 a到b积分
U f ( x )dx
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧 长；功；水压力；引力和平均值等．
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.
a
A f ( x )dx
a
b
分表示? 问 题: 什么样的量可以用定积 U 符合下列条件： 当所求量
（ 2 ） U 对 于 区 间 a , b 具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间a , b分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部 分量之和；
（1）U 是与一个变量 x 的变化区间a , b有 关的量；
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x [a , b ] ； 为积分变量，并确定它的变化区间
2)在[a, b]内考虑典型区间 [ x, x x],求微元 dU f ( x )dx
y
2、 近 似 Ai f ( i )xi
xi xi xi 1 , o a
n
n
x1
x i 1 x iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xn1
b
x
i为[ xi 1 , xi ]上任一点
3、 求 和 A Ai f ( i )xi
i 1
i 1
i
f ( i )xi 4、取极限A lim 0 f ( x )dx
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
x b 所围成。
b
o a
b x
A a f ( x )dx
求曲边梯形面积的步骤：
1、 分 割
A Ai
i 1 n