八年级上册数学 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级上册数学期末试卷（培优篇）（Word版含解析）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为

t(s).

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由

（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。

（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；

（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由见解析；

（3）存在；

1

1

t

x

=

⎧

⎨

=

⎩

或

2

3

2

t

x

=

⎧

⎪

⎨

=

⎪⎩

．

【解析】

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ；

（2）由（1）得出PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（3）分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】

解：（1）如图（1），△ACP≌△BPQ，理由如下：

当t=1时，AP=BQ=1，

∴BP=AC=3，

又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP和△BPQ中，

AP BQ

A B

AC BP

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由如下：

由（1）可知△ACP≌△BPQ

∴PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．

∴∠CPQ=90°，

∴PC⊥PQ．

（3）如图（2），分两种情况讨论：

当AC=BP，AP=BQ时，△ACP≌△BPQ，则

34t

t xt

=-

⎧

⎨

=

⎩

，

解得

1

1

t

x

=

⎧

⎨

=

⎩

，

当AC=BQ，AP=BP时，△ACP≌△BQP，则，

3

4

xt

t t

=

⎧

⎨

=-

⎩

解得

2

3

2

t

x

=

⎧

⎪

⎨

=

⎪⎩

综上所述，存在

1

1

t

x

=

⎧

⎨

=

⎩

或

2

3

2

t

x

=

⎧

⎪

⎨

=

⎪⎩

使得△ACP与△BPQ全等．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键．

2．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时

DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．

【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD

【解析】

【分析】

(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ；

(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样．

【详解】

(1)不成立．

DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ，

理由如下：如图，

∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

又∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE ，

在△ACD 和△CBE 中，

90

ADC CEB

CAD BCE

AC CB

∠=∠=︒

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

(2)结论：DE=BE-AD．

∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB

=，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

又∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

在△ACD和△CBE中，

90

ADC CEB

CAD BCE

AC CB

∠=∠=︒

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ADC≌△CEB(AAS)，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CD-CE=BE-AD．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．

3．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC边的中点连接AD，则易证AD＝BD＝CD，即AD＝

1

2

BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于

1

2

BC．

理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，

即可证得AH＝BC，此时AD＝

1

2

BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用