等腰梯形的判定
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19.3等腰梯形的判定
哈密市四中 赵丽娟
预习问题
1、梯形和等腰梯形的定义分别是什么？ 2、等腰梯形有哪些性质？ 3、解决梯形问题常用的辅助线有哪些？ 4、目前有判定等腰梯形的方法吗？ 5、想一想等腰梯形还有没有其它的判定方法 呢？并试着证明（认真思考，证明的方法 不只一种）
1、定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形 叫做梯形 两腰相等的梯形叫做等腰梯形 ２、性质 (1) 等腰梯形的两腰相等
A
D
B
C
真命题：一组对角互补的梯形是等腰梯形.
学以致用
例2：已知梯形ABCD，其中AB∥CD，现添加一个条件，例如 AD=BC，使梯形是等腰梯形，那么除了AD=BC外，还可以添加一 个什么条件使梯形ABCD是等腰梯形？甲乙丙丁四位同学各添加 了一个条件： D C 甲：∠A＝∠B；乙：∠B+∠ຫໍສະໝຸດ Baidu=1800；
A
C A C A C
A
C
B
（1）
D
B
（2）
D
B
D
D
（3）
（4）
小试牛刀
2、 四边形ABCD是由三 个全等的正三角形围成 的，它是梯形吗？是等 腰梯形吗？为什么？
A B
D
C
小试牛刀
3、如图，在菱形ABCD中， D ∠DAB=60°，过点C 作CE⊥AC且与AB的延 长线交于点E。 A B 求证：四边形AECD是等腰 梯形。
3.平移对角线。4.延长两腰。 1.平移一腰。 2 .作下底的垂线。
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝14cm， AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边 P D A 向点D以1cm每秒的速度移动，点Q从点C 开始沿CB向点B以2cm每秒的速度移动，如果 P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为 t秒，求(1) t为何值时，四边形PQCD是平行 B Q N M 四边形？（2）t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形？ 解：（2）设P、Q运动到如图所示位置时，四边形PQCD是等腰梯 形，分别过点D、P作DM⊥BC于M， PN⊥BC于N，则QN＝MC ∵四边形ABMD是矩形 ∴MC＝BC－BM＝BC－AD＝21－18＝3 而QN＝BN－BQ＝AP－ BQ ＝t－（21－2 t ）＝3 t－21 由QN＝MC得3 t－21＝ 3 解得t＝8 即t＝8秒时，梯形PQCD为等腰梯形。
C E
1、如图：在四边形ABCD中， AD ∥ BC，但 AD ≠ BC，
若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是______________ （写出一个即可） AB=CD 或 ∠ABC=∠DCB 或 ∠DAB=∠ADC A B D C
或AC=BD
2、有以下判断：⑴有两个角相等的梯形是等腰梯形。
⑵有两边相等的梯形是等腰梯形。 ⑶有两条对角线相等的梯形是等腰梯形，以上正确的命题有 （ ）。 A A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
F
C
B
定理二：两条对角线相等的梯形是等腰梯形 ∵ A C=BD ∴梯形ABCD是等腰梯形．
C
E
知识归纳：等腰梯形的判定方法
1、定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 2、判定定理 定理一：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯 形 ∵ ∠B=∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形． 定理二：两条对角线相等的梯形是等腰梯形 ∵ AC=BD ∴梯形ABCD是等腰梯形．
B A
D
C
解题思路
通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平
行四边形、矩形或三角形等问题，注意图
形变换的方法及转化思想的应用．
学以致用
例1：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠A+∠C=1800
求证：梯形ABCD是等腰梯形
证明∵ AD∥BC ∴ ∠A+∠B＝180° 又∵ ∠A+∠C＝180 ° ∴ ∠B=∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形
A 1 C M D
证明： ∵ DM∥AC ∴ ∠1＝∠M 又∵ CA平分∠BCD ∴ ∠BCD＝2∠1 又∵ ∠B＝2∠M ∴ ∠B=∠BCD ∴梯形ABCD是等腰 梯形.
B
小试牛刀
1、判断下列命题是否正确 × ） ①有两个角相等的梯形是等腰梯形；（ ×
B
②有两条边相等的梯形是等腰梯形； （
）
③有一组对边平行的四边形是等腰梯形； （ × ） ④有一组对角互补的梯形是等腰梯形（√ ）
3.如图，在矩形ABCD中，对角 A 线AC、BD相交于点O，M、N M 分别是OA、OD的中点 . 求证：四边形MBCN是等腰梯形 B
D 4、如图，梯形ABCD中AB∥CD，
D N O
C
M
C
M是DC的中点，且AM=BM，梯形 ABCD是等腰梯形吗？说说 A 你的理由
B
同学们： 这节课你有什么收获呢？
4、等腰梯形的判定方法一
定义 A C
B
D
两腰相等的梯形叫做等腰梯形
∵AB=CD ∴梯形ABCD是等腰梯形
5、等腰梯形其他的判定方法 （1）同一底上的两个角相等的梯形是 等腰梯形
（2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形
思维展现
思路1：转化方向——等腰三角形．
思路2：转化方向——平行四边形．
思路3：转化方向——全等三角形．
定理一：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ∵ ∠B=∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形．
两条对角线相等的梯形是等腰梯形
A
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， AC=BD． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． C 思路1：转化方向——全等三角形． B 思路2：转化方向——平行四边形． A D
A
D
D
B
E
等腰梯形的判定方法： 1、定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 2、判定定理 定理一：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯 形 定理二：两条对角线相等的梯形是等腰梯形
方法比知识更重要
2 数学思想：转化的思想 解决梯形问题的基本思路和方法： 通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为平行四 边形和三角形的问题来解决。 3常画的辅助线有以下几种：
丙： ∠A＝∠D；
丁：梯形是轴对称梯形。
A
B
甲 、乙 、丁。 ①你认为哪些同学的条件符合要求？_________________
②你能添加一个其他条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？
__________ AC=BD 。
学以致用
例题3：（2007.上海） 如图：在梯形ABCD中， AD∥BC，CA平分 ∠BCD， DM∥AC， ∠B＝2 ∠M。 求证：梯形ABCD是等腰 梯形。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等 （3）等腰梯形的对角线相等 （4）对称性：等腰梯形是轴对称图形
3、梯形中常用的辅助线
（1）平移腰”：构造平行四 边形
（2）“作高”：使 两腰在两个直角三角 形中．
（4）“平移对角线”：使 （3）“延长两腰”：构造 两条对角线在同一个三角形 具有公共角的两个等腰三角 中．
哈密市四中 赵丽娟
预习问题
1、梯形和等腰梯形的定义分别是什么？ 2、等腰梯形有哪些性质？ 3、解决梯形问题常用的辅助线有哪些？ 4、目前有判定等腰梯形的方法吗？ 5、想一想等腰梯形还有没有其它的判定方法 呢？并试着证明（认真思考，证明的方法 不只一种）
1、定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形 叫做梯形 两腰相等的梯形叫做等腰梯形 ２、性质 (1) 等腰梯形的两腰相等
A
D
B
C
真命题：一组对角互补的梯形是等腰梯形.
学以致用
例2：已知梯形ABCD，其中AB∥CD，现添加一个条件，例如 AD=BC，使梯形是等腰梯形，那么除了AD=BC外，还可以添加一 个什么条件使梯形ABCD是等腰梯形？甲乙丙丁四位同学各添加 了一个条件： D C 甲：∠A＝∠B；乙：∠B+∠ຫໍສະໝຸດ Baidu=1800；
A
C A C A C
A
C
B
（1）
D
B
（2）
D
B
D
D
（3）
（4）
小试牛刀
2、 四边形ABCD是由三 个全等的正三角形围成 的，它是梯形吗？是等 腰梯形吗？为什么？
A B
D
C
小试牛刀
3、如图，在菱形ABCD中， D ∠DAB=60°，过点C 作CE⊥AC且与AB的延 长线交于点E。 A B 求证：四边形AECD是等腰 梯形。
3.平移对角线。4.延长两腰。 1.平移一腰。 2 .作下底的垂线。
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝14cm， AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边 P D A 向点D以1cm每秒的速度移动，点Q从点C 开始沿CB向点B以2cm每秒的速度移动，如果 P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为 t秒，求(1) t为何值时，四边形PQCD是平行 B Q N M 四边形？（2）t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形？ 解：（2）设P、Q运动到如图所示位置时，四边形PQCD是等腰梯 形，分别过点D、P作DM⊥BC于M， PN⊥BC于N，则QN＝MC ∵四边形ABMD是矩形 ∴MC＝BC－BM＝BC－AD＝21－18＝3 而QN＝BN－BQ＝AP－ BQ ＝t－（21－2 t ）＝3 t－21 由QN＝MC得3 t－21＝ 3 解得t＝8 即t＝8秒时，梯形PQCD为等腰梯形。
C E
1、如图：在四边形ABCD中， AD ∥ BC，但 AD ≠ BC，
若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是______________ （写出一个即可） AB=CD 或 ∠ABC=∠DCB 或 ∠DAB=∠ADC A B D C
或AC=BD
2、有以下判断：⑴有两个角相等的梯形是等腰梯形。
⑵有两边相等的梯形是等腰梯形。 ⑶有两条对角线相等的梯形是等腰梯形，以上正确的命题有 （ ）。 A A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
F
C
B
定理二：两条对角线相等的梯形是等腰梯形 ∵ A C=BD ∴梯形ABCD是等腰梯形．
C
E
知识归纳：等腰梯形的判定方法
1、定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 2、判定定理 定理一：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯 形 ∵ ∠B=∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形． 定理二：两条对角线相等的梯形是等腰梯形 ∵ AC=BD ∴梯形ABCD是等腰梯形．
B A
D
C
解题思路
通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平
行四边形、矩形或三角形等问题，注意图
形变换的方法及转化思想的应用．
学以致用
例1：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠A+∠C=1800
求证：梯形ABCD是等腰梯形
证明∵ AD∥BC ∴ ∠A+∠B＝180° 又∵ ∠A+∠C＝180 ° ∴ ∠B=∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形
A 1 C M D
证明： ∵ DM∥AC ∴ ∠1＝∠M 又∵ CA平分∠BCD ∴ ∠BCD＝2∠1 又∵ ∠B＝2∠M ∴ ∠B=∠BCD ∴梯形ABCD是等腰 梯形.
B
小试牛刀
1、判断下列命题是否正确 × ） ①有两个角相等的梯形是等腰梯形；（ ×
B
②有两条边相等的梯形是等腰梯形； （
）
③有一组对边平行的四边形是等腰梯形； （ × ） ④有一组对角互补的梯形是等腰梯形（√ ）
3.如图，在矩形ABCD中，对角 A 线AC、BD相交于点O，M、N M 分别是OA、OD的中点 . 求证：四边形MBCN是等腰梯形 B
D 4、如图，梯形ABCD中AB∥CD，
D N O
C
M
C
M是DC的中点，且AM=BM，梯形 ABCD是等腰梯形吗？说说 A 你的理由
B
同学们： 这节课你有什么收获呢？
4、等腰梯形的判定方法一
定义 A C
B
D
两腰相等的梯形叫做等腰梯形
∵AB=CD ∴梯形ABCD是等腰梯形
5、等腰梯形其他的判定方法 （1）同一底上的两个角相等的梯形是 等腰梯形
（2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形
思维展现
思路1：转化方向——等腰三角形．
思路2：转化方向——平行四边形．
思路3：转化方向——全等三角形．
定理一：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ∵ ∠B=∠C ∴梯形ABCD是等腰梯形．
两条对角线相等的梯形是等腰梯形
A
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， AC=BD． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． C 思路1：转化方向——全等三角形． B 思路2：转化方向——平行四边形． A D
A
D
D
B
E
等腰梯形的判定方法： 1、定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 2、判定定理 定理一：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯 形 定理二：两条对角线相等的梯形是等腰梯形
方法比知识更重要
2 数学思想：转化的思想 解决梯形问题的基本思路和方法： 通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为平行四 边形和三角形的问题来解决。 3常画的辅助线有以下几种：
丙： ∠A＝∠D；
丁：梯形是轴对称梯形。
A
B
甲 、乙 、丁。 ①你认为哪些同学的条件符合要求？_________________
②你能添加一个其他条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？
__________ AC=BD 。
学以致用
例题3：（2007.上海） 如图：在梯形ABCD中， AD∥BC，CA平分 ∠BCD， DM∥AC， ∠B＝2 ∠M。 求证：梯形ABCD是等腰 梯形。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等 （3）等腰梯形的对角线相等 （4）对称性：等腰梯形是轴对称图形
3、梯形中常用的辅助线
（1）平移腰”：构造平行四 边形
（2）“作高”：使 两腰在两个直角三角 形中．
（4）“平移对角线”：使 （3）“延长两腰”：构造 两条对角线在同一个三角形 具有公共角的两个等腰三角 中．