立体几何的截面问题选题
立体几何截面问题的十种题型(原卷版)
第21讲 立体几何截面问题10类【题型一】 做截面的基本功：补全截面方法【典例分析】在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2,AD=3,点E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，点E 、F 、C 1∈平面α，直线A 1D 1⋂平面α=P ，则直线BP 与直线CD 1所成角的余弦值是3378 A 22 C B 3 D 、、、、【变式演练】1.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面是一个（ ）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D1、E 的截面过（ ）A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．CD 中点 D ．BB1中点3.如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→→=，则下列结论错误的是（ ）A．当12λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,时，Ω为四边形B．当12λ=时，Ω为等腰梯形C．当3,14λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，Ω为六边形D．当1λ=时，Ω6【题型二】截面形状的判断【典例分析】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A．B．C．D．【变式演练】1.如图，正四棱锥P ABCD-的高为12，2AB=E，F分别为PA，PC的中点，过点B，E，F的截面交PD于点M，截面EBFM将四棱锥分成上下两个部分，规定BD为主视图方向，则几何体CDAB FME-的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．2.用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（ ） A ．直角三角形 B ．直角梯形 C ．正五边形 D ．正六边形3.在正方体1AC 中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段1CC 上一动点（不含C ）过M 、N 、P 与正方体的截面记为α，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______． ①当P 为1CC 中点时，截面α为六边形；①当112CP CC <时，截面α为五边形； ①当截面α为四边形时，它一定是等腰梯形；【题型三】 平行关系确定截面【典例分析】在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（ ） A ．2a B ．4aC ．aD ．无法确定【变式演练】1.在正方体1111ABCD A B C D -中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.2.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．4条3.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC ．已知AA 1=4，BB 1=2，CC 1=3.在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ①平面A 1B 1C 1.【题型四】 垂直关系确定的截面【典例分析】已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)111ABC A B C -的体积为6323AB =D 是11B C 的中点，点P 是线段1A D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面α与AP 交于点E ，则三棱锥P BCE -的体积的最小值为 A 3B ．32C ．2D ．52【变式演练】1.如图，ABCD A B C D ''''-为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值2.正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为4，已知1AC ⊥平面α，1AC β⊂，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．α截得的截面形状可能为正三角形B ．1AA 与截面α6C ．α截得的截面形状可能为正六边形D ．β截得的截面形状可能为正方形3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1AA 的中点，平面α过点1D 且与CM 垂直，则（ ） A ．CM BD ⊥ B ．//BD 平面αC ．平面1//C BD 平面α D ．平面α截正方体所得的截面面积为92【题型五】 求截面周长【典例分析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 的四等分点（靠近点1D ），过点,,A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.【变式演练】1.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）A ．2+25B ．225133+C ．2513+D ．13252+2.已知在棱长为6的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．3.已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，AB BC ⊥，2AB BC ==.过AB 、1BB 的中点E 、F 作平面α与平面11AAC C 垂直，则所得截面周长为（ ） A ．26B 26C ．326D ．3226【题型六】 求截面面积【典例分析】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.【变式演练】1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ） A ．5 B ．25C ．46D ．62.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）A 2310 B ．298aC 232 D 2103.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面为___________，其面积为___________.【题型七】 球截面【典例分析】正三棱锥P ABC -242PA AB ==E 在棱PA 上，且3PE EA =，已知点P A B C 、、、都在球O 的表面上，过点E 作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为___________.【变式演练】1.已知三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，四个顶点在球O 的球面上，平面α经过棱AB ，AC ，AD 的中点，若平面α截三棱锥A BCD -和球O 所得的截面面积分别为1S ，2S ，则12S S =（ ） A 33B 33C ．38πD ．364π2.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为3的球O 上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球O 的截面面积是（ ） A ．π B ．4πC ．8πD ．9π3.已知球O 是正三棱锥A -BCD （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC =3，AB =23点E 在线段BD 上，且BD =3BE ．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A ．2π B ．3πC ．4πD ．5π【题型八】 截面分体积【典例分析】已知正四棱柱中11A C 、11B D 的交点为1O ，AC 、BD 的交点为2O ，连接12O O ，点O 为12O O 的中点.过点O 且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1101111ABCD A B C D -的体积为______________.【变式演练】1.正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，则正方体被截面BEFD 分成两部分的体积之比为___________.2.如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD '''-则棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为（ ）A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：23.三棱锥D ABC -中，E 、F 、G 、H 分别是棱DA 、DB 、BC 、AC 的中点，截面EFGH 将三棱锥分成两个几何体：AB EFGH -、CD EFGH -，其体积分别为1V 、2V ，则12:V V =（ ） A ．1：1 B ．1：2C ．1：3D ．1：4【题型九】 不规则截面（曲线形截面）【典例分析】如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为()090θθ︒<<︒的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30时，这个椭圆的离心率为（ ）A ．12B 3C ．13D 3【变式演练】1.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图①，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，F 是线段EO 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，,M N 是该曲线上的两点且//MN CD ，若MN 经过点F ，则MN =__________.2.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点1F ，2F .过椭圆上一点P 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,M N .由球和圆的几何性质可知，1PN PF =，2PM PF =.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率2，则两球的球心距离为_______________.3.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Ger min al dandelin （1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E ，F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于C ，B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE =AC ，AF =AB ，于是AE +AF =AB +AC =BC ．由B ，C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E ，F 为焦点的椭圆．如图①，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆．已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的离心率为__________．【题型十】 截面最值【典例分析】已知长方体1111ABCD A B C D -中，12BB AB BC ==，点E 在线段1CC 上，()101EC CC λλ=≤≤，平面α过线段1AA 的中点以及点1,B E ，若平面α截长方体所得截面为平行四边形，则实数λ的取值范围是（ ） A ．[]0,1 B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【变式演练】1.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的点，过1A 的平面α与直线PD 垂直，当P 在线段1BC 上运动时，平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积的最小值是（ ）A ．1B ．54C 6D 22.在如图所示的直三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，AB AC ⊥，过点1A 作平面α分别交棱AB ，AC 于点D ，E ，且AF DE ⊥，160AA F ∠=°，则截面1A DE △面积的最小值为（ ）A ．163B ．323C ．363D ．4833.如图所示，在长方1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，则四棱锥11B BED F -的体积为___________，截面四边形1BED F 的周长的最小值为___________.【课后练习】1（宁夏银川市第六中学上学期第一次8月考）.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为（ ）A ．AC BD =B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD ⊥ D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°2.如图：PAB △为圆锥的轴截面，2AB =，60PAB ∠=︒，点E 为PA 的中点，过点E 作既与直线PB 平行又与平面PAB 垂直的截面，该平面与圆锥底面上的圆周交于F ，G 两点，记直线EF 与圆锥底面所成的角为α，记直线PA 与截面所成的角为β，则α与β的关系为（ ）A ．αβ<B ．αβ=C ．αβ>D ．以上都有可能3.（北京数学高考）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．点1C 、1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形4.（安徽省六安市第一中学上学期开学考）如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形且//PQ AC ，则在下列说法中，错误的为（ ）A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°5.（北京市北京二中高三12月份月考）如图，正方体111ABCD A B C D-的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ． ①当102CQ 时，S 为四边形；①当34CQ 时，S 与11C D 的交点R 满足113C R ； ①当314CQ时，S 为六边形；①当1CQ =时，S 6 则下列选项正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①6.（百师联盟高三上学期开学摸底联考（全国1卷））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法不正确的是（ ）A ．BD CP ⊥B ．三棱锥C BPD -的体积为定值C ．过P ，C ，1D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为137.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（ ）A ．13B ．35C ．2547 D ．798.用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角.已知过圆锥SO 的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO 的轴截面，则圆锥SO 的顶角的取值范围是（ ）A ．()0,πB ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦C ．（π2,π)D ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭9.（重庆市西南大学附属中学高三下学期第四次月考）已知圆锥体积为163π，高为4，过顶点P 作截面α，若平面α与底面所成的锐二面角的余弦值为13，圆锥被平面α截得的两个几何体设为,S Q .若,S Q 的体积为12,V V （其中12V V <），则12:V V =___________.10.已知四面体ABCD ，分别在棱AD ，BD ，BC 上取()*1,3n n N n +∈≥等分点，形成点列{}n A ，{}n B ，{}n C ，过k A ，k B ，()1,2,,k C k n =⋅⋅⋅作四面体的截面，记该截面的面积为k M ，则（ ）A ．数列{}k M 为等差数列B ．数列{}k M 为等比数列C ．数列k M k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．数列k M k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列。
千题百炼- 立体几何空间距离与截面100题(原卷版)
专题18 立体几何空间距离与截面100题任务一:空间中的距离问题1-60题一、单选题1．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且1PA =，2AB AD ==，则点A 到平面PBD 的距离为（ ）A ．3 B C D2．已知直线l 过定点()2,3,1A ，且方向向量为0,1,1s，则点4,3,2P 到l 的距离为（ ）A B C D3．在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，若PA ⊥平面ABC ，4PA =，则点P 到BC 的距离是（ ）A B ．5 C ．D ．4．在四面体P ABC -中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设PA PB PC a ===，则点P 到平面ABC 的距离为（ ）A B C ．3a D5．已知直线l 的方向向量为()=1,0,1a ，点()1,2,1A -在l 上，则点()3,1,1P 到l 的距离为（ ）A ．B ．1C ．3D ．26．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为1A B 和11B D 的中点，则点B 到EF 的距离为（ ）A B C ．2 D7．若平面α的一个法向量为()1,2,2n →=，点()3,0,2A ，()5,1,3B ，A α，B α∈，A 到平面α的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知(2,1,0),(1,0,1),(3,2,3)A B C ，则点A 到直线BC 的距离为（ ）A B C D9．如图，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为（ ）A BC D 10．如图所示的三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，π2ABC ∠=，若PA a =，AB c =，10PB =，BC =ac 取最大值时，点A 到平面PBC 的距离为（ ）A B C ．D ．511．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为A 1B 1的中点，下列说法中正确的是（）A ．ED 1与B 1C 所成的角大于60°B ．点E 到平面ABC 1D 1的距离为1C ．三棱锥E ﹣ABC 1D ．直线CE 与平面ADB 1所成的角为4π12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为棱11D C 的中点，N 为棱1CC 上的点，且(02)CN a a =<<，现有下列结论： ①当23a =时，//AM 平面BDN ；②存在(0,2)a ∈，使得MN ⊥平面BDN ；③当1a =时，点C 到平面BDN ；④对任意(0,2)a ∈，直线AM 与BN 都是异面直线．其中所有正确结论的编号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④13．重心是几何体的一个重要性质，我国的国宝级文物东汉铜奔马（又名：马踏飞燕）就是巧妙利用了重心位于支点正上方这一性质而闻名于世.已知正三棱锥的重心是其每个顶点与其所对的面的三角形重心连线的交点.若正三棱锥H ABC -的底面边长为2，侧棱长为G 到底面的距离为（ ）A B C D14．三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，4SA =，3AB =，D 为AB 的中点，90ABC ∠=︒，则点D 到面SBC 的距离等于（ ） A ．125 B ．95 C ．65 D ．3515．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AD ，1AA ，11A B 的中点，则点B 到平面EFG 的距离为（ ）．A ．12a B C ．a D16．已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG =2，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则点B 到平面GEF 的距离为（ ）A B C D17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，12CC =，E 是CD 的中点，求D 到面1D EB 的距离为（ ）A BC D18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA E ，F 分别是平面1111D C B A 与平面11BCC B 的对角线交点，则点E 到直线AF 距离为（ ）A B C D 19．已知AB ⊥平面α，垂足为点B ，且AO 与α相交于点O ，60AOB ∠=︒，射线OC 在α内，且30BOC ∠=︒，6OA =，则点A 到直线OC 的距离是（ ）A ．6BC D ．20．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）A ．2 B C ．12 D ．1321．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．点1C 、1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，G 为1AA 的中点，则直线BD 与平面11GB D 的距离为( )A B C D23．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离（ ）A B ．和EF 的长度有关C D ．和点Q 的位置有关24．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为11C D ，1C C 的中点，其中正确的结论是（ ）A ．直线MN 与AC 所成的角为45°B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．二面角N BD C --D ．点C 与平面MAB25．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==PA =O 是AC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则点O 到平面PAB 的距离为（ ）A B C D26．如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，14,8AB BC AA ===，点H 在棱1AA 上，且12HA =，在侧面11BCC B 内作边长为2的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 的距离等于线段PF 的长，则当点P 在侧面11BCC B 上运动时，2HP 的最小值是（ ）A ．12B ．24C ．48D ．6427．如图所示，ABCD —EFGH 为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足321432AP AB AD AE =++，则P 点到直线BC 的距离为（ ）A ．34BC ．45 D28．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，13B AB π∠=，E 是1D D 的中点，则11A C 到平面EAC 的距离为（ ）A B ．C D 29．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为线段1AC 上一点，1PA =，则点P 到平面ABCD 的距离为（ ）A ．BC ．3D ．430．已知△ABC 在平面β内，不重合的两点P ，Q 在平面β同侧，在点M 从P 运动到Q 的过程中，记四面体M -ABC 的体积为V ，点A 到平面MBC 的距离为d ，则可能的情况是（ ）A ．V 保持不变，d 先变大后变小B ．V 保持不变，d 先变小后变大C ．V 先变大后变小，d 不断变大D ．V 先变小后变大，d 不断变小二、多选题31．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O （O 为球心）的球面上，ABC 为等边三角形，M 为AC 的中点，2AB BD ==，AD AC BD ⊥，则（ ）A ．BM ⊥平面ACDB ．O ∉平面ABCC ．O 到ACD ．二面角A CD O --32．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，12BC CD D C ===，1D C ⊥底面ABCD ，则（ ）A ．BC ⊥平面1ACDB ．直线1DD 与底面ABCD 所成的角为4πC ．平面11ABCD 与平面ABCD 夹角的余弦值为7D ．点C 到平面11ABC D 33．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 在线段AC 上移动，点M 为棱1BB 的中点，则下列结论中正确的有（ ）A ．1//D O 平面11A BCB ．1D OM ∠的大小可以为90°C ．异面直线1D O 与11A C D ．存在实数[]0,1λ∈，使得()111312D M C B D C AB λλ---=成立34．在直三棱柱中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点，下列判断正确的是（）A ．1BC ∥平面1A BD B ．面1A BD ⊥面11AAC CC ．直线1B C 到平面1A BDD ．点1A 到直线BC35．关于棱长为()0a a >的正方体1111ABCD A B C D -，下列结论正确的是（ ）A ．11AB AD ⊥ B ．点C 到平面1A BDC ．异面直线1BD 与1C D 所成的角是60︒D ．二面角11A BD C --的余弦值为1336．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA = ）A ．1B 坐标是()1,1,1B ．平面1OBB 的法向量()1,1,1n =-C ．1A C ⊥平面1OBBD ．点A 到平面1OBB 37．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 到平面AEF 的距离为2338．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面P AD 是边长为面ABCD 为矩形，且CD =Q 是PD 的中点，则下列结论描述正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面P ADB ．B ，Q 两点间的距离等于C ．DC 与平面AQC 所成的角为60°D ．三棱锥B AQC -的体积为1239．如图，在菱形ABCD 中，AB =60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为P ，Q 分别为直线BD ，CA 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQB ．线段PQC ．平面ABD ⊥平面BCDD ．当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD40．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒B ．点A 到平面BCDC ．AB CD ⊥D ．四面体ABCD第II 卷（非选择题）三、填空题41．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，异面直线1BB 与AC 的距离为____________.42．已知直线l 过点(0,0,0)A ，点(1,1,0)B ，则点(0,1,1)C 到直线l 的距离是_________．43．如图，正三角形ABC 的边长为2，P 是三角形ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，且1PA =，则P 到BC 的距离为___________.44．平面α的法向量是()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为______．45．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，AB =，12AA =，则点C 到平面1ABC 的距离为____________.46．如图，已知,,60,1AP BP AP PC ABP ACP BAC PA ⊥⊥∠=∠=∠=︒=，D 是BC 中点，则点B 到平面APD 的距离是___________.47．在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，则异面直线AB 和1A C 的距离为___________.48．如图所示，正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，若点M 在线段BF 上运动，记BM a =，则当=a ___________时，点M 到直线AC 的距离有最小值.49．如图，已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，点1C 到平面1AB D 的距离为_____________．50．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为11A D 中点，点P ､M 在四边形ABCD 内（包括边界），点P 到平面11ABB A 的距离等于它到点D 的距离，直线1//MB 平面1EC D ，则PM 的最小值为___________.四、解答题51．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，30BAC ∠=，1A AC 是边长为2的等边三角形.（1）求二面角1A BC A --的大小的正切值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.52．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面为菱形，已知60DAB BAE ∠=∠=︒，2AD AE ==，DE =（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）求点B 到平面AED 的距离.53．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BB BC ===，E 是面对角线1CD 上一点，且145CE CD =.（1）求证：1AE CD ⊥；（2）设异面直线1AB 与1BD 所成角的大小为α，求cos α的值. （3）求点A 到平面1BCD 的距离.54．如图，在三棱锥D ABC -中，AB BD ⊥，BC CD ⊥，M 、N 分别是线段AD 、BD 的中点，1MC =，AB BD ==（1）证明：平面MNC ⊥平面BCD ；（2）若60CBD ∠=︒，求点B 到平面MNC 的距离.55．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，点N 为1CC 的中点.（1）求证：直线//MN 平面11A BC ；（2）求直线MN 到平面11A BC 的距离.56．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求点D 到平面BEF 的距离.57．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2PA AB BC AD ===，点E 为PB 的中点.（1）求证：//AE 平面PCD ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为2，求点A 到平面PCD 的距离.58．如图所示，边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且DE =//ED AF 且90DAF ∠=︒．（1）求BD 和面BEF 所成的角的正弦； （2）求点C 到直线BD 的距离；（3）线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值：若不存在，说明理由．59．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，2AP AD ==，60ABC ∠=︒.点E ，F 分别在棱P A ，PB ，且//EF AB .（1）求证：//EF CD ；（2）若直线PD 与平面CEF （i ）求点P 与到平面CEF 的距离；（ii ）试确定点E 的位置.60．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在棱PA 上，且44PA PQ ==，底面为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，AD =M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（1）求证：//MQ 平面PCB ；（2）求点A 到平面MCN 的距离．任务二:几何体截面问题1-40题一、单选题1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是空间中任意一点，有下列结论：△若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD ；△若P 在线段1A B 上运动，则1AP PD + △若P 在以CD 为直径的球面上运动，当三棱锥P ABC -体积最大时，三棱锥P ABC -外接球的表面积为2π；△若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α 其中正确结论的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知正方体1111ABCD A B C D -，平面π和线段1AA ，1BB ，1CC ，1DD 分别交于点E ，F ，G ，H ，则截面EFGH 的形状不可能是（ ） A ．梯形 B ．正方形 C ．长方形 D ．菱形3．如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→→=，则下列结论错误的是（ ）A ．当102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,时，Ω为四边形B ．当12λ=时，Ω为等腰梯形C ．当3,14λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，Ω为六边形D ．当1λ=时，Ω4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面是一个（ ）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D 1、E 的截面过（ ）A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．CD 中点 D ．BB 1中点6．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ）A ．5B ．C ．D ．7．正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（ ） A ．等腰梯形 B ．非矩形的平行四边形 C ．正五边形 D ．正六边形9．如图，正方体111ABCD A B C D -的棱长为1△P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ． ①当102CQ时，S 为四边形； ②当34CQ 时，S 与11C D 的交点R 满足113C R ； ③当314CQ时，S 为六边形；④当1CQ =时，S 则下列选项正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题中正确命题的个数为（ ）①当102CQ时，S 为四边形； ②当12CQ 时，S 为等腰梯形； ③当34CQ 时，S 与11C D 的交点1R 满足1113C R =；④当314CQ时，S 为六边形；A ．1B ．2C ．3D ．411．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）①直线1GA 与平面AEF 平行；②平面AEF 截正方体所得的截面面积为98；③直线1A G 与直线EF 所成的角的余弦值为； ④点C 与点B 到平面AEF 的距离相等. A ．①④ B ．①②C ．①②④D ．①②③④12．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（ ）A ．13B ．35C ．2547 D ．7913．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法不正确的是（ ）A ．BD CP ⊥B ．三棱锥C BPD -的体积为定值C ．过P ，C ，1D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为1314．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，12B P PC =，113D Q QC =，用经过B ，P ，Q 三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）A．B ．C D ．15．如图，ABCD A B C D ''''-为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB =2，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 上的一动点，过点A ，E ，F 作该正方体的截面，则该截面不可能是（ ）A ．平行四边形B ．等腰梯形C ．五边形D ．六边形17．如图，在棱长为2的正方休1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为11A D ，11A B ，1BB ，的中点，过E ，F ，G 三点的平而截正方休1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）A ．4B ．CD ．18．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点.则下列说法错误的是（ ）A ．直线A 1G 与平面AEF 平行B ．直线DD 1与直线AF 垂直C ．异面直线A 1G 与EFD ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9219．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，M ､N 分别为棱11A D ､11A B 的中点，令过点B 且平行于平面AMN 的平面α被正方体的截面图形为Ω，若在Ω内随机选择一点P ，则点P 在正方体1111ABCD A B C D -内切球内的概率为（ ）A ．427π B ．1681πC ．827π D ．3281π20．已知正方体1111ABCD A B C D -内切球的表面积为π，P 是空间中任意一点： △若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥； △若M 是棱11C D 中点，则直线AM 与1CC 是相交直线； △若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC -体积为定值；△E 为AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 以上命题为真命题的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、多选题21．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列结论正确的有（ ） A ．异面直线1CA 与11B D 所成角的大小为π3B ．若E 是直线AC 上的动点，则1DE ∥平面11A BCCD ．若此正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α22．如图，棱长为1的正方体111ABCD A BC D -中P 为线段1A B 上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱雉1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形23．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，设过点E ，F ，1D 的平面为α，则下列说法正确的是（ ）A ．1EFD △为等边三角形；B ．平面α交正方体1111ABCD A BCD -的截面为五边形；C ．在正方体1111ABCD A B C D -中，存在棱与平面α平行； D ．在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面α垂直；24．（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -，若1AC ⊥平面α，则关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面形状可能为五边形25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点（点P 不与点C ，1C 重合），若CP CM CN ==，则下列说法正确的是( )A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为26．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线AM 与BN 是平行直线B ．直线MN 与AC 所成的角为60°C ．直线MN 与平面ABCD 所成的角为45°D ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为3227．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法正确的是（ ）A ．BD CP ⊥B ．三棱锥C BPD -的体积为定值C ．过P ，C ，1D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为1328．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A ．1//BC MNB ．若P 为直线1CC 上的动点，则111B P BC ⋅为定值C ．点A 到平面1C MN 的距离为13D ．过MN 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为38π29．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为AD ，1AA 的中点，则以下说法正确的是（ ）A ．平面EFC 截正方体所得截面周长为B ．1BB 上存在点P ，使得1C P ⊥平面EFCC ．三棱锥B EFC -和1D FB C -体积相等D ．1BB 上存在点P ，使得//AP 平面EFC30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（ ）A ．直线1A D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点B 到平面AEF 的距离为13第II 卷（非选择题）三、填空题31．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.32．正三棱锥P ABC -AB ==E 在棱PA 上，且3PE EA =，已知点P A B C 、、、都在球O 的表面上，过点E 作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为___________.33．已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．34．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，下列四个选项①直线1D D 与直线AF 垂直②直线1A G 与平面AEF 平行③平面AEF 截正方体所得的截面面积为98④点C 和点G 到平面AEF 的距离相等;其中正确的是____________35．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）．①当102CQ 时，S 为四边形； ②当12CQ时，S 为等腰梯形； ③当34CQ时，S 与11C D 的交点R 满足113C R ； ④当314CQ 时，S 为六边形 四、解答题36．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11A D 和1CC 的中点.（1）画出由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异面直线EF 和AC 所成角的大小.37．已知正三棱柱的所有棱长都是1（1）画经过ABC 三点的截面（2）过棱BC 作和底面成60二面角的截面，求此截面面积.38．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点．求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B ；（3）若正方体棱长为1，过A ，E ，1C 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．39．（1）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 是棱11A B ，11A D 的中点，在图中画出过底面ABCD 中的心O 且与平面AMN 平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；（2）作出平面PQR 与四棱锥ABCDE 的截面，截面多边形的边数为______．40．如图①，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为线段BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .（1）若12CQ <<，请在图①中作出截面S （保留尺规作图痕迹）；（2）若1CQ =（如图②），试求截面S 将正方体分割所成的上半部分的体积1V 与下半部分的体积2V 之比.。
立体几何截面问题
立体几何中的截面问题剖析用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.以正方体为例：平面截正方体的截面图形三角形：四边形五边形六边形类型一：与截面有关的求值问题1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A ．352B ．358C ．92D ．982、体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ）A.27172 B ．21172 C ．15172 D ．13172正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为2,点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点,若过点,,A E F 作一截面,则截面的周长为（ ）A ．425133+B ．225133+ C ．2513+ D ．13252+反馈练习： 1、在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是正方形C C BB 11的中心，M 为11D C 的中点，过M A 1的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111D C B A ABCD -所得的截面面积为（ ）A ．23B ．26C ．225D ．32、如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ）A ．S 为定值,l 不为定值B ．S 不为定值,l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值类型二：与截面有关的最值问题1、已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A ．433B ．332C ．423D ．232、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（ ）A ．22B ．1C ．2D ．2反馈练习：1、如图，已知四面体ABCD 为正四面体，22AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为______________2、有一容积为33a cm 的正方体容器1111ABCD A B C D -，在棱AB 、1BB 和面对角线1BC 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（ ）A ．3312a cmB ．3378a cmC ．331112a cmD ．334748a cm类型三：与球有关的截面问题1、已知正四面体A BCD -的棱长为62，M ，N 分别是AC ，AD 上的点，过MN 作平面α，使得AB ，CD 均与α平行，且AB ，CD 到α的距离分别为2，4，则正四面体A BCD -的外接球被α所截得的圆的面积为（ ）A ．11πB ．18πC ．26πD ．27π2、已知圆锥1SO 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8，母线12SA =，点B 在SA 上，且3SB BA =，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（ ） A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π反馈练习：1、已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱23AB =，点E 在线段BD 上，且BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．9,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]2,3ππ C ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为6，则以正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的中心为顶点，以平面AB 1D 1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为 ．。
2024届考点4立体图形的截面高考数学考点总动员练
2024届考点4立体图形的截面高考数学考点总动员练一、单选题1. 用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（）A．28B．C．D．742. 三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EFC1B1将三棱柱分成体积为V1和V2两部分，那么V1∶V2的比值可以为（）A．3∶2B．4∶3C．5∶6D．7∶5二、多选题3. 如图，在边长为2的正方体中，点E，F分别的中点，点P为棱上的动点，则（）A．在平面内不存在与平面垂直的直线B．三棱锥的体积为定值C．平面D．过三点所确定的截面为梯形三、填空题4. 如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 _____________ ．5. 在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是__________ .6. 已知三棱台的上、下两底面均为正三角形，边长分别为3和6，平行于底面的截面将侧棱从上到下分为长度之比为的两部分，则截面的面积为 _____ ．7. 已知正方体的棱长为3，点分别在棱上，且满足为底面的中心，过作截面，则所得截面的面积为 __________ .8. 棱长为2的正方体中，点分别是线段的中点，则平面截正方体所得截面的面积为 __________ .9. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：①；②平面截正方体所得的截面图形是正五边形；③存在点，使得；④面积的最小值是.其中所有正确结论的序号是 ______ .10. 正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则平面截正方体所得截面面积的的最大值为 __________ .四、单选题11. 用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（）A．B．C．D．12. 已知平面α截一球面得圆，过圆心且与α成二面角的平面β截该球面得圆.若该球面的半径为4，圆的面积为4 ，则圆的面积为A．7B．9C．11D．13五、多选题13. 如图，在圆锥中，已知高.底面圆的半径为2，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命题中正确的有（）A．圆锥的体积为B．圆的面积为C．椭圆的长轴长为D．双曲线两渐近线的夹角六、填空题14. 已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为，则这个圆台的轴截面的面积等于 ________ .15. 已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于 _________________ ．16. 十九世纪初，我国数学家董祐诚在研究椭圆求周长时曾说：“椭圆求周旧无其术，秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆，是可以勾股形求之．”也就是说可以通过斜截圆柱法得到椭圆．若用一个与圆柱底面成60°的平面截该圆柱，则截得的椭圆的离心率为 ______ ．17. 在实际生活中，常常要用到如图①所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图②，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图③的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图④）.记该正弦型函数的最小正周期为，若椭圆的长轴长为，则__________ .18. 一个圆锥母线与底面所成的角的正切值为，母线长为，用过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为 ______ .19. 已知圆锥的底面半径为，母线长为2，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 ______ .七、双空题20. 已知圆锥的母线长为3，轴截面（过圆锥的轴的平面截圆锥所得截面）等腰三角形的顶角记为是底面圆的直径，点是的中点．若侧面展开图中，为直角三角形，则 _________ ，该圆锥中过两条母线的最大截面的面积为 _________ ．八、单选题21. 圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（）A．B．C．D．22. 在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）A．B．C．D．九、填空题23. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 ________ ．十、双空题24. 取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示.则此多面体有 ___________ 个面，表面积为___________ .十一、填空题25. 取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示．则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3 a2；⑤体积为．以上结论正确的是 ________________ ．（填上所有正确的序号）26. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 __________ .。
立体几何截面和交线问题(含答案)
立体几何截面和交线问题一．选择题（共13小题）1．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．B ．C D2．已知圆22:(2)4M x y -+=，过点(1,1)的直线中被圆M 截得的最短弦长为O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( ) A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )A ．B ．4+C ．D ．4．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C ．4D6．体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A．[4π，12]πB．[8π，16]πC．[8π，12]πD．[12π，16]π7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是()πC．}D．)πA．,2)πB．[]8．如图，已知四面体ABCD为正四面体，1AB=，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为()A．1B C D．149．设四棱锥P ABCD-的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，α)则这样的平面(A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球．设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是()A ．B ．C ．D ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A ．56π B ．23π C ．π D ．76π12．已知三棱锥P ABC -的棱AP 、AB 、AC P 为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．23π B ．56π C ．π D ．32π13．已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -，各侧棱长都为16，以O 为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是( ) A ．29π B ．89π C ．169πD ．43π 二．多选题（共2小题）14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是()A ．点1C ，1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=︒D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列结论成立的有( )A ．存在点G ，使OD 垂直于平面EFGB ．对于任意点G ，//OA 平面EFGC ．直线EF 的被球OD ．过直线EF 的平面截球O 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2π 三．填空题（共17小题）16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为 ．17．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面的周长为．18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为 ．19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 ．20．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为 ．21．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为 ．22．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，2AB =，E ，F 分别为棱AD ，1CC 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 ．23．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）24．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和()GF EF +等于 ．25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A 表面相交所得到的曲线的长等于 ．26．已知正三棱锥P ABC -侧棱长为1，且PA 、PB 、PC 两两垂直，以顶点A 为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为 ．27．以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 ．28．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，以其体对角线的交点O 为球心，3为半径的球与正方体表面的交线长为 ．29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以表面所截得的所有弧长的和为 ．30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R = ④当314CQ <<时，S 为四边形⑤当1CQ =时，S31．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，若102CQ<，则S 的面积取值范围是 ．32．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当1CQ =时，S 的面积为 ．四．解答题（共5小题）33．如图，在正三棱锥A BCD -中，30BAC ∠=︒，AB a =，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ．（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由．（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明．34．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点G 在棱11D C 上，且11114D G D C =，点E 、F 、M 分别是棱1AA 、AB 、BC 的中点，P 为线段1B D 上一点，4AB =． （Ⅰ）若平面EFP 交平面11DCC D 于直线l ，求证：1//l A B ； （Ⅱ）若直线1B D ⊥平面EFP ． ()i 求三棱锥1B EFP -的表面积；()ii 试作出平面EGM 与正方体1111ABCD A B C D -各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM 与棱11A D 交于点Q ，求三棱锥Q EFP -的体积．35．如图，在棱长都等于1的三棱锥A BCD -中，F 是AC 上的一点，过F 作平行于棱AB 和棱CD 的截面，分别交BC ，AD ，BD 于E ，G ，H ． （1）证明截面EFGH 是矩形；（2）F 在AC 的什么位置时，截面面积最大，说明理由．36．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11AA =，AB 2AC =，E ，F 分别为棱1CC ，BC 的中点．（1）求异面直线EF 与1A B 所成角的大小；（2）若G 为线段1AA 的中点，试在图中作出过E ，F ，G 三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值．37．已知三棱锥A BCD -中，ABC ∆与BCD ∆均为等腰直角三角形，且90BAC ∠=︒，6BC CD ==，E 为AD 上一点，且CE ⊥平面ABD ． （1）求证：AB CD ⊥；（2）过E 作一平面分别交AC ，BC ，BD 于F ，G ，H ，若四边形EFGH 为平行四边形，求多面体ABEFGH 的表面积．立体几何截面和交线问题（答案）一．选择题（共13小题）1．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．B ．CD 【解答】解：如图，延长EF ，FE ，分别交11B C ，11B A 的延长线于点H ，G 连结BG ，BH ， 分别交1AA ，1CC 于点I ，J ，则五边形BIEFJ 为所求截面．平面1//B C 平面1A D ，∴平面BGH 与之交线//IE BJ ，棱长为2的正方体1111ADCB A D C B -中，可得BI GJ ==，EI FJ ∴==，EF ， ∴则过D ，E ，F 三点的平面截该正方体，= 故选：C ．2．已知圆22:(2)4M x y -+=，过点(1,1)的直线中被圆M 截得的最短弦长为O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( ) A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【解答】解：由题意，正方体的棱的中点与O 的距离为，∴2=， ∴最小截面的面积为224ππ=，故选：B ．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )A ．B ．4+C ．D ．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中BD AC ⊥， BD AM ∴⊥（三垂线定理）， 取1BB 中点N ，11A B 中点E ，连MN ，AN ，BE ， 可知BE AN ⊥，BE AM ∴⊥（三垂线定理），AM ∴⊥平面DBE ，取11A D 中点F ， 则α即为截面BEFD ，易求周长为， 故选：A ．4．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示；取正方体1111ABCD A B C D -棱AB 、BC 、1CC 的中点L 、K 、Q ， 连接NL ，LK 、KQ 、QP ，则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =其面积为2162⨯⨯=故选：D ．5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C D 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，，α截此正方体所得截面最大值为：26． 故选：A ．6．体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A ．[4π，12]πB ．[8π，16]πC ．[8π，12]πD ．[12π，16]π【解答】解：设3BC a =，则2R a =，体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，∴2193a h =224h a ∴=，222())R h R =-+，2222244(2)3a a a a∴=-+，2a ∴=， 6BC ∴=，4R =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =， ODB ∴∆中，4OD OB ==，6DB =，3cos 4ODB ∠=，OE ∴=，截面垂直于OE =，截面圆面积为8π， 以OE 所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π，∴所得截面圆面积的取值范围是[8π，16]π．故选：B ．7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是( )A ．,2)πB ．[]πC ．}D ．)π 【解答】解：圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度， 过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2， 设轴截面的中心角为2α，由条件得：42ππα<，2sin 22r r l α==， 解得2r ，2222r l ππθ==，∴2θπ<，θ∴的取值范围是,2)π．故选：A ．8．如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．14B C D ．1【解答】解：补成正方体如图：由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，可得1KL KN +=； 又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥； KN KL ∴⊥，(2MNKL NK KL S NK KL +∴=⋅四边形21)4=， 当且仅当NK KL =时取等号． 故选：A ．9．设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面(α )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个【解答】证明：由侧面PAD 与侧面PBC 相交，侧面PAB 与侧面PCD 相交， 设两组相交平面的交线分别为m ，n ， 由m ，n 确定的平面为β， 作α与β平行且与四条侧棱相交， 交点分别为1A ，1B ，1C ，1D 则由面面平行的性质定理得： 1111////A B m D C ，1111////A D n B C ，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个． 故选：D ．10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球．设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当1x =；②当12x =；③当x = ①当1x =时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；②当12x =时，以A 为球心，12为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x =．以A 其弧长为：1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；对照选项，B 正确． 故选：B ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A ．56π B ．23π C ．π D ．76π 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为2AE =，1AA =， 则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为：263ππ⨯=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ，半径为1，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为：122ππ⨯=．于是，所得的曲线长为：5326πππ+=．故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的棱AP 、AB 、AC P 为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．23π B ．56π C ．π D ．32π【解答】解：如图，AP ，1AN =，6APN π∠=，12NPM π∠=，∴2126MN ππ=⨯=．同理6GH π=，122HN ππ=⨯=，2233GM ππ=⨯=，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于2366232πππππ+++=． 故选：D ．13．已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -，各侧棱长都为16，以O 为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是( )A ．29π B ．89π C ．169πD ．43π 【解答】解：连接正方体的对角线根据交点得出正方体可以分割成6个相同的四棱锥，∴四棱锥O ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，各侧棱长均为以O 为中心，将6个这样的四棱锥放在一起，会得到一个正方体； 而以O 为球心，2为半径的球正好在正方体的内部； 则球与该四棱锥重叠部分的体积为球体积的16； 因此以O 为球心，2为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是314162639V ππ=⨯⨯⨯=，故选：C ．二．多选题（共2小题）14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是()A ．点1C ，1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=︒D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形【解答】解：如图，取BC 中点E ，1CC 中点F ，则有六边形MQNPEF 为正六边形， 对于A ，根据正方体的对称性，可得点1C ，1D 到平面MQNPEF 的距离相等，A ∴正确； 对于B ，PN 与QM 为共面直线，故B 错；对于C ，在正六边形MQNPEF 中，设1PN =，则2PM =，MN =222MN PN PM ∴+=，则MN PN ⊥，故C 正确；对于D ，平面PMN 截该正方体的截面为正六边形，故D 正确． 故选：ACD ．15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列结论成立的有( )A ．存在点G ，使OD 垂直于平面EFGB ．对于任意点G ，//OA 平面EFGC ．直线EF 的被球OD ．过直线EF 的平面截球O 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2π 【解答】解：正方体的内切球的球心即正方体的中心O ，1R =， 对于A ，当G 为BC 的中点时，EG BD ⊥，1BB EG ⊥， 1BB BD B =，EG ∴⊥平面1BB D ，而1B D ⊂平面1BB D ，则1EG B D ⊥，同理，FG ⊥平面1B CD ，可得1FG B D ⊥， EGFG G =，1B D ∴⊥平面EFG ，即OD 垂直于平面EFG ，故A 正确；对于B ，当G 与B 重合时，A ∈平面EFB ，O ∉平面EFB ， OA ∴与平面EFG 相交，此时//OA 平面EFG 不成立，故B 错误；对于C ，EF ==EF 的中点M ，由对称性可知，OE OF =，OM EF ∴⊥，2OE =2OM ∴=O 到EF 的距离为2，∴直线EF 的被球O 截得的弦长为==C 正确； 对于D ，设截面圆的半径为r ，O 到平面的距离为d ，则222r d R +=， 当O 到平面的距离最大时，截面圆的半径r 最小，O 到平面的距离小于等于O 到EF 的距离，∴当d =时，min r ==∴半径最小的圆的面积为22r ππ=，故D 正确．故选：ACD ．三．填空题（共17小题）16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为 1053+ ． 【解答】解：如图所示：过点F 作//FH AE 交11A D 于H ，由题意可得AE === 易知11D H =，可得HF所以点H 为11A D的四等分点，可得5AH ， 所以11114D H A D =， 过点E 作//EP AH 交1CC 于点P ， 则△1AA H PCE ∆∽， 所以11AA CP A H CE =，解得83CP =， 所以截面与11BCC B的交线段长为103PE，PF =，可得截面的周长10105533L AE EP PF FH HA =++++==++故答案为：1053+ 17．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面的周长为【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，∴过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面为梯形1APQD ，12AD PQ ==，1AP D Q ===∴过点A ，P ，Q的平面α截该正方体所得的截面的周长为：11L AP PQ QD AD =+++=故答案为：．18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中BD AC ⊥， BD AM ∴⊥（三垂线定理）， 取1BB 中点N ，11A B 中点E ，连MN ，AN ，BE ， 可知BE AN ⊥，BE AM ∴⊥（三垂线定理），AM ∴⊥平面DBE ，取11A D 中点F ， 则α即为截面BEFD ，易求周长为故答案为19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 12π ． 【解答】解：设圆柱的轴截面的边长为x ，则由28x =，解得x =其表面积为：222212S S S πππ=+=⨯⨯+=侧圆柱表底．故答案为：12π．20．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P三点的平面截正方体所得截面的面积为 【解答】解：如图所示；取正方体1111ABCD A B C D -棱AB 、BC 、1CC 的中点L 、K 、Q ， 连接NL ，LK 、KQ 、QP ，则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =其面积为162⨯⨯=．故答案为：．21．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为23π． 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球O 与该正方体的各个面相切， 则球O 的半径为1，如图，设E 、F 、G 分别为球O 与平面ABCD 、平面11BB C C 、11AA B B 的切点， 则等边三角形EFG 为平面1ACB 截此球所得的截面圆的内接三角形，由已知可得EF EG GF ==∴平面1ACB 截此球所得的截面圆的半径r =．∴截面的面积为223ππ⨯=． 故答案为：23π．22．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，2AB =，E ，F 分别为棱AD ，1CC 的中点，则直线EF 被球O【解答】解：连结OE ，OF ，取EF 的中点M ，连结OM ． O 是正方体的中心，E ，F 是AD ，1CC 的中点，OE OF ∴=OM EF ∴⊥．又EF ==OM ∴==． 球O 的半径为1r =，EF ∴被球O 截得弦长为=23．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）【解答】解：由题意知，MN ⊥平面11BB D D ，则MN 在底面ABCD 上的射影是与对角线AC 平行的直线，故当动点P 在对角线1BD 上从点B 向1D 运动时，x 变大y 变大，直到P 为1BD 的中点时，y 最大为AC ； 然后x 变小y 变小，直到y 变为0，因底面ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样． 故答案为：②．24．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和()GF EF +等于56π．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为2AE =，1AA =， 则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为：263ππ⨯=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ，半径为1，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为：122ππ⨯=．于是，所得的曲线长为5326GF EF πππ+=+=． 故答案为：56π．25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A表面相交所得到的曲线的长等于． 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为AE =，11AA =，则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为6π，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为2π=．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为33+=．26．已知正三棱锥P ABC -侧棱长为1，且PA 、PB 、PC 两两垂直，以顶点A为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为． 【解答】解：设以顶点A线是EFNM ，如图所示．则AE AF AM AN ====， 在直角三角形APE中，cos PAE ∠=，6PAE π∴∠=，∴()46ME ππ=-=，同理NF =； 在直角三角形PBC 中，2BPC π∠=，PE PF ==∴2EF π==， 在等边三角形ABC中，MN AM ==3MAN π∠=，∴3MN π==．则这条封闭曲线的长度为ME NF EF MN +++=．．27．以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 [0，12]π ．【解答】解：以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧），∴根据勾股定理可以算出：O 点到正方体各个面距离为1，O以O 点为球心，以(1r r <<为半径的球，当r 为1时球刚好和棱长为2的正方体六个面相切，∴此时若干个圆（或圆弧）的总长度为0；当r 0； 球与正方体表面相交的圆正好与正方体的十二个棱边相切的时候若干个圆（或圆弧）的总长度才是最大的， 一共是6个圆，而且正方形的棱长为2，∴每个圆的直径是2，则每个周长是2π， ∴圆的总长度最大为6212ππ⨯=，圆（或圆弧）的总长度的取值范围是：[0，12]π． 故答案为：[0，12]π．28．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，以其体对角线的交点O 为半径的球与正方体表面的交线长为． 【解答】解：依题意，球心O 到正方体表面的距离为1， 设正方形ABCD 的中心为1O ，正方形ABCD 所在平面裁球O 所得的圆的半径1r >． 故球O 与每一个面的交线均为四段圆弧，且13EO F π∠=．故四段圆弧的圆心角之和为2()4233πππ-⨯=，故一个面上的交线长23l π==，则66⨯=，29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以表面所截得的所有弧长的和为 6π ．【解答】解：如图，不妨以D 为球心，则正方体的表面被该球面所截得的弧长有相等的三部分， 与上底面截得的弧长，是以1D 为圆心，以4为半径的四分之一圆周， 则弧长：111824AC ππ=⨯=． ∴该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为6π．故答案为：6π．30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号） ①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R = ④当314CQ <<时，S 为四边形⑤当1CQ =时，S【解答】解：如图当12CQ =时，即Q 为1CC 中点，此时可得1//PQ AD ，1AP QD =，故可得截面1APQD 为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q 向C 移动时，满足102CQ <<，只需在1DD 上取点M 满足//AM PQ ， 即可得截面为四边形APQM ，故①正确； ③当34CQ =时，如图， 延长1DD 至N ，使112D N =，连接AN 交11A D 于S ，连接NQ 交11C D 于R ，连接SR ， 可证//AN PQ ，由11NRD QRC ∆∆∽，可得1111::1:2C R D R C Q D N ==，故可得113C R =，故③正确；④由③可知当314CQ <<时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS ，显然为五边形，故④错误；⑤当1CQ =时，Q 与1C 重合，取11A D 的中点F ，连接AF ，可证1//PC AF ，且1PC AF =，可知截面为1APC F 为菱形，故其面积为112AC PF ⋅，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤．31．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，若102CQ<，则S 的面积取值范围是 3(4，9]8．【解答】解：在1CC 上取点M 使得2CM CQ =，在1DD 上取点N ，使得DN CM =，连接BM ，AN ，MN ，CN ，AP ，则PQ 为BCM ∆的中位线，//PQ BM ∴，//DN CM =，CD CM ⊥，∴四边形CDNM 是矩形， ////MN CD AB ∴==，∴四边形ABMN 是平行四边形，//AN BM ∴，//AN PQ ∴，故截面多边形为梯形APQN ， 设CQ x =，则PQ =，2AN BM PQ ===， 取AD 的中点O ，过O 作OE AN ⊥，过D 作DF AN ⊥，则可证PE AN ⊥，则DF =12OE DF ∴=，PE ∴=∴梯形APQN的面积为S =， 102x<，∴3948S <．故答案为：3(4，9]8．32．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当1CQ =时，S 的面积为．【解答】解：当1CQ =时，1C 与Q 重合，取11A D 中点E ，则菱形1APC E 就是过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面，1AC =PE∴过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为：112S AC PE =⨯⨯=．．四．解答题（共5小题）33．如图，在正三棱锥A BCD -中，30BAC ∠=︒，AB a =，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ．（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由．（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明．【解答】解：（1）//AD 面EFGH ，面ACD ⋂面EFGH HG =，AD ⊂面ACD//HG EF ∴．（2分）同理//EH FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形（3分）三棱锥A BCD -是正三棱锥，A ∴在底面上的射影O 是BCD ∆的中心，DO BC ∴⊥， AD BC ∴⊥，HG EH ∴⊥，四边形EFGH 是矩形（5分）（2）当AP =时，平面PBC ⊥平面EFGH ．（7分） 证明如下：作CP AD ⊥于P 点，连接BP ， AD BC ⊥，AD ∴⊥面BCP （10分）//HG AD ，HG ∴⊥面BCP ，HG ⊂面EFGH ⇒面BCP ⊥面EFGH ，在Rt APC ∆中，30CAP ∠=︒，AC a =，AP ∴（12分） 34．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点G 在棱11D C 上，且11114D G D C =，点E 、F 、M 分别是棱1AA 、AB 、BC 的中点，P 为线段1B D 上一点，4AB =． （Ⅰ）若平面EFP 交平面11DCC D 于直线l ，求证：1//l A B ； （Ⅱ）若直线1B D ⊥平面EFP ．()i 求三棱锥1B EFP -的表面积；()ii 试作出平面EGM 与正方体1111ABCD A B C D -各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM 与棱11A D 交于点Q ，求三棱锥Q EFP -的体积．【解答】解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，平面EFP ⋂平面11ABB A EF =， 所以//EF l ，因为点E 、F 分别是棱1AA 、AB 的中点， 所以1//EF A B ， 所以1//l A B ．（2）()i 因为直线1B D ⊥平面EFP ，EP ⊂平面EFP ， 所以1B D EP ⊥，又因为DAE ∆≅△11B A E ， 所以1DE B E =， 所以1DP B P =，因为2EFP S ∆==11122EPB FPB S S ∆∆+=⨯⨯=1162EFB S ∆=⨯=，所以三棱锥1B EFP -的表面积为6+ ()ii 作图步骤如下：连接GE ，过点G 作GH DC ⊥于点H ，连接HA 并延长交GE 的延长线于点I ，连接IM 并延长交AB 于点J 交DC 的延长线于点K ，再连接GK 交1CC 于点S ，连接MS 并延长交11B C 的延长线于点R ，连接RG 并延长交11A D 于点Q ，再连接EQ ，GS ，EJ ，则图中EQ ，QG ，GS ，SM ，MJ ，JE 即为平面EGM 与正方体各个面的交线．设BJ CK x ==，由题知 23AJ HC CK x =+=+，所以1322x AJ HK +==，所以342xx ++=，解得53x =， 因为11139553C R C S GC MC SC CK ====， 2MC =，∴1185C R =， 所以111635D Q C R ==，如上图，设N 为线段11A D 的中点，可证点N 在平面PEF 内，且三角形PNE 与三角形PEF 面积相等， 所以，三棱锥Q EFP -的体积=三棱锥Q ENP -的体积=三棱锥P ENQ -的体积183215ENQ AB S ∆==，所以三棱锥Q EFP - 的体积为815． 35．如图，在棱长都等于1的三棱锥A BCD -中，F 是AC 上的一点，过F 作平行于棱AB 和棱CD 的截面，分别交BC ，AD ，BD 于E ，G ，H ． （1）证明截面EFGH 是矩形；（2）F 在AC 的什么位置时，截面面积最大，说明理由．【解答】证明：（1）//AB 平面EFGH ，平面ABC ⋂平面EFGH EF = //AB EF ∴同理//AB GH //EF GH ∴同理////EH CD FG。
强基专题--立体几何中的截面问题
强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
1234 5
(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最 大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
1234 5
强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范 围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC， 所以四边形 EFGH 为矩形．
1234 5
强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG， 所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2， 所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1， 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆 锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的 特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．
立体几何中的截面问题
线段DD1上靠近D的三等分点，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1被过点A1，M，N的平
面所截，则所得截面的周长为
(B)
A．10＋8 2
B．10＋7 2
C．9＋8 2
D．9＋7 2
【解析】 如图，延长 C1C 至 Q，使得 CQ＝1，连接 MQ，NQ， 则四边形 A1MQN 为平行四边形．记 MQ 与 BC 交于点 R，NQ 与 CD 交于点 P，则截面为五边形 A1NPRM．易得 A1N＝4 2，A1M ＝5，MR＝ 32＋32＝3 2，NP＝ 22＋832＝130，PR＝ 12＋432 ＝53，故所得截面的周长为 A1M＋MR＋PR＋PN＋A1N＝5＋3 2 ＋53＋130＋4 2＝10＋7 2．
球心
O
到平面
MNPQ
的距离
d
＝
EG
＝
1 2
EC1
．
设
正
方
体
ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2 2，则 R＝12EF＝ 2，d＝EG＝12EC1＝1，所以球 O 被平面 MNPQ 所截的小圆半径 r＝ R2－d2＝ 2－1＝1，所以球 O 被平面 MNPQ 所截的小
圆面积为 πr2＝π．又易知 NM＝2，PN＝2 2，所以该正方体被平面 MNPQ 所截得的
图(1)
PQ⊂底面A1B1C1D1，所以PQ⊥CC1．因为A1C1，CC1⊂平面A1C1CA，A1C1∩CC1＝ C1，所以PQ⊥平面A1C1CA．因为CE⊂平面A1C1CA，所以PQ⊥CE，即l⊥CE．
1 (2023·汕头二模节选)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， 直线l⊂平面A1B1C1D1，l∩A1C1＝E，A1E＝3EC1． (2)设点A与(1)中所作直线l确定平面α．请在图中作出平面α截正方 体ABCDA1B1C1D1所得的截面，并写出作法．
立体几何中的截面问题高考题
立体几何中的截面问题高考题
立体几何中的截面问题高考题是数学中比较常见的一种题目类型，它涉及到几何体的截面性质和特点。
以下是一个关于截面问题的示例：
题目：一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )
A. 6π
B. 4π
C. 3π
D. 2π
解析：由题意可知四面体的棱长为2，因此其外接球直径为$2R = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = 2\sqrt{3}$，故$R = \sqrt{3}$。
根据球的表面积公式$S = 4\pi R^2$，得$S = 4\pi (\sqrt{3})^2 = 12\pi$。
故答案为：A. $6\pi$。
以上题目考查了四面体的外接球问题，解题时要注意利用空间思维和计算技巧。
高考总复习二轮数学精品课件 专题4 立体几何 素养提升微专题(五) 截面问题
①当 t=0 时,点 P 与点 B 重合,=(-1,1,0), =(1,1,0),1 =(0,0,1),所以 ·
=0, ·1 =0,所以 BD⊥AC,BD⊥AA1,又 AC∩AA1=A,所以 BD⊥平面
AA1C1C,此时平面 α 即为平面 AA1C1C,截面面积 S=AA1·
易错警示在判断截面形状时,如果对截面与几何体的各个面是否存在交线,
交线是什么形状,交线的位置等情况分析不清,那么容易导致判断错误,因
此要结合空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理等进行分析
判断.
角度二 确定截面的个数
[例2]已知四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,
∴四边形 AEGD1 是梯形,且为平面 AED1 截正方体 ABCD-A1B1C1D1 的截面.
又 D1G=AE= 13,在等腰梯形 AEGD1 中,过 G 作 GH⊥AD1,
∴GH= 1 2 -1 2 = 11,
∴截面面积
1
1
S=2 ·(EG+AD1)·
GH=2 ·(
2+3 2)· 11=2 22.
2
32
5
,A1C1=2
2
2,
[例 3—3]已知正四面体 ABCD 的棱长为 2,平面 α 与棱 AB,CD 均平行,则平
面 α 截该正四面体所得截面面积的最大值为( A )
A.1
B. 2
C. 3
D.2
解析 如图,取CD的中点O,连接OA,OB.
因为△ACD为等边三角形,O为CD的中点,
所以OA⊥CD.
同理OB⊥CD.
又OA∩OB=O,
所以CD⊥平面AOB.
高考数学专题四立体几何 微专题30 截面、交线问题
跟踪训练1 (1)(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，若AC1⊥平面α，则 关于平面α截此正方体所得截面的判断正确的是
√A.截面形状可能为正三角形
B.截面形状可能为正方形
√C.截面形状可能为正六边形
D.截面形状可能为五边形
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1B， A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD， 所以平面α与平面A1BD平行或重合， 所以平面α与正方体的截面形状可能是正三角形、 正六边形，但不可能是五边形和四边形，故A，C 正确，B，D错误.
12345678
在平面A1B1C1D1内取一点G，使得A1G＝1， 则AG＝ 5， 所以以A为球心， 5 为半径的球面与底面A1B1C1D1
的交线为以A1为圆心，1为半径的 RGQ ，
其长度为14×2π×1＝π2，故选 A.
12345678
设正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为a，高为h. 若要使该正六棱柱的体积最大，正六棱柱应为球的内接正六棱柱中体
积最大者，
所以h42＋a2＝22，即 a2＝4－h42，
又正六棱柱的底面积 S＝6× 43a2， 所以该正六棱柱的体积 V＝S·h＝6× 43a2h＝383(16－h2)h.
则 EF＝
362－
332＝
33＝ME，
所以∠FME＝45°，
圆与三角形截得的三部分，由对称性可知，圆心角都
为90°，故该球的球面与侧面PCD的交线长度为截面圆周长的 14， 即为14×2π×MF＝ 66π，故选 A.
总结提升
截面和交线问题在高考中一般为选择和填空题，难度较大.探究找 截面一是几何法，常用直接连接、作平行线或作延长线找交点， 找交线的方法常用线面交点法和面面交点法，二是利用空间向量法.
立体几何中截面问题-高考数学微专题突破含详解
立体几何中截面问题-高考数学微专题突破一、单选题1．下列命题错误的是（ ）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面都是等腰三角形2．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形3．已知正方体1111ABCD A B C D -，直线1AC ⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）A ．截面形状可能为四边形B ．截面形状可能为五边形C ．截面面积最大值为D ．截面面积最大值为24．球O 的截面把垂直于截面的直径分成1:3O 的体积为( )A ．16πB ．163πC ．323πD ．5．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则该截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．46V ABC -中，40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=，过点A 作截面则截面AEF ，则截面AEF 的周长的最小值为（ ）A B ．2 C ．3 D ．47．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论：①截面形状可能是正三角形①截面的形状可能是正方形①截面形状可能是正五边形①截面面积最大值为则正确结论的编号是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①① 8．已知长方体1111ABCD A B C D -各个顶点都在球面上，8AB AD ==，16AA =，过棱AB 作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是30，则截面的面积是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．10．直三棱柱111ABC A B C -中，若22BC AB ==，1AA AC ==M 是11B C 中点，过AM 作这个三棱柱的截面，当截面与平面ABC 所成的锐二面角最小时，这个截面的面积为（ ）A ．2BC D11．在直三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 上的点，3AB =，4BC =，5AC =，17CC =，过三点A 、M 、1C 作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的两部分的体积比为（ ）．A ．34B ．45C ．910D ．101112．已知球O 是正三棱锥P ABC -的外接球，3,AB PA ==点E 在线段AC 上，且3AC AE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是（ ） A ．2π B ．π C ．94π D ．74π 13．下列说法正确的是A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B ．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D ．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形14．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为（ ）A B C ．2 D 15．用一个平面截半径为25cm 的球，截面面积是2225cm π，则球心到截面的距离是（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm 16．如图1-1-4所示的几何体：将它们按截面的形状分成两类时，下面分类方法正确的是（ ）A ．截面可能是圆和三角形两类B ．截面可能是圆和四边形两类C ．截面可能是圆和五边形两类D ．截面可能是三角形和四边形两类 17．在侧棱长为的正三棱锥中，，过 作截面，则截面的最小周长为（ ）A ．B ．4C ．6D ．1018．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4，侧棱1AA ⊥底面ABC ，P ，Q ，R 分别在棱1AA ，AB ，11B C 上，2AP AQ ==，13B R =，过P ，Q ，R 三点的平面将三棱柱分为两部分，下列说法错误的是（ ）A．截面是五边形B ．截面面积为C ．截面将三棱柱体积平分D ．截面与底面所成的锐二面角大小为π3 19．过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为75︒，这样的截面有（ ）A ．6个B ．12个C ．16个D ．18个 20．如图，正四棱锥S ABCD -的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条棱,SA SC 作截面SAC ，则截面的面积为A ．232a B ．2a C ．212a D ．213a 21．棱长为a 的正方体，过上底面两邻边中点和下底面中心作截面，则截面图形的周长等于（ ）A ．2a + BC +D +b 22．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A ．35B ．35C ．92D ．98 23．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为S 1、S 2、S 3，则（ ）A ．S 1<S 2<S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 2<S 1<S 3D ．S 2>S 1>S 324．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①①①B ．①①C ．①①①D ．①①① 25．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（ ）A ．2BCD ．126．如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是（ ）A ．2BC ．4D ．32π 27．已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，底边3BC =，侧棱AB =E 在线段BD 上，且3BD DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,4ππC ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦28．如图所示，在棱长为 6的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1111,C D B C 的中点，过,,A E F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）A ．18+B ．C ．D ．10++二、多选题 29．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面面积最大值为30．如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a ，点P 是ACD △的中心.劳动课上，需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）A ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABDB ．截面是一个三角形C ．截面是一个四边形D ．截面的面积为24a 31．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1PM =时，截面的面积为D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V32．如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A D 的中点，F 为1CC 上的一个动点，设由点A ，E ，F 构成的平面为α，则（ ）A ．平面α截正方体的截面可能是三角形B．当点F 与点1C 重合时，平面α截正方体的截面面积为C ．点D 到平面α D ．当F 为1CC 的中点时，平面α截正方体的截面为五边形33．正方体的截面可能是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．菱形D ．正六边形三、双空题34．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动，过,,A C K 三点作正方体的截面，若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为_________，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A K KB =_______35．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点K 在棱11A B 上运动，过,,A C K 三点作正方体的截面，若K 与1B 重合，此时截面把正方体分成体积之比为(01)λλ<<的两部分，则λ=______；若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为________．36．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N ，E ，F 分别是11A B ，AD ，11B C ，11C D 的中点，则过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为______，CE 和该截面所成角的正弦值为______．37．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则球O 的表面积为________；若D 是AB 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的范围是________．四、填空题38．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11A B 的中点是P ，过点1A 作与截面1PBC 平行的截面，则截面的面积为__________.39．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，截面的面积为3π，则球心O 到该截面的距离为______40．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；①截面形状可能为正方形；①截面形状不可能是正五边形；①截面面积最大值为其中所有正确结论的编号是______．41．体积为12的四面体ABCD 中，E F G 、、分别是棱AB BC AD 、、上的点，且2AE EB =，BF FC =，2AG GD =.过点E F G 、、作截面EFHG ，且点C 到此截面的距离为1.则此截面的面积是______.42．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为4π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为____．43．在侧棱长为S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，过点A 作截面AEF ，则截面最小的周长为______.44．过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为75。
第32讲 立体几何中的截面问题(解析版)
第32讲 立体几何中的截面问题参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2021•诸暨市校级期中）过正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面ABCD 所成二面角为45︒，则此截面的形状为( ) A ．三角形或五边形 B ．三角形或四边形 C ．正六边形D ．三角形或六边形【解答】解：过棱AB 、BC 的中点E 、F 作正方体1AC 的截面， 二面角1D EF D --，二面角1B EF B --都大于045，∴当截面为EFHJIG 时，如下图所示时，为六边形，当截面为EFM 时，如下图所示时，为三边形， 故选：D ．2．（2021•黄陵县校级二模）如图所示，点O 为正方体ABCD A B C D ''''的中心，点E 为棱B B '的中点，若1AB =，则下面说法正确的是( )A ．直线AC 与直线EC '所成角为45︒B ．点E 到平面OCD '的距离为12C ．四面体O EA B ''在平面ABCD 上的射影是面积为16的三角形D ．过点O ，E ，C 【解答】解：对于A ，连结A C ''，A E '，C E '，则//AC AC ''，AC E ∴∠''为直线AC 与直线EC '所成角，在△A C E ''中，A C ''=A E C E '='=，552cos A C E +-∴∠''== ∴直线AC 与直线EC '，故A 错误； 对于B ，连结CD '，A B '，则O ∈平面BCD A ''，B ∴'到平面BCD A ''的距离为12AB '=E ∴到平面BCD A ''，故B 错误； 对于C ，O 在底面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心，A '的射影为A ，B '和E 在底面的射影为B ，∴四面体O EA B ''在平面ABCD 上的射影是面积为14的三角形，故C 错误； 对于D ，取DD '中点F ，连结A E '，A F '，CE ，CF ，则菱形CEA F '是过O ，C ，E 的平面与正方体的截面，2EF =A C '∴截面面积12S =．故D 正确． 故选：D ．3．（2021•张家口期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，11C D 的中点，G 为棱1CC 靠近C 点的三等分点，用过点E ，F ，G 的平面截正方体，则截面图形的周长为( )A B C D ．143【解答】解：根据题意作出截面如图，， 故选：B ．4．（2021春•天心区校级月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11C D 的中点，过点A 、C 、E 、F 的截面与平面11BDD B 的交线为m ，则异面直线m 、1CC 所成角的正切值为( )A B C D 【解答】解：如图所示，O ，1O 分别为上下底面中心，11G EFB D =．E ，F 分别为11A D ，11C D 的中点，G ∴为1GO 的中点．则1GOO ∠为异面直线m 、1CC 所成角．11114tan 1GO GOO OO ∠===故选：D ．5．（2021春•瑞金市月考）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AA ，1CC 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面与正方体各个面的交线组成的平面多边形的面积为( ) A．B．C．D．【解答】解：连接1ED ，1FD ，显然有1//ED BF ，1//FD BE ， 故过B ，E ，F 三点的截面多边形为平行四边形1BED F ， 又BE BF =，∴四边形1BED F 为菱形， 正方体棱长为4，故EF =1BD =∴菱形1BED F的面积为12⨯故选：B ．6．（2021•丽水期末）斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，点P 是平面α上的动点且满足60PAB ∠=︒，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P 满足60PAB ∠=︒，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上， 再由斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中抛物线定义． 故可知动点P 的轨迹是抛物线． 故选：B ．7．（2021•泉州模拟）设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面(α )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个【解答】证明：由侧面PAD 与侧面PBC 相交，侧面PAB 与侧面PCD 相交， 设两组相交平面的交线分别为m ，n ， 由m ，n 确定的平面为β， 作α与β平行且与四条侧棱相交， 交点分别为1A ，1B ，1C ，1D 则由面面平行的性质定理得： 1111////A B m D C ，1111////A D n B C ，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个． 故选：D ．8．（2021•西湖区校级模拟）如图，ABCD A B C D -''''为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则( )A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值【解答】解：将正方体切去两个正三棱锥A A BD -'与C D B C '-''后，得到一个以平行平面A BD '与DBC ''为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ''剪开，展平在一张平面上，得到一个11A B B A ''，如图而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1)E E '，显然11E E A A '='，故l 为定值．当E '位于A B ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E '移至A '处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 22，故S 不为定值． 故选：B ．9．（2021•安徽二模）已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为，则正四面体表面与球面的交线的总长度为( )A ．4πB ．C ．D ．12π【解答】解：正四面体A BCD -的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为 取CD 中点E ，连结BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则BE AE =23BF BE ==，13DF BE ==4AF =，设正四面体内切球半径为r ，则222(4)r r -=+，解得正四面体内切球半径为1r =，，∴由球的半径知球被平面截得小圆半径为12r =，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为30︒，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：304(322)4360ππ︒⨯⨯⨯⨯=︒． 故选：A ．10．（2021春•浙江期中）如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( )A B C D ．15【解答】解：不妨设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得21242a b =-⎧⎨=⎩，解得4a =，2b =，c ==∴该椭圆的离心率为c e a =． 故选：B ．11．（2021秋•翠屏区校级期末）如图，A 为平面α内一定点，AB 是平面α的定长斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使ABP ∆面积为定值，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．两条平行线C ．一条直线D ．椭圆【解答】解：因为三角形面积为定值，以定长斜线段AB 为底，则得P 到直线AB 的距离为定值，分析可得，点P 在以AB 为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交， 由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P 的轨迹为椭圆； 故选：D ．12．（2021春•江西期中）已知AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若AB 与平面α成60︒角，过定点B 的动直线l 与斜线AB 成60︒角，且交α于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆； 把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题AB 与平面α成60︒角，过定点B 的动直线l 与斜线AB 成60︒角，且交α于点P ， 故可知动点P 的轨迹是抛物线． 故选：D ．13．（2021•滨州一模）如图，斜线段AB 与平面α所成的角为4π，B 为斜足．平面α上的动点P 满足6PAB π∠=，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆； 把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线． 参考上图：此题中平面α上的动点P 满足6PAB π∠=，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上， 再由斜线段AB 与平面α所成的角为4π， 可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义， 故可知动点P 的轨迹是椭圆． 故选：B ．二．多选题（共5小题）14．（2021春•湖南期末）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱AB ，BC 上的中点，过E ，F 的平面α与底面ABCD 所成的锐二面角为60︒，则正方体被平面α所截的截面形状可能为( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【解答】解：如图所示：设正方体的棱长为4a ，在1BB 上取一点G 使得平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角为60︒，因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点， 所以EG FG =，连接BD 交EF 于点N ，连接AC ， 所以EF BN ⊥，且N 为EF 的中点， 14BN BD =， 所以GN EF ⊥，所以GNB ∠为平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角为60︒，所以1tan 604GB BN =︒⋅⨯=，所以1GB BB ==， 所以此时平面EFG 为平面α， 所以平面α为三角形，故A 正确；在1AA 和1CC 上分别取点M 和点H ，使得AM CH =， 取MH ，AC 的中点K ，O ， 则KO ⊥平面ABCD ， 又因为EF ⊂平面ABCD ， 所以KO EF ⊥又NO EF ⊥， 所以EF ⊥平面KNO ， 又因为KN ⊂平面KNO ，所以KNO ∠为平面MEFH 与平面ABCD 所成的锐二面角为60︒，所以1tan 604KO ON =︒⋅⨯=，所以111KO MA CH BB AA CC ==== 延长FH 交11B C 于T ，延长EM 交11B A 于S ，连接ST 交11A D 于Q ，交11C D 于P ， 连接HP ，MQ ，则平面MEFHPQ 为平面α， 所以平面α为六边形，故D 正确． 故选：AD ．15．（2021•唐山三模）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，如图所示，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则( )A ．AC 与EF 所成的角为45︒B ．EF BC ⊥C ．过EF 且与BD 平行的平面截四面体A BCD -D ．四面体A BCD -的外接球的表面积为8π【解答】解：如图建立空间直角坐标系，则(0A ，0，(0C ，0)，B 0，0)，(D 0，0)，E ，0)，(F 0．对于A ，(0AC =，，，(EF =-，，，cos ,||||AC EF AC EF AC EF ⋅∴<>==-，故A 错；对于B ，(BC =-0)，∴2110BC EF ⋅=-=≠，故B 错；对于C ，取CD 中点为M ，AB 的中点为N ，过EF 且与BD 平行的平面截四面体A BCD -所得截面为矩形EMFN ，12EM DB ==112MF AC ==C 正确；对于D ，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为R =， 所以表面积为248R ππ=，所以D 对． 故选：CD ．16．（2021•雁峰区校级模拟）由四个三角形围成的多面体称为四面体，对棱相等的四面体称为等腰四面体．已知如图等腰四面体ABCD 中，AB CD =，AD BC =，AC BD =，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点．下面结论中，正确的有( )A ．直线EG ，FH 有可能是异面直线B ．EG AB ⊥C ．过直线EG 的平面截四面体外接球所得截面面积为定值D ．共顶点A 的三个侧面面角和()BAC CAD DAB ∠+∠+∠等于180︒ 【解答】解：如图所示：对于A ：由于E 、F 、G 、H 为各边的中点，所以：////EF AC HG ，所以E 、F 、G 、H 四点共面，故A 错误；对于B ：由于BD AC =，BC AD =，CD CD =，所以ACD BCD ∆≅∆，所以ACD BDC ∠=∠，故ACG BDG ∆≅∆，所以AG BG =，由于点E 为AB 的中点，所以EG AB ⊥，故B 正确； 对于C ：把四面体ABCD 补形为长方体，则四面体与长方体外接球为同一个球，球心为EG 的中点，所以截面为球的大圆，其面积为定值，故C 正确；对于D ：四个面全等，设一个面的三个内角为α、β、γ、则共顶点的三个侧面的内角和为180αβγ++=︒，故D 正确； 故选：BCD ．17．（2021•江苏模拟）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE ．以下命题正确的有( )A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C所成锐二面角的正切值为D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A【解答】解：作辅助线，I 、J 、N ，分别为所在棱中点，P 点为1A E 与AD 延长线交点，BP 连线交CD 于G ，则G 为CD 中点，K 为IJ 中点，L 为1A B 与1A B 交点；对于A ，当F 取IJ 中点K 时，1B K IJ ⊥，1//IJ CD所以11B K CD ⊥，1//B K LM ，LM ⊂平面1A BE ，1//B K 平面1A BE ，所以A 对； 对于B ，当点F 与点I 或点J 重合时，1B F 与直线BC 所成的角最大，所以111tan tan302C B F ∠==︒，所以B 不对； 对于C ，平面11//AA B B 平面11CDD C ，所以平面1A BE 与平面11CDD C 所锐二面角， 即为平面1A BE 与平面11AA B B 所成锐二面角，二面角的平面角即为PLA ∠，其正切值为AP AL ==C 对； 对于D ，因为过点E ，F ，A 的平面截正方体所得的截面面积最大的截面为菱形1AEC N ，其面积为112EN AC ⋅=，所以D 对． 故选：ACD ．18．（2021•新罗区校级月考）如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足||||(0)BC AC λλ=>，且在平面α内运动，则有以下几个命题，其中正确的命题是( )A ．当1λ=时，点C 的轨迹是线段B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线C ．当2λ=时，点C 的轨迹是圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆【解答】解：在ABC ∆中，点C 满足||||(0)BC AC λλ=>，当1λ=时，即||||BC AC =，则C 在过AB 的中点且垂直直线AB 的平面β与平面α的交线上，即点C 的轨迹是一条直线，故A 错误，B 正确；当2λ=时，||2||BC AC =，设点B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，AD ，CD ，设||BD h =，||2AD a =，则||BC =在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，以AD 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系： 设(,)C x y ，则(,0)A a -，(,0)D a ，所以||CA =||CD ||CB整理可得2516()222393h x a y a ++=+，即C 的轨迹是圆，故C 正确，D 错误；故选：BC ．三．填空题（共9小题）19．（2021春•邵阳县期末）已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角相等，则平面α截正方体所得的截面面积的最大值为． 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且是正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长2，α截此正方体所得截面最大值为：26．．20．（2021•上海模拟）如图，圆锥VO 的母线长为l ，轴截面VAB 的顶角150AVB ∠=︒，则过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面VCD ，则VCD ∆面积的最大值是 212l ，此时VCD ∠= ．【解答】解：过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截面VCD ，则VCD ∆面积的最大值时是等腰直角三角形时，且顶角为90︒，三角形VCD 中，VC VD l ==， 所以此时2211sin9022VCD S l l ∆=⋅⋅︒=，且45VCD ∠=︒故答案分别为：212l ，45︒．21．（2021•闵行区校级月考）如图所示，点P ，Q ，R 分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，BC ，1CC 上，5AP =，15PB =，15BQ =，10CR =，那么正方体被平面PQR 所截得的截面面积是 525 ．【解答】解：连接AC ，因为BP BQ =，所以//PQ AC ，如图，过点R 作平行于PQ 的直线交1AA 于点U ，连接PU ，过点R 作//SR UP 交11C D 于点S ，过点U 作//TU RQ 交11A D 于点T ，连接ST ，则六边形PQRSTU 为平面PQR 与正方体的交线组成的多边形，UR 的中点是正方体的中心，所以六边形PQRSTU 上的点关于正方体的中心对称，因此六边形PQRSTU 的面积是梯形PQRU 的2倍，易知UR =，PQ =PU =，所以梯形PQRU 的高h ==故所求面积为525=． 故答案为：525．22．过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 所成的角为75︒，这样的截面共可作出 18 个．【解答】解：作正四面体A BCD -的高AO ，连接BO 交CD 于E ，连接AE ． 则E 为CD 的中点，O 为△等边三角形BCD 的中心．BE CD ∴⊥，AE CD ⊥，AEB ∴∠为二面角A CD B --的平面角．设2AB =，则BE =，13OE BE ∴=23OB BE =AO ∴=．tan AOAEB OE∴∠==．sin 75tan 752cos75︒︒===︒75AEB ∴∠<︒．在平面BCD 内，以O 为圆心，以tan75OA ︒为半径作圆O ，则圆O 在BCD ∆内部．∴若截面AMN 与底面BCD 所成角为75︒，则截面AMN 与平面BCD 的交线为圆O 的切线．（1）若圆O 的切线与BCD ∆的一边平行，如图1所示：则存在6个符合条件的截面三角形AMN ．（2）若圆O 的切线过三角形的顶点，不妨设过点B ，交CD 于M ，如图2所示：则由ACM BCM ∆≅∆可得AM BM =，故截面ABM 为符合条件的截面三角形， 显然存在6个这样的截面三角形．（3）若圆O 的切线MN 与三角形BCD 的两边相交，不妨设与NC 交于M ，与CD 交于N ，且BM CN =， 如图3所示：显然ABM ACN ∆≅∆，故而AM AN =，∴截面AMN 为符合条件的截面三角形．显然这样的截面也有6个． 综上，符合条件的截面共有18个． 故答案为：18．23．（2021春•绍兴期末）已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，点O 满足OA OB OC OD ===，则以O ABCD 表面所得交线总长度为． 【解答】解：正四面体A BCD -的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为4， 取CD 中点E ，连结BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则4sin 60BE =︒=23BF BE ==，AF ∴=又222()AF OF OF BF -=+，OF ∴=由球的半径知球被平面截得小圆半径为r ==而ABC ∆， 故球被正四面体一个平面截曲线为圆弧，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：42π⨯=．．24．（2021春•开福区校级月考）以棱长为O 为球心，以(03)R R <<为半径的球面与正四面体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 (0，] ．【解答】解：将S ABC -正四面体看作是正方体的6条面对角线围成的正四面体，设正方体棱长为a =a =3=，又正四面体的体积为332114323S ABC a V a a a -=-⨯⨯⨯==，表面积为24S ==表设正四面体的内切球半径为1r ，则1243⨯1r =11r =．设三角形ABC 的内切圆半径为2r ，圆心为O '，D 为BC 的中点，则30O BD ∠'=︒，BD =，故2r O D ='=，此时R（1）当01R <时，球面与正四面体无交点或相切，此时圆弧总长度为0； （2）当13R<时，球面与正四面体的每个面交线均为相等的圆，设圆的半径为r ，则02r <，故当r42π⨯=； （33R <时，球面与正四面体的每个面的交线均为三段相等的圆弧， 不妨设其中一段为EF ，如图所示：设DO E α∠'=，显然03πα<<，O E '22()233EO F ππαα∠'=-=-， 于是EF 的长为222()(2)(2)33cos fO E ππαααα=-'=-， 22)sin 2(sin sin cos )33()f cos cos πααααααααα-+---∴'==， 令()sin sin cos (0)33g ππαααααα=--<<，则()cos cos ()cos 033g ππαααααα'=-=->，()g α∴在(0,)3π上单调递增，故1()()032g g πα<=-<，()0f α∴'<，故()f α在(0,)3π上单调递减，()(0)3f f α∴<=， 3R <<34⨯=． 综上，圆（或圆弧）的总长度的取值范围是：(0，]． 故答案为：(0，]．25．（2021春•金山区校级期中）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是 ．【解答】解：以点1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则(2B ，2，2)，1(0D ，0，0)，设α与棱1CC 的交点为P ，与棱1AA 的交点为G ， 则四边形1BGD P 为平行四边形，在平面α内过点P 作1BD 的垂线，垂足为Q ， 则截面的面积1||||23||S BD PQ PQ ==， 设(Q x ，x ，)x ，(0P ，2，)y ， 则1(2,2,2),(,2,)D B PQ x x x y ==--，因为10D B PQ ⋅=，所以22(2)2()0x x x y +-+-=， 所以320x y --=，所以32y x =-， 因为0322x -，所以2433x，又2||PQ x = 有2433x，可得262||3PQ ， 所以642S ，则α截该正方体的截面面积的取值范围是．故答案为：．26．（2021春•杨浦区校级期末）如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线4PA =，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且AB OB ⊥，C 为PA 的中点，OD PB ⊥，垂足为D ，当三棱锥O PCD -的体积最大时，OB =．【解答】解：AB OB ⊥，可得PB AB ⊥，即AB ⊥面POB ，所以面PAB ⊥面POB ． OD PB ⊥，则OD ⊥面PAB ，OD DC ⊥，OD PC ⊥，又，PC OC ⊥，所以PC ⊥面OCD ．即PC 是三棱锥P OCD -的高．2PC OC ==．而OCD ∆的面积在OD DC ==2=的直角三角形）．当OD 时，由PO =，知30OPB ∠=︒，tan30OB PO =︒．． 27．（2021•东阳市校级月考）顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且4PA =，C 是PA 的中点，则当三棱锥O HPC -的体积最大时，OB 的长为 ． 【解答】解：AB OB ⊥，AB OP ⊥，AB PB ∴⊥，OH PB ⊥，∴面PAB ⊥面POB ，OH HC ∴⊥，OH PA ⊥， C 是PA 的中点，OC PA ∴⊥，∴当HO HC =时，HOC S ∆最大，即O HPC P HCO V V --=最大，此时，HO =12HO OP ∴=，30HPO ∴∠=︒，tan 30OB OP ∴=︒=，．四．解答题（共3小题）28．如图，G 是正方体1111ABCD A B C D 的棱的1DD 延长线上的一点，E 、F 是棱AB 、BC 的中点，试分别画出：（1）过点G 、A 、C 的平面与正方体表面的交线； （2）过点E 、F 、1D 的平面与正方体表面的交线．【解答】解：如图，过点A 、C 、G 的平面为平面1AC H ， 过点G 、A 、C 的平面与正方体表面的交线分别为：AH ，HI ，IC ，AC ．（2）如图，过点E 、F 、1D 的平面为平面1EFRD O ， 过点E 、F 、1D 的平面与正方体表面的交线分别为： 1D O ，OE ，EF ，FR ．1RD ．29．如图，已知底面为平行四边形的四棱锥P ABCD-中，平面MNGH与直线PB和直线AC 平行，点E为PD的中点，点F在CD上，且:1:2DF FC=．（1）求证：四边形MNGH是平行四边形；（2）求作过EF作四棱锥P ABCD-的截面，使PB与截面平行（写出作图过程，不要求证明）．截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．【解答】证明：（1）平面MNGH与直线PB平行，MH⊂平面MNGH，NG⊂平面MNGH，又MH与PB共面于平面PAB，NG与PB共面于平面PBC，MH NGNG PB，//∴，MH PB//∴，//平面MNGH 与直线AC 平行，MN ⊂平面MNGH ，HG ⊂平面MNGH ， 又MN 与AC 共面于ABCD ，HG 与AC 共面于PAC ， //MN AC ∴，//HG AC ，//MN HG ∴，∴四边形MNGH 是平行四边形．解：（2）延长FO ，与AB 交于点G ，延长FE ，与面PAB 交于点S （直线l 为平面PAB 和平面PCD 的交线）， 连接SG ，与PA 交于点H ，连接HE ．平面EFGH 为所求截面， //PB 截面EFGH ．30．（2021•邢台月考）如图，在边长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q ，R 分别在棱AB ，11B C ，1D D 上，且111AP B Q D R ===． （1）求点D 到平面PQR 的距离；（2）若平面PQR 与线段1AC 的交点为N ，求1ANAC 的值．【解答】解：（1）以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则(3A ，0，0)，(3P ，1，0)，(0R ，0，2)，(2Q ，3，4)，1(0C ，3，3)，(1,2,3)PQ =-，(3,1,2)PR =--，(0,1,0)AP =，1(3,3,3)AC =-，(0,0,2)DR =，设平面PQR 的法向量为(,,)m x y z =， 则00m PQ m PR ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，代入可得230320x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩，令1x =，则1y =-，1z =，所以(,,)m x y z =， 故点D 到平面PQR的距离为2||||3m DR m ⋅== （2）因为点N 在平面PQR 内，可设PN mPQ nPR =+（其中m ，n 为常数，又AN 与1AC 共线，可设1AN k AC =，由图可得1AN AP PN AP mPQ nPR k AC =+=++=， 即(0，1，0)(1m +-，2，3)(3n +-，1-，2)(3k =-，3，3)， 整理得33123323m n k m n k m n k --=-⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩①②③，由①③可得2m n =④， 由②③可得3m n +⑤，联立④⑤解得1727m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入②可得13k =，所以113AN AC =，即113AN AC =．。
空间几何体的截面图形(学生版)
空间几何体的截面图形一、单选题1.(2022·浙江·高三阶段练习)如图，在四棱锥Q -EFGH 中，底面是边长为22的正方形，QE =QF =QG =QH =4，M 为QG 的中点.过EM 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 1V2的最小值为( )A.12 B.13 C.14 D.152.(2022·浙江·高三专题练习)在三棱锥P -ABC 中，顶点P 在底面的射影为△ABC 的垂心O (O 在△ABC 内部)，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为θ1，θ2，若∠PAM =∠PBM =θ，则下列说法错误的是( )A.若θ1=θ2，则AC =BCB.若θ1≠θ2，则tan θ1⋅tan θ2=12C.θ可能值为π6D.当θ取值最大时，θ1=θ23.(2022·全国·高三专题练习(文))正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为( )A.2+25B.25+2313C.25+13D.25+1324.(2022·全国·高三专题练习(理))已知正方体ABCD -A B C D 的棱长为4，E ，F 分别为BB ，C D 的中点，点P 在平面ABB A 中，PF =25，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是( )①点P 的轨迹长度为2π；②线段FP 的轨迹与平面A B CD 的交线为圆弧；③NP 的最小值为65-105；④过A 、E 、F 作正方体的截面，则该截面的周长为103+4313+25A.4 B.3 C.2 D.15.(2022·河南安阳·模拟预测(文))已知球O 的体积为125π6，高为1的圆锥内接于球O ，经过圆锥顶点的平面α截球O 和圆锥所得的截面面积分别为S 1,S 2，若S 1=25π8，则S 2=( )A.2 B.5 C.6 D.226.(2022·江西萍乡·三模(文))正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 在侧面CDD 1C 1上运动，且满足B1F ∥平面A 1BE .以下命题中，正确的个数为( )①侧面CDD 1C 1上存在点F ，使得B 1F ⊥CD 1；②直线B 1F 与直线BC 所成角可能为30°；③设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为52.A.0 B.1 C.2 D.37.(2022·全国·高一单元测试)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4、BC =3，M 、N 分别为棱AB 、BB 1的中点，点P 在对角线A 1C 1上，且A 1P =3，过点M 、N 、P 作一个截面，该截面的形状为( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8.(2022·全国·高一单元测试)在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P -ABCD ，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥，某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A 作一个平面分別交PB 、PC 、PD 于点E 、F 、G ，得到四棱锥P -AEFG ；第二步，将剩下的几何体沿平面ACF 切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG ，若PE PB =35、PF PC =12，则PG PD的值为( )A.18B.14C.12D.349.(2022·广西·南宁二中高三阶段练习(理))已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1=2AB =2，E 为CC 1的中点，P 为棱AA 1上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，有如下四个命题：①平面α⊥平面A 1B 1E ；②平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形；③当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118π；④存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π3．则正确的命题个数为( )．A.1B.2C.3D.410.(2022·四川成都·高二期中(理))在棱长为1的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱A 1D 1上一点，且D 1Q =λD 1A 1 ，λ∈[0，1]，N 为线段AQ 的中点，给出下列命题：①CN 与QM 共面；②三棱锥A -DMN 的体积跟λ的取值无关；③当λ=14时，AM ⊥QM ；④当λ=13时，过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为42+2133．其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④11.(2022·全国·高三专题练习(文))已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =AA 1=4，BC =3，M 为AA 1的中点，N 为C 1D 1的中点，过B 1的平面α与DM ，A 1N 都平行，则平面α截长方体所得截面的面积为( )A.322B.311C.422D.51112.(2022·浙江台州·高一期中)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 的一个三等分点(靠近B 点)，F ,G 分别为棱BC ，CC 1的中点，过E ,F ,G 三点作正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的截面，则下列说法正确的是( )A.所得截面是六边形B.截面过棱D 1C 1的中点C.截面不经过点A 1D.截面与线段B 1D 1相交，且交点是线段B 1D 1的一个五等分点二、多选题13.(2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习)如下图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1上的动点，AM ⊥平面α，则下面说法正确的是( )A.直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为33,22B.点M 与点C 1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点M 为CC 1的中点时，平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N 为DD 1中点，当AM +MN 的和最小时，M 为CC 1的三等分点14.(2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1=2AB =2，E 为CC 1的中点，P 为棱AA 1上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则( )A.平面α⊥平面A 1B 1EB.平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C.当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118πD.存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π315.(2022·海南华侨中学模拟预测)如图，ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ．点P 为半圆弧AD上一动点(点P 与点A ，D 不重合)．下列说法正确的是( )A.三棱锥P -ABD 的四个面都是直角三角形B.三棱锥P 一ABD 体积的最大值为1254C.异面直线PA 与BC 的距离为定值D.当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P -ABCD 外接球的截面面积为253-2 π416.(2022·山东山东·高一期中)在四面体ABCD 中，AB =CD =AC =BD =2，且AD =BC =6，若用平面α去截四面体ABCD ，则下列结论正确的为( )A.α截四面体ABCD 所得截面形状可以为菱形B.当BC ⎳α时，α截四面体ABCD 所得截面形状不可能为直角三角形C.当AB ⎳α，CD ⎳α时，α截四面体ABCD 所得截面形状的周长为定值D.四面体ABCD 的外接球表面积为7π17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高一期中)在圆锥SO 中，C 是母线SA 上靠近点S 的三等分点，SA =l ，底面圆的半径为r ，圆锥SO 的侧面积为3π，则( )A.当r =1时，从点A 到点C 绕圆锥侧面一周的最小长度为13B.当r =32时，过顶点S 和两母线的截面三角形的最大面积为374C.当l =3时，圆锥SO 的外接球表面积为8l π8D.当l =3时，棱长为233的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动18.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)已知点E 、F 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点，过EF 的平面α截正方体，AB =4，下列说法正确的是( )A.若α与地面ABCD 所成角的正切值为2，则截面为正六边形或正三角形B.α与地面ABCD 所成角为45∘则截面不可能为六边形C.若截面为正三角形EFG 时，三棱锥D 1-EFG 的外接球的半径为925D.若截面为四边形，则截面与平面B 1EF 所成角的余弦值的最小值为7919.(2022·全国·华中师大一附中模拟预测)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =2．点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，下列说法正确的是( )A.AG ⊥平面PBDB.直线FG 和直线AC 所成的角为π3C.过点E ，F ，G 的平面截四棱锥P -ABCD 所得的截面为五边形D.当点T 在平面ABCD 内运动，且满足△AGT 的面积为12时，动点T 的轨迹是圆20.(2022·广东实验中学高一期中)已知正四面体ABCD 的棱长为3，其外接球的球心为O ．点E 满足AE =λAB 0<λ<1 ，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，设α分别与该正四面体的棱BC 、CD 、DA 相交于点F 、G 、H ，则( )A.四边形EFGH 的周长为定值6B.当λ=12时，四边形EFGH 为正方形C.当λ=13时，α截球O 所得截面的周长为13πD.∃λ∈0,1 ，使得四边形EFGH 为等腰梯形21.(2022·湖南·长沙一中模拟预测)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，O 1，O 2为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若球的半径r =2，则( )A.球与圆柱的表面积之比为1：2B.平面DEF 截得球的截面面积最小值为165πC.四面体CDEF 的体积的取值范围为0，323D.若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE +PF 的取值范围为2+25，43 22.(2022·湖北武汉·模拟预测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2(如图所示)，点M 为线段CC 1(含端点)上的动点，由点A ，D1，M 确定的平面为α，则下列说法正确的是( )A.平面α截正方体的截面始终为四边形B.点M 运动过程中，三棱锥A 1-AD 1M 的体积为定值C.平面α截正方体的截面面积的最大值为42D.三棱锥A 1-AD 1M 的外接球表面积的取值范围为414π,12π 23.(2022·山东滨州·二模)在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把△AEB ，△AFD 和△EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P -AEF ，如图2所示，则下列结论中正确的是( )A.PA ⊥EFB.三棱锥M -AEF 的体积为4C.三棱锥P -AEF 外接球的表面积为24πD.过点M 的平面截三棱锥P -AEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为[π,6π]24.(2022·重庆巴蜀中学高一期中)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ,CC 1,C 1D 1的中点，动点Q ∈平面MNP ，DQ =AB =2，则( )A.AC 1∥MNB.直线PQ ∥平面A 1BC 1C.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为2π25.(2022·湖北宜昌·高一期中)数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为2，则下列结论正确的是( )A.若P ，Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值是2B.勒洛四面体ABCD 被平面ABC 截得的截面面积是π-3C.勒洛四面体ABCD 内切球的半径是2-62D.勒洛四面体ABCD 的体积是6π26.(2022·全国·模拟预测)如图，已知圆柱OO 1的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，P 为上底面内一个动点(不包含边界)，E 为底面圆弧AB 上一个动点，则下列说法正确的有( )A.若点P 与O 重合，则圆锥PO 1的侧面积为5πB.若点P 与D 重合，E 为圆弧AB 的中点，则点A 到平面PBE 的距离为233C.三棱锥P -ABE 的体积的最大值为23D.三棱锥P -ABE 的外接球的表面积的最小值为5π427.(2022·全国·高一专题练习)如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是AD ，CC1的中点，P 是线段AB 上的动点，则下列说法正确的是( )A.当点P 与A ，B 两点不重合时，平面PMN 截正方体所得的截面是五边形B.平面PMN 截正方体所得的截面可能是三角形C.△MPN 一定是锐角三角形D.△MPN 面积的最大值是21228.(2022·湖北·荆门市龙泉中学一模)已知正四面体ABCD 的棱长为22，其外接球的球心为O ．点E 满足AE =λAB 0<λ<1 ，CF =μCD 0<μ<1 ，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则( )A.四边形EMGH 的周长为定值B.当λ=14时，平面α截球O 所得截面的周长为472πC.四棱锥A -EMGH 的体积的最大值为6481D.当λ=μ=12时，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90°后与原四面体的公共部分体积为43三、双空题29.(2022·重庆南开中学模拟预测)正方体ABCD -A B C D 的棱长为2，动点P 在对角线BD 上，过点P 作垂直于BD 的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为y =f x ，设BP =x ，x ∈0，23 .(1)下列说法中，正确的编号为__________.①截面多边形可能为四边形；②f 33=32；③函数f x 的图象关于x =3对称.(2)当x =3时，三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为__________.30.(2022·广东汕头·三模)如图，DE 是边长为23的正三角形ABC 的一条中位线，将△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE ，当三棱锥C -A 1BE 的体积最大时，四棱锥A 1-BCDE 外接球O 的表面积为__________；过EC 的中点M 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是__________．31.(2022·湖南·长沙市明德中学二模)如图，在三棱锥S -ABC 中，SB ⊥AB ，SB ⊥BC ，AB ⊥BC ，SB =AB =BC =2，P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，O 为三棱锥S -ABC 外接球的球心，则球O 的体积为________；平面SPQ 截球O 所得截面的周长为________．32.(2022·新疆·三模(文))四棱锥P -ABCD 各顶点都在球心为O 的球面上，且PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形．PA =AD =4，AB =42，则球O 的半径是__________；设M 、N 分别是PD 、CD 的中点，则平面AMN 截球O 所得截面的面积为__________．33.(2022·山东潍坊·二模)根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB 是圆锥底面圆O 的直径，圆锥的母线PA =2，AB =22，E 是其母线PB 的中点．若平面α过点E ，且PB ⊥平面α，则平面α与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F 到底面圆心O 的距离为______；截面α把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面α的上方作一个半径最大的球M ，在截面α下方作一个半径最大的球N ，则球M 与球N 的半径的比值为______．四、填空题34.(2022·安徽·安庆一中高一期中)为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为4π3，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．有下列四个结论：①经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为π4②异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58③直线AD 与平面DEF 所成的角为π3④球离球托底面DEF 的最小距离为3+63-1其中正确的命题是__________.(请将正确命题的序号都填上)35.(2022·四川·成都七中高三阶段练习(理))如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为棱B 1C 1,CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱B 1C 1的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN ⊥AC ；②当M ，N 分别为棱B 1C 1,CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面A 1MN 平行；③当M ，N 分别为棱B 1C 1,CD 的中点时，则过A 1，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形；④直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为22；⑤若正方体的棱长为2，点D 1到平面A 1MN 的距离最大值为2．36.(2022·北京二中高一阶段练习)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 的中点，Q 为棱CC 1上的动点，过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是___________.(请写出所有正确命题的编号)①当CQ =12时，S 为等腰梯形；②当CQ =34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R =13；③当34<CQ <1时，S 为六边形；④当CQ =1时，S 的面积为62.37.(2022·江西抚州·高二阶段练习(理))勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲)，利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是___________．①勒洛四面体ABCD 被平面ABC 截得的截面面积是8(π-3)②勒洛四面体ABCD 内切球的半径是4-6③勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-23④勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-6238.(2022·北京市陈经纶中学高一期中)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P -ABCD 所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于46；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．39.(2022·浙江·绍兴一中模拟预测)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别是BC ,B 1C 1的中点，点P 是截面AB 1C 1D (包括边界)上的动点，D 1P =343,2ME =EN ，则EP 与平面AB 1C 1D 所成最大角的正切值为_______．40.(2022·河南省浚县第一中学模拟预测(文))在正四棱锥P -ABCD 中，AB =4,PA =26，则平面PAB 截四棱锥P -ABCD 外接球的截面面积是__________.41.(2022·北京·二模)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，中，E ，F ，G 分别为棱A 1A ,A 1B 1,A 1D 1上的点(与正方体顶点不重合)，过A 1作A 1H ⊥平面EFG ，垂足为H ．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，给出以下四个结论：①若E ，F ，G 分别是A 1A ,A 1B 1,A 1D 1的中点，则A 1H =36；②若E ，F ，G 分别是A 1A ,A 1B 1,A 1D 1的中点，则用平行于平面EFG 的平面去截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，得到的截面图形一定是等边三角形；③△EFG 可能为直角三角形；④1A 1E 2+1A 1F 2+1A 1G 2=1A 1H 2．其中所有正确结论的序号是________．42.(2022·全国·模拟预测)在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AC =2AB =2AD =4，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，G 为PC 的中点，过AG 的平面α与棱PB 、PD 分别交于点E 、F ．若EF ∥平面ABCD ，则截面AEGF 的面积为______．43.(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(理))如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =AC =BD =5，AD =BC =32，E ､F 分别是AD ､BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下面的说法中正确的有___________.①EF ⊥AD ，EF ⊥BC②四面体外接球的表面积为34π.③异面直线AC 与BD 所成角的正弦值为725④多边形截面面积的最大值为92.44.(2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模(理))如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1=3，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 的平面记为α，则下列说法中正确的序号是___________.①平面α截直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面的形状为四边形②平面α截直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为732③二面角D -EF -D 1的正切值为2④点B 到平面α的距离与点D 到平面α的距离之比为1∶345.(2022·全国·高二课时练习)如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点.若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥P-AEMF的体积的取值范围是___________.。
立体几何中的截面(解析版)
专题13 立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；其中正确的命题序号是______________分析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EHA CBDBC BF BE V ⋅⋅=21水例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ）A ．21 B ．87 C ．1211 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为8712121211=⋅⋅⋅-=V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211112121311=⋅⋅⋅⋅-=V ，故选C 。
20-专项拓展训练6 立体几何中的截面问题高中数学必修第二册人教版
即平面 截此正方体所得截面多边形就是
△1 1 .由1 = 1 = 1 1 = 2 2，得
1
2
△ = × 2 2 × 2 2 × sin 60∘ = 2 3.
1
1
思路2 平行线法作截面
4.[2024北京房山区期末]如图，在三棱锥 − 中，
1
，
2
1
，
2
所以 = ，且//，所以四边形为平
行四边形，截面为所求截面.因为 ⊥ 平面
， ⊂ 平面，所以 ⊥ ，由为
△的中位线，得//，所以 ⊥ ，则截面为矩形.由
= = 4，可得 = = 2, 即截面是边长为2的正方形，其
1
1
=
= ，故
3
2
1，1 = .下
3
面求三棱柱被截面分成两部分的体积比.三棱柱
− 1 1 1 的体积 =
3
4
× 22 × 2 = 2
3.连接,
1 ，1 .由1 //平面1 ,知1 为三棱锥 − 1 在底面1 上的
高，所以
1
3
1
2
3
第八章 立体几何初步
专项拓展训练6 立体几何中的截
面问题
过专项 阶段强化专项训练
思路1 直接利用几何体的结构特征作截面
1.（多选）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个
几何体可能是( ACD
A.圆锥
)
B.圆柱
C.棱锥
D.正方体
【解析】 圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，
3
32ຫໍສະໝຸດ =12
= ，
立体几何中的截面问题——教师版
高三复习微专题——立体几何中的截面问题【课前小练】题型一：由顶点确定截面1. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，E 为棱1BB 的中点，则平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为____18____. 2. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，4AB =，14AA AE =，14CC CF =. 则平面D 1EF 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为____32840+_____.3. （2021年雅礼中学第五次月考第12题节选）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，3AB =，M 、N 分别是正方形的中心. 则平面D 1MN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为____104_____.4. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，2AB =，P 、Q 、R 分别是棱A 1D 1、AB 、CC 1的中点. 则平面PQR 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为____33_____.【方法提炼】作几何体截面的方法：作平行线、做延长线，并利用相似三角形、补形确定顶点的位置，要注意截面的每一条边均在几何体的表面上.【课堂练习】题型二：由平行或垂直关系确定截面【例1】（步步高大一轮复习P292第15题）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动， （1）点M ，N 分别是棱1,BC CC 的中点，若1//PA 面AMN ，则1PA 的长度最大值为____5____. （2）E 是正方形BCC 1B 1的中心，若P A 1⊥DE ，则满足条件的点P 围成的图形面积为____62____.【方法提炼】由平行关系确定截面的方法：作平行线由垂直关系确定截面的方法：三垂线定理题型三：动态截面问题【例2】在所有棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 是棱BC 的中点，)10(1≤≤=λλCC CN ，过点B 作平面α与面AMN 平行，（1）当21=λ时，α截正三棱柱111ABC A B C -的截面面积为____6____； （2）若α截正三棱柱111ABC A B C -的截面形状为四边形，则λ的取值范围为____⎪⎭⎫ ⎝⎛121，_____.【例3】（2018年全国I 卷第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ A ） A.433 B.332 C.423 D.23【变式训练】如图，四面体ABCD 中，AD = BC = 2，AD ⊥BC ，E 为棱AB 上的动点，过点E 的平面α与直线AD 和BC 平行，记平面α截正方体1111ABCD A B C D -的截面图形为Ω，则下列结论正确的是_________.①Ω为矩形；②Ω的周长为定值；③Ω的面积为定值；④Ω的面积有最大值1【课后提升】1．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12BB AB BC ==，点E 在线段1CC 上，()101EC CC λλ=≤≤，平面α过线段1AA 的中点以及点1,B E ，若平面α截长方体所得截面为平行四边形，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12312AA AB ==，点M 是线段1BB 的中点，点N 是线段1DD 上靠近D 的三等分点，若正四棱柱1111ABCD A B C D -被过点1A ，M ，N 的平面所截，则所得截面的周长为（ ）A ．1082+B ．1072+C ．982+D ．972+3．如图， 在正方体1111ABCD A B C D -中， 点E F ，分别为11A B BC ，的中点， 设过点1E F D ，，的平面为α， 则下列说法正确的是（ ） A ．在正方体1AC 中，存在某条棱与平面α平行B ．在正方体1AC 中，存在某条面对角线与平面α平行C ．在正方体 1AC 中，存在某条体对角线与平面α平行D ．平面α截正方体1AC 所得的截面为五边形4．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，13AA =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的平面记为α，则下列说法中正确的个数是（ ）①点B 到平面α的距离与点1A 到平面的距离之比为1:2①平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的面积为73 ①平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25 ①平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的形状为四边形 A ．0B ．1C ．2D ．35.（2021年长郡中学第四次月考第8题）已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为侧面11BB C C 中心，F 在棱AD 上运动，正方体表面上有一点P 满足()1110,0D D x y P xD F y E ≥=+≥，则所有满足条件的P 点构成图形的面积为（ ）A ．21B ．34 C ．78 D ．118。
立体几何截面例题
一个正方体被一个平面截得一个等腰梯形，则该平面与正方体的几个面相交？
A. 3
B. 4（正确答案）
C. 5
D. 6
一个圆柱被一个平面截得一个矩形，则该平面可能与圆柱的哪几个面平行？
A. 底面
B. 侧面（正确答案）
C. 底面与侧面
D. 都不平行
一个圆锥被一个平面截得一个抛物线形状，则该平面可能经过圆锥的哪个部分？
A. 底面中心
B. 顶点
C. 母线中点
D. 侧面但不过顶点（正确答案）
一个球体被一个平面截得一个圆，若该圆的半径等于球体的半径，则该平面是球体的什么面？
A. 切面
B. 截面
C. 大圆面（正确答案）
D. 小圆面
一个三棱柱被一个平面截得一个三角形，则该平面可能与三棱柱的哪几个面相交？
A. 1个
B. 2个
C. 3个（正确答案）
D. 4个
一个四棱锥被一个平面截得一个四边形，若该四边形是矩形，则该平面可能与四棱锥的哪个面平行？
A. 底面
B. 侧面但不过顶点
C. 过顶点且与底面平行的截面（正确答案）
D. 任意侧面
一个长方体被一个平面截得一个菱形，则该平面与长方体的哪几个面可能垂直？
A. 1个
B. 2个（正确答案）
C. 3个
一个圆柱被一个平面截得一个椭圆，若该椭圆的长轴等于圆柱的高，则该平面与圆柱的底面夹角为？
A. 0度
B. 45度
C. 90度
D. 不确定，但非90度（正确答案）
一个圆锥被一个平面截得一个等腰三角形，若该三角形的底边在圆锥的底面上，则该平面与圆锥的哪条线可能重合？
A. 母线
B. 高
C. 底面直径的延长线（正确答案）
D. 任意侧面上的线。
立体几何截面问题—MST利哥
2截面问题精选题—MST 利哥1．（2020•佛山二模）已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若正四棱锥P -ABCD 的高为2，则球O 的表面积为( )A．8πB．9πC．12πD．16π2．（2020•湖北模拟）九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然．正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体积相等若正方体的棱长为2．则“牟合方盖”的体积为( )A．163B．2πC．83D．4π33．（2020•邯郸二模）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC = 5 ，CC1= 7 ，过三点A 、M 、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为( )A．910B．109C．1011D．11104．（2020•河南模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=2，底面ABCD是边长为的正方形．点E 是PC 的中点，过点A ，E 作棱锥的截面，分别与侧棱PB ，PD 交于M ，N 两点，则四棱锥P -AMEN 体积的最小值为( )2 23 2 3 3 2 2 9A ．B ．C ．D ．5．（2020•昆明一模）已知正四棱锥 P - ABCD 的高为 2，AB = 2 ，过该棱锥高的中点且平行于底面 ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为 A 1 B 1C 1 D 1 ，若底面 ABCD 与截面 A 1 B 1C 1 D 1 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为( )A ． 20πB ．20πC ． 4πD ． 4π336．（2020•道里区校级一模）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为3π，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长 为 ( ) A ． 33B ．1C ．D ． 27．（2020 春•江西月考）已知三棱锥 P - ABC 满足 PA ⊥ 底面 ABC ，在∆ABC 中，AB = 6 ，AC = 8 ，AB ⊥ AC ， D 是线段 AC 上一点，且 AD = 3DC ，球 O 为三棱锥 P - ABC 的外接球，过点 D 作球 O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为 44π，则球O 的表面积为( ) A ． 72πB ． 86πC ．112πD ．128π8．（2019 秋•芜湖期末）如图，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的一个截面经过顶点 A ， C 及棱 A 1D 1 上一点 K ，且将正方体分成体积之比为13 : 41的两部分，则 D 1K的值为()KA 1A ．1B ． 22C ． 12D ． 132 3 92 3 339．（2020•资阳模拟）已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD （如图）．若底面圆的弦AB 所对的圆心角为π，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为()3A．10π+ 3B．10πC．10π+D．2π- 3310．（2020•银川校级一模）对于棱长为1的正方体AC1，有如下结论，其中错误的是()A．以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体B．过点A 作平面A1BD 的垂线，垂足为点H ，则A 、H 、C1三点共线C．过正方体中心的截面图形不可能是正六边形D．三棱锥A -B1CD1与正方体的体积之比为1: 311．（2020•山东学业考试）在棱长为1的正四面体A-BCD中，E是BD上一点，BE=3ED，过E作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( )A．πB．3πC．πD．5π8 16 4 1612．（2020•福州模拟）一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1:2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为( )A．1: B．1: 4 C．1: ( + 1) D．1: ( - 1)33222⎨| x | ⎩⎩13．（2019 春•湖北期中）《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理：“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则 ⎧x 2 - 4 y 0,它们的体积相等．如图，设满足不等式组 ⎪4,的点(x , y ) 组成的图形（图（1）中的阴影部分）绕 y 轴 ⎪ y 0⎧x 2 + y 2 4r 2 , 旋转180︒ ，所得几何体的体积为V ；满足不等式组 ⎪x 2 + ( y - r )2 r 2, 的点 (x , y ) 组成的图形（图（2）中的1⎨ ⎪ y 0阴影部分）绕 y 轴旋转180︒ ，所得几何体的体积为V 2 ．利用祖暅原理，可得V 1 ()A ． 32πB ． 64πC ． 32πD ． 64π3 314．（2019 秋•雨花区校级月考）圆锥的母线长为 2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为 2；则θ的取值范围是( ) A ． [ 2π, 2π)B ． [π, 2π]C ．{ 2π}D ．[2π,π) 215．（2018 秋•重庆期末）已知某圆柱形容器的轴截面是边长为 2 的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为()A ．π B ．2π C ．πD ． 4π3 3316．（2019 秋•金安区校级月考）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有高为 2 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体中的部分）．已知 AB = 1 尺，弓形高 CD = 1 寸，估算该木材镶嵌在墙体中的体积为（注:1 丈 = 10 尺 = 100 寸， π≈ 3.14 ， sin 22.5︒ ≈ 5)()133A ．633 立方寸B ．1266 立方寸C ．642 立方寸D ．1284 立方寸17．（2019 春•湛江期末）已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，则与平面 A 1C 1 B 平行的平面α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A．3 34 B ．2 3 3C ．3 24D ． 3218．（2019 春•和平区校级月考）已知球O 与棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的各面都相切，则平面 ACB 1截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为( )A ．2 3 πB ． 3 πC ． 2 3 πD ． 3 π918 275419．（2019•济南模拟）已知正四面体 ABCD 的表面积为12 ， E 为棱 AB 的中点，球O 为该正四面体的外接球，则过点 E 的平面被球O 所截得的截面面积的最小值为( )A ． 9πB ． 3πC ． 4πD ． 9π4220．（2019•泸州模拟）已知圆锥 SO 1 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为 8，母线 SA = 12 ，点 B 在 SA 上，且 SB = 3BA ，则过点 B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为( )A ． 27πB ． 36πC ． 54πD ． 81π21．（2019•浙江模拟）已知平面α截一球面得圆 M ，过圆 M 的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小 为60︒ ，平面β截该球面得圆 N ，若该球的表面积为64π，圆 M 的面积为 4π，则圆 N 的半径为( )A ．2B ．4C ．D ． 32133 22．（2018 秋•芜湖期末）如图所示，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 边长为 2， N 为CC 1 的中点， M 为线段上的动点（不含端点），若过点 A ， M ， N 的平面截该正方体所得截面为四边形，则线段 BM 长度的取值范围是()A ． (0 ，1]B ． [1， 2)C ． (0 ， 3]2 D ． [3 ， 2)223．（2018 秋•湖北期末）如图，在正方体 ABCD - A 'B 'C 'D ' 中，平面α垂直于对角线 AC ' ，且平面α截得 正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为 S ，周长为l ，则()A ． S 为定值， l 不为定值B ． S 不为定值， l 为定值C ． S 与l 均为定值D ． S 与l 均不为定值24．（2018 秋•佛山期末）已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为( ) A ． 27 : 32B ． 3 : 8C ． 3 :16D ． 9 : 3225．（2019•萍乡一模）如图所示，在棱长为 6 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 E ， F 分别是棱C 1 D 1 ， B 1C 1的中点，过 A ， E ， F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为()13 5 2A ．18 + 3B ． 6 + 3C ． 6 + 9D ．10 + 3 + 426．（2019 秋•上高县校级月考）如图，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AB = 2 ，平面α经过 B 1D 1 ，直线 AC 1 / /α， 则平面α截该正方体所得截面的面积为()A ． 2 B．3 2 2C ．34 D ． 227．（2019•西湖区校级模拟）如图，ABCD - A 'B 'C 'D ' 为正方体，任作平面α与对角线 AC ' 垂直，使得α与 正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S ，周长为l ，则()A ． S 为定值， l 不为定值B ． S 不为定值， l 为定值C ． S 与l 均为定值D ． S 与l 均不为定值28．（2018 秋•罗湖区校级月考）已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，若该圆锥的顶点与底面圆周均在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A ． 4πB ． 8πC ． 16πD ．12π33322 2 10362 29．（2018 春•月湖区校级月考）棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 内有一个内切球O ，过正方体中两条互为异面直线的 AB ， A 1D 1 的中点 P ， Q 作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为()A ． 22 B ． 12 C ． 24D ． - 130．（2018•合肥二模）在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， E ， F ， G 分别为棱CD ， CC 1 ， A 1 B 1 的中点，用过点 E ， F ， G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左) 视图为()A ．B ．C ．D ．a 2+ 4 2 截面问题—MST 利哥参考答案与试题解析1．（2020•佛山二模）已知正四棱锥 P - ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若正四棱锥 P - ABCD 的高为 2，则球O 的表面积为( )A ． 8πB ． 9πC ．12πD ．16π【解答】解：如图，设正四棱锥的底面边长为 2a ，则底面 ABCD 所在圆的直径为 2 2a ，又正四棱锥 P - ABCD 的高为 2，∴侧棱长为 ，斜高为 ，a 2 + 4则sin ∠PAB = ，2a 2 + 4由正弦定理可得：侧面所在圆的直径为 2a 2 + 4 = ． a 2 + 4该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，2a 2 + 4 ∴= 2 2a ，解得 a 2 = 2(a 2+ 4- 1) ．设正四棱锥 P - ABCD 的外接球的半径为 R ，则 (2 - R )2 + 2a 2 = R 2 ，解得 R = ．∴球O 的表面积为 4πR 2 = 8π．故选： A ．2．（2020•湖北模拟）九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然．正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体积相等若正方2a 2 + 4 2a 2 + 4a 2+ 42a 2 + 42体的棱长为 2．则“牟合方盖”的体积为( )A ．16 3B ． 2πC ． 83D ． 4π3【解答】解：依题意，任意水平面与”牟合方盖“及其内切球相交的截面为正方形和一个正方形的内切圆， 正方形和内切圆的面积比为 4 :π，由祖暅原理，“牟合方盖“体积和内切球的体积之比为 4 :π， 又球的体积为 4π，3∴ “牟合方盖“体积为16 ． 3故选： A ．3．（2020•邯郸二模）在直三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中，平面 ABC 是下底面．M 是 BB 1 上的点，AB = 3 ，BC = 4 ，AC = 5 ， CC 1 = 7 ，过三点 A 、 M 、C 1 作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为( )A ． 910B ．10 9C ．10 11D ．11 10【解答】解：由 AB = 3 ， BC = 4 ， AC = 5 ，得 AB 2 + BC 2 = AC 2 ，∴ AB ⊥ BC ．将平面 ABB 1 A 1 与平面 BCC 1 B 1 放在一个平面内，连接 AC 1 ，与 BB 1 的交点即为 M ，此时 BM = 3，设四棱锥 A - BCC M 的体积为V ，则V = 1 ⨯ 1⨯ (3 + 7) ⨯ 4 ⨯ 3 = 20 ，1 1 13 2三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1的体积V = 1⨯ 4 ⨯ 3 ⨯ 7 = 42 ． 2∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为 V - V 1 = 11．故选： D ．V 1 1022 23 2 3 32 29 | PN | | PM | 2 24．（2020•河南模拟）如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA = PB = PC = PD = 2 ，底面 ABCD 是边长为 的正方形．点 E 是 PC 的中点，过点 A ， E 作棱锥的截面，分别与侧棱 PB ， PD 交于 M ， N 两点，则四棱锥P - AMEN 体积的最小值为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解： 在四棱锥 P - ABCD 中， PA = PB = PC = PD = 2 ，底面 ABCD 是边长为 的正方形．点 E 是 PC 的中点，过点 A ， E 作棱锥的截面，分别与侧棱 PB ， PD 交于 M ， N 两点， ∴V = V + V= 1 S 3 = 1S ， P - AMEN A - M NP E - M NP3 ∆PMN 2 2 ∆PMN依题意当 S ∆PMN 最小时，四棱锥 P - AMEN 体积取最小值，M ， O ， V 三点共线，且 PN = λPD , PM = μPB ，| PD | 1 | PB | 1 | PN | = , λ | PM | = μ， PV = 2 PO = 1 (PD + PB ) = 1 PN + 1 PM ，3 3 3λ 3μ 1 1 2 2 + = 1，∴ + = 3， 3λ 3μ | PN | | PM |2 23 = + 2 ， | PN | | PM |16 2 2∴| PN | | PM | ，当且仅当 = 时，取“ = ”，9 | PN | | PM |2 3 923 2 R 2-1 R 2 -1∴V P - AMNE = S ∆PMN =．∴四棱锥 P - AMEN 体积的最小值为 2 3．9故选： D ．5．（2020•昆明一模）已知正四棱锥 P - ABCD 的高为 2，AB = 2 ，过该棱锥高的中点且平行于底面 ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为 A 1 B 1C 1 D 1 ，若底面 ABCD 与截面 A 1 B 1C 1 D 1 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为( )A ． 20πB ．20πC ． 4πD ． 4π33【解答】解：因为正四棱锥 P - ABCD ，所以底面是正方形，结合高为 2， AB = 2，设底面对角线交点为 M ，所以 AC = 4 ， AM = 2 ，故 PM = AM = CM = 2 ， 所以 ∆PAC 是等腰直角三角形．因为截面 A 1 B 1C 1 D 1 过 PM 的中点 N ，所以 N 为截面正方形 A 1 B 1C 1 D 1 的中心，且 PM ⊥ 截面 A 1 B 1C 1 D 1 ．∴ PN = MN = A 1 N = 1，设球心为O ，球的半径为 R ，则 A 1O = AO = R ．在直角三角形 A 1ON 中， ON = ，∴ OM = 1 - ON = 1 - ．在直角三角形 APM 中， OA 2 = AM 2 + OM 2 ，即 R 2 = 4 + (1 - R 2 - 1)2 ，解得 R 2 = 5 ，故 S = 4πR 2 = 20π．故选： A ．2 A O 2 - A N 2 1 11 1 ⨯ 1 ⨯ | PN |⨯ | PM |⨯ sin π 1 1 16 ⨯ ⨯ ⨯ 3 =2 2 2 23 2 2 9 2 9(2r )2 - r 23 36．（2020•道里区校级一模）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为3π，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长 为 ( ) A ． 33B ．1C ．D ． 2 【解答】解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体积为3π，∴圆锥的体积为3π，圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是 R ， 即圆锥的母线长是 R ，半圆的弧长是πR ， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是 r ，则得到 2πr = πR ，∴ R = 2r ，∴圆锥的高 h = = ∴圆锥的体积V = 1⨯πr 2 ⨯33r ，3r = 3π．解得 r = ，则圆锥的母线长为 R = 2r = 2 ．故选： D ．7．（2020 春•江西月考）已知三棱锥 P - ABC 满足 PA ⊥ 底面 ABC ，在∆ABC 中，AB = 6 ，AC = 8 ，AB ⊥ AC ， D 是线段 AC 上一点，且 AD = 3DC ，球 O 为三棱锥 P -ABC 的外接球，过点 D 作球 O 的截面，若所得截3332 + 2213OA2 -OD2 3球面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O 的表面积为( )A．72πB．86πC．112πD．128π【解答】解：如图．M 是BC 边中点，E 是AC 边中点， AB ⊥AC ，∴M 是∆ABC 的外心，作OM / / PA ， PA ⊥平面ABC ，∴OM ⊥平面ABC ，∴OM ⊥AM ，OM ⊥MD ，取OM =1PA ，易得OA =OP ，∴O 是三棱锥P -ABC 的外接球的球心．2E 是AC 中点，则ME / / AB ，ME =1AB = 3 ，∴ME ⊥AC ，2AD = 3DC ，∴ED =1AC = 2 ，∴MD =4==，设PA = 2a ，则OM =a ，OD2 =OM 2 +MD2 =a2 + 13，又AM =1BC =162 + 82 = 5，2 2∴OA2 =OM 2 +AM 2 =a2 + 25，过D 且与OD 垂直的截面圆半径为r ，则r == 2 ，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径OA ，∴πOA2 +πr2 = (a2 + 25)π+12π= 44π，OA2 = (a2 + 25)π= 32π．∴S=4πOA2 =128π．故选：D ．8．（2019秋•芜湖期末）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的一个截面经过顶点A，C及棱A1D1上一点K，且将正方体分成体积之比为13 : 41的两部分，则D1K的值为( )KA1A．1 B．22C．12D．13ME2 +ED23 3【解答】解：过 K 作 KE / / AC ，交C 1 D 1 于点 E ，连结CE ，设正方体棱长为 a，设 D 1K = 1 ，则 D K = D E = a，KA 1 λ1 11 + λ 正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的一个截面经过顶点 A ， C 及棱 A 1D 1 上一点 K ， 且将正方体分成体积之比为13 : 41 的两部分，∴ V = 1 a [ 1 ⨯ ( a )2 + 1 a 2 + 1 ( a )2 1a 2 ] = 13 a 3 ，KED 1- ACD解得λ= 2 ．3 2 1 + λ2 2 1 + λ 2 13 + 41 ∴D 1K = 1 ．KA 1 2故选： C ．9．（2020•资阳模拟）已知圆柱的底面半径为 2，高为 3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形 ABCD （如图）．若底面圆的弦 AB 所对的圆心角为π，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为()3A ．10π+ 3B ．10πC ． 10π +D ． 2π- 33【解答】解：柱的底面半径为 2，高为 3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形 ABCD （如图）． 底面圆的弦 AB 所对的圆心角为π，3∴圆柱被分成两部分中较小部分的底面积为：πS = 3 2π ⨯π⨯ 22- 1 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ sin π = 2π -，2 3 33 33 3 大 ∴圆柱被分成两部分中较小部分的体积为V=⎛ 2π -3 ⎫⨯ 3 = 2π- 3 ， 小 3⎪ ⎝ ⎭则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为：V = π⨯ 22⨯ 3 - (2π- 3 3 )= 10π+ 3 ．故选： A ．10．（2020•银川校级一模）对于棱长为 1 的正方体 AC 1 ，有如下结论，其中错误的是()A ．以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体B ．过点 A 作平面 A 1 BD 的垂线，垂足为点 H ，则 A 、 H 、C 1 三点共线C ．过正方体中心的截面图形不可能是正六边形D ．三棱锥 A - B 1CD 1 与正方体的体积之比为1: 3【解答】解：如图，对于棱长为 1 的正方体 AC 1 ，在 A 中，四面体 A 1 - ADC 的每个面都为直角三角形，故 A 正确；在 B 中， BD ⊥ AC ， BD ⊥ CC 1 ， AC CC 1 = C ，∴ BD ⊥ 平面 ACC 1 A 1 ，∴ BD ⊥ AC 1 ， tan ∠C AC = tan ∠AA O =2 ，∴∠C AC = ∠AA O ，11211∴∠C 1 AC + ∠A 1OA = ∠AA 1O + ∠A 1OA = 90︒ ，∴ AC 1 ⊥ A 1O ，∴ AC 1 ⊥ 平面 A 1 BD ，∴过 A 作平面 A 1 BD 的垂线为 AC 1 ，∴ A 、 H 、C 1 三点共线，故 B 正确；在C 中，若 P ， Q ， N ， M ， F ， E 为正方体 AC 1 所在棱的中点，连结后得到六边形 PQNMFE 是正六边6形，且此正六边形的中心过正方体 AC 1 的中心，故C 错误；在 D 中，三棱锥 A - B CD 的体积为V= 1 - 4 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯1 = 1，正方体 AC 的体积为V = 1，11 A - B 1CD 13 2 3 1∴三棱锥 A - B 1CD 1 与正方体的体积之比为1: 3 ，故 D 正确． 故选： C ．11．（2020•山东学业考试）在棱长为 1 的正四面体 A - BCD 中， E 是 BD 上一点， BE = 3ED ，过 E 作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为( )A ．π B ．3π C ．π D ． 5π8 16 416【解答】解：将四面体 ABCD 放置于正方体中，如图所示， 可得正方体的外接球就是四面体 ABCD 的外接球，正四面体 ABCD 的棱长为 1，∴正方体的棱长为 2，2 可得外接球半径 R 满足 2R = 6 ， R = 6 ． 2 4E 是 BD 上一点， BE = 3ED ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O 到截面的距离等于OE ，cos ∠ODB = 1 = 6 ， OD = 6 ， DE = 1，∴OE 2 = ( 6 2 6 )2 + 3 1 2 - 2 ⨯ 4 4 6 ⨯ 1 ⨯ = 3 ，( )444 4 3 16 6 - 3 = 316 16 16∴所得截面面积的最小值为π⨯故选： B ．3 )2 = 3π． 16 161 + 1 + 12 2 21 22 -1⎨| x |⎩⎩12．（2020•福州模拟）一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1:2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为( )A．1: B．1: 4 C．1: ( + 1) D．1: ( - 1)【解答】解：设截后棱锥的高为h ，原棱锥的高为H ，由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1: 2 ，h==H2，则此正棱锥的高被分成的两段之2比：h=1H -h故选：D ．13．（2019春•湖北期中）《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理：“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则⎧x2 - 4 y 0,它们的体积相等．如图，设满足不等式组⎪4,的点(x, y) 组成的图形（图（1）中的阴影部分）绕y 轴⎪y 0⎧x2 +y2 4r 2 ,旋转180︒，所得几何体的体积为V ；满足不等式组⎪x2 + ( y -r)2 r 2 , 的点(x, y) 组成的图形（图（2）中的1 ⎨⎪y 0阴影部分）绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为V2．利用祖暅原理，可得V1( ) A．32πB．64πC．32πD．64π3 3【解答】解：用任意一个与y 轴垂直的平面去截这两个旋转体，设截面与原点的距离为h ，所得截面面积分222194r 2 - h 2 r 2 - (h - r )2 2rh - h 2 2 2 2别为 S 1 ， S 2 ，把 y = h 代入 x 2 - 4 y = 0 可得 x = ±2 ，∴ S 1 = 16π- 4h π，把 y = h 代入 x 2 + y 2 = 4r 2 可得 x = ± ，把 y = h 代入 x 2 + ( y - r )2 = r 2 可得 x = ± = ，∴ S = π(4r 2 - h 2 ) -π(2rh - h 2 ) = 2πr (2r - h ) ， 由 S 1 = S 2 ，得16π- 4h π= 2πr (2r - h ) ， 即 r = 2．由祖暅原理可知V = V= 1 ⨯ 4π⨯ 43 - 4π⨯ 23= 32π．故选： C ．1 22 3 314．（2019 秋•雨花区校级月考）圆锥的母线长为 2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为 2；则θ的取值范围是( ) A ． [ 2π, 2π)B ． [π, 2π]C ．{ 2π}D ． [2π,π) 2【解答】解：圆锥的母线长为 2，其侧面展开图的中心角为θ弧度， 过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为 2， 设轴截面的中心角为 2α，由条件得：π α< π， sin α= r = r ，42解得 r ，l 2 2θ=2πr 2 2π =2π，l 2∴ 2π θ< 2π，∴θ的取值范围是[ 2π, 2π) ． 故选： A ．15．（2018 秋•重庆期末）已知某圆柱形容器的轴截面是边长为 2 的正方形，容器中装满液体，现向此容器 中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为()A ．π B ．2π C ．πD ． 4π333h【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2 的正方形，故圆柱底面半径为1，母线长为2，当小球与圆柱的侧面或上、下底面相切时，所余液体容量最小，如半径为r ，母线为l ，又r 1l ，故小球恰好与圆柱侧面和底面同时相切，2此时小球的体积为4π，3所余液体容量为2π-4π=2π．3 3故选：B ．16．（2019秋•金安区校级月考）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有高为2丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体中的部分）．已知AB =1 尺，弓形高CD = 1 寸，估算该木材镶嵌在墙体中的体积为（注:1 丈=10 尺=100 寸，π≈ 3.14 ，sin 22.5︒≈ 5)( )13A．633 立方寸B．1266 立方寸C．642 立方寸D．1284 立方寸【解答】解：如图，AB = 10 （寸) ，则AD = 5 （寸) ，CD = 1（寸) ，设圆O 的半径为x （寸) ，则OD = (x - 1) （寸) ，在Rt∆ADO 中，由勾股定理可得：52 + (x -1)2 =x2 ，解得：x = 13 （寸) ．∴sin ∠AOD =AD，即∠AOD ≈ 22.5︒，则∠AOB = 45︒．AO则弓形ACB的面积S=1⨯π⨯132 -1⨯10⨯12≈6.33（平方寸）．2 4 2则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33⨯200=1266（立方寸）．故选：B ．3 317．（2019 春•湛江期末）已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，则与平面 A 1C 1 B 平行的平面α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A．3 34 B ．2 3 3C ．3 24D ． 32【解答】解：如图示，分别取边 AB ， AA 1 ， A 1 D 1 ， D 1 C 1 ， C 1 C ， CB 的中点 MNEFGH ，显然平面 MNEFGH / / 平面 A 1 C 1 B ，易知当截面为平面 MNEFGH 时，截面面积最大， 此时，平面 MNEFGH 为正六边形，边长 2 ，2故正六边形面积为 S = 6 ⨯ 12 23 = 3 3 ，2 2 2 2 4 故选： A ．18．（2019 春•和平区校级月考）已知球O 与棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的各面都相切，则平面 ACB 1截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为( )A ．2 3 πB ． 3 πC ． 2 3 πD ． 3π918 2754【解答】解：由题意，球心与 B 的距离为 1⨯ 2 2= 3 ，B 到平面 ACB 的距离为 1⨯ 2 = 2 3 ，13 3球的半径为 1，球心到平面 ACB 的距离为 - 2 3 =3 ， 13 3 ∴平面 ACB 截此球所得的截面的圆的半径为 1 - 1=2 ， 13 333 3 3 6 23 22R 2 - (6 )223 ∴平面 ACB 截此球所得的截面的面积为 S = π⨯ 2 =2π，1球心O 截面圆的距离 d =33= 3 ， 3∴平面 ACB 1 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积：V = 1 ⨯ Sd = 1 ⨯ 2π3 3 3 3 27 故选： C ．19．（2019•济南模拟）已知正四面体 ABCD 的表面积为12 ， E 为棱 AB 的中点，球O 为该正四面体的外接球，则过点 E 的平面被球O 所截得的截面面积的最小值为( )A ． 9πB ． 3πC ． 4πD ． 9π42【解答】解：如图所示，球O 为正四面体 ABCD 的外接球，正四面体 ABCD 的表面积为12 ，E 为棱 AB 的中点，正四面体 ABCD 的棱长为 2 ，∴正方体的棱长为 ．可得外接球半径 R 满足 2R = 3 ，即 R =．E 为棱 AB 的中点，过 E 作其外接球的截面，当截面到球心O 的距离最大时， 截面圆的面积达最小值，此时球心O 到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为 r = = ，得到截面圆的面积最小值为 S = πr 2 = 3π． 故选： B ．20．（2019•泸州模拟）已知圆锥 SO 1 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为 8，母线 SA = 12 ，1 -23 3 = 2 3π ．⨯122 - 82 5 92 - 62 5 (3 5)2 + 32 6 92 - (3 6)2 3 3 min 点 B 在 SA 上，且 SB = 3BA ，则过点 B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为( )A ． 27πB ． 36πC ． 54πD ． 81π【解答】解：设球半径为 R ，如图， SO 交 AM 于点 M ，则 SM = 8 ， OA = R ， AM = = 4 ，由勾股定理得： OA 2 = OM 2 + AM 2 ，∴ R 2 = (R - 8)2 + (4 5)2 ，解得 R = 9 ． 取 AS 中点 N ，则 BN = 3 ， ON = = 3 ，∴OB = = 3 ，∴当截面圆最小时， OC = R = 9 ，截面圆半径 r = BC = = 3 ，∴过点 B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为：S = π⨯ r 2 =27π． 故选： A ．21．（2019•浙江模拟）已知平面α截一球面得圆 M ，过圆 M 的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小 为60︒ ，平面β截该球面得圆 N ，若该球的表面积为64π，圆 M 的面积为 4π，则圆 N的半径为( )A ．2B ．4C ．【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为 4． 圆 M 的面积为 4π，∴圆 M 的半径为 2．D ． 32根据勾股定理可知OM = 2 ，133 13 过圆心 M 且与α成60︒ 二面角的平面β截该球面得圆 N ， ∴∠OMN = 30︒，在直角三角形OMN 中， ON = ，∴圆 N 的半径为 ．故选： C ．22．（2018 秋•芜湖期末）如图所示，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 边长为 2， N 为CC 1 的中点， M 为线段上的动点（不含端点），若过点 A ， M ， N 的平面截该正方体所得截面为四边形，则线段 BM 长度的取值范围是()A ． (0 ，1]B ． [1， 2)C ． (0 ，3]2 D ． [3 ， 2)2【解答】解：解： 正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的体积为 1，点 M 在线段 BC 上（点 M 异于 B ， C 两点），点 N 为线段CC 1 的中点，平面 AMN 截正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 所得的截面为四边形，∴依题意，当点 M 为线段 BC 的中点时，由题意可知，截面为四边形 AMND 1 ， 从而当0 < BM 1时，截面为四边形， 当 BM > 1时，截面为五边形，或六边形， 故线段 BM 的取值范围为 (0 ，1]．故选： A ．23．（2018 秋•湖北期末）如图，在正方体 ABCD - A 'B 'C 'D ' 中，平面α垂直于对角线 AC ' ，且平面α截得 正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为 S ，周长为l ，则()A ． S 为定值， l 不为定值B ． S 不为定值， l 为定值C ． S 与l 均为定值D ． S 与l 均不为定值【解答】解：将正方体切去两个正三棱锥 A - A 'BD 与C ' - D 'B 'C 后， 得到一个以平行平面 A 'BD 与 D 'B 'C 为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行， 将V 的侧面沿棱 A 'B ' 剪开，展平在一张平面上，得到一个 A 'B 'B 1 A 1 ，如图， 而多边形W 的周界展开后便成为一条与 A 'A 1 平行的线段（如图中 E 'E 1 ) ，由题意得 E 'E 1 = A 'A 1 ，故l 为定值．当 E '位于 A 'B ' 中点时，多边形W 为正六边形，而当 E '移至 A ' 处时， W 为正三角形， 由题意知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为故选：B ．3 l 2 与 24 3 l 2，故 S 不为定值． 3624．（2018 秋•佛山期末）已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的3 13 5 2 体积与球的体积之比为( )A ． 27 : 32B ． 3 : 8C ． 3 :16D ． 9 : 32【解答】解：取圆锥的轴截面如下图所示，设球的半径为 R ，圆锥的高为 h ，底面圆的半径为 r ，则圆锥的母线长为2r ， 结合图形可得 2r = 2R cos 30︒ = 3R ，所以， r= 3R ，2圆锥的高为 h = = 3r =3 ⨯ 3 R = 3 R ， 2 2所以，圆锥的体积为 1πr 2 h = 1π⨯ ( R )2 3 3πR 3 ⨯ R = ，3 3 2 2 8 3πR 3因此，圆锥的体积与球的体积之比为 8 = 3 3 = 9．故选： D ．4πR 3 3 8 4 3225．（2019•萍乡一模）如图所示，在棱长为 6 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 E ， F 分别是棱C 1 D 1 ， B 1C 1的中点，过 A ， E ， F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为()A ．18 + 3B ． 6 + 3C ． 6 + 9D ．10 + 3 + 4【解答】解：如图，(2r )2 - r 2 3 22 2 101332 + 2213 13 2延长 EF 、 A 1 B 1 相交于 M ，连接 AM 交 BB 1 于 H ，延长 FE 、 A 1D 1 相交于 N ，连接 AN 交 DD 1 于G ，可得截面五边形 AHFEG ．ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 是边长为 6 的正方体，且 E ， F 分别是棱C 1 D 1 ， B 1C 1 的中点，∴ EF = 3 ， AG = AH = = 2 ， EG = FH = = ．∴截面的周长为6 + 3 ．故选： B ．26．（2019 秋•上高县校级月考）如图，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AB = 2 ，平面α经过 B 1D 1 ，直线 AC 1 / /α， 则平面α截该正方体所得截面的面积为()A ． 2B ．3 22C ．34 D ． 2【解答】解：如图所示，连接 A 1C 1 ，与 B 1D 1 交于 E ，取 AA 1 的中点 F ，连接 EF ，则EF / / AC 1 ，AC 1 ⊂/ 平面B 1D 1F ， EF ⊂ 平面 B 1D 1F ，∴ AC 1 / / 平面 B 1D 1F ，2 62 + 42 362336△B1D1F ，中，B1D1= 2 ，EF =，B1D1⊥EF ，∴平面α截该正方体所得截面的面积为1⨯2 2 ⨯=，2故选：D ．27．（2019•西湖区校级模拟）如图，ABCD-A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则( )A．S 为定值，l 不为定值B．S 不为定值，l 为定值C．S 与l 均为定值D．S 与l 均不为定值【解答】解：将正方体切去两个正三棱锥A -A'BD 与C'-D'B'C 后，得到一个以平行平面A'BD 与D'B'C 为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A'B'剪开，展平在一张平面上，得到一个 A'B'B1A1，如图而多边形W的周界展开后便成为一条与A'A1平行的线段（如图中E'E1)，显然E'E1=A'A1，故l为定值．当E'位于A'B'中点时，多边形W 为正六边形，而当E'移至A'处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为故选：B ．3l 2 与243l 2 ，故S 不为定值．3628．（2018秋•罗湖区校级月考）已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，若该圆锥的顶点与底面圆周均在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A．4πB．8πC．16πD．12π3 3 3。
拔高点突破01立体几何中的截面、交线问题(九大题型)-2
拔高点突破01 立体几何中的截面、交线问题 1．已知球O 是正三棱锥A BCD -（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，6BC =，AB =E 为线段BD 的中点.过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）A ．9πB ．8πC ．4πD ．3π2．已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱AB =E 在线段BD 上，且BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A ．11π,3π4éùêúëûB ．[]2π,3πC ．11π,4π4éùêúëûD ．9π,4π4éùêúëû（2024·四川资阳·二模）3．已知球O 的体积为500π3，点A 到球心O 的距离为3，则过点A 的平面a 被球O 所截的截面面积的最小值是（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π（2024·宁夏吴忠·模拟预测）4．已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱AB =E 在线段BD 上，且BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最大值是（ ）A ．2πB ．9π4C ．3πD ．4π（2024·四川绵阳·模拟预测）5．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点M 是线段11C D 上靠近1D 的四等分点，点N 是线段1CC 的中点，则平面AMN 截该长方体所得的截面图形为（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形（2024·四川成都·二模）6．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别是棱1AA 、1CC 靠近下底面的三等分点，平面1D PQ I 平面ABCD l =，则下列结论正确的是（ ）A ．l 过点B B ．//l ACC ．过点1,,D P Q 的截面是三角形D ．过点1,,D P Q 的截面是四边形（2024·安徽安庆·三模）7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱,AB AD 的中点，过点1,,E F C 三点作该正方体的截面，则（ ）A ．该截面多边形是四边形B ．该截面多边形与棱1BB 的交点是棱1BB 的一个三等分点C ．1A C ^平面1C EFD ．平面11//AB D 平面1C EF （2024·河南信阳·二模）8．如图，在四棱锥Q EFGH -中，底面是边长为的正方形，M 为QG 的中点．4QE QF QG QH ====，过Q 作平面EFGH 的垂线，垂足为O ，连EG ，EM ，设EM ，QO 的交点为A ，在QHF △中过A 作直线BC 交QH ，QF 于B ，C 两点，QB xQH =，QC yQF =，过EM 作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为12,V V ，下列说法正确的是（ ）A ．1133QA QH QF=+uuu r uuur uuu r B ．113x y +=C．1V =D ．12V V 的最小值为12（2024·福建福州·模拟预测）9．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1111,,AA CC C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点（不含端点），则（ ）A ．存在点Q ，使//PQ 平面MBN B ．存在点Q ，点Q 到直线BP 的距离等于23C ．过,,,A M B N 四点的球的体积为9π2D ．过,,Q M N 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形（2024·山西吕梁·二模）10．已知圆台12O O 的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1:2的两部分，则该圆台的母线长为.11．现要将一边长为101的正方体1111ABCD A B C D -，分割成两部分，要求如下：（1）分割截面交正方体各棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 于点P ，Q ，R ，S （可与顶点重合）；（2）线段AP ，BQ ，CR ，DS 的长度均为非负整数，且线段AP ，BQ ，CR ，DS 的每一组取值对应一种分割方式，则有 种不同的分割方式.（用数字作答）（2024·河南·模拟预测）12．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ^底面ABC ，112AB BC CA AA ===，点P 是棱1AA 上的点，12AP PA =，若截面1BPC 分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为 .（2024·浙江绍兴·模拟预测）13．过正三棱锥P ABC -的高PH 的中点作平行于底面ABC 的截面111A B C ，若三棱锥111P A B C -与三棱台111ABC A B C -的表面积之比为516，则直线PA 与底面ABC 所成角的正切值为 .（2024·山东临沂·一模）14．球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，与之对应的球缺的体积公式是()21π33V h R h =-.如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3CODAOC BOD S ÐÐ===扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为，体积为.（2024·高三·浙江宁波·期末）15．已知高为2的圆锥内接于球O ，球O 的体积为36π，设圆锥顶点为P ，平面a 为经过圆锥顶点的平面，且与直线PO 所成角为π6，设平面a 截球O 和圆锥所得的截面面积分别为1S ，2S ，则12S S = .（2024·河南·三模）16．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，点P 为侧棱1DD 上一点，过A ，C 两点作垂直于BP 的截面，以此截面为底面，以B 为顶点作棱锥，则该棱锥的外接球的表面积的取值范围是 ．（2024·重庆·三模）17．在三棱锥A BCD -中，ABD △为正三角形，BCD △为等腰直角三角形，BC CD ^且1BC =，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球O 的体积为 ；若点E 满足3BA BE =uuu r uuu r，过点E 作球O 的截面，当截面圆面积最小时，其半径为 .（2024·山东日照·一模）18．已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长都为2；点E 在侧棱SC 上，过点E 且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H ，则H 的边数至多为 ，H 的面积的最大值为 ．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）19．已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长都为2，点E 在侧棱S C 上，过点E 且垂直于S C 的平面截该棱锥，得到截面多边形的面积的最大值为 .（2024·重庆·模拟预测）20．已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为2，过棱PA 上点1A 作平行于底面的截面1111,A B C D若截面边长为1，1AA =则截得的四棱锥1111P A B C D -的体积为 ．（2024·陕西咸阳·模拟预测）21．已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为36π，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，过1D ，E ，F 的截面最长边长为m ，最短边长为n ，则mn= .22．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且1,AB BC AC ===则球的表面积是．（2024·河南·模拟预测）23．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AB 的中点，过点M 的平面a 截正方体1111ABCD A B C D -的外接球的截面面积的最小值为 .24．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，记过两个圆锥轴的截面为平面a ，平面a 与两个圆锥侧面的交线为AC BD 、．已知平面b 平行于平面a ，平面b 与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC BD 、，则该双曲线C 的离心率为．（2024·广东湛江·模拟预测）25．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点,,A E F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面与11BCC B 的交线段长为 .（2024·浙江·模拟预测）26．如图，在棱长为12的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，若过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为一个多边形，则该多边形的周长为，该多边形与平面11ADD A ，ABCD 的交线所成角的余弦值为．参考答案：1．A【分析】根据正弦定理求出BCD △外接圆的半径，然后根据勾股定理推得三棱锥的高，进而得出OE 的长.当截面垂直于OE 时，截面面积最小，求出此时半径，即可得出答案.【详解】如图，1O 是A 在底面的射影，则点O 在线段1AO 上.由正弦定理得，BCD △的外接圆半径161sin 602r ´°==1O B =.在1Rt AO B V 中，由勾股定理得棱锥的高16AO ===.设球O 的半径为R ，在1Rt OO B V 中，由勾股定理得22211OB O O O B =+，即222(6)R R =-+，解得4R =，所以12OO =.在1Rt BO E V 中，132BE BD ==，1O E ==所以在1Rt OO E △中，有OE =.又因为当截面垂直于OE 时，截面面积最小，3=，截面面积为9π.故选：A.2．D【分析】设BCD △的中心为1O ，球O 的半径为R ，在1Rt OO D △中，利用勾股定理求出R ，余弦定理求出1O E ，再由勾股定理求出OE ，过点E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大.【详解】如下图，设BCD △的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，则11π23sin 333O D AO =´===，在1Rt OO D △中，()2223R R =+-，解得R ＝2，所以111OO AO R =-=，因为BE ＝DE ，所以32=DE ，在1DEO V 中，1O E ==，所以OE ==E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，32=，则截面面积为239ππ24æö´=ç÷èø，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π.故选：D.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是过点E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大.3．C【分析】根据球的体积公式，结合球的截面的性质进行求解即可.【详解】设球O 的半径为R ，则34500ππ33R =，解得5R =.因为点A 到球心O 的距离为3，所以过点A 的平面a 被球O 所截的截面圆的半径的最小值为4r ==，则所求截面面积的最小值为2π16πr =.故选：C 4．D【分析】设BCD V 的外接圆的圆心为1O ，根据Rt △1OO D 中，223(3)R R =+-，解得R ，过点E 作圆O 的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值．【详解】如图，设BDC V 的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，则123sin 603O D =°´=13AO ==，在Rt △1OO D 中，223(3)R R =+-，解得2R =，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为2π4πR ×=．\所得截面圆面积的最大值为4π．故选：D ．5．C【分析】延长MN 交DC 的延长线于点F ，连接AF 交BC 于点H ，连接NH ，延长NM 交1DD 的延长线于点E ，连接AE 交11A D 于点G ，连接GM ，即可得到截面图形，再利用相似验证即可.【详解】延长MN 交DC 的延长线于点F ，连接AF 交BC 于点H ，连接NH ，延长NM 交1DD 的延长线于点E ，连接AE 交11A D 于点G ，连接GM ，则五边形AHNMG 为平面AMN 截该长方体所得的截面图形，不妨设1224AB AD AA ===，又点M 是线段11C D 上靠近1D 的四等分点，点N 是线段1CC 的中点，所以13C M =，11D M =，11C N NC ==，所以3CF =，又//CF AB ，所以43AB BH CF CH ==，又2BH CH +=，所以67CH =，又11D M ED DF ED =，即11172ED ED =+，解得113ED =，又11GD ED AD ED =，即1131223GD =+，解得127GD =，符合题意，即五边形AHNMG 为平面AMN 截该长方体所得的截面图形.故选：C6．B【分析】取1BB 靠近点B 的三等分点H ，1CC 的另一个三等分点G ，BC 的中点F ，AB 的中点E ，连接AC 、EF 、PH 、PE 、1HC 、BG 、QF ，即可证明五边形1D PEFQ 即为过点1,,D P Q 的截面，即可判断.【详解】如图取1BB 靠近点B 的三等分点H ，1CC 的另一个三等分点G ，BC 的中点F ，AB 的中点E ，连接AC 、EF 、PH 、PE 、1HC 、BG 、QF ，依题意可得//PH AB 且PH AB =，11//AB D C 且11AB D C =，所以11//PH D C 且11PH D C =，所以四边形11PHC D 为平行四边形，所以11//PD HC ，同理可证1//HC BG 、//PQ AC ，所以1//PD BG ，又G 、Q 为1CC 的三等分点，所以Q 为GC 的中点，所以//QF BG ，则1//QF PD ，所以P 、1D 、Q 、F 四点共面，又//EF AC ，所以//EF PQ ，所以P 、Q 、F 、E 四点共面，所以P 、E 、F 、Q 、1D 共面，所以五边形1D PEFQ 即为过点1,,D P Q 的截面，平面1D PQ I 平面ABCD l EF ==，所以//l AC .故选：B.7．B【分析】将线段EF 向两边延长，分别与棱CB 的延长线，棱CD 的延长线交于,G H ，连11,C G C H 分别与棱11BB ,DD 交于,P Q ，可判断A ；利用相似比可得113BP BG CC GC ==，可判断B ；证明1A C ^平面1BC D 即可判断C ；通过证明1A C ^平面11AB D ，可判断D.【详解】对于A ，将线段EF 向两边延长，分别与棱CB 的延长线，棱CD 的延长线交于,G H ，连11,C G C H 分别与棱11BB ,DD 交于,P Q ，得到截面多边形1C PEFQ 是五边形，A 错误；对于B ，易知AEF △和BEG V 全等且都是等腰直角三角形，所以12GB AF BC ==，所以113BP BG CC GC ==，即113BP BB =，点P 是棱1BB 的一个三等分点，B 正确；对于C ，因为11A B ^平面11BCC B ，1BC Ì平面11BCC B ，所以111A B BC ^，又11BC B C ^，1111111,,A B B C B A B B C =ÌI 平面11A B C ，所以1^BC 平面11A B C ，因为1A C Ì平面11A B C ，所以11A C BC ^，同理可证1A C BD ^，因为11,,BD BC B BD BC Ç=Ì平面1BC D ，所以1A C ^平面1BC D ，因为平面1BC D 与平面1C EF 相交，所以1AC 与平面1C EF 不垂直，C 错误；对于D ，易知1111//,//BC AD BD B D ，所以11111,A C AD A C B D ^^，又1111111,,AD B D D AD B D Ç=Ì11AB D ，所以1A C ^平面11AB D ，结合C 结论，所以平面1C EF 与平面11AB D 不平行，D 错误.故选：B ．8．ABD【分析】过Q 作平面EFGH 的垂线，垂足为O ，连接EG 、EM 、QO ，设EG 、QO 的交点为A ，在QHF △中，过A 作直线交QH ，QF 于B ，C ，由相交直线确定平面，得到四边形ECMB 是过EM 的截面，结合平面向量基本定理，基本不等式及体积求解逐项判断能求出结果．【详解】由题意可知，四棱锥Q EFGH -为正四棱锥，过Q 作平面EFGH 的垂线，垂足为O ，则O 为底面中心，连接EG 、EM 、QO ，设EG 、QO 的交点为A ，在QHF △中，过A 作直线交QH ，QF 于B ，C ，由相交直线确定平面，得到四边形ECMB 是过EM 的截面，由题意得4EG =，QEG \V 是等边三角形，A \是QEG V 的重心，则221133233QH QF QA QO QH QF +==´=+uuur uuu ruuu r uuu r uuur uuu r ，故A 正确；又设QB xQH =uuu r uuu u r ，QC xQF =uuu r uuu r，\1QH QB x=uuu u r uuu r ，1QF QC y =uuu r uuu r ，\1133QA QB QC x y=+uuu r uuu r uuu r ，由三点共线得11133x y +=，解得113x y +=，故B 正确；易知,,EO HF EO QO ^^,,HF QO O HF QO Ç=Ì平面QHF ,故EO ^平面QHF ，则E 到平面QHF 的距离为2OE =，同理G 到平面QHF 的距离为2,又M 为QG 的中点，则M 到平面QHF 的距离为1，1sin 23QBC S QB QC p=´´´=V Q，111(12)sin 323E QBC M QBC QBC V V V S QB QC p--\=+=+=´´´=V ，故C 错误;易知48EFGH QO S ===，故28V -，124143V V xy -+-，Q113x y +=，113x y \=+³49xy \³，当且仅当23x y ==．取等号，\1244111443243V V xy =-+³-+=--，1min 21()2V V \=．故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查正棱锥性质及向量应用，解决问题关键是利用向量共线得113x y +=结合基本不等式求最值.9．ACD【分析】对于A ，利用线面平行的判定定理即可；对于B ，设1D Q x =，然后解方程即可；对于C ，利用外接球的性质求出其半径，再求其体积即可；对于D ，直接构造出相应的截面即可.【详解】对于A ，当Q 是11D A 的中点时，由于P 是11C D 的中点，故11PQ A C ∥.而11A M C N P ，且11111122A M A A C C C N ===，故四边形11A MNC 是平行四边形，所以11A C MN ∥，从而PQ MN ∥.而MN 在平面MBN 内，PQ 不在平面MBN 内，所以PQ ∥平面MBN ，故A 正确；对于B ，设()10,2D Q x =Î，则PQ =3PB ==，BQ ==所以cos QPB Ð=这就得到sin Ð故点Q 到直线BP 的距离2sin 3d PQ QPB =Ð===>=，故B 错误；对于C ，设MB 的中点为R ，过,,,A M B N 四点的球的球心为O ，R 在平面11CDD C 上的投影为S ，则OM OA OB ON ===.由RM RA RB ==可知OR ^平面MAB ，再由OM ON =可知O 是RS 的中点.所以球的半径32OA =====.从而球的体积34π39π322V æö==ç÷èø，故C 正确；对于D ，分别在11,,D C BA BC 上取点123,,Q Q Q ，使得11231D Q BQ BQ D Q ===.则过,,Q M N 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形123QQ NQ Q M ，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对线面平行的判定定理的使用.10．5【分析】作出圆台轴截面图象，根据梯形中位线性质，圆台侧面积公式可求上底和下底的半径，根据图形性质即可求出母线.【详解】设圆台的上､下底面圆的半径分别为,r R ，因为中截面的半径为3，所以根据梯形中位线性质可知：6r R +=.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1:2的两部分，所以根据圆台侧面积公式可知：()()π331π392r r R r ++==+-，解得1r =，所以5R =.又圆台的高为35==.故答案为：5.11．707504【分析】先由面面平行的性质证得四边形PQRS 为平行四边形，再由空间向量求得PA RC SD QB +=+，设AP ，BQ ，CR ，DS 的长度为a b c d ,,,，a c b d t +=+=，分0101t ££和102202t ££两种情况求出有序数列(),,,a b c d 的个数，即可求解.【详解】易得平面11A ABB ∥平面11D DCC ，平面PQRS I 平面11A ABB PQ =，平面PQRS I 平面11D DCC RS =，则PQ RS P ，同理可得PS QR P ，则四边形PQRS 为平行四边形，则PQ SR =uuu r uur，即PA AB BQ SD DC CR ++=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，整理得PA RC SD QB +=+uuu r uuu r uuu r uuu r，即PA RC SD QB +=+，设AP ，BQ ，CR ，DS 的长度为a b c d ,,,，a c b d t +=+=，又a b c d ,,,为非负整数，且[],,,0,101a b c d Î，易得t 为非负整数且[]0,202t Î，下面考虑满足上述条件的有序数列(),,,a b c d 的个数；当0101t ££时，易得a 可取0,1,2,,t L 共1t +种情况，b 可取0,1,2,,t L 共1t +种情况，由乘法原理可得共有()21t +，则有序数列(),,,a b c d 共有()()10122220102103210211121023589556t ´´´++=+++==åL 个；当102202t ££时，易得a 可取101,100,,101t t --L 共203t -种情况，b 可取101,100,,101t t --L 共203t -种情况，由乘法原理可得共有()2203t -，则有序数列(),,,a b c d 共有()()20222221021011022101120310110013485516t ´´´+-=+++==åL 个；又当有序数列(),,,a b c d 为()0,0,0,0和()101,101,101,101时，不满足将正方体1111ABCD A B C D -分割成两部分，故共有3589553485512707504+-=种分割方式.故答案为：707504.【点睛】本题关键点在于将问题转化为满足a c b d t +=+=，且a b c d ,,,为非负整数，[],,,0,101a b c d Î的有序数列(),,,a b c d 的个数，分0101t ££和102202t ££两种情况求出有序数列(),,,a b c d 的个数，即可求解.12．45或54【分析】不妨设AB a =，则BD =，12433AP AA a ==，分别求出三棱柱111ABC A B C -和四棱锥1B APC C -的体积，再相减可得上部分的体积，从而可得出答案.【详解】解：取AC 的中点D ，连接BD ，因为AB BC =，所以BD AC ^，因为1AA ^底面ABC ，BD Ì底面ABC ，所以1AA BD ^，又1AC AA A =∩，所以BD ^平面11AAC C ，不妨设AB a =，则BD =，12433AP AA a ==，1113122ABC A B C V a a -=´´=，13421332B APC Ca a a V -æö+ç÷èø=´=，11113B C ABC A B C AP C V V ---=，45=，所以两部分的体积比为45或54.故答案为：45或54.13．【分析】依题意可得，1A 为PA 的中点，1C 为PB 的中点，设ABC V 的边长为a ，PA b =，即可表示出图形的面积，从而得到111P A B C -的表面积1S ，三棱台111ABC A B C -的表面积2S ，由表面积之比得到b =，再求出高PH ，最后由锐角三角函数求解即可.【详解】依题意过正三棱锥P ABC -的高PH 的中点作平行于底面ABC 的截面111A B C ，则1A 为PA 中点，1B 为PB 中点，1C 为PC 中点，设ABC V 的边长为a ，PAb =，则221sin 602ABCS a =´=o V ，1112212A B C ABC S S æö=´=ç÷èøV V ，12PBC PBA PACS S S ===V V V所以11111121128PB C PB A PA C PBC S S S S æö====ç÷èøV V V V1111113348CBB C ABB A CAA C PBC S S S S ====V 所以三棱锥P ABC -的表面积2138S =+，三棱台111ABC A B C -的表面积2298S =，依题意12516S S ==，所以b =，取BC 的中点D ，则AD =，因为PH 为正三棱锥P ABC -的高，所以PH ^平面ABC 则PA 与底面ABC，所以PH==所以tan PHPAH AHÐ===，故直线PA 与底面ABC 所成角的正切值为故答案为：14． 72π+ 144π【分析】首先求出DOC Ð，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点C 作CE AB ^交AB 于点E ，过点D 作DF AB ^交AB 于点F ，即可求出CE 、OE 、AE 、OF 、BF 、DF ，将扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径6R =的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积与体积.【详解】因为π3AOC BOD Ð=Ð=，所以πππ233DOC Ð=-´=，设圆的半径为R ，又2π1π236COD S R =´=扇形，解得6R =（负值舍去），过点C 作CE AB ^交AB 于点E ，过点D 作DF AB ^交AB 于点F ，则πsin3CE OC ==πcos 33OE OC ==，所以3AE R OE =-=，同理可得DF =，3OF BF ==，将扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径6R =的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺的高3h =，圆锥的高13h =，底面半径r =则其中一个球冠的表面积12π2π6336πS Rh ==´´=，球的表面积2224π4π6144πS R ==´=，圆锥的侧面积3S =，所以几何体的表面积21322144π236π272πS S S S =-+=-´+´=+，又其中一个球缺的体积()()22111π3π336345π33V h R h =-=´´-=，圆锥的体积(221π327π3V =´´=，球的体积33344ππ6288π33V R ==´=，所以几何体的体积31222288π245π227π144πV V V V =--=-´-´=.故答案为：72π+；144π【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积、体积要合理转化.15【分析】根据给定条件，求出球O 半径，平面a 截球O 所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再求出平面a 截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答.【详解】令球O 半径为R ，则4π3R 3=36π，解得3R =，由平面a 与直线PO 成π6角，得平面a截球所得小圆半径πcos6r R ==2127ππ4S r ==，由球O 的内接圆锥高为2，得球心O 到此圆锥底面距离21d R =-=，则圆锥底面圆半径r ¢==令平面a 截圆锥所得截面为等腰PAB V ，线段AB 为圆锥底面圆1O 的弦，点C 为弦AB 中点，如图，依题意1π6CPO Ð=，12PO =，1πcos 6PO PC ==1CO =AB ==212S AB PC =×，所以12S S =.【点睛】思路点睛：涉及平面截球所得截面，利用截面小圆的性质，可从线面垂直关系求解，也可借助勾股定理建立数量关系求解.16．19π,11π9éùêúëû【分析】当P 与点D 重合时，过A ，C 与BP 垂直的截面为平面11ACC A ，此时四棱锥11B ACC A-的外接球的直径最大，当P 与点1D 重合时，过A ，C 与BP 垂直的截面为平面ACM ，此时三棱锥B ACM -的外接球直径最小，从而可求出棱锥的外接球的表面积的取值范围.【详解】如图所示，当P 与点D 重合时，过A ，C 与BP 垂直的截面为平面11ACC A ，四棱锥11B ACC A -的外接球的球心为对角面11ACC A 的中心O，直径为1AC =，此时外接球的表面积最大，最大为11π．当P 与点1D 重合时，过A ，C 与BP 垂直的截面为平面ACM ，设AC BD E =I ，连接EM ，因为1BD ^平面ACM ，EM Ì平面ACM ，所以1BD EM ^，所以190BEM EBD Ð+Ð=°，因为1190MBD EBD Ð+Ð=°，所以1MBD BEM Ð=Ð，所以EBM △∽11BB D △所以111BE BM BB B D ==13BM =所以三棱锥B ACM -=，此时外接球的表面积最小，最小为19π9．所以该棱锥的外接球的表面积的取值范围是19π,11π9éùêúëû，故答案为：19π,11π9éùêúëû【点睛】关键点点睛：此题考查多面体与球的外接问题，解题的关键是分P 与点D 重合和P与点1D 重合两种情况求出棱锥外接球的直径，从而可求出球的表面积的范围，考查空间想象能力，属于较难题.17． 23【分析】根据勾股定理可得AB BC ^，AD AC ^，如图，12R AC =，结合球的体积公式计算即可求出外接球O 的体积；确定当OE 与截面垂直时球心到截面的距离d 最大，且max d OE =，结合勾股定理计算即可求解.【详解】由题意知，AB AD ==，1BC CD ==，AC =由勾股定理可知，222AB BC AC +=，222AD CD AC +=，所以AB BC ^，AD AC ^，取AC 的中点O ，所以OB OC OD OA ===，所以O 为三棱锥A BCD -的外接球的球心，则三棱锥A BCD -的外接球O 的半径12R AC ==故外接球O 的体积343V R p ==.过点E 作球O 的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，设球O 到截面的距离d ，只需球心到截面的距离d 最大即可，当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离d 最大，即max d OE =，取BA 的中点F ，16EF BA ==所以22222111236OE OF EF æö=+=+=ç÷èø，所以截面圆的半径为23r ==.；23【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.18． 5 【分析】数形结合，作平面与平面BDF 平行，即可解决；令SE SFl =，用l 表示相关长度，整理得2EMP PMNQ S S S =+=-+V ，结合二次函数即可解决.【详解】取S C 中点,,,F BF SC DF SC ^^且BF DF F =I ，,BF DF Ì平面BDF ，可知SC ^平面BDF ，根据平面的基本性质，作平面与平面BDF 平行，如图至多为五边形.令SE SFl =，则,2EP BF SP SB l l l ====，可得()21,PB BQ PQ NQ MP BD l l ===-===，则1cos 3DFB Ð==，可得sin DFB Ð==，所以212EMP S ==V ，又因为MN 与NQ 的夹角为SA 与BD 夹角，而SA 与BD 垂直，则()()211PMNQ S l l =´-=-，可得()222213S l l ö=-+=-+=--÷ø可知：当23l =时，S故答案为：5【点睛】关键点点睛：根据平面的性质分析截面的形状，结合几何知识求相应的长度和面积，进而分析求解.19【分析】取S C 的中点F ，连接,DF BF ，得SC ^平面BDF ，当点E 在,S F 之间时，作平面EMNQP 与平面BDF 平行，得到的截面最大为五边形，即可求解．【详解】解：取S C 的中点F ，连接,DF BF ，则,BF SC DF SC ^^，而,,BF DF F BF DF Ç=Ì平面BDF ，得SC ^平面BDF ，当点E 在,S F 之间时，作//,//EP BF EM DF 分别交,SB SD 于点,P M ，作//,//MN SA PQ SA 分别交,AD AB 于点,N Q ，连接NQ ，则平面EMNQP 与平面BDF 平行，得到的截面为五边形，如图所示：令SESF l =，则EP BF l ==，2SP SB l l ==，可得()21PB BQ PQ l ===-，得()21MN l =-，2AQ AN l ==，得NQ =，由1cos 3DFB Ð==，得si n D FB Ð==，所以21si n 2E M P S D FB =´´´Ð=V ，又因为MN 与NQ 的夹角等于SA 与BD 的夹角，且由正四棱锥性质可知SA 与BD 垂直，所以()()211PMNQ S l l =´-=-四边形，可得截面的面积为：()222213S l l ö=+-=-+=--÷ø根据二次函数的性质，可知，当23l =时，S ，20【分析】据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案.【详解】正四棱锥P ABCD -的底面边长为2，截面1111D C B A 的边长为1，所以1111,,,A B C D 为对应边上的中点，由1AA =所以1PA =连接1111,A C B D 交于点O ，连接PO ，由正四棱锥的性质知^PO 面1111,A B C D所以PO ==所以正四棱锥1111P A B C D -的体积为1111111133A B C D S PO ×=´´=.21【分析】通过延长可得过1D ，E ，F 的截面为五边形1D NEHF ，利用正方体外接球的表面积求出正方体边长，然后五个边都求出，即可得出结果.【详解】如图，延长DC ，1D F 交于点G ，连接EG 交BC 于点H ，延长GE ，DA 交于点M ，连接1D M 交1AA 于点N ，连接FH ，NE ，则过1D ，E ，F 的截面为五边形1D NEHF ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，由正方体外接球的表面积为236π=4πr ，可得其外接球的半径r 为3，直径为体对角线，23=´，故a =在11Rt FC D △中，由勾股定理得1D F ==易得BEH CGH :△△12BE CG ==，故EH ==114AN DD =，故AN =，故NE ==1D N ==所以最长边为1m D N ==，最短边为n NE==m n22．163p ##163p 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出ABC V 的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案.【详解】在ABC V 中，1,AB BC AC ===12cos AC BAC AB Ð==1sin 2BAC Ð=，由正弦定理得ABC V 外接圆半径1112sin r BAC=´=Ð，设球半径为R ，于是221()12R R =+，解得243R =，所以球的表面积是216π4π3R =.故答案为：16π323．π【分析】根据正方体的性质求出外切球的球心及半径，结合球的性质即可求解截面面积的最小值.【详解】正方体的外接球球心O 为体对角线1AC 的中点，连接OM ，1BC ，过点M 且与OM 垂直的平面截得外接球的小圆面积是最小的，因为1//OM BC ，1AB BC ^，所以OM AB ^，且,A B 两点都在外接球的表面上，根据球的性质知，最小的截面面积是以AB 为直径的圆的面积，此时圆的面积为2π1π´=.故答案为：π.24【分析】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，求出b a的值即可得解.【详解】以矩形ABCD 的中心为原点，圆锥的轴为x 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，由圆锥的底面直径为2，得1,AM OA ==显然12,tan 2OM AOM ==Ð=，即12b a =，所以双曲线的离心率e ====.25．103【分析】如图，先作出截面，然后利用三角形相似和勾股定理可求得答案【详解】解：如图，连接AE 并延长交DC 延长线于M ，连接FM 交1CC 于G ，连接EG 并延长交11B C 延长线于N ，连接NF 并延长交11A D 于H ，连接AH ，则五边形AEGFH 为经过点,,A E F 的正方体的截面，因为E 为BC 的中点，所以122CE BC ==，因为CE ∥AD ，所以MCE △∽MDA V ，所以12CM CE DM AD ==，所以4CM CD ==,因为DM ∥11C D ，所以MCG △∽1FC G V ，所以112CG CM C G C F ==，所以28433CG =´=,所以103EG ===，所以截面与11BCC B 的交线段长为103，故答案为：10326． 25+ 【分析】延长DC ，与1D F 的延长线交于点G ，连接EG ，交BC 于点H ，延长GE ，与DA 的延长线交于点M ，连接1D M ，交1AA 于点N ．连接NE ，FH ，作出截面多边形，由此易求该截面多边形的周长；多边形与平面11ADD A ，ABCD 的交线分别为1D N 与EH ，由面面平行的性质定理得FH ∥1D N ，则FHE Ð为多边形与平面11ADD A ，ABCD 的交线所成的角或其补角，利用余弦定理计算cos FHE Ð即可.【详解】如图，延长DC ，与1D F 的延长线交于点G ，连接EG ，交BC 于点H ，延长GE ，与DA 的延长线交于点M ，连接1D M ，交1AA 于点N ．连接NE ，FH ，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为12，所以1D F ==因为11D C ∥CG ，所以11D C F GCF ∽△△，所以1111D C C F CG CF==，所以12CG =，同理可得BEH CGH ∽△△，所以12BH BE CH CG ==，所以283CH BC ==，143BH BC ==，所以10FH ==，EH ==．易知BEH AEM ≌△△，所以4AM BH ==，又1AM AN MD DD =，解得3AN =，所以NE ==115D N ==，则该多边形的周长为1125D F FH HE EN ND ++++=++由面面平行的性质定理得FH ∥1D N ，则FHE Ð为多边形与平面11ADD A ，ABCD 的交线所成的角或其补角．因为EF ==cos FHE Ð==所以该多边形与平面11ADD A ，ABCD故答案为：25++【点睛】本题主要考查截面问题和异面直线所成的角，考查了空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.。
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立体几何的截面问题选题（9.5）一、单选题1．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（）A ．14B ．12C ．2349D ．2547【答案】D【详解】如图，可以作出截面1D MEFN ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，则其体积为216，延长1D M 交DA 的延长线于点K ，连接KE ，延长1D N 交DC 的延长线于点L ，连接FL .因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，M ，N 分别为两棱的三等分点，所以3AK CL ==，2AM CN ==，1116998132D DKL V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，11233332M AKE N CFL V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81675-=，另外一部分的体积为21675141-=，所以体积比值为752514147=.2．已知正方体1111ABCD A B C D -，直线1AC ⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（）A ．截面形状可能为四边形B ．截面形状可能为五边形C ．截面面积最大值为D ．截面面积最大值为2【答案】D 【详解】如图在正方体中1AC ⊥平面1A BD ，所以平面α与平面1A BD 平行平面α与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形当截面为正六边形EFNMGH 时，截面面积有最大，由题可知：21sin 45==NM ，则133611sin 6022=⨯⨯⨯⨯= EFNMGH S 故选：D3．正方体ABCD --1111D C B A ，E 、F 分别是1AA 、1CC 的中点，P 是1CC 上的动点（包括端点），过E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是A ．线段1C F B ．线段CFC ．线段CF 和一点1CD ．线段1C F 和一点C ．【答案】C【详解】如图所示，DE ∥平面BB 1C 1C ，∴平面DEP 与平面BB 1C 1C 的交线PM ∥ED ，连接EM ，易证MP=ED ，∴MP ∥ED ，则M 到达B 1时仍可构成四边形，即P 到F ．而P 在C 1F 之间，不满足要求．P 到点C 1仍可构成四边形．故选：C ．4．已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）A ．2B ．52C ．4D ．5【答案】B【详解】如图ABC 是圆锥的轴截面，由题意母线BC =，高1CO =，则1sin2CBO ∠=，CBO ∠是锐角，所以30CBO ∠<︒，于是得轴截面顶角12090ACB ∠>︒>︒，所以当两条母线夹角为90︒时，截面面积为21522S =⨯=为所求面积最大值．故选：B ．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为棱AB ，11A D ，11C D 的中点，经过E ，F ，G 三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为（）A ．2B ．334C ．1D ．2【答案】B【详解】分别取11,,BC AA CC 的中点为,,H M N ，连接,,,,EH HN GN FM ME 容易得出//,//,//FG EH GN ME HN FM ，则点,,,,,E F G H M N 共面且22112===222FG EH GN ME HN FM ⎛⎫⎛⎫===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即经过E ，F ，G 三点的截面图形为正六边形EHNGFM 连接,,MN EG FH ，且相交于点O因为22112MN AC ==+=，所以22OE OH ON OG OF OM ======则截面图形的面积为12233sin 6062224⎛⎫⨯⨯︒⨯= ⎪⎪⎝⎭故选：B6．如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（）A ．S 为定值,l 不为定值B ．S 不为定值,l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值【答案】B【详解】设平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形为ω，ω与正方体的棱的交点分别为I J N M L K 、、、、、（如下图），将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -和''C B CD '-，得到一个几何体V ，V 是以平行平面'A BD 和''B CD 为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形ω的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，设正方体棱长为a ，'''A KA B γ=，则IK B D γγ''==，()()11KL A B γγ=-'=-，故()1IK KL γγ+=+-=，同理可证明LM MN NJ IJ +=+=，故六边形ω的周长为，即周长为定值；当I J N M L K 、、、、、都在对应棱的中点时，ω是正六边形，计算可得面积221233362224S a a ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，三角形'A BD 的面积为)221222a ⨯⨯=，当ω无限趋近于'A BD 时，ω的面积无限趋近于22a ，故ω的面积一定会发生变化，不为定值．故答案为B.7．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，P 是1AA 中点，过点1D 作平面α满足⊥CP 平面α，则平面α与正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为（）A ．52B ．122C ．828D ．85【答案】A【详解】取AD 的中点M ，AB 的中点N ，连结PD ，1111,,,M N B M D B D N 则11,,D M PD D M CD PO CD D⊥⊥⋂=1D M ⊥平面PCD ，∴CP ⊥1D M ，又MN ⊥面11ACC A ，∴PC ⊥MN∴PC ⊥面11MNB D ，即平面α为面11MNB D ，11422,42,25AB MN BD B N D M =∴==== ∴截面的周长为562+故选：A.8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16AC BC CC ===.AC BC ⊥，E ､F 分別为1BB ，11AC 中点，过点A ､E ､F 作三棱柱的截面交11B C 于M ，则EM =（）A ．9B ．5C 13D ．35【答案】C【详解】如图，延长AF ，1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ，取1CC 的中点Q ，连接EQ ，则四边形AEMF 所求截面.因为111=,//2FC AC FC AC ，且F 为11A C 的中点，所以1C 为PC 的中点.又因为Q ，E 分别为1CC ，1BB 的中点，所以1//MC EQ .则1123MC PC EQ PQ ==，即11122433MC EQ B C ===.所以M 为11B C 上靠近1B 的三等分点.故222313EM =+=.故选：C9．在长方体11 1 1 A B C D A B C D -中，24,2AB AD AA ===，过点1A 作平面α与, A B A D 分别交于,M N 两点，若1AA 与平面α所成的角为45︒，则截面1A MN 面积的最小值是（）A ．23B ．42C ．46D ．82【答案】B【详解】如图，过点A 作AE MN ⊥，连接1A E∵1A A ⊥平面ABCD ，∴1A A MN ⊥，∴MN ⊥平面1A AE ，∴1A E MN ⊥，所以平面1A AE ⊥平面1A MN ，∴1AA E ∠为1AA 与平面1A MN 所成的角，∴145AA E ︒∠=，在1Rt A AE △中，∵12AA =，∴12,22AE A E ==在Rt MAN △中，由射影定理得24ME EN AE ⋅==，由基本不等式得4MN ME EN ME EN =+≥⋅=，当且仅当ME EN =，即E 为MN 中点时等号成立，∴截面1A MN 面积的最小值为142⨯⨯=.故选：B10．已知圆锥1SO 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8.母线12SA =，点B 在SA 上，且2SB BA =，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（）A ．27πB ．32πC ．45πD ．81π【答案】B【详解】如图,球的球心为O ，半径为R ，则18SO =，OA R =，1AO ==，所以22211OA OO AO=+，即()(2228RR =-+，解得9R =，取SA 的中点N ，12SA =，2SB BA =，则2BN =，所以ON ==，7OB ==，过点B 的平面被该球O 截，若截面面积最小，则OB 垂直于截面，此时截面圆半径为r ==，所以截面面积的最小值为232r ππ=.故选：B.11．在直三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 上的点，3AB =，4BC =，5AC =，17CC =，过三点A 、M 、1C 作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的两部分的体积比为（）．A ．34B ．45C ．910D ．1011【答案】D 【详解】如图：因为1254974AC =+=为定值，所以1AM MC +最小时，截面周长最小，将平面11ABB A 与平面11BCC B放在一个平面内，如图：连接1AC ，与1BB 的交点即为M ，则此时1AM MC +最小，此时3BM =，因为3AB =，4BC =，5AC =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AB ⊥，因为1AB BB B Ç=，所以AB ⊥平面11BCC B ，∴1A BCC M -的体积()111111()3374203232V AB BM CC BC =⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯=，三棱柱的体积11437422ABC V S CC =⨯=⨯⨯⨯=△，∴截面将三棱柱分成的两部分的体积比为112010422011V V V ==--．故选：D.二、填空题12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，则线段BM 长度的取值范围是______.【答案】(1,2)【详解】∵正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，棱长为2.点M 在线段BC 上（点M 异于,B C 两点），当点N 为线段1CC 的中点(如图（1）)，可得MN ∥1AD ，平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，当01BM <≤时，(如图（2）)，过A 作MN 的平行线，交线段1DD 内点H .所以截面为四边形.当12BM <<时，(如图（3）)，过A 作MN 的平行线，交线段1DD 外与H ，连结HN 交11C D 于点E ，连结HA 交11A D 于点F .所以截面为五边形.所以平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，则线段BM 的取值范围为(1,2)．故答案为：(1,2).13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，点M 为底面ABCD 内一动点.若1MD 与该截面平行，则直线1MD 与1CC 所成角的余弦值的最大值为______.【答案】63【详解】由题意，补全截面EFG 为正六边形EFGHQR，如图所示：11//CC DD ，故1DD M ∠即为直线1MD 与1CC 所成的角，由1//CD GH ，可得1//CD 平面EFGHQR .由//AC EF ，可得//AC 平面EFGHQR ，再由1CD AC C ⋂=.可得平面1//ACD 平面EFGHQR .由1MD ⊂平面1ACD ，可得1//MD 平面EFGHQR .易知点M 位于底面对角线AC 上，且当M 与底面中心O 重合时，1DD M ∠最小，其余弦值此时最大，且最大值为1121216cos 3212D D DD O D O ∠==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.。