高数第一章测试题答案(数二)

(11) 正确。考点：函数无穷小的考察， lim
x a
(12) 错误。考点：夹逼准则的考察。 lim ( x) 可以为其它常数，也可能不存在。如：
x 0
f ( x)
1 x2 ， 2 x
2
( x)
1 1 此时 lim ( x ) ； 2 x 2 ，g ( x ) 2 3x 2 ， 2 x 0 x x
（ 3 ）
x
lim x ne x
xn n! lim x 0 x x e x e lim
（ 4 ）
x 1/ t lim
lim x ln x
x 0
ln t 1 lim 0 t t t t ；
lim
x
ln x （5） lim p ( p 0) x x 1 （7）lim arctan x 0 x 2
2
又如： f ( x) 1 x ， ( x ) 1 2 x ， (13)错误。反例： f ( x )
g ( x ) 1 3x 2 ，此时 lim ( x ) 1 。
x0
1 1 ， g ( x ) ，当 x 0 时 lim[ f ( x) g ( x)] 0 。 x x0 x x
1 , bn n ， n2
1 n
1 , bn n 2 ，则 {an bn } {n} 发散。 n
(2) 错误。考点：极限基本性质的考察。收敛数列必有界，反之不然。如： {( 1) n } 有界但 不收敛。 (3) 正确。考点：数列极限基本性质的考察。去掉数列的有限项，不改变数列的收敛值。 (4) 错误 。考点： 函数连续 性的四则 运算。 f ( x) g ( x) 一定 不连续， 证明如下 ：若
以人为本 诚信致远
2015 届考研数学二知识梳理环节习题答案
高等数学部分
第一章 函数与极限
1 判断正误。
(1) 错误。考点：数列极限的四则运算。 {an bn } 一定发散，证明如下：若 {an bn } 收敛， 则 bn = {( an bn ) an } 收敛 （矛盾） ； 如：an {an bn } 可能收敛也可能发散， 则 {anbn } { } 收敛，而 an
3 求下列函数极限。 arcsin(sin x) sin x （1） lim lim x0 x0 x x
（
1 2
； ）
1 x 1 x 2 arctan lim
x 0
sin x
1 1 1 x 2 arctan x 1 x 1 1 1 x x lim lim lim 2 lim x arctan x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x 2
4 求下列易混淆极限。
x2 x 2 （1） lim x 1 x2 1 lim ( x 2)( x 1) x2 3 lim x 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 1 2；
x 2 (1 1/ x 2 / x 2 ) lim 1 x 2 x 2 x x 2 (1 1/ x 2 ) （2） lim ； x x2 1
lim e
x 0
lim e(cos
x 0
x 1)/ x
e 1/ 2 ；
（15）令 f ( x ) (1 x )(1 x 2 )...(1 x 2 ) ，
n
以人为本 诚信致远
2015 届考研数学二知识梳理环节习题答案
2 2n 2n1
则 (1 x) f ( x ) (1 x)(1 x )(1 x )...(1 x ) 1 x
（5） lim x cot 2 x
x0
x0
x cos 2 x x 1 lim x 0 sin 2 x sin 2 x 2；
x1 2 x 2 x1 2x
x 1 2 x 2 x 1 x ) lim(1 ) （6） lim( ) lim( x x x x 1 x 1 x 1
k 1 n n n 1 1 1 1 1 1 n 1 ... 2 ) lim ( ) lim 3 15 4n 1 2 n i 1 2n 1 2n 1 n 2n 1 2
1

1
1
1
1
1

1
（8） lim(
n
（9） lim a b c lim e
n1
1 x2 ，所以 f ( x ) 1 x
n 1
1 x2 1 lim(1 x)(1 x )...(1 x )( x 1) lim ( x 1) n n 1 x 1 x
2 2n
总结：(1)等价无穷小代换；(2)先对极限进行拆分后分块计算；(3)提取因子法；(4)等价无穷 小代换；(5)非零因子直接计算和等价无穷小代换；(6)拼凑重要极限；(7)洛必达法则 和等价无穷小代换；(8)分子有理化和提取因子法；(9)等价无穷小代换；(10)提取因 子法；(11)拼凑重要极限；(12)应用公式变形后采用变量替换； (13)洛必达法则和等 价无穷小代换；(14) 应用公式变形后采用等价无穷小代换。 (15)观察特点后求出和 再求极限。
（
lim
x0
cos x cos x x sin x x sin x 1 lim 3 x 0 ( x ) 3x2 3；
14 ）
ln[(cos x 1) 1] x
x 0
lim cos x lim (cos x ) lim e
x 0 x 0
x
1 x
ln cos x x
1 0 px p ；
（6） lim
sin x x x
0
；
0
；
sin t 1 1 x 1/ t lim t 0 t （8）lim x sin ； x x
总结： （1） ， （2）属于∞/∞未定式的极限，都是通过恒等变换约去分子分母中极限为 0 或∞ 的因子，注意区别； （4）0.∞型未定式采用倒代换转化成∞/∞型，(3)和(5)说明就 变化速率而言，指数函数最大，幂函数次之，对数函数最小，即 e x ln x ； （6） ，
f ( x) g ( x) 连续，则 g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) 连续（矛盾） ； f ( x) g ( x) 可能连续，
例如： f ( x ) 0 ， g ( x )
1 x0 。 1 x 0
(5) 正确。考点：函数极限的不等式性考察。 (6) 正确。充分但非必要。如： f ( x )
x x n
（12） lim(arctan x ) x
x0
lim e x ln(arctan x ) arctan x t lim e tan t ln t lim et ln t 1
x0 t 0 t 0
；
sin x x cos x （13） lim x0 sin 3 x
x n
sin t 的几种形式，注意区别。(7)要区别极限方向。 t 0 t 5 求下列含有参数的极限问题。
（8）是与重要极限 lim
1 2 1 2 ax ax (1 ax 2 )1/ 2 1 2 （1）解： lim lim lim 2 a 1 a 1 x0 x 0 ln(cos x 1 1) x 0 cos x 1 ln cos x
f ( x) x sin x 在 (0, ) 上无界，但 lim f ( x) 不存在。
x
(9)错误。考点：与趋近方向有关的极限计算考察。对于这种极限，一般通过判断左右极限 是否相等来求解。如 lim e ， lim arctan
x0 x0
1 1
1 x
1 等都需要区分方向。 x
x 1
n n
n
n
n
n
ln( a n b n c n ) n
a
总结： （ 1） ， （2）可作为常用极限而直接使用， （ 3） ， （4） ， （5）是将数列极限转化为求函数 极限进而应用洛必达法则。 （ 6） ， （7）(8)都是求 n 项和的极限不同点是求和的方法： （6）是错位相减法求和， （7） （8）则是典型的分母为因式之积，分子为常数的数列， 采用裂项法求和。(9)将数列的极限转化为函数的极限来求解。
1 ； （2） lim n n lim e
列极限。
（1） lim n a ( a 0)
n
1
0 ；
（3） lim nq ( q 1)
n
n
0
；
na （4） lim n ( a 1) n a
（5） lim
ln n (a 0) n n a
x (1 x) ln(1 x ) lim （7） lim x0 x0 x2
（
x
lim e x1 e2 ；
x
1 [1 ln(1 x)] x 1 lim x 0 2 x 2x 2；
8 ）
2
lim
2x x x x x
2
lim
2x x( 1 1/ x 1 1/ x )
；
以人为本 诚信致远
（3） lim( x sin
2015 届考研数学二知识梳理环节习题答案
1 1 sin x) 0 1 1 ； x0 x x 1 x sin x 1 2 1 x sin x 1 lim x0 x2 2； （4） lim 2 x0 ex 1
lim
x 1; x 0 。 x 1; x 0
x0
(7) 正确。考点：极限定义的考察。 f ( x ) 有界无法确定 lim f ( x ) 是否存在，但可以推出