立体几何的截面问题选题

立体几何的截面问题选题（9.5）
一、单选题
1．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（）
A ．
14
B ．
12
C ．
2349
D ．
2547
【答案】D
【详解】如图，可以作出截面1D MEFN ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，则其体积为216，延长1D M 交DA 的延长线于点K ，连接KE ，延长1D N 交DC 的延长线于点L ，连接FL .因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，M ，N 分别为两棱的三等分点，所以
3AK CL ==，2AM CN ==，1116998132D DKL V -⎛⎫
=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
，
11233332M AKE N CFL V V --⎛⎫
==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
，所以正方体被截面分成两部分，其中一部分的体
积为81675-=，另外一部分的体积为21675141-=，所以体积比值为
7525
14147
=.
2．已知正方体
1111ABCD A B C D -，直线1AC ⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（）
A ．截面形状可能为四边形
B ．截面形状可能为五边形
C ．截面面积最大值为
D ．截面面积最大值为
2
【答案】D 【详解】
如图
在正方体中1AC ⊥平面1A BD ，所以平面α与平面1A BD 平行平面α与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形当截面为正六边形EFNMGH 时，截面面积有最大，
由题可知：21sin 45
==
NM ，则133
611sin 6022=⨯⨯⨯⨯= EFNMGH S 故选：D
3．正方体ABCD --1111D C B A ，E 、F 分别是1AA 、1CC 的中点，P 是1CC 上的动点（包括端点），过E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是A ．线段1C F B ．线段CF
C ．线段CF 和一点1C
D ．线段1C F 和一点C ．
【答案】C
【详解】如图所示，
DE ∥平面BB 1C 1C ，
∴平面DEP 与平面BB 1C 1C 的交线PM ∥ED ，连接EM ，易证MP=ED ，
∴MP ∥ED ，则M 到达B 1时仍可构成四边形，即P 到F ．而P 在C 1F 之间，不满足要求．P 到点C 1仍可构成四边形．故选：C ．
4．已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）
A ．2
B ．
52
C ．4
D ．5
【答案】B
【详解】如图ABC 是圆锥的轴截面，由题意母线BC =
，高1CO =，则
1sin
2
CBO ∠=
，CBO ∠是锐角，所以30CBO ∠<︒，于是得轴截面顶角12090ACB ∠>︒>︒，
所以当两条母线夹角为90︒时，截面面积为215
22
S =⨯=为所求面积最大值．故选：B ．
5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为棱AB ，11A D ，11C D 的中点，经过E ，F ，G 三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为（
）
A ．2
B ．
334
C ．1
D ．2
【答案】B
【详解】分别取11,,BC AA CC 的中点为,,H M N ，连接,,,,EH HN GN FM ME 容易得出//,//,//FG EH GN ME HN FM ，则点,,,,,E F G H M N 共面
且22
112===222FG EH GN ME HN FM ⎛⎫⎛⎫===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即经过E ，F ，G 三点的截面图形为正六边形EHNGFM 连接,,MN EG FH ，且相交于点O
因为22112MN AC ==+=
，所以2
2
OE OH ON OG OF OM ======
则截面图形的面积为12233
sin 6062
224⎛⎫⨯
⨯︒⨯= ⎪
⎪⎝⎭
故选：B
6．如图，在正方体````
ABCD A B C D -中,平面
垂直于对角线AC
,且平面
截得正方
体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（
）
A ．S 为定值,l 不为定值
B ．S 不为定值,l 为定值
C ．S 与l 均为定值
D ．S 与l 均不为定值
【答案】B
【详解】设平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形为ω，ω与正方体的棱的交点分别为I J N M L K 、、、、、（如下图），
将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -和''C B CD '-，得到一个几何体V ，V 是以平行平面'A BD 和''B CD 为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形ω的每一条边分
别与V 的底面上的一条边平行，设正方体棱长为a ，
'''
A K
A B γ=，则IK B D γγ''==，()()
11KL A B γγ=-'=-，故()1IK KL γγ+=+-=，同理可证明
LM MN NJ IJ +=+=
，故六边形ω的周长为，即周长为定值；
当I J N M L K 、、、、、都在对应棱的中点时，ω是正六边形，计算可得面积
2
2123336
2224S a a ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
，三角形'A BD 的面积为)
2
2
1
222
a ⨯⨯
=，
当ω无限趋近于'A BD 时，ω的面积无限趋近于2
2
a ，故ω的面积一定会发生变化，不为定值．故答案为B.
7．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，P 是1AA 中点，过点1D 作平面α满足⊥CP 平面α，则平面α与正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为（
）
A ．52
B ．122
C ．828
D ．85
【答案】A
【详解】取AD 的中点M ，AB 的中点N ，连结PD ，1111,,,M N B M D B D N 则
11,,D M PD D M CD PO CD D
⊥⊥⋂=1D M ⊥平面PCD ，∴CP ⊥1D M ，又MN ⊥面11ACC A ，∴PC ⊥MN
∴PC ⊥面11MNB D ，即平面α为面11MNB D ，
11422,42,25AB MN BD B N D M =∴==== ∴截面的周长为562+故选：A.
8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16AC BC CC ===.AC BC ⊥，E ､F 分別为1BB ，
11AC 中点，过点A ､E ､F 作三棱柱的截面交11B C 于M ，则EM =（
）
A ．9
B ．5
C 13
D ．35
【答案】C
【详解】如图，延长AF ，1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ，
取1CC 的中点Q ，连接EQ ，则四边形AEMF 所求截面.因为111
=
,//2
FC AC FC AC ，且F 为11A C 的中点，所以1C 为PC 的中点.
又因为Q ，E 分别为1CC ，1BB 的中点，所以1//MC EQ .则
1123MC PC EQ PQ ==，即11122
433
MC EQ B C ===.所以M 为11B C 上靠近1B 的三等分点.
故222313EM =+=.
故选：C
9．在长方体11 1 1 A B C D A B C D -中，24,
2AB AD AA ===，过点1A 作平面α与
, A B A D 分别交于,M N 两点，若1AA 与平面α所成的角为45︒，则截面1A MN 面积的最
小值是（）
A ．23
B ．42
C ．46
D ．82
【答案】B
【详解】如图，过点A 作AE MN ⊥，连接1A E
∵1A A ⊥平面ABCD ，∴1A A MN ⊥，∴MN ⊥平面1A AE ，
∴1A E MN ⊥，所以平面1A AE ⊥平面1A MN ，∴1AA E ∠为1AA 与平面1A MN 所成的角，∴145AA E ︒
∠=，
在1Rt A AE △中，
∵12AA =，∴12,22AE A E ==在Rt MAN △中，由射影定理得24ME EN AE ⋅==，由基本不等式得4MN ME EN ME EN =+≥⋅=，当且仅当ME EN =，即E 为MN 中点时等号成立，
∴截面1A MN 面积的最小值为1
42
⨯⨯=.故选：B
10．已知圆锥1SO 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8.母线12SA =，点B 在SA 上，且2SB BA =，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（）
A ．27π
B ．32π
C ．45π
D ．81π
【答案】B
【详解】如图,球的球心为O ，半径为R ，则18SO =，OA R =，1AO ==，
所以2
2
2
1
1OA OO AO
=+，即
()(2
2
2
8R
R =-+，解得9R =，
取SA 的中点N ，12SA =，2SB BA =，则2BN =，
所以ON =
=，7OB ==，
过点B 的平面被该球O 截，若截面面积最小，则OB 垂直于截面，此时截面圆半径为
r ==
，所以截面面积的最小值为2
32r ππ=.
故选：B.
11．在直三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 上的点，3AB =，4BC =，5AC =，
17CC =，过三点A 、M 、1C 作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的两部分的体积比为（）．
A ．
3
4
B ．
45
C ．
910
D ．
1011
【答案】D 【详解】如图：
因为1254974AC =
+=为定值，所以1AM MC +最小时，截面周长最小，
将平面11ABB A 与平面11BCC B
放在一个平面内，如图：
连接1AC ，与1BB 的交点即为M ，则此时1AM MC +最小，此时3BM =，因为3AB =，4BC =，5AC =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AB ⊥，因为1AB BB B Ç=，所以AB ⊥平面11BCC B ，
∴1A BCC M -的体积()111111
()3374203232
V AB BM CC BC =
⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯=，三棱柱的体积11
437422
ABC V S CC =⨯=⨯⨯⨯=△，
∴截面将三棱柱分成的两部分的体积比为112010
422011
V V V ==--．
故选：D.
二、填空题
12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，则线段BM 长度的取值范围是______.
【答案】(1,2)
【详解】∵正方体1111ABCD A B C D -的体积为8，棱长为2.
点M 在线段BC 上（点M 异于,B C 两点），
当点N 为线段1CC 的中点(如图（1）)，
可得MN ∥1AD ，
平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，
当01BM <≤时，(如图（2）)，
过A 作MN 的平行线，交线段1DD 内点H .
所以截面为四边形.
当12BM <<时，(如图（3）)，
过A 作MN 的平行线，交线段1DD 外与H ，
连结HN 交11C D 于点E ，连结HA 交11A D 于点F .
所以截面为五边形.
所以平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，
则线段BM 的取值范围为(1,2)．
故答案为：(1,2).
13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，点M 为底面ABCD 内一动点.若1MD 与该截面平行，则直线1MD 与1CC 所成角的余弦值的最大值为______.【答案】6
3
【详解】由题意，补全截面EFG 为正六边形EFGHQR
，如图所示：11//CC DD ，故1DD M ∠即为直线1MD 与1CC 所成的角，由1//CD GH ，可得1//CD 平面EFGHQR .由//AC EF ，可得//AC 平面EFGHQR ，再由1CD AC C ⋂=.可得平面1//ACD 平面EFGHQR .由1MD ⊂平面1ACD ，可得1//MD 平面EFGHQR .易知点M 位于底面对角线AC 上，且当M 与底面中心O 重合时，1DD M ∠最小，其余弦值此时最大，且最大值为1121216cos 3212D D DD O D O ∠==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.。