常用函数Laplace变换表
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拉氏变换)
2
1 1 3 1 2 1 1 1 F(s) . . . . 2 (s 1 )2 4 s 1 3 s 12 s 3 1 t 3 t 2 1 3t f(t) te e e 2 4 3 12
常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法
利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其 基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性 性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉 斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分 方程（或方程组）的解.
三 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 （2）微分定理
f ( n ) (t ) s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) f ( n 1) (0) ℒ
（3）积分定理
（4）实位移定理
（5）复位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理
（终值确实存在时）
应用拉氏变换的终值定理求 y ()
注意拉氏变换终值定理的适用条件：
sY ( s) 的极点均处在复平面的左半边。
不满足终值定理的条件。
事实上：
《自动控制原理》国家精品课程
浙江工业大学自动化研究所
9
四 拉氏反变换
（1）反演公式
f (t )
2 j j
1
j
F(s)
12 12 s1 s 3
f(t)
1 t 1 3t e e 2 2
s 2 5s 5 例3 已知 F ( s ) 2 ，求 f ( t ) ? s 4s 3
( s 2 4 s 3) ( s 2 ) s2 F(s) 1 2 解. s 4s 3 ( s 1)( s 3) 1 1 f(t) ( t ) e t e 3 t 2 2
1 1 3 1 2 1 1 1 F(s) . . . . 2 (s 1 )2 4 s 1 3 s 12 s 3 1 t 3 t 2 1 3t f(t) te e e 2 4 3 12
常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法
利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其 基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性 性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉 斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分 方程（或方程组）的解.
三 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 （2）微分定理
f ( n ) (t ) s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) f ( n 1) (0) ℒ
（3）积分定理
（4）实位移定理
（5）复位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理
（终值确实存在时）
应用拉氏变换的终值定理求 y ()
注意拉氏变换终值定理的适用条件：
sY ( s) 的极点均处在复平面的左半边。
不满足终值定理的条件。
事实上：
《自动控制原理》国家精品课程
浙江工业大学自动化研究所
9
四 拉氏反变换
（1）反演公式
f (t )
2 j j
1
j
F(s)
12 12 s1 s 3
f(t)
1 t 1 3t e e 2 2
s 2 5s 5 例3 已知 F ( s ) 2 ，求 f ( t ) ? s 4s 3
( s 2 4 s 3) ( s 2 ) s2 F(s) 1 2 解. s 4s 3 ( s 1)( s 3) 1 1 f(t) ( t ) e t e 3 t 2 2
第五章 拉普拉斯变换-数学物理方法
d2 L[t 2 f ( t )] ( 1)2 2 F ( p) dp
……
dn n pt n F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t n f ( t )]e pt dt n 0 0 dp
dn L[t n f ( t )] ( 1)n n F ( p) dp
这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映.
77
性质2 ：原函数的导数的拉氏变换
L 设f (t)及 f ' (t ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， [ f ( t )] F ( p),
则： 0 f ( t )e dt f ( t ) e
' pt
n n
【证明
】 F ( p) f ( t )e pt dt
0
d pt F ( p) t f ( t )e dt [t f ( t )]e pt dt 0 0 dp d L[t f ( t )] F ( p) dp 2 d 2 pt 2 F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t 2 f ( t )]e pt dt 2 0 0 dp
L[ f ( t )] f ( t )e
'' '' 0 pt
dt e
0
pt
df ( t ) f ( t ) e
' '
pt 0
p f ' ( t )e pt dt
0
f ' (0) p[ pF ( p) f (0)] p2 F ( p) pf (0) f ' (0)
电路分析基础 第10章 拉氏变换及其应用
达式直接求出
11
11
s (1 esT / 2 ) s (1 es )
f (t) (t) (t 1) (t 2) (t 3)
(1)k (t k)
k0
F(s) L
f (t)
( 1) k e ks
k0
1 s
1 s
1 1 es
等比（ es）级数
6. 拉氏逆变换 (Inversion of Laplace Transform)
2. 反变换
f (t ) 1
2 j
j
F
(
s
)e
st
ds
j
简写为：f (t)
L1[F (s)]
对应关系：f (t) F(s)
3.常用函数的拉氏变换
L[eat (t )] 1
sa L[ (t)] 1
s
L[ (t)] = 1
sin(t) (t) s2 2
cos(t) (t)
s
s2 2
uLd
为
电
感
中
电流的初 Nhomakorabea值
UL (s)
u( 1 L
)
(
0
)
Ls
Ls
UL (s) iL (0 )
Ls
s
时域平移性质 设：L[ f (t)] F (S)
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F ( S ) est0为延迟因子
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
F1 ( S )
例 设周期函数T=2S，求其象函数F(s)。
f(t)
解 方法一 ：第一个周期可描述为
1 01 方法二
拉氏变换
st 0
0
1 st [ f (t )dt ] de s
e st e st [ f (t )dt d] |0 f (t )dt d 0 s s f ( 1) (0) F ( s ) s s
f
(n)
(t ) f (t )dt
且： f
(t ) (t )dt d 1
L[ (t )] (t )e dt 1
st 0
典型函数的拉氏变换 5、正弦函数
1 f ( t ) sin t ( e j t e j t ) 2j 1 j t jt st L[sin t ] (e e )e dt 0 2j 1 ( s j ) t ( s j )t (e e )dt 2j 0 1 1 1 ( ) 2 2 j s j s j s 2
若f 1 (0) f 2 (0) f n (0) 0
li f ( t ) lim lim li sF ( s )
t0 s
li f ( t ) lim lim li sF F (s)
t s 0
典型函数的拉氏变换 6、余弦函数
1 j t j t ) f (t ) cos t ( e e 2
s L[cos [ t] 2 s 2
常用函数的拉氏变换表（重要）
f(t)
F(s) 1 1/s 1/s2
f(t) Sinωt Cosωt
F(s)
δ(t)
u(t) t
s
L [e at f (t )] F ( s a )
dn L[ n f (t )] s n F ( s ) 若f (0) f(0) f (n2)) (0) f (n1)) (0) 0 dt
0
1 st [ f (t )dt ] de s
e st e st [ f (t )dt d] |0 f (t )dt d 0 s s f ( 1) (0) F ( s ) s s
f
(n)
(t ) f (t )dt
且： f
(t ) (t )dt d 1
L[ (t )] (t )e dt 1
st 0
典型函数的拉氏变换 5、正弦函数
1 f ( t ) sin t ( e j t e j t ) 2j 1 j t jt st L[sin t ] (e e )e dt 0 2j 1 ( s j ) t ( s j )t (e e )dt 2j 0 1 1 1 ( ) 2 2 j s j s j s 2
若f 1 (0) f 2 (0) f n (0) 0
li f ( t ) lim lim li sF ( s )
t0 s
li f ( t ) lim lim li sF F (s)
t s 0
典型函数的拉氏变换 6、余弦函数
1 j t j t ) f (t ) cos t ( e e 2
s L[cos [ t] 2 s 2
常用函数的拉氏变换表（重要）
f(t)
F(s) 1 1/s 1/s2
f(t) Sinωt Cosωt
F(s)
δ(t)
u(t) t
s
L [e at f (t )] F ( s a )
dn L[ n f (t )] s n F ( s ) 若f (0) f(0) f (n2)) (0) f (n1)) (0) 0 dt
laplace变换公式表
+ a) • 阶跃函数与正弦函数的乘积：f(t) = sin(ωt)u(t)，F(s) =
ω/(s^2 + ω^2) • 阶跃函数与余弦函数的乘积：f(t) = cos(ωt)u(t)，F(s) =
s/(s^2 + ω^2) 2. 公式的线性性质：如果 f(t) 和 g(t) 的拉普拉斯变换分别是 F(s) 和 G(s)，那么 a·f(t) + b·g(t) 的拉普拉斯变换是 a·F(s) + b·G(s)，其 中 a 和 b 是常数。 3. 积分定理：如果 F(s) 是 f(t) 的拉普拉斯变换，那么 ∫[0, t] f(τ) dτ 的拉普拉斯变换是 F(s)/s。
以下是常见的拉普拉斯变换公式表：
1. 时间域函数：f(t) 的拉普拉斯变换 F(s)： • 常数函数：f(t) = A，F(s) = A/s • 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，F(s) = 1/s • 单位冲激函数（Dirac Delta 函数）：f(t) = δ(t)，F(s) = 1 • 指数衰减函数：f(t) = e^(-at)，F(s) = 1/(s + a) • 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，F(s) = ω/(s^2 + ω^2) • 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，F(s) = s/(s^2 + ω^2) • 阶跃函数与指数衰减的乘积：f(t) = e^(-at)u(t)，F(s) = 1/(s
这些是常体的函数形式和条件使用相应的公式。注意，拉普拉斯变换 的具体定义和性质可能因不同的文献和应用而有所不同，因此在具体问题中请 参考相应的参考资料和教材。
ω/(s^2 + ω^2) • 阶跃函数与余弦函数的乘积：f(t) = cos(ωt)u(t)，F(s) =
s/(s^2 + ω^2) 2. 公式的线性性质：如果 f(t) 和 g(t) 的拉普拉斯变换分别是 F(s) 和 G(s)，那么 a·f(t) + b·g(t) 的拉普拉斯变换是 a·F(s) + b·G(s)，其 中 a 和 b 是常数。 3. 积分定理：如果 F(s) 是 f(t) 的拉普拉斯变换，那么 ∫[0, t] f(τ) dτ 的拉普拉斯变换是 F(s)/s。
以下是常见的拉普拉斯变换公式表：
1. 时间域函数：f(t) 的拉普拉斯变换 F(s)： • 常数函数：f(t) = A，F(s) = A/s • 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，F(s) = 1/s • 单位冲激函数（Dirac Delta 函数）：f(t) = δ(t)，F(s) = 1 • 指数衰减函数：f(t) = e^(-at)，F(s) = 1/(s + a) • 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，F(s) = ω/(s^2 + ω^2) • 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，F(s) = s/(s^2 + ω^2) • 阶跃函数与指数衰减的乘积：f(t) = e^(-at)u(t)，F(s) = 1/(s
这些是常体的函数形式和条件使用相应的公式。注意，拉普拉斯变换 的具体定义和性质可能因不同的文献和应用而有所不同，因此在具体问题中请 参考相应的参考资料和教材。
拉氏变换与拉氏反变换
e
at
e dt
st
1 ( s a )t e sa
j t
1 ] s j
0
1 sa
拉普拉斯变换及反变换
3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t) t
(t )dt 1
t
拉普拉斯变换及反变换 二、微分定理
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) ] s F ( s ) s f（0 ） s f （0 ） ... f （0 ） ℒ[ n dt
例1
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
s s
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
拉普拉斯变换及反变换 七、时域卷积性 8 时域卷积性 ：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
t
f ( ) lim f ( t ) lim sF ( s )
t s 0
拉普拉斯变换及反变换 例1
例2
1 u (t ) t 0 lim s 1 s s 5 2 I ( s) s1 s 2
5 2 5 2 i (0 ) l i ms( ) lim ( )3 s s s1 s 2 1 1/ s 1 2/ s
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
拉普拉斯变换及其应用
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
① A(s)=0无重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
② A(s)=0有重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
② A(s)=0有重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.4
拉氏变换应用举例
例：求典型一阶系统的单位阶跃响应
第二章 拉普拉斯变换及其应用
4 积分定理
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n重积分的拉氏式等于其象函 数除以 。
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
5 位移定理
上式表明， 即可，
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
6 延迟定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
6 延迟定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
7 相似定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
拉氏变换是经典控制理论的数学基础。
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
具体实例如下：
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
例：求单位阶跃函数（Unit Step Function）1(t)的象函数。
第15章 拉普拉斯变换
本章重
. 点 常用函数的拉普拉斯变换 . 拉普拉斯变换的基本性质 . 复频域中的电路定律 . 运算阻抗和运算导纳 . 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 . 网络函数
返回目录
15.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义
正变换
F (s) f (t )estdt 0
n
f (t ) kiesit i 1
ki也可用分解定理求
等式两边同乘（s-si）
(s si )
F(s)
F1
(
s()s
si
)
k1(
s
si )
k
i
(
s
si )
k
(
n
s
si
)
F2 (s) s s1
s si
s sn
ki
lim
s si
F1(s)( s F2 (s)
si )
0 0
应用洛比达法则求极限
2
2 s1
1 s2
f (t ) 2 (t ) 2et e2t (t 0)
2. F2 (s)有共轭复根
假设只有两个根 s1,2 j
F (s) k1 k2
s j s j
可据前面介绍的两种方法求出 k1 , k2。 k1 , k2也是一对共轭复数。
设 k1 k ej k2 k e j
j
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
收敛轴 收敛区
0 0
收敛坐标
电工中常见信号为指数阶函数，即
f (t ) MeCt
t [0, )
式 中M是 正 实 数 ，C为 有 限 实 数 。
拉式变化公式表
拉式变化公式表拉普拉斯变换（Laplace Transform）公式表：一、基本函数的拉普拉斯变换。
1. 单位阶跃函数。
- 函数定义：u(t)=0, t < 0 1, t≥0- 拉普拉斯变换：L[u(t)]=(1)/(s), Re(s)>02. 冲激函数（狄拉克δ函数）- 函数定义：δ(t)，满足∫_-∞^∞δ(t)dt = 1且δ(t)=0 for t≠0 - 拉普拉斯变换：L[δ(t)] = 13. 指数函数。
- 函数定义：f(t)=e^at，其中a为常数。
- 拉普拉斯变换：L[e^at]=(1)/(s - a), Re(s)>a4. 正弦函数。
- 函数定义：f(t)=sin(ω t)，其中ω为角频率。
- 拉普拉斯变换：L[sin(ω t)]=(ω)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0 5. 余弦函数。
- 函数定义：f(t)=cos(ω t)- 拉普拉斯变换：L[cos(ω t)]=(s)/(s^2)+ω^{2}, Re(s)>0二、拉普拉斯变换的性质。
1. 线性性质。
- 若L[f_1(t)] = F_1(s)，L[f_2(t)]=F_2(s)，则对于任意常数a和b，L[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(s)+bF_2(s)2. 时移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(t - t_0)u(t - t_0)]=e^-st_0F(s)，其中t_0>03. 频移性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[e^atf(t)]=F(s - a)4. 尺度变换性质。
- 若L[f(t)] = F(s)，则L[f(at)]=(1)/(a)F((s)/(a))，a>05. 微分性质。
- 一阶导数：若L[f(t)] = F(s)，则L[f^′(t)]=sF(s)-f(0)- 二阶导数：L[f^′′(t)] = s^2F(s)-sf(0)-f^′(0)- 一般地，n阶导数：L[f^(n)(t)]=s^nF(s)-s^n - 1f(0)-s^n - 2f^′(0)-·s - f^(n - 1)(0)6. 积分性质。
拉普拉斯变换及反变换
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
则
拉普拉斯变换及反变换
ℒ [ 0
t
f ( )d ]
1 s
F ( s)
例
机械工程控制基础
四、时域平移
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
拉普拉斯变换及反变换
f(t)
平移
f(t-t0)
机械工程控制基础
五、 复频域平移
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
(s+a)n+1
1
s+jw
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
例题 f1(t) 1 e-t t 1 0 f2(t) e-t t
拉普拉斯变换及反变换
求图示两个函数的拉氏变换式
0
解 由于定义的拉氏变换积分上限是0－，两个函数的 1 拉氏变换式相同 F ( s)
s
当取上式的反变换时，只能表示出 0 区间的函数式 t
( n 1)
（0 ）
例1
ℒ [co s t ] ℒ [
1
1 d
[s
s
2 2
dt
(sin t )]
sin t
0
]
s s
2 2
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
d
2 2
拉普拉斯变换及反变换
d dt
dt
r (t ) a1
d dt
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
则
拉普拉斯变换及反变换
ℒ [ 0
t
f ( )d ]
1 s
F ( s)
例
机械工程控制基础
四、时域平移
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
拉普拉斯变换及反变换
f(t)
平移
f(t-t0)
机械工程控制基础
五、 复频域平移
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
(s+a)n+1
1
s+jw
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
例题 f1(t) 1 e-t t 1 0 f2(t) e-t t
拉普拉斯变换及反变换
求图示两个函数的拉氏变换式
0
解 由于定义的拉氏变换积分上限是0－，两个函数的 1 拉氏变换式相同 F ( s)
s
当取上式的反变换时，只能表示出 0 区间的函数式 t
( n 1)
（0 ）
例1
ℒ [co s t ] ℒ [
1
1 d
[s
s
2 2
dt
(sin t )]
sin t
0
]
s s
2 2
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
d
2 2
拉普拉斯变换及反变换
d dt
dt
r (t ) a1
d dt
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换-精选
(3)逆变换
根L 据 etut 1 sα
得 : f ( t ) e t 5 e 2 t 6 e 3 t t 0
如何求系数k1, k2, k3``````？
第
10
页
对等式两边同 s1乘 ,且以令 s1
右边 (s1) sk 11sk 22sk 33 s 1k1
第
11
Fs
As
Dssα2β2
sαjβ F 1ssαjβ
页
共轭极点出现在 αjβ
Fs K1 K2 ......
sαjβ sαjβ
K1sαjβFssαjβ
F1αjβ
2jβ
K2sαjβFssαjβ
令 s 1 时 ,只能 k3 求 1 ,若 出 k2 求 ,两边再 右边 d d s (s1 )2sk 12(s1 )k2k3
2(s1)s( (s2 )k 2 1) 2k1(s1)2k20
左 边 dds(s1)2F(s)d d s ss 22 2s((ss 2 2 )) 2s2(ss2 2 4 )s2
k1 为 单 根 系 ,k3为 数重 根 最 高 次 系 数
s2 k1(s2)(s2)(s1)2 4
s2
k3(s1)2(s2)s2(s1)2
1
s1
如何求k2 ?
如何求k2?
设法使部分分式只保留k2，其他分式为0
第
15
对
原
式
两
边
乘(以 s
1)2
页
ss 22(s1)2sk 12k2(s1)k3
4
ft2 cto cs π o s2 stisn π i n cto sstin
常见函数的拉普拉斯变换
s2 (s2 − a2 )2
s3 (s2 − a2 )2
s2 (s2 − a2)3/2
1 (s2 + a2 )3
s (s2 + a2 )3
s2 (s2 + a2 )3
s3 (s2 + a2 )3
F(t)
ebt cosh at
ebt − eat b− a
bebt − aeat b− a
sin at − at cos at 2a3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 s−a +b
F(t)
eat /2 ⎧
3a
⎨cos ⎩
3at 2
+
3 sin
3at 2
−
e−3at
/
2
⎫ ⎬
⎭
1 3
⎛ ⎝⎜e
−
at
+
2eat /2
cos
3at⎞ 2 ⎠⎟
e−at / 2 3a2
⎧ ⎨e3at /2 ⎩
−
cos
3at 2
−
3 sin
3at ⎫
2
⎬ ⎭
e−at /2 ⎧
3a
⎨ ⎩
3 sin
F(n)(t)
33.10.
f ′(s)
–tF(t)
33.11. 33.12. 33.13.
33.14.
f ′′(s)
f (n)(s)
f (s) s
f (s) sn
t2F(t)
(–1)nt nF(t)
t
∫0 F(u)du
∫ ∫ ∫ t 0
t
F(u)dun =
0
t (t − u)n−1 0 (n − 1)! F(u)du
常用函数Laplace变换表
z za
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行
反变换。设 F (s) 是 s 的有理真分式
F (s)
B(s) A(s)
bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
（n m）
cn
n
ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
（F-1）
式中， s1, s2 ,, sn 是特征方程 A(s)＝0 的根。 ci 为待定常数，称为 F(s)在 si 处的留数，可
按下式计算：
ci
lim(s
ssi
si
)
F
(
s
)
或
（F-2）
B( s) ci A(s)
s si
附录 A 拉普拉斯变换及反变换
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性
2 微分定理 一般形式
L[af (t)] aF (s) L[ f1 (t) f 2 (t)] F1 (s) F2 (s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
d2 L[
f
(t)]
式中系数 a0 , a1,...,an1, an ， b0 ,b1,bm1,bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可 将 F (s) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① A(s) 0 无重根
这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
F (s) c1 c2 ci
（F-3）
式中， A(s) 为 A(s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行
反变换。设 F (s) 是 s 的有理真分式
F (s)
B(s) A(s)
bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
（n m）
cn
n
ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
（F-1）
式中， s1, s2 ,, sn 是特征方程 A(s)＝0 的根。 ci 为待定常数，称为 F(s)在 si 处的留数，可
按下式计算：
ci
lim(s
ssi
si
)
F
(
s
)
或
（F-2）
B( s) ci A(s)
s si
附录 A 拉普拉斯变换及反变换
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性
2 微分定理 一般形式
L[af (t)] aF (s) L[ f1 (t) f 2 (t)] F1 (s) F2 (s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
d2 L[
f
(t)]
式中系数 a0 , a1,...,an1, an ， b0 ,b1,bm1,bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可 将 F (s) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① A(s) 0 无重根
这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
F (s) c1 c2 ci
（F-3）
式中， A(s) 为 A(s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
Laplace讲解全
cm (s p)m
cm1 (s p)m1
c1
s p
cm
F
(s)
(s
p)m
s
p
cm1
1 1!
d ds
F(s)(s
p) m
s p
ck 1 (m k)
d (mk) ! d smk
F(s)(s p)m
s p
c1
1 (m 1)!
d (m1) ds m1
F(s)(s p)m
s p
f (t)
利用微分性质求 L[cos 2 t] ， 设f (t) cos2 t
则f ' (t) 2 cost( sin t) sin 2t
对上式两边取L变换：sF (s) f (0) 2 s2 22
f (t) cot2 t, f (0) 1. F(s) 1 [ 2 1] s s2 22 s2 2
0
f () Lim s
1
s0 (s 4)(s 3)
Lim
s
s0 s 2 7s 12
0
例：求
L1
(s
4 p)5
解：
L1
4 s5
？
L tn
m(m 1) m!
s n1
s n1
两边取
L1
即
L1
s
n!
n1
t
n
L1
1 s n1
tn n!
L1
1 s5
3. Laplace变换性质
一．线性性质
若 , 是常数，L[ f1(t) ]= f1 (s) ， L[ f2 (t) ]=F2 (s)
，则 L[f1 (t) f2 (t)]=F1 (s) F2 (s)
拉氏变换及反变换
初值定理
拉氏反变换方法
部分分式法的求取拉氏反变换
B( s) b0 s m b1s m 1 .... bm 1s bm F ( s) ,m n n n 1 A( s) a0 s a1s .... an 1s bn
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
e
at at
te
sin(wt) cos(wt)
常见时间函数拉氏变换表 序号 f(t) F(s)
n! s n1
n! s a n1
9
10 11 12
tn(n=1,2,3….)
t e e e
n at
(n=1,2,3….)
at
sinwt coswt
s a 2 w 2
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足： 1、f(t)实函数； 2、当t<0时，f(t)=0； 3、当t0时，f(t)的积分 f (t )est dt 在s的某一域内收敛。
0
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： s=σ+jω（σ，ω均为实数）
拉氏反变换的定义
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;
2e t e 2t
t0
例2 求 解
的Laplace1 ( s 2) 2
1 1 1 f (t ) L [ ] L [ ] 2 s 1 ( s 2)
1
e te
t
2t
拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取 电容两端的电压为输出电压，设 开关S闭合前，电路处于零初始状 态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路 接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s
t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
st 0
【例2-1】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有：
F (t ) L[2 e
at
at
]
2 s
1 sa
3s 2a s ( s a)
例2-2 求
2s 1 s ( s 1)
的原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 s( s 1) A s B s 1 A s B s 1 ( A B) s A s( s 1)
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
• 作业
1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
1
__
(s-1)2
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
s s
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 ： 8时域卷积性
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
机械工程控制基础
(1)
利用
拉普拉斯变换及反变换
ℒ
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
n [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
n
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
n ℒ [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
n
1 当n＝1， ℒ [t ] 2 ； s 2 2 当n＝2，ℒ [t ] 3 ； s
依次类推， 得 ℒ
机械工程控制基础
常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 表 δ(t) δn(t) u(t) t tn e-at te-at tne-at e-jwt 1 sn 1/s 1/s2
拉氏变换与逆变换
00:16 18
常用函数拉氏变换表
00:16
19
四、拉氏逆变换的部分分式法
B(s) bm s m bm1s m1 b1s b0 设 F (s) （ｎ ｍ） n n 1 A(s) an s an1s a1s a0
按代数定理将F(s)展开为部分分式：
1 dt sa
00:16
9
7、正弦函数和余弦函数
L[sin t ] sin t e dt
st 0 0
1 j j st (e e )e dt 2 2j s 2
0
L[cos t ] cos t e dt
1 d sin(t ) L[cos( t )] L dt 1 [s 2 0] 2 s s 2 s 2
00:16 14
3、积分性质
若L[f(t)]= F(s) ,且各重积分在t=0时的值均为0，则
t 1 L f (t ) dt F ( s ) 0 s t t 1 L f (t )dtdt 2 F ( s ) 0 0 s t t 1 L f (t )dt dt n F ( s ) 0 0 s
1 1 3 c1 (2s ) 1 ；c4 s 1 3 2! s( s 1) s 0 s 1 1 1 1 1 Y (s) s ( s 1)3 ( s 1) 2 s 1 1 y 1 t 2e t te t e t 2
00:16 25
3） A(s)=0有一对共轭复根P1、P2
方法1：
c3 cn c1s c2 c4 F(s) ( s p1 )(s p2 ) s p3 s p4 s pn c1和c2由下式求得： [ F ( s ) ( s p1 )(s p2 )]s p1 [c1s c2 ]s p1
常用函数拉氏变换表
00:16
19
四、拉氏逆变换的部分分式法
B(s) bm s m bm1s m1 b1s b0 设 F (s) （ｎ ｍ） n n 1 A(s) an s an1s a1s a0
按代数定理将F(s)展开为部分分式：
1 dt sa
00:16
9
7、正弦函数和余弦函数
L[sin t ] sin t e dt
st 0 0
1 j j st (e e )e dt 2 2j s 2
0
L[cos t ] cos t e dt
1 d sin(t ) L[cos( t )] L dt 1 [s 2 0] 2 s s 2 s 2
00:16 14
3、积分性质
若L[f(t)]= F(s) ,且各重积分在t=0时的值均为0，则
t 1 L f (t ) dt F ( s ) 0 s t t 1 L f (t )dtdt 2 F ( s ) 0 0 s t t 1 L f (t )dt dt n F ( s ) 0 0 s
1 1 3 c1 (2s ) 1 ；c4 s 1 3 2! s( s 1) s 0 s 1 1 1 1 1 Y (s) s ( s 1)3 ( s 1) 2 s 1 1 y 1 t 2e t te t e t 2
00:16 25
3） A(s)=0有一对共轭复根P1、P2
方法1：
c3 cn c1s c2 c4 F(s) ( s p1 )(s p2 ) s p3 s p4 s pn c1和c2由下式求得： [ F ( s ) ( s p1 )(s p2 )]s p1 [c1s c2 ]s p1
拉普拉斯变换
4
4
Fs
s 1 s2
1 1 s2
s1 1 s2
由系统函数零、极点分布决定时域 特性
22
二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应第
页
1．系统函数的零、极点
H (s) A(s) K (s z1 )(s z2 ) (s z j ) (s zm ) B(s) (s p1 )(s p2 ) (s pk ) (s pn )
s2 k1 (s 2) (s 2)(s 1)2 4
s 2
k3
(s
1)2
(s
s2 2)( s
1)2
1
s 1
如何求k2 ?
15
如何求k2? 设法使部分分式只保留k2，其他分式为0 第
对原式两边乘以( s
1)2
s2 s2
(s
1)2
k1 s2
k2(s
1)
页
k3
令s 1时,只能求出k3 1,
j 1
K n (s pk ) k 1
z1 , z2 zn 系统函数的零点
p1 , p2 pn 系统函数的极点
在s平面上，画出H(s)的零极点图：
极点：用×表示，零点：用○表示
23
第
例4
H(s)
s(s 1 j1)( s 1 (s 1)2(s j2)( s
3
所以 k2 3
s 1
逆变换
4 3 1
F(s)
s
2
s1
(s 1)2
所以 f (t) L1 F(s) 4e2t 3et t et
第 页
t 0
16
17
五．F(s)两种特殊情况
第
页
1 非真分式—— 化为真分式＋多项式
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z za
sa ( s a) 2 2
1 s (1 / T ) ln a
420
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行 反变换。设 F ( s ) 是 s 的有理真分式
B ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 F (s) A( s ) a n s n a n 1 s n 1 a1 s a 0
原函数 f (t ) 为
f (t ) L1 F (s)
cr c c cr 1 c1 c L1 r 1 i n r r 1 ( s s1 ) s s r 1 s si s sn ( s s1 ) ( s s1 )
（n m ）
式中系数 a0 , a1 ,..., an1 , an ， b0 , b1 ,bm1 , bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可 将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①
A( s) 0 无重根
这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， s r 1 ，…, s n 为 F(s)的 n-r 个单根；
421
其中， c r 1 ，…, c n 仍按式(F-2)或(F-3)计算， c r ， c r 1 ，…, c1 则按下式计算：
c r lim ( s s1 ) r F ( s )
1 e
at
ห้องสมุดไป่ตู้
ba ( s a)( s b)
e at e bt
sin t
z z aT ze z e bT
z sin T z 2 z cosT 1
2
s2 2
s s 2
2
cos t
z ( z cosT ) z 2 z cosT 1
共n个
共n个 F ( s) n 1 n L[ f (t )(dt ) ] n n k 1 [ f (t )( dt ) n ]t 0 s k 1 s
初始条件为 0 时 4 5 6 7 8 延迟定理（或称 t 域平移定理） 衰减定理（或称 s 域平移定理） 终值定理 初值定理 卷积定理
n d n f (t ) s n F (s) s n k f n dt k 1 k 1 d f (t ) f ( k 1) (t ) dt k 1
2
微分定理
一般形式
L
( k 1)
( 0)
初始条件为 0 时
d n f (t ) L[ ] s n F ( s) n dt
附录 A 拉普拉斯变换及反变换
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 叠加性
L[ af (t )] aF ( s )
L[ f 1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s) F2 ( s)
df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f （0） dt 2 L[
z z 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
δ (t)
T (t ) (t nT )
n 0
1 1 e Ts
1 s
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
L[ f (t )dt ] F ( s) [ f (t )dt ]t 0 s s
2 F ( s) [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )( dt ) ]t 0 s2 s2 s
一般形式 3 积分定理
L[ f (t )( dt ) 2 ]
共n个 F ( s) L[ f (t )( dt ) n ] n s
L[ f (t T )1(t T )] e Ts F (s)
L[ f (t )e at ] F (s a)
lim f (t ) lim sF ( s)
t s 0
lim f (t ) lim sF ( s)
ci lim(s si ) F (s)
s si
（F-2）
或
ci
B( s ) A( s) s s
（F-3）
i
式中， A( s ) 为 A( s ) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
n c n f (t ) L1 F ( s) L1 i ＝ ci e s t i 1 s si i 1
2
( s a)
2 2
e at sin t e at cos t
at /T
ze aT sin T z 2 2 ze aT cos T e 2 aT
z 2 ze aT cos T z 2 2 ze aT cos T e 2 aT
s s1
c r 1 lim
s s1
d [( s s1 ) r F ( s)] ds
cr j 1 d ( j) lim ( j ) ( s s1 ) r F ( s) j! s s1 ds
(F-5)
1 d ( r 1) c1 lim ( r 1) ( s s1 ) r F ( s) (r 1)! ss1 ds
t 0 s
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] L[ f1 (t ) f 2 (t )d ] F1 ( s) F2 ( s)
0 0
t
t
419
2．表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 拉氏变换 E(s) 时间函数 e(t) 号
Z 变换 E(z) 1
n c c r t r 1 r 1 t r 2 c 2 t c1 e s t ci e s t (r 2)! i r 1 (r 1)!
1 i
（F-6）
422
i
(F-4)
②
A( s) 0 有重根
设 A( s ) 0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为
F s
B( s) ( s s1 ) ( s s r 1 )( s s n )
r
=
c c cr cr 1 c1 c r 1 i n r r 1 ( s s1 ) ( s s1 ) ( s s1 ) s s r 1 s si s sn
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
(1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
1 (s a) 2
a s( s a)
Tze aT ( z e aT ) 2
(1 e aT ) z ( z 1)( z e aT )
n c c c c1 c 2 i n i s s1 s s 2 s si s s n i 1 s si
F ( s)
（F-1）
式中， s1 , s2 ,, sn 是特征方程 A(s)＝0 的根。 ci 为待定常数，称为 F(s)在 s i 处的留数，可 按下式计算：
sa ( s a) 2 2
1 s (1 / T ) ln a
420
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行 反变换。设 F ( s ) 是 s 的有理真分式
B ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 F (s) A( s ) a n s n a n 1 s n 1 a1 s a 0
原函数 f (t ) 为
f (t ) L1 F (s)
cr c c cr 1 c1 c L1 r 1 i n r r 1 ( s s1 ) s s r 1 s si s sn ( s s1 ) ( s s1 )
（n m ）
式中系数 a0 , a1 ,..., an1 , an ， b0 , b1 ,bm1 , bm 都是实常数； m, n 是正整数。按代数定理可 将 F ( s ) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ①
A( s) 0 无重根
这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
式中， s1 为 F(s)的 r 重根， s r 1 ，…, s n 为 F(s)的 n-r 个单根；
421
其中， c r 1 ，…, c n 仍按式(F-2)或(F-3)计算， c r ， c r 1 ，…, c1 则按下式计算：
c r lim ( s s1 ) r F ( s )
1 e
at
ห้องสมุดไป่ตู้
ba ( s a)( s b)
e at e bt
sin t
z z aT ze z e bT
z sin T z 2 z cosT 1
2
s2 2
s s 2
2
cos t
z ( z cosT ) z 2 z cosT 1
共n个
共n个 F ( s) n 1 n L[ f (t )(dt ) ] n n k 1 [ f (t )( dt ) n ]t 0 s k 1 s
初始条件为 0 时 4 5 6 7 8 延迟定理（或称 t 域平移定理） 衰减定理（或称 s 域平移定理） 终值定理 初值定理 卷积定理
n d n f (t ) s n F (s) s n k f n dt k 1 k 1 d f (t ) f ( k 1) (t ) dt k 1
2
微分定理
一般形式
L
( k 1)
( 0)
初始条件为 0 时
d n f (t ) L[ ] s n F ( s) n dt
附录 A 拉普拉斯变换及反变换
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 叠加性
L[ af (t )] aF ( s )
L[ f 1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s) F2 ( s)
df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f （0） dt 2 L[
z z 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
δ (t)
T (t ) (t nT )
n 0
1 1 e Ts
1 s
1(t )
z z 1
1 s2
1 s3
t
t2 2
Tz ( z 1) 2
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3
L[ f (t )dt ] F ( s) [ f (t )dt ]t 0 s s
2 F ( s) [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )( dt ) ]t 0 s2 s2 s
一般形式 3 积分定理
L[ f (t )( dt ) 2 ]
共n个 F ( s) L[ f (t )( dt ) n ] n s
L[ f (t T )1(t T )] e Ts F (s)
L[ f (t )e at ] F (s a)
lim f (t ) lim sF ( s)
t s 0
lim f (t ) lim sF ( s)
ci lim(s si ) F (s)
s si
（F-2）
或
ci
B( s ) A( s) s s
（F-3）
i
式中， A( s ) 为 A( s ) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
n c n f (t ) L1 F ( s) L1 i ＝ ci e s t i 1 s si i 1
2
( s a)
2 2
e at sin t e at cos t
at /T
ze aT sin T z 2 2 ze aT cos T e 2 aT
z 2 ze aT cos T z 2 2 ze aT cos T e 2 aT
s s1
c r 1 lim
s s1
d [( s s1 ) r F ( s)] ds
cr j 1 d ( j) lim ( j ) ( s s1 ) r F ( s) j! s s1 ds
(F-5)
1 d ( r 1) c1 lim ( r 1) ( s s1 ) r F ( s) (r 1)! ss1 ds
t 0 s
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] L[ f1 (t ) f 2 (t )d ] F1 ( s) F2 ( s)
0 0
t
t
419
2．表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 拉氏变换 E(s) 时间函数 e(t) 号
Z 变换 E(z) 1
n c c r t r 1 r 1 t r 2 c 2 t c1 e s t ci e s t (r 2)! i r 1 (r 1)!
1 i
（F-6）
422
i
(F-4)
②
A( s) 0 有重根
设 A( s ) 0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为
F s
B( s) ( s s1 ) ( s s r 1 )( s s n )
r
=
c c cr cr 1 c1 c r 1 i n r r 1 ( s s1 ) ( s s1 ) ( s s1 ) s s r 1 s si s sn
1 s n 1
1 sa
tn n!
lim
(1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aT
z z e aT
e at te
at
1 (s a) 2
a s( s a)
Tze aT ( z e aT ) 2
(1 e aT ) z ( z 1)( z e aT )
n c c c c1 c 2 i n i s s1 s s 2 s si s s n i 1 s si
F ( s)
（F-1）
式中， s1 , s2 ,, sn 是特征方程 A(s)＝0 的根。 ci 为待定常数，称为 F(s)在 s i 处的留数，可 按下式计算：