线性代数公式

E i, j c 1
有关乘法的基本运算
C ij a i1b1 j a i 2 b2 j ain bnj
线性性质
A1 A2 B A1 B A2 B ，
AB1 B2 AB1 AB2
cAB c AB AcB
结合律
n 2


k
A。
n 2 时，
A ** A
a b A* c d
关于矩阵右上肩记号： T ， k ， 1 ，* i) 任何两个的次序可交换，
T 如 A * A * ，

T
A *1 A 1 * 等
ii)
AB T
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可逆矩阵的性质 i）当 A 可逆时，
AT 也可逆，且 AT A 1 。
1 T
A k 也可逆，且 A k A 1 。
1 k
数 c 0 ， cA 也可逆， cA
1

1 1 A 。 c
1
ii） A ， B 是两个 n 阶可逆矩阵 AB 也可逆，且 AB
B 1 A 1 。
推论：设 A ， B 是两个 n 阶矩阵，则 AB E BA E 命题：初等矩阵都可逆，且
E i, j 1 E i, j
相关 0
1 , 2 相关 对应分量成比例 1 , 2 相关 a1 : b1 a 2 : b2 a n : bn s 2，
①向量个数 s =维数 n ，则 1 , , n 线性相（无）关 1 n 0
A 1 , 2 , , n ， Ax 0 有非零解 A 0
Ax 有解，即 可用 A 的列向量组表示
AB C r1 , r2 ,, rs ， A 1 , 2 , , n ，
则 r1 , r2 , , rs 1 , 2 , , n 。
1 , 2 , , t 1 , 2 , , s ，
1 , 2 ,, s s
② 1 , 2 , , s
1 , 2 ,, s , 1 , , s
另一种说法： 取 1 , 2 , , s 的一个极大无关组 I
I 也是 1 , 2 ,, s , 的极大无关组 I , 相关。
都 可 逆 ， 记
A 1
1 A11 0
0 1 A22 0 0
0 0 0
0 0
伴随矩阵的基本性质：
AA* A * A A E
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一个线性无关部分组 I ，若 # I 等于秩 1 , 2 , 4 , 6 I ， I 就一定是极大无关 组 ① 1 , 2 , , s 无关
则存在矩阵 C ，使得 1 , 2 , , t 1 , 2 , , s C 线性表示关系有传递性 当 1 , 2 , , t 1 , 2 , , s r1 , r2 , , r p ， 则 1 , 2 , , t r1 , r2 , , r p 。 等 价 关 系 ： 如 果
c1 1 c s s 0 ， 则其中 c 0 ， 否则 c1 , , c s 不全为 0， 与条件 1 , , s
无关矛盾。于是
c1 c 1 s s 。 c c
④当 1 , , s 时，表示方式唯一 1 s 无关
B T AT , AB B 1 A 1 ，
1
AB * B * A *
但 AB B k A k 不一定成立！ 线性表示
k
0 1 , 2 , , s
i 1 , 2 , , s 1 , 2 ,, s x1 1 x 2 2 x s s 有解
AB C ABC
B T AT
AB T
AB A B
A k A l A k l
A
k l
A kl
A k B k 不一定成立！
AB k
AE A ， EA A
AkE kA ， kE A kA
AB E BA E
与数的乘法的不同之处
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证明：设 c1 , , c s , c 不全为 0，使得 c1 1 c s s c 0
B AC 。
Cx 0 有 s 个方程， t 个未知数， s t ，有非零解 ， C 0 。
则 B AC 0 ，即 也是 Bx 0 的非零解，从而 1 , , t 线性相关。 各性质的逆否形式 ①如果 1 , 2 , , s 无关，则 s n 。
转置值不变 A 逆值变 A 1
T
A
1 A
cA c n A
, 1 2 , , 1 , , 2 ,
A 1 , 2 , 3 ，3 阶矩阵 B 1 , 2 , 3
A B A B
A B 1 1 , 2 2 , 3 3
1 , 2 , , s x 有解 x x1 , , x s

T

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A B 1 1 , 2 2 , 3 3
A A 0 AB 0 B B
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AB k
A k B k 不一定成立！
因式分解障碍是交换性 一个矩阵 A 的每个多项式可以因式分解，例如
无交换律
A 2 2 A 3E A 3E A E
无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当 AB 0 时 A 0或B 0 由 A 0 和 AB 0 B0 由 A 0 时 AB AC B C （无左消去律） 特别的 设 A 可逆，则 A 有消去律。 左消去律： AB AC B C 。 右消去律： BA CA B C 。 如果 A 列满秩，则 A 有左消去律，即 ① AB 0 B 0 ② AB AC B C
1 , 2 , , s 与 1 , 2 , , t 互 相 可 表 示
1 , 2 , , s 1 , 2 , , t
记作 1 , 2 , , s 线性相关
1 , 2 , , t 。
s 1 ，单个向量 ， x 0
（表示方式不唯一 1 s 相关）
⑤若 1 , , t 1 , , s ，并且 t s ，则 1 , , t 一定线性相关。
证明：记 A 1 , , s ， B 1 , , t ， 则存在 s t 矩阵 C ，使得
1 E i c 1 E i c
E i, j c 1 E i, j c
命题：准对角矩阵
A
A11 0 0 0
0 A22 0 0 0 0 0
1 Akk
0 0 0
0 0 0 Akk
可 逆

每 个
Aii
c d A cA dA
A
T T
A
AT B T
A B T cAT AB T
c AT 。 B T AT

2 nn 1 21 C n
nn 1 2
D a 21 A21 a 22 A22 a 2n A2 n
如果 s n ，则 1 , 2 , , s 一定相关
Ax 0 的方程个数 n 未知数个数 s
②如果 1 , 2 , , s 无关，则它的每一个部分组都无关
③如果 1 , 2 , , s 无关，而 1 , 2 , , s , 相关，则 1 , 2 , , s
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线性代数部分 基本运算 ①AB B A ② A B C A B C ③ c A B cA cB ④ cdA cd A ⑤ cA 0 c 0 或 A 0 。
当 A 可逆时， A
A* E A
得
得A
1
Baidu Nhomakorabea
A* ， A
：
（求逆矩阵的伴随矩阵法）
且
A *1
A A 1 A

1 A * A 1 A 1


1

A A
A* A A 1
T
伴随矩阵的其他性质 ① A* A
n 1
,
② A T * A * , ③ cA* c n 1 A * , ④ AB * B * A*, ⑤ A k * A * ， ⑥ A ** A
证明： 1 , , s
I I , 相关。
1 , , s , 1 s 1 , , s , / 1 , , s 1 , , s 1,
③ 可用 1 , , s 唯一表示 ④ 1 , , t 1 , , s
②如果 1 , 2 , , s 有相关的部分组，则它自己一定也相关。
③如果 1 s 无关，而 1 , , s ，则 1 , , s 无关。
⑤如果 1 t 1 s ， 1 t 无关，则 t s 。
推论：若两个无关向量组 1 s 与 1 t 等价，则 s t 。 极大无关组