特殊的平行四边形-人教版八年级下
人教版八年级数学下册18.2 特殊的 平行四边形第二课时 矩形的性质课件
(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x， 则∠OCD＝∠ODC＝3x. ∵∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°， ∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°， ∴∠ODC＝3×18°＝54°， ∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
（1）证明：方法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平 行四边形． ∵AB＝AE，∴DC＝AE， ∴四边形ACED是矩形．
证明：方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，BC＝CE， ∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形．
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( C )
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
2.如图 ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD= 1
人教版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT优质教学课件
10 ●O
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6
∵OA=OC，∴OA=12AC=3
B
C
∴S ABCD= BC×AC=8×6=48．
随堂检测
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若 AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 21 ．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD， 点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AB＝ 3 cm．
叫做这两条平行线之间的距离．
如图，直线a∥b，A是直线a上的任意
A
a
一点，AB ⊥b ，B是垂足，线段AB的
b
长就是a、b之间的距离．
B
随堂检测
1．如图，在 ABCD中，
A
D
A：基础知识：
B
C
若∠A=130°，则∠B=_5_0_°___ 、∠C=_1_3_0_°__ 、∠D=__5_0_°__．
B：变式训练： （1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=__1_0_0_°_ 、∠B=__8_0_°__； （2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=__1_0_0_°_ 、∠D=___8_0_°_．
随堂检测
C:拓展延伸：
A
D
如图，在 ABCD中，
B
C
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( B )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4
B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2
D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=_6_0_°_，
一条直线的距离相等．
已知：如图，EF∥MN，A，D是直线
人教版八年级下册数学作业课件 第十八章 解题技巧专题：特殊平行四边形中的定值最值问题
的长度为
37 2
.
4．如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点， 且 BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点 P 为直线 EC 上的 一点，且 PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥BD 于点 R.如图①， 当点 P 为线段 EC 中点时，易证得 PR＋PQ＝12.
5
(1)如图②，当点 P 为线段 EC 上的任意一点(不与点
(2)如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝15，P 是边
AD 上的动点，PE⊥AC 于点 E，PF⊥BD 于点 F，
则 PE＋PF 的值为
120 17
.
3．如图，矩形 ABCD 中，BC＝6，AB＝3，R 在 CD
边上，且 CR＝2，P 为 BC 上一动点，E、F 分别是
AP、RP 的中点，当 P 从 B 向 C 移动时，线段 EF
AD2＋AE2＝ 12＋12＝ 2， ∴OD 的最大值为 2＋1.故选 A.
7．(2021·眉山中考)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝
AC＝10，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 M 在线
段 AC 上，且 AM＝3，点 P 为线段 BD 上的一个动
点，则 MP＋1PB 的最小值是 7 3 .
2
2
提示：分别过点 P、点 M 作 BC 边的垂线．
8．如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上的 动点，以 DE 为边作正方形 DEFG，H 是 CD 的中 点，连接 GH.若 GH 的最小值是 1，则正方形 ABCD 的边长为 2 2 .
9．如图，已知菱形 ABCD 的对角线相交于 O，点 E、 F 分别在边 AB、BC 上，且 BE＝BF，射线 EO、FO 分别交边 CD、AD 于 G、H. (1)求证：四边形 EFGH 为矩形； 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD， AB∥CD，AD∥BC. ∴∠BAO＝∠DCO.
人教版八年级数学下册知识点第十八章《平行四边形》
第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示：平行四边形用“□”表示。
2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。
的顺序依次排列。
点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。
平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。
∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。
2020-2021学年八年级数学下学期期末复习：1.4 特殊平行四边形【知识梳理+真题演练】(人教
专题1.4 特殊平行四边形知识归纳 知识点1：菱形1. 定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2. 性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.3. 判定方法:①一组邻边相等的平行四边形是菱形;①对角线互相垂直的平行四边形是菱形;①四条边都相等的四边形是菱形.4. 设菱形对角线长分别为l 1,l 2,则S 菱形=21l 1l 2.1．（2020•荆门）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．502．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）A ．4：1B ．5：1C ．6：1D ．7：13．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点，AD ①x 轴且AD ＝4，①A ＝60°，将菱形ABCD 绕点O 旋转，使点D 落在x 轴上，则旋转后点C 的对应点的坐标是（ ）A．（0，2√3）B．（2，﹣4）C．（2√3，0）D．（0，2√3）或（0，﹣2√3）4．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．125B．52C．3D．55．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD 上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．52C．3D．46．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH①AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．√13D．67．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH①AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．968．（2020•贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）A．5B．20C．24D．329．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：①BAE＝①DAF．10．（2020•滨州）如图，过①ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：①PBE①①QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．11．（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．12．（2020•连云港）如图，在四边形ABCD中，AD①BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．知识点2：矩形1.定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.3.判定方法:①有三个角是直角的四边形是矩形;①对角线相等的平行四边形是矩形;①有一个角是直角的平行四边形是矩形.4. 设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab.1．（2020秋•西安期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，①ABO＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD的长是（）A．3B．4C．2D．32．（2020春•漳州期末）如图，将矩形纸片右侧部分的四边形ABCD沿线段AD翻折至四边形AB′C′D的位置．若①DAB＝56°，则①1的度数是（）A．34°B．56°C．58°D．68°3．（2020春•复兴区期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分①BAD交BC于点E，若①CAE＝15°，则①BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72°D．90°4．（2019秋•崂山区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE①BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（）A．B．C．3D．5．（2020春•新乐市期末）如图，在①ABC中，点D在BC上，DE①AC，DF①AB，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．若①BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD①BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分①BAC，则四边形AEDF是矩形6．（2020秋•太原期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．①ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．①BAD＝①ADC7．（2020秋•紫金县期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC8．（2020春•南宁期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020•聊城）如图，在①ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．10．（2020•遂宁）如图，在①ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：①BDE①①F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．11．（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF①AB，OG①EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．知识点3：正方形1. 正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.2. 正方形的性质（1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.（2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.3. 正方形的判定方法（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.（3）有一个角是直角的菱形是正方形.（4）对角线相等的菱形是正方形.4. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系1．（2020秋•大东区期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则①CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°2．（2020春•十堰期末）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），点E、F分别在边BC、BA 上，OE＝3．若①EOF＝45°，则F点的纵坐标是（）A．2B．C．D．13．（2020春•漳州期末）如图，在正方形ABCD中，BF①CE于点F，交AC于点G，则下列结论错误的是（）A．①BCG①①CDE B．AG＝BE C．①OBG＝①OCE D．①ABG＝①AGB 4．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：①BAE①①CDE；（2）求①AEB的度数．5．（2020•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE ＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．。
初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形-章节测试习题
章节测试题1.【题文】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N分别是AB、CE的中点．（1）求证：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的度数．【答案】见解析【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠DCE，根据直角三角形的性质得到AM=DM，DN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，等量代换得到∠ADM=∠CDN，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD与△CDE中，∵AD=CD，∠ADB=∠ADC，DB=DE，∴△ABD≌△CDE；（2）解：∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD=∠DCE，∵M、N分别是AB、CE的中点，∴AM=DM，DN=CN，∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，∴∠ADM=∠CDN，∵∠CDN+∠ADN=90°，∴∠ADM+∠ADN=90°，∴∠MDN=90°．2.【题文】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG且EG⊥CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立，即EG=CG且EG⊥CG.【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;【解答】解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△D AG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。
八年级数学下册人教版18.2特殊的平行四边形优秀教学案例
1.培养学生对数学学科的兴趣，树立自信心，形成积极的数学学习态度；
2.培养学生勇于探索、坚持真理的精神，锻炼学生的意志品质；
3.培养学生团队协作、互相帮助的良好品质，提高学生的人际沟通能力；
4.通过对特殊平行四边形的探究，使学生认识到数学在实际生活中的重要性，培养学生的社会责任感。
5.教学内容的逻辑性和连贯性：教师从导入新课到讲授新知，再到学生小组讨论、总结归纳和作业小结，教学内容的安排具有逻辑性和连贯性，使学生能够系统地学习和掌握特殊平行四边形的性质及其应用。
在教学过程中，我以“以人为本”的教育理念为指导，充分考虑学生的认知规律和学习兴趣，采用多元化的教学方法和评价方式，激发学生的学习积极性，提高学生的数学素养。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解矩形、菱形、正方形的定义及其性质；
2.学会运用特殊平行四边形的性质解决实际问题；
3.掌握平行四边形到特殊平行四边形的判定方法；
3.及时反馈学生的学习情况，指导学生调整学习策略，提高学习效果。
在教学过程中，我将注重学生的反思与评价，帮助学生发现自己的优点和不足，指导学生调整学习方法，提高学生的综合能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际生活中的矩形、菱形、正方形实例，如建筑、设计、工程等，引导学生关注特殊平行四边形在现实中的应用；
在教学过程中，我将关注学生的情感态度与价值观的培养，以爱心、耐心和责任心对待每一个学生，营造和谐、民主的课堂氛围，使学生在愉悦的情感状态下学习，提高学生的情感态度与价值观。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的建筑、设计、工程等为例，引入特殊平行四边形的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系；
人教版八年级数学下册第18章平行四边形 知识要点总结
人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结第18章平行四边形复习平行四边形知识点一、平行四边形定义：二、平行四边形的性质边：1.两组对边互相平行且相等；符号语言：角：2.两组对角分别相等；符号语言：对角线：3.对角线互相平分。
符号语言：对称性：中心对称图形但不一定是轴对称图形平行线之间的距离：平行线间的距离都相等符号语言：∵AE∥BF且AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF∴AB＝CD＝EF三、平行四边形的判定边：1. 两组对边分别平行．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：2. 两组对边分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：3. 一组对边平行且相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：角：4. 两组对角分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：对角线：5.对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言：四、平行四边形的面积公式S□ABCD=ah(a是边,h是这个边的高）；五、与三角形有关的知识点1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．．叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半符号语言：3.取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 如：已知□ABCD 两对角线的长分别为6和8，则较短边长x 的取值范围为1<x<7.4.直角三角形性质定理（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且AD ＝CD∴ BD=AD=CD（2）直角三角形中，30°角所对应的直角边等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且∠A=30°∴BC=12AC 或 2BC=AC特殊的平行四边形知识点—矩形一、矩形的定义：二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角； 符号语言：3.矩形的对角线平分且相等。
符号语言：三、矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形．．．．．叫做矩形。
人教版八年级数学下册-解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第1题图第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．变式题(1)图变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．◆类型二正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝2OP.参考答案与解析1. 245解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE .当点D ，P ，E 三点共线的时候DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，且DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝4，OB ＝12BD ＝3，∴AB ＝5.∵S菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DE ，∴12×8×6＝5·DE ，∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245.2．6 解析：如图，设BE 与AC 交于点P ，连接BD .∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE ，即P 为AC 与BE 的交点时，PD ＋PE 最小，为BE 的长度．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故所求最小值为6.故答案为6.3. 245解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OB ＝OC ＝12AC ＝5.如图，连接OP ，∵S △OBP ＋S △OCP ＝S △OBC ，∴OB ·PF 2＋OC ·PE 2＝S △OBC ，∴5·PF 2＋5·PE 2＝S △OBC .∵S △OBC ＝14S 矩形ABCD ＝14AB ·BC ＝14×6×8＝12，∴5·PF 2＋5·PE 2＝12，∴PE ＋PF ＝245.【变式题】(1)52解析：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为25，∴AB ＝AD ＝10，S △ABD ＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52.(2)22解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴BE·PM2＋BC·PN2＝BC·EH2.又∵BE＝BC，∴PM2＋PN2＝EH2，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝22，∴PM＋PN＝EH＝22.4．325．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH ＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH ＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH ＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。
新课标人教版初中数学八年级下册第十九章19.2特殊的平行四边形--正方形的判定-精品课件
练习1：判断 （1）四个角都相等的四边形是正方形 （2）四条边都相等的四边形是正方形 （3）对角线相等的菱形正方形 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形 （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形 （6）四边相等，有一角是直角的四边形是 正方形
例2 已知：在正方形ABCD中，A′、B ′、C ′、 D ′分别从顶点A、B、C、D沿AB、BC、CD、 DA方向同时以同样速度向B、C、D、A移动。
D
M
A
E
F
C
N
B
练习2（2019年山东省济南市中考试题）如图，是 一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由5种颜色 不同的正方形组成。设中间最小的一个正方形边 长为1，则这个矩形的面积是
练习4 （2019年陕西省中考题）如图，在矩形 ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，BF平行 于DE。若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5： 2，求阴影部分的面积。
例题3：已知正方形ABCD中，Q在CD上，且 DQ=QC,P在BC上，AP=CD+CP; 求证：AQ 平分∠DAP.
证明：延长AQ交BC延长线与E,
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD,AD∥CD;
A
D
∴∠D=∠QCE,∠DAQ=∠E, 又∵DQ=CQ,
Q
∴⊿ADQ≌⊿ECQ (AAS).
∴∴ACDD==CCEE,,又∴AADP==CCDD,+CP=CE+CP=EPB.
①AE与BF相等吗？为什么？
②AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
练习7：如图，已知正方形ABCD中，
E、F分别为BC和DC上的点，且
人教版八年级数学下册《特殊的平行四边形》复习课件
A.4
）
B. 3
C.10
D.12
A
D
F
G
B
E
C
例
如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别
在正方形ABCD的边上，且AH=2，连接CF.
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形。
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积。
D
G
C
F
H
A
A
C
O
B
N
）
矩形的探究性问题
A
例 如图，在△ABC中，DE分别是AB，
AC的中点，连接DE并延长至点F，使
E F = D E ， 连 接 C F.
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形。
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，
B
四边形ADCF是矩形，并说明理由。
D
E
F
C
N
A
B
如图，已知AD//BC，AB//CD，∠B=∠BCD.
4、正方形既是矩形，又是菱形；
5、理解矩形、菱形、正方形的关系。
框架
矩形
正方形
平行四边形
菱形
定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（特殊在角）
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。（特殊在边）
正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形。
点PQ分别在BD，AD上，则PA+PQ的最小值为_______。
Q
A
D
P
E
B
C
CD在∠MON的内部，顶点A,B分别在射
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图，在矩形ABCD中，AE=BF=3， EF⊥ED交BC于点F，矩形的周长为22， 求EF的长。
E
A
B
F
D
C
直角三角形斜边上的高和斜边上的中线分别 是5cm和6cm，则它的面积是——
A
∵∠ACB=90ο,中线CD=6cm
5.菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm， 那么菱形的面积是_____.24cm2
如图，用一长一短两根细木条，在它们的中 点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四 周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，转动木条， 这个四边形什么时候变成菱形？
归纳
菱形的判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形
判断题
1. 对角线相等且一组对边也相等的四边形是矩形．
（×）
2. 两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形．（ √ ）
3. 有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形． （ √ ）
4. 有三个角都相等的四边形是矩形．
（ ×）
课 选择题
堂 5. 具备条件____的四边形是矩形． 练
习
A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角
设折痕为EF。试确定重叠部分△AEF的面积和
折痕EF的长。
G
A
F
D
B
C
E
练习：如图四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=900，E是AC中点，EF 平分∠BED交BD于点F， （1）猜想EF与BD具有怎样的关系？ （2）试证明你的猜想。
A
E
B
F
D
C
4、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、 BC和AD、CD分别相交于点B、D．
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直 线就是它的对称轴.
根据菱形的对称性易得菱形的如下性质： 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条 对角线平分一组对角.
例题
例2.菱形花坛ABCD的边长为20m，ABC=600.沿 着菱形的对角线.修建了两条小路AC和BD，求两条 小路的长（结果保留小数点后2位）和花坛的面积 （结果保留小数点后1位）.
∵四边形ABCD是矩形 A
D
∴OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
O
E
∵∠DAE=3∠BAE ， B ∠DAE+∠BAE=90ο
C
∴∠BAE=22.5ο
∴∠ADO=∠BAE=22.5ο
∴∠EAC=90ο－2×22.5ο=45ο
拓展思维：
1、 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4厘米，
BC=8厘米，现将A、C重合，使纸片折叠压平，
6. 能够判断一个四边形是矩形的条件是
[ D] [ C]
A．对角线相等
B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
返回
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是
A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线垂直
[ D]
2. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四
条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是 [ D ]
课 A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形
堂 C．对角线互垂直平分的四边形 D．对角线垂直的四边形
练 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两
习 条对角线所夹锐角的度数为
[D ]
A．50° B．60° C．70° D．80°
4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，
作业
P102-103 习题19.2 1，2，3 4，8，9
19.2.2 菱形
衣服花色
菱形幻图
跳 伞 图 案
菱形隔墙
菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
如图，将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线 剪下，再打开，就得到一个菱形.
D
A
C
B
观察得到的菱形，它是轴对称图形吗？有几条 对称轴?对称轴之间有什么位置关系？你能看出图中 哪些线段或角相等？
B
C
归纳 矩形的性质: 矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
A
D
B
C
归纳 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
D
O
B
C
说明：在矩形ABCD中，设对角线AC和BD交于 点O, 那么AC=BD.又根据平行四边形的性质知 对角线互相平分，即OA=OC，OB=OD. 所以 OA=OC=OB=OD= AC= BD.
A
B
D
C
解：因为花坛ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，ABO= ABC= 600=300
在Rt△OAB中AO= AB= 20=10（m）
BO=
(m)
所以花坛的两条小路长为 AC=2AO=20 m BD=2BO≈34.64 m
花坛的面积为 S=4SOAB= ACBD≈346.4 m2
菱形的面积公式
例题
例3 如图平行四边形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形 ABCD是菱形.
证明：因为AB=5，AO=4，BO=3 所以 AB2=AO2+BO2, 所以 OAB是直角三角形, 所以 AC⊥BD 所以 平行四边形ABCD是菱形.
思考
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你 能判断重叠部分ABCD的形状吗？
思考
由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行 四边形是矩形，当平行四边形的一个角变为直角 时，另外三个角都变为直角，并且两条对角线也 变成相等的线段.
还有其他的方法把一个平行四边形变成矩形 吗？
归纳 矩形的判定定理 1.对角线相等的平行四边形是矩形
A
D
O
B
C
已知:平行四边形ABCD中的AC、BD是对角线，且 AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：若平行四边形ABCD的对角线AC=BD,再 由AB=AB，AD=BC；易得ABC≌BAD.
所以ABC=BAD； 又ABC+BAD=1800 所以ABC=BAD=900，
所以平行四边形ABCD是矩形.
思考
如图，李芳同学用画“边—直角、边—直角、 边—直角、边”这样四步画出了一个四边形。她 说这就是一个矩形，她的判断对吗？你能证明吗？
19.2 特殊的平行四边形
主要内容
19.2.1 矩形 19.2.2 菱形 19.2.3 正方形
19.2.1 矩形
引言
门窗
书本
地板砖
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也 就是长方形.
A
D
B
C
矩形是有一个内角是直角的平行四边形，
其它内角有什么特点呢？两条对角线有什么特 点？
A
D
则∠BAE等于
[A]
A．30° B．45° C．60° D．120°
返回
6、在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=5cm，E是 CD上的一点，且AE=10cm，则∠CBE等于 ( )
A
B
D
EC
9.矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AE 垂直于BD于E，若∠DAE=3∠BAE，则∠EAC=？
归纳 矩形的判定定理 2.有三个角是直角的四边形是矩形
A
D
B
C
1、已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2， 那么这个矩形的面积是____3_2_______
2、矩形的两条对角线的夹角为60°，
一边长为10，则另一边长为____________
3、请在横线上写出结论，在括号里填理由
∵四边形ABCD是矩形
例题
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点 O，AOB=600，AB=4cm，求矩形对角线的长.
解：因为四边形ABCD是矩形，
所以 AC与BD相等且互相平分.
所以OA=OB.
A
D
又AOB=600. O
所以OAB是等边三角形.B
C
OA=AB=4cm.
所以矩形的对角线长AC=BD=2OA=8cm.
正
方
菱形
形
正方形既是矩形又是菱形.
思考
正方形有哪些性质？如何判断一个四边 形是正方形？把它们写出来，并和同学交流 一下，然后证明其中的一些结论？.
例4 求证：正方形的两条对角线把这个正方 形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
O
B
C
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角
线AC、BD相交于点O.
求证：ABO、BCO、CDO、DAO是全 等的等腰直角三角形
证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AC=BD，AC⊥BD.
AO=BO=CO=DO. 所以，ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角 三角形，并且ABO≌BCO≌CDO≌DAO.
思考
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间 有什么关系？与同学们讨论一下，并列出或用框 图表示这些关系.
1. 四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线 的交点，AB=5cm，AO=4cm,求两条对角线AC和BD 的长.
2. 菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm, 求菱形的周长和面积.
3.已知菱形的周长是12cm，那么它 的边长是___3_c_m_.
4.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则 ∠BAC＝___6_0_度__.
A D
BC
练习
P100 练习1，2，3
小结
1. 菱形的性质 2. 菱形的判定
作业
课外作业： P102 习题19.2 5,6,7 拓展练习： P103 习题19.2 10,11,12