高中数学常用公式与证明专题

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高中数学常用公式与证明专题

本专题由北京大学教材研究所审定 依据《普通高中课程标准》编写

1.不等式的基本性质：

（1）对称性：b a >⇔a b <

（2）传递性：b a >，c b >⇒c a > （3）可加性：b a >⇔c b c a +>+

（4）加法：b a >，d c >⇒d b c a +>+

（5）保号性：b a >，0>c ⇒bc ac >；0>b a ，0>>d c ⇒bd ac >

（7）乘方：0>>b a ⇒n

n b a >（n ∈N*） （8）开方：0>>b a ⇒n n

b a >（n ∈N*）

2.均值不等式定理： （1）四种形式：

整式形式：ab b a 22

2

≥+，

ab b a 222-≥+（a ，b ∈R ，当且仅当b a =时取“=”号）

2

)2

(b a ab +≤（a ，b ∈R ，当且仅当b a =时取“=”号）

根式形式：2a b

+≥ a ，b ∈R +，当且仅当b a =时取“=”号)

分式形式：2≥+b

a a

b （0>ab ），2-≤+b a

a b （0

倒数形式：若0>x ，则21

≥+x

x ；若0

（2）推广：n

n n a a a n

a a a (2121)

≥+++（a 1，a 2，…，a n 均为正数） （3）极值定理：“和定积大”、“积定和小”（“一正二定三等”）（技巧：拆、凑）

已知x 、y 都是正数，则有：

①若积xy 是定值p ，则当x=y 时和x+y 有最小值p 2； ②若和x+y 是定值s ，则当x=y 时积xy 有最大值24

1s . 3.常用不等式：

（1）不等式链：22112

2

2b a b a ab b

a +≤+≤≤+（a 、

b 均为正数） （2）柯西不等式：2

2

2

2

2

)())((bd ac d c b a +≥++),,,(R d c b a ∈ 4.含绝对值不等式：

2

（1）绝对值的几何意义；

（2）性质：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

（3）推论：①|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n | ②|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

等号成立的条件：①|a+b|=|a|+|b|⇔ab ≥0

②|a-b|=|a|+|b|⇔ab ≤0 ③|a|-|b|=|a+b|⇔(a+b)b ≤0 ④|a|-|b|=|a-b|⇔(a+b)b ≥0

5.不等式的证明方法：

（1）比较法：作差、作商

（2）综合法：利用已知或已证的不等式、定理、性质 （3）分析法

（4）换元法：三角换元、代数换元

（5）构造法：构造函数、向量、斜率、复数、数列、距离、定比分点、图形等 （6）反证法 （7）放缩法 （8）判别式法： （9）数学归纳法 6.不等式的解法：

（1）一元二次不等式ax 2+bx+c>0（或<0）（a ≠0）.（结合图象求解集）如果a 与ax 2+bx+c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2+bx+c 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x 1x 2 ⇔（x-x 1）（x-x 2）>0. （2）简单的高次不等式：（x-x 1）（x-x 2）…（x-x n ）<0（穿针引线法）

（3）分式不等式：转化为整式不等式，同时需要注意分母不能为零.需要强调的是奇次重根和偶次重根的区别.

（4）含参数的不等式：注意根的大小讨论、二次项系数是否为零的讨论、判别式的讨论.

（5）当a>0时，|x|>a ⇔x 2>a 2⇔x>a 或x<-a ⇔(x-a)(x+a)>0 |x|cx+d ：分类讨论 （7）|ax+b|>|cx+d|：两边平方

（8）m<|ax+b|

①

⎪⎩

⎪

⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f .

3

②

⎪⎩⎪

⎨⎧>≥≥⇔>2)]([)(0)(0

)()()(x g x f x g x f x g x f 或⎩

⎨⎧<≥0)(0)(x g x f .

③

⎪⎩

⎪

⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f .

（11）指数不等式：

若a>1， 则()()()()f x g x a a f x g x >⇔>， 若0

()()()f x g x a a f x g x >⇔<.

（12）对数不等式：

若a>1，则()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪

>⇔>⎨⎪>⎩.

若0⎧⎪

>⇔>⎨⎪<⎩

7.直线的斜率公式：

（1）k=tan α，00≤α＜1800，且α≠900； （2）21

21

y y k x x -=

-（P 1),(11y x ，P 2),(22y x 且21x x ≠）.

由倾斜角的范围求斜率或由斜率求倾斜角的范围时一定要结合正切函数的图像. 8.直线的倾斜角计算：

（1）若k 不存在，则0

90=α；

（2）若k 存在，当0≥k 时，k arctan =α；

当0

9.直线方程的六种形式：（注意各种形式适用的范围） （1）点斜式：)(11x x k y y -=- （2）斜截式：b kx y +=

（3）两点式：

11

2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠、12x x ≠)

（4）截距式：1x y

a b

+=（ab ≠0）

横纵截距相等或和为零或互为相反数或绝对值相等、横截距是纵截距的几倍或几分之几等，都应注意截距可能为零！截距可正、可负、可为零！ （5）一般式：Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为0）