§4–7 微分 基础知识导学9页

§4–7 微分

基础知识导学

1．定义

如果函数y= f (x)在点x的某一邻域内有定义，且当自变量x有改变量Δx时，函数y有改变量Δy

Δy= f (x+Δx) - f (x)=A•Δx+o(Δx) (Δx→0)

其中A与Δx无关，则称A•Δx为函数f (x)在点x处的微分，记作dy或df (x)

即dy=A•Δx或df (x) =A•Δx

此时也称函数y= f (x)在点x处可微。

当A≠0时函数的微分dy=A•Δx也称作函数的改变量Δy的线性主部。

2．可微与可导的关系

定理函数y= f (x)在x点可微的充要条件是：函数y= f (x)在x点可导。

换言之，若函数y= f (x)在x点可导，则它在x点可微，且dy= fˊ(x)Δx；反之若函数在x点可微dy=A•Δx，即，则它在x点可导，且fˊ(x) =A

又因自变量的微分就等于自变量的改变量，即dx=Δx，所以

dy= fˊ(x)dx

dy

有fˊ(x) =

dx

即函数y= f (x)在x处的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，故导数也称作微商。

3．微分的几何意义

函数f (x)在处的微分dy= fˊ(x0)dx即为切线MT上的点的纵坐标的增量（如图所Array

示）dy=| NT |

4．微分的基本公式和运算法则

由dy= f ˊ(x )dx 和导数的基本公式，可得如下 微分基本公式：

（1）d (C) = 0 （C 为常数） （2）d (αx )= 1-ααx dx (α为任意实数) （3）d (sin x )= cos xdx （4）d (cos x )= -sin xdx （5）d (tg x )= sec 2x dx

（6）d (ctg x )= -csc 2xdx （7）d (a x )= a x ln adx

（8）d (e x )= e x dx

（9）d (log a | x |)=a x ln 1dx (a > 0，a ≠1) （10）d (ln| x |)=x 1dx

（11）d (arc sin x )=

2

11x

-dx

（12）d (arccos x )=2

11x

--

dx

（13）d (arctg x )=2

11

x

+dx （14）d (arcctg x )=211x +-dx

（15）d (sh x )= ch x dx （16）d (ch x )= sh xdx

（17）d (th x )=

x

ch 2

1dx

对应于求导的运算法则有下面的微分运算法则： （1）d [ u (x )±v (x ) ]= d u (x ) ± d v (x )

（2）d [ u (x ) v (x ) ]= d u (x ) v (x ) + u (x ) d v (x ) （3）d [c u (x )] = c d u (x )

（4）)

()()()()()()(2x v x dv x u x v x du x v x u d -=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

（5）)

()()(12

x u x du x u d -=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 5．一阶微分形式不变性

与复合函数求导法则相对应的微分运算为下面的微分形式不变性质：

定理 设有复合函数，若u=)(x ϕ在x 点处可微，y=f (u )在对应点u 处可微，则复合函数y=f [)(x ϕ]在点x 处可微，并且

dy=f ˊ(u )du 因为由复合函数运算法则

x y '=u

y '•x u ' 知 dy=x y 'dx=u y '•x u 'dx=u y '•du 即 dy=u

y '•du 对照dy=u y '•du 和公式dy=x y 'dx 说明不论u 是自变量还是中间变量，

函数微分的形式是完全一样的，故称为微分形式不变性。

6．微分在近似计算中的应用

（1）微分进行近似计算的理论依据

对于函数)(x f y =,若在点0x 处可导且导数0)(0≠'x f ，则当x ∆很小时，有函 数的增量近似等于函数的微分, 即有近似公式y y d ≈∆.

(2) 微分进行近似计算的4个近似公式

设函数)(x f y =在点0x 处可导且导数0)(0≠'x f ，当x ∆很小时，有近似公式y y d ≈∆，即

x x f x f x x f ∆'≈-∆+)()()(000，

x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000，

令x x x =∆+0，则

))(()()(000x x x f x f x f -'+≈，

特别地，当00=x ，x 很小时，有

x f f x f )0()0()('+≈ .

重点难点突破

微分和导数一样也是微积分的基本概念，在理解微分的概念时，要注意以下几点： （1）函数的微分是函数改变量的线性主部

由于函数y=f (x )在点x 处有导数f ˊ(x )，由定义，有

x y x ∆∆→∆0lim

= f ˊ(x ) 又由极限与无穷小量的关系，有 x

y ∆∆= f ˊ(x )+α

其中α是当Δx →0时的无穷小量，因为Δx ≠0，所以 Δy= f ˊ(x )Δx+α•Δx

又因为0lim lim 0

==∆∆→∆→∆ααx x x

x ，所以α•Δx 是比Δx 高阶的无穷小量。

f ˊ(x )Δx 是Δx 的一次函数，因为一次函数的图像是直线，所以也叫线性函数。

当Δx 很小且Δx →0时，α•Δx 可以忽略不计，所以f ˊ(x )Δx 成为Δy 的主要部分，称为线性主部。当f ˊ(x )≠0时可以用微分近似代替函数的改变量，即

Δy ≈f ˊ(x )Δx

也就是当Δx 很小时，dy=f ˊ(x )Δx 是Δy 的近似值。

（2）由以上的分析可知，若函数y=f (x )在点x 处可导，可将微分的定义记为 dy=f ˊ(x ) dx

因为自变量x 的改变量Δx 等于自变量的微分dx ，所以把dy=f ˊ(x )Δx 改写为dy=

f ˊ(x ) dx 形式，此时也称函数y=f (x )在点x 处可微。

（3）微分的几何意义是y=f (x )图像上一点(x ，f (x ))处切线的纵坐标的改变量。 （4）微分运算中一般用微分运算法则求函数的微分比直接用公式dy=f ˊ(x ) dx 求微分更有规律一些，不易出错，对某些比较复杂的函数更会显出其优点。

（5）微分与导数的关系

因为函数在一点处可导必可微，可微必可导，所以二是等价的。