常用函数Laplace变换表
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原函数 f (t ) 为
f (t ) L1 F (s)
cr c c cr 1 c1 c L1 r 1 i n r r 1 ( s s1 ) s s r 1 s si s sn ( s s1 ) ( s s1 )
L[ f (t )dt ] F ( s) [ f (t )dt ]t 0 s s
2 F ( s) [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )( dt ) ]t 0 s2 s2 s
一般形式 3 积分定理
L[ f (t )( dt ) 2 ]
共n个 F ( s) L[ f (t )( dt ) n ] n s
L[ f (t T )1(t T )] e Ts F (s)
L[ f (t )e Biblioteka Baidut ] F (s a)
lim f (t ) lim sF ( s)
t s 0
lim f (t ) lim sF ( s)
s s1
c r 1 lim
s s1
d [( s s1 ) r F ( s)] ds
cr j 1 d ( j) lim ( j ) ( s s1 ) r F ( s) j! s s1 ds
(F-5)
1 d ( r 1) c1 lim ( r 1) ( s s1 ) r F ( s) (r 1)! ss1 ds
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， s r 1 ，…, s n 为 F(s)的 n-r 个单根；
421
其中， c r 1 ，…, c n 仍按式(F-2)或(F-3)计算， c r ， c r 1 ，…, c1 则按下式计算：
c r lim ( s s1 ) r F ( s )
z z 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
δ (t)
T (t ) (t nT )
n 0
1 1 e Ts
1 s
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
n c c r t r 1 r 1 t r 2 c 2 t c1 e s t ci e s t (r 2)! i r 1 (r 1)!
1 i
（F-6）
422
n c c c c1 c 2 i n i s s1 s s 2 s si s s n i 1 s si
F ( s)
（F-1）
式中， s1 , s2 ,, sn 是特征方程 A(s)＝0 的根。 ci 为待定常数，称为 F(s)在 s i 处的留数，可 按下式计算：
i
(F-4)
②
A( s) 0 有重根
设 A( s ) 0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为
F s
B( s) ( s s1 ) ( s s r 1 )( s s n )
r
=
c c cr cr 1 c1 c r 1 i n r r 1 ( s s1 ) ( s s1 ) ( s s1 ) s s r 1 s si s sn
1 e
at
ba ( s a)( s b)
e at e bt
sin t
z z aT ze z e bT
z sin T z 2 z cosT 1
2
s2 2
s s 2
2
cos t
z ( z cosT ) z 2 z cosT 1
t 0 s
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] L[ f1 (t ) f 2 (t )d ] F1 ( s) F2 ( s)
0 0
t
t
419
2．表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 拉氏变换 E(s) 时间函数 e(t) 号
Z 变换 E(z) 1
z za
sa ( s a) 2 2
1 s (1 / T ) ln a
420
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行 反变换。设 F ( s ) 是 s 的有理真分式
B ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 F (s) A( s ) a n s n a n 1 s n 1 a1 s a 0
ci lim(s si ) F (s)
s si
（F-2）
或
ci
B( s ) A( s) s s
（F-3）
i
式中， A( s ) 为 A( s ) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
n c n f (t ) L1 F ( s) L1 i ＝ ci e s t i 1 s si i 1
n d n f (t ) s n F (s) s n k f n dt k 1 k 1 d f (t ) f ( k 1) (t ) dt k 1
2
微分定理
一般形式
L
( k 1)
( 0)
初始条件为 0 时
d n f (t ) L[ ] s n F ( s) n dt
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
(1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
1 (s a) 2
a s( s a)
Tze aT ( z e aT ) 2
(1 e aT ) z ( z 1)( z e aT )
2
( s a)
2 2
e at sin t e at cos t
at /T
ze aT sin T z 2 2 ze aT cos T e 2 aT
z 2 ze aT cos T z 2 2 ze aT cos T e 2 aT
（n m ）
式中系数 a0 , a1 ,..., an1 , an ， b0 , b1 ,bm1 , bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可 将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①
A( s) 0 无重根
这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
附录 A 拉普拉斯变换及反变换
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 叠加性
L[ af (t )] aF ( s )
L[ f 1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s) F2 ( s)
df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f （0） dt 2 L[
共n个
共n个 F ( s) n 1 n L[ f (t )(dt ) ] n n k 1 [ f (t )( dt ) n ]t 0 s k 1 s
初始条件为 0 时 4 5 6 7 8 延迟定理（或称 t 域平移定理） 衰减定理（或称 s 域平移定理） 终值定理 初值定理 卷积定理
f (t ) L1 F (s)
cr c c cr 1 c1 c L1 r 1 i n r r 1 ( s s1 ) s s r 1 s si s sn ( s s1 ) ( s s1 )
L[ f (t )dt ] F ( s) [ f (t )dt ]t 0 s s
2 F ( s) [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )( dt ) ]t 0 s2 s2 s
一般形式 3 积分定理
L[ f (t )( dt ) 2 ]
共n个 F ( s) L[ f (t )( dt ) n ] n s
L[ f (t T )1(t T )] e Ts F (s)
L[ f (t )e Biblioteka Baidut ] F (s a)
lim f (t ) lim sF ( s)
t s 0
lim f (t ) lim sF ( s)
s s1
c r 1 lim
s s1
d [( s s1 ) r F ( s)] ds
cr j 1 d ( j) lim ( j ) ( s s1 ) r F ( s) j! s s1 ds
(F-5)
1 d ( r 1) c1 lim ( r 1) ( s s1 ) r F ( s) (r 1)! ss1 ds
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， s r 1 ，…, s n 为 F(s)的 n-r 个单根；
421
其中， c r 1 ，…, c n 仍按式(F-2)或(F-3)计算， c r ， c r 1 ，…, c1 则按下式计算：
c r lim ( s s1 ) r F ( s )
z z 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
δ (t)
T (t ) (t nT )
n 0
1 1 e Ts
1 s
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
n c c r t r 1 r 1 t r 2 c 2 t c1 e s t ci e s t (r 2)! i r 1 (r 1)!
1 i
（F-6）
422
n c c c c1 c 2 i n i s s1 s s 2 s si s s n i 1 s si
F ( s)
（F-1）
式中， s1 , s2 ,, sn 是特征方程 A(s)＝0 的根。 ci 为待定常数，称为 F(s)在 s i 处的留数，可 按下式计算：
i
(F-4)
②
A( s) 0 有重根
设 A( s ) 0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为
F s
B( s) ( s s1 ) ( s s r 1 )( s s n )
r
=
c c cr cr 1 c1 c r 1 i n r r 1 ( s s1 ) ( s s1 ) ( s s1 ) s s r 1 s si s sn
1 e
at
ba ( s a)( s b)
e at e bt
sin t
z z aT ze z e bT
z sin T z 2 z cosT 1
2
s2 2
s s 2
2
cos t
z ( z cosT ) z 2 z cosT 1
t 0 s
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] L[ f1 (t ) f 2 (t )d ] F1 ( s) F2 ( s)
0 0
t
t
419
2．表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 拉氏变换 E(s) 时间函数 e(t) 号
Z 变换 E(z) 1
z za
sa ( s a) 2 2
1 s (1 / T ) ln a
420
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行 反变换。设 F ( s ) 是 s 的有理真分式
B ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 F (s) A( s ) a n s n a n 1 s n 1 a1 s a 0
ci lim(s si ) F (s)
s si
（F-2）
或
ci
B( s ) A( s) s s
（F-3）
i
式中， A( s ) 为 A( s ) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
n c n f (t ) L1 F ( s) L1 i ＝ ci e s t i 1 s si i 1
n d n f (t ) s n F (s) s n k f n dt k 1 k 1 d f (t ) f ( k 1) (t ) dt k 1
2
微分定理
一般形式
L
( k 1)
( 0)
初始条件为 0 时
d n f (t ) L[ ] s n F ( s) n dt
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
(1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
1 (s a) 2
a s( s a)
Tze aT ( z e aT ) 2
(1 e aT ) z ( z 1)( z e aT )
2
( s a)
2 2
e at sin t e at cos t
at /T
ze aT sin T z 2 2 ze aT cos T e 2 aT
z 2 ze aT cos T z 2 2 ze aT cos T e 2 aT
（n m ）
式中系数 a0 , a1 ,..., an1 , an ， b0 , b1 ,bm1 , bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可 将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①
A( s) 0 无重根
这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
附录 A 拉普拉斯变换及反变换
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 叠加性
L[ af (t )] aF ( s )
L[ f 1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s) F2 ( s)
df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f （0） dt 2 L[
共n个
共n个 F ( s) n 1 n L[ f (t )(dt ) ] n n k 1 [ f (t )( dt ) n ]t 0 s k 1 s
初始条件为 0 时 4 5 6 7 8 延迟定理（或称 t 域平移定理） 衰减定理（或称 s 域平移定理） 终值定理 初值定理 卷积定理