特殊的平行四边形-人教版八年级下

课 A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形
堂 C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形
练 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两
习 条对角线所夹锐角的度数为
[D ]
A．50° B．60° C．70° D．80°
4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，
思考
由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行 四边形是矩形，当平行四边形的一个角变为直角 时，另外三个角都变为直角，并且两条对角线也 变成相等的线段.
还有其他的方法把一个平行四边形变成矩形 吗？
归纳 矩形的判定定理 1.对角线相等的平行四边形是矩形
A
D
O
B
C
已知:平行四边形ABCD中的AC、BD是对角线，且 AC=BD.
例题
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点 O，AOB=600，AB=4cm，求矩形对角线的长.
解：因为四边形ABCD是矩形，
所以 AC与BD相等且互相平分.
所以OA=OB.
A
D
又AOB=600. O
所以OAB是等边三角形.B
C
OA=AB=4cm.
所以矩形的对角线长AC=BD=2OA=8cm.
D
∴斜边AB=12cm ∵CE⊥AB，CE=5cm
E
C
B
∴△ABC的面积为:12×5÷2=30(cm2)
练习： P95 练习1，2，3 P96 练习1，2
小结
1. 什么是矩形？ 2. 矩形有哪些性质？ 3. 怎样判定一个平行四边形是矩形？ 4. 怎样判定一个四边形是矩形？ 5. 直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半.
设折痕为EF。试确定重叠部分△AEF的面积和
折痕EF的长。
G
A
F
D
B
C
E
练习：如图四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=900，E是AC中点，EF 平分∠BED交BD于点F， （1）猜想EF与BD具有怎样的关系？ （2）试证明你的猜想。
A
E
B
F
D
C
4、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、 BC和AD、CD分别相交于点B、D．
6. 能够判断一个四边形是矩形的条件是
[ D] [ C]
A．对角线相等
B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
返回
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是
A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线垂直
[ D]
2. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四
条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是 [ D ]
证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AC=BD，AC⊥BD.
AO=BO=CO=DO. 所以，ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角 三角形，并且ABO≌BCO≌CDO≌DAO.
思考
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间 有什么关系？与同学们讨论一下，并列出或用框 图表示这些关系.
1. 四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线 的交点，AB=5cm，AO=4cm,求两条对角线AC和BD 的长.
2. 菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm, 求菱形的周长和面积.
3.已知菱形的周长是12cm，那么它 的边长是___3_c_m_.
4.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则 ∠BAC＝___6_0_度__.
正
方
菱形
形
正方形Hale Waihona Puke Baidu是矩形又是菱形.
思考
正方形有哪些性质？如何判断一个四边 形是正方形？把它们写出来，并和同学交流 一下，然后证明其中的一些结论？.
例4 求证：正方形的两条对角线把这个正方 形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
O
B
C
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角
线AC、BD相交于点O.
求证：ABO、BCO、CDO、DAO是全 等的等腰直角三角形
A D
BC
练习
P100 练习1，2，3
小结
1. 菱形的性质 2. 菱形的判定
作业
课外作业： P102 习题19.2 5,6,7 拓展练习： P103 习题19.2 10,11,12
19.2.3 正方形
正方形桌面
正方形相框
正方形的定义
四条边都相等，且四个角都是直角的四 边形叫做正方形.
矩形
矩形
正
方
菱形
形
平行四边形
练习
P101 练习1，2, 3
小结
1. 正方形的性质 2. 正方形的判定 3. 正方形和菱形、矩形、平行四边形的关系
作业
P102 习题19.2 13，14 拓展练习：P103 习题19.2 15,16,17
A
B
D
C
解：因为花坛ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，ABO= ABC= 600=300
在Rt△OAB中AO= AB= 20=10（m）
BO=
(m)
所以花坛的两条小路长为 AC=2AO=20 m BD=2BO≈34.64 m
花坛的面积为 S=4SOAB= ACBD≈346.4 m2
菱形的面积公式
A
D
∴__________ (
) O
B
C
4、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质
是( C ) A、对角相等
B、对边相等
C、对角线相等 D、对角线互相平分
5、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在
BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE等于（ A ） A．15° B．30°
C．45° D．60°
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平 行四边形面积公式计算菱形的面积吗?
A
B
E
菱形
O
C
D S菱形=BC·AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能计算菱形的面积公式吗?
A
菱形
B
O
D
C
S S S 菱形ABCD = △ABD+ △BCD =
AC×BD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
练习
∵四边形ABCD是矩形 A
D
∴OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
O
E
∵∠DAE=3∠BAE ， B ∠DAE+∠BAE=90ο
C
∴∠BAE=22.5ο
∴∠ADO=∠BAE=22.5ο
∴∠EAC=90ο－2×22.5ο=45ο
拓展思维：
1、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4厘米，
BC=8厘米，现将A、C重合，使纸片折叠压平，
作业
P102-103 习题19.2 1，2，3 4，8，9
19.2.2 菱形
衣服花色
菱形幻图
跳 伞 图 案
菱形隔墙
菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
如图，将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线 剪下，再打开，就得到一个菱形.
D
A
C
B
观察得到的菱形，它是轴对称图形吗？有几条 对称轴?对称轴之间有什么位置关系？你能看出图中 哪些线段或角相等？
归纳 矩形的判定定理 2.有三个角是直角的四边形是矩形
A
D
B
C
1、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2， 那么这个矩形的面积是____3_2_______
2、矩形的两条对角线的夹角为60°，
一边长为10，则另一边长为____________
3、请在横线上写出结论，在括号里填理由
∵四边形ABCD是矩形
例题
例3 如图平行四边形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形 ABCD是菱形.
证明：因为AB=5，AO=4，BO=3 所以 AB2=AO2+BO2, 所以 OAB是直角三角形, 所以 AC⊥BD 所以 平行四边形ABCD是菱形.
思考
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你 能判断重叠部分ABCD的形状吗？
D
A
C
B
归纳
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直 线就是它的对称轴.
根据菱形的对称性易得菱形的如下性质： 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条 对角线平分一组对角.
例题
例2.菱形花坛ABCD的边长为20m，ABC=600.沿 着菱形的对角线.修建了两条小路AC和BD，求两条 小路的长（结果保留小数点后2位）和花坛的面积 （结果保留小数点后1位）.
B
C
归纳 矩形的性质: 矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
A
D
B
C
归纳 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
D
O
B
C
说明：在矩形ABCD中，设对角线AC和BD交于 点O, 那么AC=BD.又根据平行四边形的性质知 对角线互相平分，即OA=OC，OB=OD. 所以 OA=OC=OB=OD= AC= BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：若平行四边形ABCD的对角线AC=BD,再 由AB=AB，AD=BC；易得ABC≌BAD.
所以ABC=BAD； 又ABC+BAD=1800 所以ABC=BAD=900，
所以平行四边形ABCD是矩形.
思考
如图，李芳同学用画“边—直角、边—直角、 边—直角、边”这样四步画出了一个四边形。她 说这就是一个矩形，她的判断对吗？你能证明吗？
5.菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm， 那么菱形的面积是_____.24cm2
如图，用一长一短两根细木条，在它们的中 点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四 周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，转动木条， 这个四边形什么时候变成菱形？
归纳
菱形的判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形
判断题
1. 对角线相等且一组对边也相等的四边形是矩形．
（×）
2. 两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形．（ √ ）
3. 有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形． （ √ ）
4. 有三个角都相等的四边形是矩形．
（ ×）
课 选择题
堂 5. 具备条件____的四边形是矩形． 练
习
A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角
（1）猜想AC和BD间的关系是______； （2）试用理由说明你的猜想．
如图，在矩形ABCD中，AE=BF=3， EF⊥ED交BC于点F，矩形的周长为22， 求EF的长。
E
A
B
F
D
C
直角三角形斜边上的高和斜边上的中线分别 是5cm和6cm，则它的面积是——
A
∵∠ACB=90ο,中线CD=6cm
19.2 特殊的平行四边形
主要内容
19.2.1 矩形 19.2.2 菱形 19.2.3 正方形
19.2.1 矩形
引言
门窗
书本
地板砖
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也 就是长方形.
A
D
B
C
矩形是有一个内角是直角的平行四边形，
其它内角有什么特点呢？两条对角线有什么特 点？
A
D
则∠BAE等于
[A]
A．30° B．45° C．60° D．120°
返回
6、在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=5cm，E是 CD上的一点，且AE=10cm，则∠CBE等于 ( )
A
B
D
EC
9.矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AE 垂直于BD于E，若∠DAE=3∠BAE，则∠EAC=？