(完整版)等差等比数列知识点总结
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差等比数列知识点总结
1. 等差数列：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即
a n a n 1 d （d为常数）（n 2）；
2. 等差中项：
1）如果a ， A ，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中
项．即：
或2A a b
3. 等差数列的通项公式：
一般地，如果等差数列
a n 的首项是a1 ，公差是 d ，可以得到等差数列的通
项公式为：
a n a1 n 1d
推广：a n a m(n m)d ．a
n a m 从而 d ；
nm
4．等差数列的前n 项和公式：
n（a1 a n）n（n 1） d 2 1 2
S n na1 d n （a1 d）n An Bn
2 2 2 2
（其中A、B是常数，所以当d≠ 0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d（常数n N ）a n 是等差数列．（2）等差中项：数列a n是等差数列
2a n a n-1 a n 1(n 2)2a n 1a n a n 2 ．
（3）数列a n 是等差数
列a n kn b （其中k,b 是常数）。
（4）数列a n 是等差数
列S n An2Bn, （其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若a n a n 1 d 或
a n1a n d （常数n N ）a n 是等差数列．
ab
2
2）等差中项数列a n是等数列2a n a n-1 a n 1(n 2) 2a n 1 a n a n 2
7. 等差数列的性质：
1）当 m n p q 时, 则有 a m a n a p a q ，特别地，当 m n 2p 时，则有
（2） 若{ a n } 是等差数列，则 S n ,S 2n S n ,S 3n S 2n ，⋯也成等差数列
和， S n 是前 n 项的和
1. 当项数为偶数 2n 时，
n a 1 a 2n 1
a 2n 1 1 2 2n 1 na n
a n a
n 1
2、当项数为奇数 2n 1时，则
其中 a n+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项）
1、
等比数列的定义： a
n q q
0 n 2, 且 n N *
，
q 称为 公比
a n 1
2
、
通项公式：
n1 a n a 1q
a 1 n n
1
q A B a 1
q
0,A B 0 ，首项
： a 1 ；公比：
q
q
推广： a n
n m n m amq n m q n m
a n
q n m
a n
a
m
a
m
3、
等比中项：
（1）如果 a,A,b 成等比数列， 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，即： A 2
ab 或 A ab
注意：同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项 有两个
（两个 等比中项互为相反数）
a m
a n
2a p .
3）设数列 a n 是等差数列， d 为公差， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项项的
a 2n
n a 2 a 2n
2
na n 1
S
偶
S
奇
na n 1 na n
n a n 1 a n =nd
S 2n 1
S 奇
S 偶 (2n 1) a n+1
S 奇 S 偶 a n+1 S 奇 (n 1)a n+1
S 偶 na n+1
n1
a 1 a 3 a 5
a 2 a 4 a 6 na n na n 1
S 奇
为等比数列
6、等比数列的证明方法：
7、等比数列的性质：
3）若{ a n }为等比数列，则数列 S n ，S 2n S n ， S 3n S 2n , ，成等比数列 4）在等比数列 { a n }中，当项数为 2n （n N *）时， S
奇
1
S 偶 q
2）数列 a n 是等比数列
2 a
n
a n 1 a n 1
4、等比数列的前 n 项和 S n 公式：
1）当q 1时， S n
na 1
2）当q 1时， S n
n
q
1q
a 1 1 a 1 a n q 1q
a 1 a 1
1q1q
A A
B n A'B n A'( A,B,A',B'为
常数）
5、等比数列的判定方法：
1）用定义：对任意的 n ，都有 a n1
qa n 或 a
n 1
q(q 为常数， a n 0) { a n } a
n 2）等比中项： 2
a
n
a n 1a n 1( a n 1a n 1
0） {a n } 为等比数列
3）通项公式： a n A B n A B 0
{a n } 为等比数列
依据定义：若 a n q
a n 1
q 0 n 2, 且 n
N * 或a n 1 qa n {a n }为等比数列
1） 若 m n s t(m,n,s,t N *)，则a n a m
a s a t 。特别的，当 m n 2k 时，
得 a n 2
a
m a k
注： a
1 a
n a
2 a
n 1
a 3a n 2
2） 如果{a n }是各项均为正数的 等比数列 ， 则数列 {log a a n } 是等差数列