反函数 PPT

情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证 唯物主义观点。
（2）在民主、和谐的教学气氛中， 促进师生的情感交流。
重点、难点
重点：（1）对反函数概念的理解；原函数 与反函数之间的内在联系。
（2）给定函数的反函数的求法 。 难点： 对反函数概念的理解；原函数与反
函数之间的内在联系。
教材处理
根据反函数概念的特点，结合学生的认识能力 在概念的理解上，强调“反”字，突出三个环节： 一：从y=f（x）→x=f -1（y）的理解； 二：从x=f -1（y）→y=f -1（x）的理解； 三：y=f（x）与y=f -1（x）中的两个变量x、y之间
意 在 加 深 对 所 学 内 容 的 理 解 ，培 养 学 生 分 析 、思 考 问 题 的 习 惯 。
讲练题I
（ 1） 求 函 数 y x2 1 （ x≤ -1） 的 反 函 数 是 ： ______________。 (若 将 定
义 域 变 为 x≥ 1 呢 ？ )
（ 2） 已 知 函 数 y 1 x2 的 反 函 数 是 y 1 x2 ， 则 原 函 数 的 定 义 域 是 ：
教学方法和手段
针对本节课概念抽象的特点，整节课将以启 发学生思考、分析、讨论为主。采用“从特殊到 一般”、“从具体到抽象”的方法，体现“对比 和联系”的思想方法，力求做到以创造发展为目 的，以师生共同参与为核心，以反馈调控为手段， 以推理判断为特征。 采用多媒体电教手段，增大教学容量和感观性。
教材的地位与作用
•对反函数概念、性质的研究，为今后学习指数、对数函数、 反三角函数打下基础，也对函数概念有进一步理解，为进一 步研究函数的性质具有十分重要的作用，也是高考的必考内 容。
教学目标
知识目标：（1）对反函数概念的理解。 （2）给定函数的反函数的求法。
能力目标：培养学生的逻辑推理、逆向思维、 发散思维、综合归纳的能力。
由函数（1）解得
x
y 2
，x是y的函数
由函数（2）解得x y ，显然x不是y的函数。
导入课题：把函数x
y 2
叫做y=2x的反函数。
设计意图
大纲要求不必向学生指出存在反函数的条 件，通过正反对比，使学生懂得不是所有 的函数都有反函数。复习旧知识，一方面 提出新课题，另一方面又为形成反函数的 概念提供了实际模型，便于引导学生去探 求新知识，而通过反例的衬托，又为学生 理解概念清除了障碍，有意识地培养了学 生归纳总结的能力。
教材分析
➢教材的地位与作用 ➢教学目标 ➢重点和难点 ➢教材处理
学法指导
学生是一个主动的、积极的知识探索 者，要充分体现“教师为主导，学生为主 体”原则，尽可能地增加学生参与教学活 动的时间和思维空间，努力创设好问题环 境，活跃学生思维，促使学生在教学活动 中主动摄取知识，增强分析、总结问题的 能力。
2
2
抽象： y f x x f 1 y y f 1 x
原函数的定义域就是反函数的值域 原函数的值域就是反函数的定义域 （3）求给定函数的反函数的三部曲： 互解、互换、确定定义域。
软件制作：李铭棋
顺德罗定邦中学
设计意图：
从感性认识上升到理性认识，是人们认识世 界的一般规律，反函数与原函数的关系体现在三 个方面：定义域、值域、对应法则（f与f -1 ）， 正确理解原函数与反函数的两域关系是深化反函 数概念的关键，由具体到抽象符合学生的认知规 律，达到了突出重点、分散难点的效果。
初步运用、反复辩析： 讲 评 题 1： 求 下 列 函 数 的 反 函 数 。
来理解x、y之间的关系。体现“反”字。 2、方法小结：求给定函数的反函数的三部曲：
（1）互解；（2）互换；（3）确定定义域 3、思想方法小结：函数与方程思想
反馈练习
（1） （2） （3）
函数 y x 2 (x R且x 1) 的反函数为：
2x 1
2
函数y 9 4x2 （x [- 3 ,0]）的反函数为：
（ 1） y x 1 （ x≥ 0）
（ 2）
y
2x x
3 1
（
x≠
1）
教师示范，学生归纳解题步骤：
1、 互 解 ； 2、 互 换 ； 3、 确 定 定 义 域 。
设计意图：
应用是加深理解概念最有效的途径，两道题均来自课
本，紧扣教材应当成为教与学的立足点，规范解题过程，深化
解题方法，培养基本技能，讲完例题之后，提出两个小问题，
__________________。
（ 3） 已 知
f
x
1
2 x
2
x 1 ， 求 f 1 2 的 值 。 3
设计意图：
培养学生逆向思维能力、发散思维的能力，从而进一步升华概念。同
时为后面研究互为反函数的图象和性质埋下伏笔。
归纳整理、形成体系
1、概念小结:重点从两个方面:y=f（x）→x=f-1（y）， x=f -1（y）→y=f -1（x）
的区别和联系。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
1、以旧引新，揭示课题
乘2

平方
-1
1
2
1
1
2
4
-2
3
6
2
4
4
8
-3
3
9
A
B
A
B
对比举例：函数（1）y=2x x∈R属于异元异像
函数（2）y=x2 x∈R属于异元同像
y都是x的函数
提出问题：若将y作为自变量，x是否是y的函数呢？
•“反函数”这节教材，是函数概念的进一步深化，反映了函 数概念中两个变量既相互对立，又相互统一、相互依存的辩 证关系。
•原函数与反函数的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想 与数学方法，从哲学意义上讲，教学的全过程即在引导学生 从对立中探求内在的统一，逐步培养学生用辩证的、联系的 观点去分析问题、解决问题的能力。
2
已知函数 f（x）=2x2–4x+9（x≥1）且满足 f-1（a+1）=3，求 f（a）
设计意图：
按目标层次设计一组反馈评价练习题，可以通过学生的独立思考、独立完成，
使老师发现问题及时采取补救措施，予以调整。
板书设计
（1） 概念 （2） 概念理解：
具体：
课题：反函数
y 2x x y y x
评注： （1）强调定义中的“如果对于y在C中……”一句，结
合函数（2）指出不是所有函数都有反函数。
（2）函数x=f -1（y）中，y是自变量，x是函数值，与
习惯不符，因此，在求出x=f -1（y）后，再改写为习惯
的形式y=f -1（x） 。即y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数。
（所以y=2x的反函数应写成y
讨论归纳、导入定义
由前面的特例可以看到：给定函数 y=f（x）定义域为A，值域为C，从式子 y=f（x）解出得到x=φ（y），如果对于y 在C中的任何一个值，x在A中都有唯一确 定的值和它对应，那么式子x=φ（y）就表 示x是变量y的函数，把x=φ（y）叫函数 y=f（x）的反函数，
记作：x=φ(y)=f -1（y）
x 2
x∈R）
剖析概念，加深理解
具体： y2xxyyx
2
2
原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是 等价的。
原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是 等价的。
抽象：
定义域
值域
y f x x f 1 y y f 1 x
值域
定义域
由此可知：原函数的定义域就是反函数的值域。 原函数的值域就是反函数的定义域。