工科数学分析基础课件：5-4-2第四节 多元函数的泰勒公式与极值问题
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多元函数的Taylor公式与极值问题课件
实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物 理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性 对极值分析的影响。
模型的适用性
在应用极值理论时，需要考虑模型的适用性，确保模型能够准确 地反映实际情况。
07
与望
05
利用Taylor公式求解极
方法概述
定义
Taylor公式是用于近似表达一 个多元函数在某点附近的行 为
的公式。
形式
Taylor公式的一般形式为 f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)+12f''(a) (x−a)2+…+1n!f(n)(a)(x−a)n
+…。
应用
利用Taylor公式，我们可以找 到函数在某点的极值。
06
极求解的注事与 技巧
常见错误分析
忽视函数的定义域
在求解极值问题时，必须先确定函数的定义域，否 则可能导致错误的结论。
对导数的理解不足
导数描述了函数在某一点的切线斜率，若对导数的 理解不准确，可能导致错误的极值点判断。
未考虑多极值点的情况
在某些情况下，函数可能有多个极值点，需要全面 考虑，避免遗漏。
定义
一元函数在某点的Taylor公式是 该函数在该点附近的一个多项式 近似表示。
形式
一元函数的Taylor公式的一般形 式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x -a)^n/n! + Rn(x)
数学分析-Taylor公式与科学计算PPT课件
03 Taylor公式在科学计算中 的应用
多项式逼近
多项式逼近
利用Taylor公式，可以将复杂的函数展开 为多项式形式，从而实现对复杂函数的 近似计算。这种多项式逼近方法在数值 分析和科学计算中具有广泛的应用。
VS
逼近精度
通过选择合适的阶数和节点，可以控制多 项式逼近的精度。高阶多项式逼近能够更 好地逼近函数，但同时也需要更多的计算 资源和时间。
总结词
通过Taylor展开，可以将微分方程转化为差分方程，从 而简化求解过程。
详细描述
在求解微分方程时，有时可以利用Taylor展开将微分方 程转化为差分方程，从而简化求解过程。这种方法在数 值分析中有着广泛的应用，尤其在处理偏微分方程时非 常有效。
05 结论
Taylor公式的意义与价值
1 2
精确近似
数学分析-Taylor公式与科学计算 PPT课件
目录
• 引言 • Taylor公式简介 • Taylor公式在科学计算中的应用 • 实例演示 • 结论
01 引言
主题简介
数学分析
数学分析是研究函数的极限、连 续性、可微性、可积性和实数完 备性的学科，是数学专业的重要
基础课程之一。
Taylor公式
算过程。
求解微分方程
要点一
初值问题
在求解微分方程时，可以利用Taylor公式对微分方程进行 离散化，从而转化为数值求解问题。通过选择合适的步长 和阶数，可以控制数值解的精度和稳定性。
要点二
边值问题
对于微分方程的边值问题，可以利用Taylor公式将问题转 化为有限元方法或边界元方法等数值方法进行求解。这种 方法在科学计算和工程领域中具有广泛的应用。
02 Taylor公式简介
4 多元函数的taylor公式与极值问题2 工科数学分析基础
3 + 3 = 9−5 3 + 3 = 9+ 5
3, 3.
故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分
别为
dmin = 9 − 5 3 , dmax = 9 + 5 3 . 例3 已知圆柱面
x2 + y2 + z2 − x y − yz − zx − 1 = 0 , (4)
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
南京航空航天大学 理学院 数学系
10
三、应 用 举 例
定理 1 指出的方法称为拉格朗日乘数法. 下面
用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题.
例1 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,
例如
z
=
V xy
,
代入目标函数后,
转而求解
S = 2V ( x + y) + x y xy
的普通极值问题. 可是这样做并不总是方便的, 而
Ω = { P | P ∈ D, ϕk (P) = 0, k = 1, 2, , m }. 若存在 P0 ∈ Ω , δ > 0, 使得
f (P0 ) ≤ f (P) , ∀ P ∈ Ω ∩ U (P0;δ ) ( 或 ∀ P ∈ Ω ),
则称 f (P0 ) 是 f (P) 在约束条件 Φ 之下的极小值 (或最小值) , 称 P0是相应的极小值点 (或最小值 点). 类似地又可定义条件极大 (或最大) 值.
目标函数: S = 2z( x + y) + x y; 约束条件: x yz = V .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
2
例2 设曲线 z = x2 + y2, x + y + z = 1. 求此曲线上 的点到原点距离之最大、最小值. 对此问题有
泰勒公式与极值问题
⎧ x2 − y2 2 2 , x + y ≠0 ⎪ xy 2 2 f ( x, y ) = ⎨ x + y . ⎪0, 2 2 + =0 x y ⎩
4. 混合偏导
f xyx ( x , y ), f xxy ( x , y ), f yxx ( x , y ).
是否一定相等?何时相等?
若Z=f(x,y)的两个偏导函数 fx(x,y)与fy(x,y)关于x和y存在偏导数，则称 f(x,y)具有二阶偏导数。 z=f(x,y)的二阶偏导数有四种情形：
分析:
f ( x + Δx , y ) − f ( x , y ) f x ( x , y ) = lim , Δx →0 Δx
Δy →0
f xy ( x , y ) = lim
Δy →0
f x ( x , y + Δy ) − f x ( x , y ) Δy
f y ( x + Δx , y ) − f y ( x , y ) Δx
§4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 问题：
1. 以下符号的含义:
∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2 z , f xy ( x , y ), , f yx ( x , y ), , f yy ( x , y ). , f xx ( x , y ), 2 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y ∂x
2. 二阶偏导数的定义(极限形式). 3. 典型例子:求二元函数f(x,y)在的二阶偏导数:
ϕ ( x ),ψ ( y )
问题答：
5. 若记 则
ϕ ( x ) = f ( x , y + Δy ) − f ( x , y ), ψ ( y ) = f ( x + Δx , y ) − f ( x , y ),
数学分析课件5.2泰勒公式1.48MB
0 . 03 12 . 03
100 % 0 . 25 %,
称这样的百分比为相对误差. 显然，轴长精度比键销 长的精度高得多. 一般地，有定义：
7
【数学分析课件】
Def : 若一个量 A 的近似值是 a ，则
叫做绝对误差，而
| A a |
.
a
100 % 叫做相对误差
对于函数 y f ( x )，若由 x 计算 y 时， x 有误差 x ，则
f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x o ( x ),
从而
即一次多项式
一阶近似 .
f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x .
P1 ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x 是 f ( x ) 在 x 0 点的
P1 ( 0 ) f ( 0 ), P1 ' ( 0 ) f ( 0 ).
3
) 5 . 08
【数学分析课件】 5
2.误差估计
——是估计近似值与精确值的差 例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米， 误差为 | 120 120 . 03 | 0 . 03 毫米. 设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米， 误差为 | 12 12 . 03 | 0 . 03 毫米. 称这种误差为绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间 的差值，反映了某种近似程度.
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
f
(n)
f ( x 0 ) 2!
n
( x x0 )
2
( x0 )
n!
( x x0 )
多元函数泰勒公式
的一阶偏导数为仍存在偏导数则称它们为函数的二阶偏导数连续都在点例如对三元函数u说明
4 泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
令n=2m，于是有
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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18
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
多元函数的Taylor公式与极值
矩阵为: H f ( x0 )
f11 f21
f12
f
22
f1n
f
2n
设u f (P)在点
f
n1
f
n
2
f
nn
x0
P0 ( x01 , x02 , , x0n ) 的所有二阶偏导数
f11
f12
f1n
f 在点P0的 Hessian
H
f
(P0 )
f21
f
22
f
2n
矩阵为:
f
n1
f
x
, y)2
3 f
2! ,
x py3 p (1 x y)3
( p 0,1,2,3),
4 f 3! , ( p 0,1,2,3,4), x py4 p (1 x y)4
20
x x
y y
f
(0,0)
xfx (0,0)
yf y (0,0)
x
y,
x
y
2
f
(0,0)
x y
由假设， (t) 在 [0,1] 上满足一元函数泰勒公式的条件
于是有 (1) (0) (0) (0)
1!
2!
(n) (0) (n1) ( )
(0
1) .
n!
(n 1)!
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k)
利用多元复合函数求导法则可得:
11
（4）在泰勒公式中,如果取 x0 0, y0 0,则 成为n阶麦克劳林（Maclaurin）公式.
f (x, y)
f
(0,0)
x
x
y
多元函数的极值问题
则: 1) 当AC B 2 0 时, 具有极值且
A<0 (C< 0 )时取极大值; A>0 (C >0 )时取极小值.
2 2) 当 AC B 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
m • 一般地, (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y m m f p Cm h p k m p p m p ( x0 , y0 ) x y p 0
定理1. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 )
到 n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k ) 为此邻域内任 一点, 则有
利用多元复合函数求导法则可得:
(t ) h f x ( x0 ht , y0 k t ) k f y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
(t ) h 2 f x x ( x0 ht , y0 k t )
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
k 2 f y y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) 2 f ( x0 , y0 )
一般地,
m f ( m) p p m p (t ) C m h k x p y m p ( x0 ht , y0 k t ) p 0
第四节 多元函数的极值问题
一、二元泰勒公式 二、多元函数的极值 三、多元函数的最值 四、条件极值
泰勒公式与极值问题
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f 22 x y
二、中值定理和泰勒公式
凸区域：若区域 D 上任意两点的连线都含于 D 内，则称 D 为凸区域. 若 D 为区域，则对任何 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) D 0 1 恒有 P( x1 , ( x2 x1 ), y1 ( y2 y1 )) D
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r2
注意：多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分
方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧 与常用导数符号.
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x z z 例3 设z f ( x , )，求 2 ， . y x xy x 解 设 u x , v , 于是 z f (u, v ), y
x x 1 2 f12 3 f 22 2 f 2 y y y
f11 0 f12 1 1 f2 2 ( f 0 f x ) 21 22 y 2 y y
x 2 y
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x u x, v y
例 设 2 w . 求 xz 解:
高阶偏导数 中值定理和泰勒公式
极值问题
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一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
若这两个偏导函数仍存在偏导数， 四个二阶偏导数:
z f x ( x, y) , x
z f y ( x, y) y
则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列
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f 22 x y
二、中值定理和泰勒公式
凸区域：若区域 D 上任意两点的连线都含于 D 内，则称 D 为凸区域. 若 D 为区域，则对任何 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) D 0 1 恒有 P( x1 , ( x2 x1 ), y1 ( y2 y1 )) D
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注意：多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分
方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧 与常用导数符号.
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x z z 例3 设z f ( x , )，求 2 ， . y x xy x 解 设 u x , v , 于是 z f (u, v ), y
x x 1 2 f12 3 f 22 2 f 2 y y y
f11 0 f12 1 1 f2 2 ( f 0 f x ) 21 22 y 2 y y
x 2 y
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x u x, v y
例 设 2 w . 求 xz 解:
高阶偏导数 中值定理和泰勒公式
极值问题
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一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
若这两个偏导函数仍存在偏导数， 四个二阶偏导数:
z f x ( x, y) , x
z f y ( x, y) y
则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列
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多元函数的极值及求法课件
详细描述
在交通网络、通信网络或其他类型的网络中，最短路 径问题是一个重要的优化问题。通过使用多元函数的 极值理论，可以找到网络中两点之间的最短路径，或 者从一个点出发到另一个点的最短路径。这有助于节 省时间和资源，提高效率。
生产成本最小化问题
要点一
总结词
生产成本最小化问题是企业经常面临的问题，通过最小化 生产成本来提高利润。
在工程领域的应用
结构优化设计
在工程设计中，如何优化设计方案以使 得结构性能最优是一个重要问题。多元 函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得结构性能函数最大的最优 解，得到最优的结构设计方案。
VS
控制工程问题
在控制工程中，如何确定控制系统的参数 以使得系统性能最优是一个重要问题。多 元函数的极值理论可以用来解决这类问题， 通过找到使得性能函数最大的最优解，得 到最优的控制系统参数。
04
多元函数极的展
偏导数与极值的关系
偏导数
在一元函数中，导数描述了函数值随自变量变化的速率。在多元函数中，偏导数描述了 函数值随某个自变量变化，而其他自变量保持不变的速率。
极值必要条件
如果一个多元函数在某点的偏导数都为0，那么这个点可能是函数的极值点。然而，这 个条件只是必要条件，不是充分条件，也就是说，偏导数都为0的点不一定是极值点。
生产成本最小化
在生产过程中，企业希望通过优化生产要素的投入比例，使 得生产成本最小化。多元函数的极值理论可以用来解决这类 问题，通过找到使得成本函数最小的最优解，实现生产成本 的最小化。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化经济效益 是经济领域中常见的问题。多元函数的极值理论可以用来解 决这类问题，通过找到使得收益函数最大的最优解，实现资 源的最优配置。
工科数学分析基础课件：5-4-2第四节 多元函数的泰勒公式与极值问题
则, 问题等价于一元函数 z f ( x, y( x)) 的极值问题,
故极值点必满足
dz
dy
d x fx fy d x 0
因 d y x ,故有 dx y
fx
f
y
x y
0
记
fx
x
fy
y
极值点必满足
fx x 0 fy y 0 (x, y) 0
引入辅助函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)
3
2
2
z2 3
3 , z3 3
. 3
与D内驻点处的函数值 z1 0,a 0 比较知
z的最大值为
z2
2, 33
最小值为
2
z3 3
. 3
例10* 求椭球面 x2 y2 z2 1 被平面 32
x y z 0 截得的椭圆的长半轴与短半轴
之长。
分析：椭球面的中心在原点，平面 x y z 0
2( x2 y2 z2 ) 2 0
即有 ( x2 y2 z2 ) r 2
将上式分别代入(1) ,(2),(3)得
x
3
2(r 2
3)
,
y
r2
2
,
z
2(r 2 1)
,
代入(5)得
3
2(r 2 3) r 2 2 2(r 2 1) 0
3
1
1
2(r 2 3) r 2 2 2(r 2 1) 0
z
x2
0,
y
x 0,
y
a,
| a | 1.
z1 z1 0,a 0.
（2）求 z x2 y 在边界 x2 y2 1上的最值
令 L x, y, x2 y x2 y2 1 ,
故极值点必满足
dz
dy
d x fx fy d x 0
因 d y x ,故有 dx y
fx
f
y
x y
0
记
fx
x
fy
y
极值点必满足
fx x 0 fy y 0 (x, y) 0
引入辅助函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)
3
2
2
z2 3
3 , z3 3
. 3
与D内驻点处的函数值 z1 0,a 0 比较知
z的最大值为
z2
2, 33
最小值为
2
z3 3
. 3
例10* 求椭球面 x2 y2 z2 1 被平面 32
x y z 0 截得的椭圆的长半轴与短半轴
之长。
分析：椭球面的中心在原点，平面 x y z 0
2( x2 y2 z2 ) 2 0
即有 ( x2 y2 z2 ) r 2
将上式分别代入(1) ,(2),(3)得
x
3
2(r 2
3)
,
y
r2
2
,
z
2(r 2 1)
,
代入(5)得
3
2(r 2 3) r 2 2 2(r 2 1) 0
3
1
1
2(r 2 3) r 2 2 2(r 2 1) 0
z
x2
0,
y
x 0,
y
a,
| a | 1.
z1 z1 0,a 0.
（2）求 z x2 y 在边界 x2 y2 1上的最值
令 L x, y, x2 y x2 y2 1 ,
【精品】泰勒公式与极值问题
§4 泰勒公式与极值问题教学计划：６课时．教学目的:让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式;二元函数取极值的必要和充分条件．教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件．教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式．教学方法：讲授法．教学步骤：一 高阶偏导数由于),(y x f z =的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 仍然是自变量x 与y 的函数,如果它们关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数,二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：(),22222222y x y x y x y y y x z +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂∂ (),22222222yx y x y x x x x y z +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂∂().22222222y x xyy x x y y z +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂ □注意从上面两个例子看到，这些函数关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（这种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为混合偏导数),即.22xy z y x z ∂∂∂=∂∂∂ 但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=.0,0,0,,22222222y x y x y x y x y x y x f它的一阶偏导数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=,0,0,0,4,22222224224y x y xy x y y x x y y x f x()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++--=,0,0,0,4,22222224224y x y xy x y y x x x y x f y进而求f 在（0，0）处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数,得 ()()(),1lim 0,0,0lim0,000-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆y yyf y f f y x x y xy()()()1lim 0,00,lim0,000=∆∆=∆-∆=→∆→∆x xxf x f f x y y x yx ． 由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把()()0000,,y x f y x f yx xy 与表示成极限形式．由于()()(),,,lim ,0xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆因此有()()()yy x f y y x f y x f x x y xy ∆-∆+=→∆0000000,,lim,()-⎢⎣⎡∆∆+-∆+∆+∆=→∆→∆x y y x f y y x x f y x y ),(,lim 1lim000000()⎥⎦⎤∆-∆+→∆x y x f y x x f x ),(,lim 00000 ()().),(,),(,limlim 0000000000yx y x f y x x f y y x f y y x x f x y ∆∆+∆+-∆+-∆+∆+=→∆→∆()1 类似地有()00,y x f yx()().),(,),(,limlim 0000000000yx y x f y y x f y x x f y y x x f y x ∆∆+∆+-∆+-∆+∆+=→∆→∆()2为使()()0000,,y x f y x f yx xy =成立,必须使)2(),1(这两个累次极限相等，即以交换累次极限的极限次序。
多元函数Taylor公式与极值
第四节 多元函数Taylor公式与极值
4.1 多元函数的Taloy公式
定义 4.1 设 f ( x ) 是定义在区域 R n 内的 n 元函数，若 f 在
内连续，则称 f 是 上的 C (0) 类函数，记为 f C (0) () ，或
f C () ；若 f 在 内有连续的 m 阶偏导数，则称 f 是 上的 C ( m)
其中 ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
4.2 无约束极值、最大值与最小值
1. 无约束极值
定义 4.2 恒成立不等式 设 f : U (x0 ) Rn R ，若 x U ( x0 ) ，
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 )) ，则称 f 在点
（2）若 A 0, AC B2 0 ，则 H f ( P 0 ) 为极大值； 0 ) 负定，故 f ( P （3）当 AC B 2 0 ，则 H f ( P 0 ) 不是极值。 0 ) 不定，故 f ( P
求函数 z f ( x , y ) 的极值的步骤
f x ( x , y ) 0 （1） 解方程组 ，求出一切驻点； f y ( x , y ) 0
∴函数 f ( x , y ) 在点 (1, 1) 有极小值 f (1, 1) 1 .
2. 最大值与最小值
最值的求法 :
由于有界闭区域 D 上的连续函数必有最大值和最小值. 因此将函数在 D 内的所有驻点、偏导数不存在的点处的 函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值进行比较，其 中最大(小)者即为函数在 D 上的最大(小)值.
驻点为 (0, 0), (1, 1).
f x x ( x, y ) 6 x,
f x y ( x, y) 3,
4.1 多元函数的Taloy公式
定义 4.1 设 f ( x ) 是定义在区域 R n 内的 n 元函数，若 f 在
内连续，则称 f 是 上的 C (0) 类函数，记为 f C (0) () ，或
f C () ；若 f 在 内有连续的 m 阶偏导数，则称 f 是 上的 C ( m)
其中 ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
4.2 无约束极值、最大值与最小值
1. 无约束极值
定义 4.2 恒成立不等式 设 f : U (x0 ) Rn R ，若 x U ( x0 ) ，
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 )) ，则称 f 在点
（2）若 A 0, AC B2 0 ，则 H f ( P 0 ) 为极大值； 0 ) 负定，故 f ( P （3）当 AC B 2 0 ，则 H f ( P 0 ) 不是极值。 0 ) 不定，故 f ( P
求函数 z f ( x , y ) 的极值的步骤
f x ( x , y ) 0 （1） 解方程组 ，求出一切驻点； f y ( x , y ) 0
∴函数 f ( x , y ) 在点 (1, 1) 有极小值 f (1, 1) 1 .
2. 最大值与最小值
最值的求法 :
由于有界闭区域 D 上的连续函数必有最大值和最小值. 因此将函数在 D 内的所有驻点、偏导数不存在的点处的 函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值进行比较，其 中最大(小)者即为函数在 D 上的最大(小)值.
驻点为 (0, 0), (1, 1).
f x x ( x, y ) 6 x,
f x y ( x, y) 3,
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令 L x, y, x2 y x2 y2 1 ,
Lx
2 xy
2 x
0,
Ly x2 2 y 0,
L
x2
y2
1
0,
x
y
2, 3 1,
பைடு நூலகம்
3
2
2
z2 3
3 , z3 3
. 3
与D内驻点处的函数值 z1 0,a 0 比较知
z的最大值为
z2
2, 33
最小值为
2
z3 3
最大与最小距离。
解 设( x, y, z)为椭圆上的任一点，它到原点的
距离为
r x2 y2 z2 下求 r 2 在条件
x2
y2
z2
1
3 2
x y z 0
下的极值。
作函数
L x2 y2 z2 ( x2 y2 z2 1) ( x y z)
32
Lx
2x
2 3
在条件( x, y) 0下, 求函数z f ( x, y)的极值 . 如方法 1 所述 设 ( x, y) 0 可确定隐函数 y y( x),
则, 问题等价于一元函数 z f ( x, y( x)) 的极值问题,
故极值点必满足
dz
dy
d x fx fy d x 0
因 d y x ,故有 dx y
x
S xy 且 x2 y2 4R2 .
问题的实质：求 函数 S xy ( x 0, y 0)
在约束条件 x2 y2 4R2 0 下的极值．
有约束极值：对自变量有附加条件的极值．
求函数 f (x, y) 在条件(x, y) = 0下的极值问题， f (x, y) 称为目标函数；(x, y) = 0 称为约束条件。
x
0
(1)
令
Ly 2 y y 0
Lz
2z
2 z
0
(2) (3)
L
x2 3
y2 2
z2
1
0
(4)
L
x
y
z
0
(5)
(1)x (2) y (3)z ，并将(4) 、(5)两式代入得
2( x2 y2 z2 ) 2 0
即有 ( x2 y2 z2 ) r 2
将上式分别代入(1) ,(2),(3)得
第四节 多元函数的泰勒公式 与极值问题
多元函数的Taylor公式 无约束极值,最大值与最小值 有约束极值,拉格朗日(Lagrange)乘数法 小结
4.3有约束极值, 拉格朗日(Lagrange)乘数法
问题的提出
一矩形内接于半径为 R 的圆，
求该矩形最大的面积. 设矩形的长与宽分别为x, y
2R
y
面积为 S, 则有
例9 确定函数 z x2 y 在区域D : x2 y2 1上的 最大值与最小值.
解 （1）求函数 z x2 y在区域 D 内的驻点
z x
2 xy
0,
z
x2
0,
y
x 0,
y
a,
| a | 1.
z1 z1 0,a 0.
（2）求 z x2 y 在边界 x2 y2 1上的最值
x
3
2(r 2
3)
,
y
r2
2
,
z
2(r 2 1)
,
代入(5)得
3
2(r 2 3) r 2 2 2(r 2 1) 0
3
1
1
2(r 2 3) r 2 2 2(r 2 1) 0
解此方程得 r 2 11 13 6
r 0,
r1,2
11 13 6
因为r 一定存在最大与最小值，所以
r1
11 13 , 6
r2
11 13 6
分别为所求椭圆的长短半轴。
小结
有约束极值问题，Lagrange乘数法。 步骤： （1）由题意确定目标函数与约束条件； （2）作Lagrange 函数； （3）求偏导数得方程组； （4）解方程组得Lagrange 函数在讨论范围内 的驻点，并根据题意确定极值.
. 3
例10* 求椭球面 x2 y2 z2 1 被平面 32
x y z 0 截得的椭圆的长半轴与短半轴
之长。
分析：椭球面的中心在原点，平面 x y z 0
也过原点，所以椭圆的中心在原点。从而问题 即求椭圆
x2
y2
z2
1
3 2
x y z 0
上的点( x, y, z)到原点的
叫Lagrange乘数. 利用拉格朗日函数求极值的方法
称为拉格朗日乘数法.
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f ( x, y, z) 在条件 ( x, y, z) 0,
( x, y, z) 0 下的极值.
作拉格朗日函数
L f ( x, y, z) 1 ( x, y, z) 2 ( x, y, z)
有时约束条件不止一个，可能由几个方程联合给出。
条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 ,
在条件( x, y) 0 下 , 求函数z f ( x, y)的极值
转
化 从条件( x, y) 0中解出y y( x)
求一元函数 z f ( x, y( x)) 的无条件极值问题.
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
解方程组
即 L 0. 可得到条件极值的可疑点 . 再由具体问题确定最值.
例8. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 xyz V0 下水箱表面积
S 2( xz yz) xy 最小.
令 F 2( xz yz) xy ( xyz V0 )
2z y yz 0
解方程组
2z x xz 0 2( x y) x y 0
z y x
x y z V0 0
得唯一驻点
x
y 2z
3 2V0 ,
4 3 2V0
由题意可知合理的设计是存在的,
因此
,
当高为
3
V0 4
,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
z
思考:
y
1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x
提示: 利用对称性可知, x y z 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价
最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
提示: F 2( xz yz) 2 xy ( xyz V0 )
长、宽、高尺寸相等 .
fx
f
y
x y
0
记
fx
x
fy
y
极值点必满足
fx x 0 fy y 0 (x, y) 0
引入辅助函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)
L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y)
则极值点满足:
即 L 0
辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 数