第二章 地图的数学基础
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第二章 地图的数学基础
地图与测量
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑、 蓝色美 丽的正 球体。
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
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1:5千-1：50万地形图的行、列划分和编号
×××D006011 ×××C002003 ×××E018016
001 001 002 003 001 004 002 005 006 007 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 001 001 001
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑、 蓝色美 丽的正 球体。
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
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1:5千-1：50万地形图的行、列划分和编号
×××D006011 ×××C002003 ×××E018016
001 001 002 003 001 004 002 005 006 007 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 001 001 001
地图学课件第二章地图的数学基础
等距离投影是指投影前后，地图上的线段 长度保持不变的投影方式。
等方位投影
任意投影
等方位投影是指投影前后，地图上的方向 保持不变的投影方式。
任意投影是指根据实际需要，选择不同的 投影方式进行投影的过程，可以满足各种 不同的需求和应用场景。
02
常用地图投影
方位投影
总结词
方位投影是一种将地球表面投影到平 面上的方法，其特点是投影后各方向 保持相对方位不变。
多面投影
总结词
多面投影是一种将地球表面分割成多个部分，然后将每个部分分别投影到平面上 的方法。这种投影的特点是能够较好地保留地理特征的形状和面积。
详细描述
多面投影常用于制作大比例尺地图，尤其适用于制作特定地区的地图，如国家或 地区地图。由于多面投影可以针对特定区域进行优化，因此它能够更好地保留地 理特征的形状和面积，但制作过程相对复杂。
数字地图的坐标系
地理坐标系
以经纬度为基准，用于表示地球表面任意点的位置。
投影坐标系
将地球表面投影到平面上，形成二维坐标系，用于地图制作和地理信息系统。
数字地图的精度与比例尺
精度
地图上地理要素的详细程度和准确度， 与地图的制作技术和测量技术有关。
VS
比例尺
地图上的长度与实际地物长度之间的比例 关系，用于表示地图的缩放程度。
详细描述
方位投影通常用于制作小比例尺地图 ，因为它能够保持地理特征的相对方 向和距离。然而，方位投影在投影过 程中可能会产生较大的面积变形。
圆柱投影
总结词
圆柱投影是将地球表面投影到圆柱体表面，然后将圆柱体展 开成平面。这种投影的特点是投影后经度线保持等距离，而 纬度线则逐渐缩短。
详细描述
圆柱投影广泛应用于世界地图的制作，因为它在保持经度线 等距的同时，相对较好地保留了纬度方向的形状和面积。然 而，在靠近极点的区域，纬度线会变得非常密集，导致地图 扭曲。
第二章：地图的数
地球上的经纬线的长度的特点： 第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相同的 纬线弧长相等 第三，所有经线长度相等
地球上的经纬线网格面积的特点：
第一，在同一纬度带内，经差相同的 球面网格面积相等
第二，在同一经度带内，纬度愈高，
网格面积愈小
地球上的经纬线角度的特点：
在地球上经线和纬线处处都呈直角相交
§2.5 地图的分幅与编号 主要内容：
1. 2. 3. 4. 地图编号 我国基本地形图的分幅和编号 地图分幅的概念和方法 地形图编号的计算方法
一、地图的分幅
1.为什么要分幅？ 区域表达，编图、印刷、保管和使用 的方便。 2.地图分幅的方法 矩形分幅
经纬线分幅
拼接 不拼接
矩形分幅
拼接分幅：
适用：挂图和大于1：2000的地形图
或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，
然后将椭圆柱面展开成平面即成。
中央子午线：与椭圆柱重合的子午线
两种常用的分带方式及中央子午线的计算 6°带：从0°子午线开始每6 °经差为一带，中间的子 午线为中央子午线 该投影带的中央子午线：L=6n-3 n为带号 3°带：从1°30′开始每3 °经差为一带，其中间的子午 线为中央子午线 该投影带的中央子午线：L=3n n为带号
2.4 地图比例尺
1. 地图比例尺的含义
地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影 长度之比。 可表达为（d为图上距离，D为实地距离）
d 1 D M
根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：
主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
2. 地图比例尺的形式
二、 椭球定位与定向
地图的数学基础new
大地坐标系：以参考椭球面为参考面，以法线为参考线，用大地经纬度表示地面点在参考椭球面上位置的空间坐标系
WGS-84世界大地坐标系 WGS-84是CTS, 坐标系的原点是地球的质心，Z 轴指向 BIH1984.0 CTP方向，X轴指向 BIH1984.0零子午面和 CTP 赤道的交点，Y 轴和 Z、X 轴构成右手坐标系
陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点——大地原点。
§2 地球坐标系与大地定位
① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度
2.1 地理坐标 —— 用地理经纬度表示地面点位的球面坐标。
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。
地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。
用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。
大地控制网
平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。
高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
WGS-84世界大地坐标系 WGS-84是CTS, 坐标系的原点是地球的质心，Z 轴指向 BIH1984.0 CTP方向，X轴指向 BIH1984.0零子午面和 CTP 赤道的交点，Y 轴和 Z、X 轴构成右手坐标系
陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点——大地原点。
§2 地球坐标系与大地定位
① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度
2.1 地理坐标 —— 用地理经纬度表示地面点位的球面坐标。
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。
地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。
用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。
大地控制网
平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。
高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
02_地图数学基础
26
三、地图投影的变形
（五）面积比与面积变形
（2）面积变形
就是(dF’-dF)与dF之比，以VP表示面积变形， dF dF dF 则： VP 1 P 1 dF dF 面积变形表明了面积变形的程度，是衡量面积 变形的一个相对指标。它是一个>0,＝0,<0的 数，通常用百分比表示，如VP=-2%，即表示
(1)
等角投影 等积投影
地 图 投 影
(2)
(3) 任意投影
43
四、地图投影的分类
（3）任意投影（Aphylactic Projection）
概念：它是一种既不等角也不等积，长度、角 度和面积三种变形并存但变形都不大的投影类 型。
特点：角度变形：＜等积投影； 面积变形：＜等角投影； 是一种变形较为适中的投影。
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地 球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩 小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经 纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们分析 一下地球仪上经纬网的特点： 1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬 线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长 不等，由赤道向两极递减。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越 高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。
试验：
投影变形示意图
20
变形椭圆
21
三、地图投影的变形
（三）长度比和长度变形
三、地图投影的变形
（五）面积比与面积变形
（2）面积变形
就是(dF’-dF)与dF之比，以VP表示面积变形， dF dF dF 则： VP 1 P 1 dF dF 面积变形表明了面积变形的程度，是衡量面积 变形的一个相对指标。它是一个>0,＝0,<0的 数，通常用百分比表示，如VP=-2%，即表示
(1)
等角投影 等积投影
地 图 投 影
(2)
(3) 任意投影
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四、地图投影的分类
（3）任意投影（Aphylactic Projection）
概念：它是一种既不等角也不等积，长度、角 度和面积三种变形并存但变形都不大的投影类 型。
特点：角度变形：＜等积投影； 面积变形：＜等角投影； 是一种变形较为适中的投影。
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地 球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩 小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经 纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们分析 一下地球仪上经纬网的特点： 1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬 线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长 不等，由赤道向两极递减。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越 高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。
试验：
投影变形示意图
20
变形椭圆
21
三、地图投影的变形
（三）长度比和长度变形
第二章地图的数学基础
第二章地图的数学基础地图的数学基础，是指使地图上各种地理要素与相应地面景物之间保持一定对应关系的经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等数学要素。
第一节地球的形状与大小地球的表面是一个不可展平的曲面，而地图是在平面上描述各种制图现象，这给地图工作者提出了一个问题，如何建立球面与平面间的对应关系。
要解决这个问题首先必须对地球的形状和大小进行研究。
一、地球的自然表面（自然球体）由地球自然表面所包围的形体我们称之为地球自然球体。
地球自然表面是一个崎岖不平的不规则表面，有高山、丘陵、平原、盆地和海洋。
世界第一高峰珠穆朗玛峰高出海平面8844.43m，而在太平洋西部的马利亚纳海沟的斐查兹海渊，低于海平面11034m。
人们对地球形状的认识曾经历了漫长的过程，古人在实现了环球航行后才发现地球是球形的，近代大地测量发现更接近于两极扁平的椭球。
长短半径大约差21km。
通过人造地球卫星对地球观察的资料分析，发现地球是一个不规则的“近似于梨形的椭球体”，它的极半径略短，赤道半径略长，北极略突出，南极略扁平(图2--1)。
这里所讲的梨形，是一种形象的夸张。
因为地球南北半球的极半径之差在近几十米范围之内，这与地球的自然表面起伏、极半径和赤道半径之差都在20 km左右相比是十分微小的。
所以，地球自然表面是一个极复杂而又不规则的球形曲面，不能用数学公式表达。
二、地球的物理表面（大地体）当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。
在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。
它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面(图2--2)。
由于地球的自然表面极其复杂与不规则，大地测量学家就引入了大地体的概念。
所谓大地体是由大地水准面所包围的地球形体。
大地水准面是地球形体的一级逼近。
由于地球引力的大小与地球内部的质量有关，而地球内部的质量分布又不均匀，致使地面上各点的铅垂线方向产生不规则的变化，因而大地水准面实际上是一个略有起伏的不规则曲面。
地图的数学基础(najin)
桑逊投影是一种经线为正炫曲线的正轴等 积伪圆柱投影 ,该投影的纬线为间隔相等的平 行直线，经线为对称于中央经线的正弦曲线, 是等面积投影，赤道和中央经线是两条没有变 形的线，离开这两条线越远，长度、角度变形 越大。因此，该投影中心部分变形较小，除用 于编制世界地图外，更适合编制赤道附近南北 延伸地区的地图，如非洲、南美洲地图等。
墨卡托投影属于正轴等角圆柱投影。该投 影设想与地轴方向一致的圆柱与地球相切或 相割，将球面上的经纬线网按等角的条件投 影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪 开并展成平面。经线和纬线是两组相互垂直 的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤 道向两极逐渐扩大（如图）。图上无角度变 形，但面积变形较大。
（2）空间斜轴墨卡托投影 （Space Oblique Mercator Projection）
假想一个扁率极小的椭 圆，绕大地球体短轴旋转所 形成的规则椭球体称之为地 球椭球体
地球椭球体三要素： 长半径 a 短半径 b 扁率f
图2-2 地球自然 表面、大 地水准面 和地球椭 球体的关 系
由于推算的年代、使用的方法以及测定地区
的不同，地球椭球体的数据并不一致，近一个世 纪来，世界上推出了几十种地球椭球体数据。
（3）长度比和长度变形
长度比 µ 是投影面上一微小线段ds’和椭
球面上相应微小线段ds之比。用公式表达为：
µ=ds’/d s
长度比用于表示投影过程中，某一方向上 长度变化的情况。µ>1，说明投影后长度拉长， µ<1，说明投影后长度缩短了；µ=1，则说明 特定方向上投影后长度没有变形。
注意长度比与比例尺区别：
1：295.0
埃及，加拿大，美国，墨西哥，法国
1：293.47
越南，罗马尼亚，法国，南非
墨卡托投影属于正轴等角圆柱投影。该投 影设想与地轴方向一致的圆柱与地球相切或 相割，将球面上的经纬线网按等角的条件投 影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪 开并展成平面。经线和纬线是两组相互垂直 的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤 道向两极逐渐扩大（如图）。图上无角度变 形，但面积变形较大。
（2）空间斜轴墨卡托投影 （Space Oblique Mercator Projection）
假想一个扁率极小的椭 圆，绕大地球体短轴旋转所 形成的规则椭球体称之为地 球椭球体
地球椭球体三要素： 长半径 a 短半径 b 扁率f
图2-2 地球自然 表面、大 地水准面 和地球椭 球体的关 系
由于推算的年代、使用的方法以及测定地区
的不同，地球椭球体的数据并不一致，近一个世 纪来，世界上推出了几十种地球椭球体数据。
（3）长度比和长度变形
长度比 µ 是投影面上一微小线段ds’和椭
球面上相应微小线段ds之比。用公式表达为：
µ=ds’/d s
长度比用于表示投影过程中，某一方向上 长度变化的情况。µ>1，说明投影后长度拉长， µ<1，说明投影后长度缩短了；µ=1，则说明 特定方向上投影后长度没有变形。
注意长度比与比例尺区别：
1：295.0
埃及，加拿大，美国，墨西哥，法国
1：293.47
越南，罗马尼亚，法国，南非
第二章地图数学基础分析
一、地理坐标系——地球椭球面
这是一个纯粹的数学表面，用 简单的数学公式即可表达 ：
x2 y2 z2 a2 a2 b2 1
常用的符号有a、b、α、
e、e，这些符号的含义
叫做地球椭球的基本元
素。
第二章地图数学基础分析
短 半 径
b
0
长半径a
地球椭球面
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——地球椭球面 其中 α 、e、e 的名称和公式为：
第二章地图数学基础分析
1954年北京坐标系、1980西安坐标系是 参心坐标系，
WGS84坐标系、2000 国家大地坐标系是 地心坐标系
参心坐标系 是以参考椭球的几何中心为原点的 大地坐标系。 地心坐标系 以地球质心为原点建立的空间直角 坐标系
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——椭球体的采用
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
纬线圈 起始经线
B——纬度，从赤道起算
P
L——经度，从格林尼治
A
首经线起算
B L
P＇
地理坐标系中某点 的纬度和经度，是用大 地测量的方法测定的， 赤道 故又称这种地理坐标系 为大地地理坐标系，简 称大地坐标系。
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系 经差1°的纬线弧长
二、平面直角坐标系 纬 度（度） 长 度（公里）
0
111 321
10
109 641
20
104 649
30
96 448
40
85 396
50
71 698
地图学第二章地图的数学基础
பைடு நூலகம்
2、按投影面与地球关系: 切投影—Gauss-Kruger 割投影—UTM 3、按投影变形性质分：（图3-7） a.等角投影（投影后经线长度比，纬线长度比同等变形） 适用于航海、洋流和风向图等 b.等积投影：P=1=ab, a=1/b或b=1/a 适用于面积精度要求较高的自然和经济图 c.任意投影：（即有长度，面积，角度变形） 等距离投影是任意投影的一个特例 八、地图投影判别与选择 1、地图用途 航海、天气、军事等，要求方位准确—等角投影 面积量算（经济类地图）--等积投影 地理挂图（相似于实地）--面积变形小，角度变形小
（2）我国曾经或正在采用的椭球体
第一节 地球的形状与大小
第一节 地球的形状与大小
Natural surfaces
Physical surfaces Mathematical surfaces 三级逼近： （椭球体定位操作） 将地球椭球体与一个局部大地水准 面最优拟合状态下的椭球体，叫做 参考椭球体. 椭球体及其定位 按一定的条件将具有确定元素的 地球椭球同大地体的相关位臵固定 下来，从而获得大地测量计算基础 面和大地起算数据。 椭球体定位的条件: 椭球短轴与地轴相平行 椭球面与大地水准面充分接近
第二节 地球坐标与大地定位
一、地理坐标
大地纬度、大地经度、东 经、西经、南纬、北纬 （具体看图）、本初子午 线（首子午线L, prime meridian） A
经纬度λ，β
L
二、我国的大地坐标系 本初子午线 1.大地坐标系发展 1）1954北京坐标系：简称54坐标系。该坐标系是1942年苏联普尔科沃 坐标系（Pulkovo 1942）的延伸，它的真正坐标原点不是北京而是苏联 普尔科沃，相应的参考椭球体为克拉索夫斯基椭球体。
2、按投影面与地球关系: 切投影—Gauss-Kruger 割投影—UTM 3、按投影变形性质分：（图3-7） a.等角投影（投影后经线长度比，纬线长度比同等变形） 适用于航海、洋流和风向图等 b.等积投影：P=1=ab, a=1/b或b=1/a 适用于面积精度要求较高的自然和经济图 c.任意投影：（即有长度，面积，角度变形） 等距离投影是任意投影的一个特例 八、地图投影判别与选择 1、地图用途 航海、天气、军事等，要求方位准确—等角投影 面积量算（经济类地图）--等积投影 地理挂图（相似于实地）--面积变形小，角度变形小
（2）我国曾经或正在采用的椭球体
第一节 地球的形状与大小
第一节 地球的形状与大小
Natural surfaces
Physical surfaces Mathematical surfaces 三级逼近： （椭球体定位操作） 将地球椭球体与一个局部大地水准 面最优拟合状态下的椭球体，叫做 参考椭球体. 椭球体及其定位 按一定的条件将具有确定元素的 地球椭球同大地体的相关位臵固定 下来，从而获得大地测量计算基础 面和大地起算数据。 椭球体定位的条件: 椭球短轴与地轴相平行 椭球面与大地水准面充分接近
第二节 地球坐标与大地定位
一、地理坐标
大地纬度、大地经度、东 经、西经、南纬、北纬 （具体看图）、本初子午 线（首子午线L, prime meridian） A
经纬度λ，β
L
二、我国的大地坐标系 本初子午线 1.大地坐标系发展 1）1954北京坐标系：简称54坐标系。该坐标系是1942年苏联普尔科沃 坐标系（Pulkovo 1942）的延伸，它的真正坐标原点不是北京而是苏联 普尔科沃，相应的参考椭球体为克拉索夫斯基椭球体。
第2章 地图的数学基础
面积比与面积变形
• 面积比P就是投影面上的微分面积与球面上相应的微分 面积之比，即投影面上的变形椭圆的面积与球面上微分 圆的面积之比。 • P=a·b P=a·b=m·n P=m·n·sinθ • 面积比也是一个变量，在地图上会因点的位置不同而不 同。 • 面积变形（Vp）指面积比与1的差值，Vp = P－1 • 面积比同长度比一样，也是一个只有大于1或小于1（个 别地方等于1）而没有负值的相对数量，而面积变形则 有正有负。 • 面积比大于1，面积变形为正，表示投影后面积增大； 面积比小于1，面积变形为负，表示投影后面积缩小； 面积比等于1，面积变形为零，表示投影后面积不变。
2.2我国的大地坐标系统
大 地 控 制 网 平面控制网(由三角测量或导线测量完成 )
大地原点 大地坐标系 三角点△、导线点□ 地理坐标 1980中国国家大地坐标系 平面位置
高程控制网(由水准测量或三角高程测量完成)
高 绝对高程 水准原点 水准点 程 相对高程 高程系 1985年国家高程基准 值
高程位置 地面点位
• 地理坐标，就是用经纬度表示地面 点位置的球面坐标。 1.天文经纬度
2.大地经纬度 3.地心经纬度
大地体
地球椭球体 地球椭球体
天文经纬度：
天文经度
天文测量法
天文纬度（铅垂线与赤道面 的夹角）
大地体
测有天文经纬度坐标的地面点， 称为天文点，它是一种地面控制 点。如大地坐标原点。符号为☆
大地水准面 铅 垂 线
§4 地图投影的应用
制图区 域范围
地图比例尺 教学内容 投影方法
1：100万
中 小
等角圆锥投影
4.1 地形图投影
大中比例尺
高斯—克吕格投影
第二章地图的数学基础
1. 投影变形的概念
把地图上和地球仪上的经纬线网进行比 较，可以发现变形表现在长度、面积和角度 三个方面。
2.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
3.投影变形的性质和大小
长度比和长度变形： 投影面上一微小线段（变
形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小 圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
m表示长度比，Vm表示长度变形
m ds '
ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
例题
下列有关投影变形的叙述正确的是：（ ）
多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿 一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线 的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经 线的曲线。
正轴切圆锥投影 正轴割圆锥投影
横轴切圆锥投影
横轴割圆锥投影
斜轴切圆锥投影 正轴切圆柱投影
正轴割圆柱投影
斜轴切圆柱投影
横轴切圆柱投影
复习
高斯克吕格投影 UTM投影
从不规则的地球表面到制成地图，要经过 两个过程。首先将地球自然表面上的点沿 垂直方向投影到地球椭球面上，然后再将 投影到椭球面上的点运用数学方法投影到 某种可展面上。
由球面到平面，必然会产生变形，在实际 制图中，要根据不同要求和各种投影的特 点选择合适的投影，减小投影变形。
3.2 地图投影变形
横方位投影
正方位投影
斜方位投影
2. 按地图投影的变形性质分类
第2章 地图的数学基础
水准面
铅垂线
地球表面
大地水准面
地球椭球体
地球模型：三级近似
地球自然表面 水准面所包围的球体
极不规则，无法用数学表面进行描述 不规则性、动态性、不唯一性
大地水准面所包围的球体
不规则性、相对唯一性
标准数学曲面 1952：海福特椭球 1953：克拉索夫斯基椭球 1978：1975年国际椭球
旋转椭球体
地球的大小
原点历史
中国960万平方公里的土地上，“覆盖”着一张由许许多多相互联系的大地点 所构成的网，即“国家大地控制网”。这些大地点的坐标位置是按照国家统一的 测量规范测定出来的，并设有固定的标志，以便长期保存。 为了推算出“大地网”中各个大地点的坐标，就必须选取一个点作为起算点， 这一点就是大地原点，又称为大地基准点。通常在国家大地网中选一个比较适中 的点作为原点，高精度测定它的天文经纬度和到另一点的天文方位角，根据“参 考椭球”定位的方法，求得该点的大地经纬度、大地高和到另一点的大地方位角 。这些数据称为“大地基准数据”。 建国初期，中国并没有自己的大地原点，而是沿用前苏联玻尔可夫天文台为坐 标原点的大地测量坐标系统，这与中国的建设和发展极不相称。中国采用的1954 年北京坐标系统，其原点在前苏联的列宁格勒，参考椭球是前苏联的克拉索夫斯 基椭球。该椭球远离中国，推算误差大，弊病多，难以适应中国高科技发展的需 要。为此，国家有关方面决定建立独立的大地坐标系统。 从1975年开始，相关部门组织人力，搜集分析了大量资料，并根据“原点” 的要求，对多个城市的地形、地质、大地构造、天文、重力和大地测量等因素实 地考察、综合分析，最后将中国的大地原点，确定在陕西省泾阳县永乐镇北流村 境内。
天圆地方 天之包地，犹壳之裹黄
地球是一个球体 两极稍扁，赤道略鼓的不规则球体
地图的数学基础2
§3 常见地图投影一.方位投影以平面为投影面，使平面与椭球体相切或相割，将球面上的经纬线网投影到平面上形成方位投影。
1、变形分布规律其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。
投影中心是没有变形的点，从投影中心向四周变形逐渐增大。
在投影平面上，由投影中心向各方向的方位角保持不变。
2、正轴方位投影切点在北极或南极，又叫极地投影。
经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
在正轴投影中，因为经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
一般用于绘制南、北半球地图或北极、南极区域地图。
按变形性质又可以分为等积、等角、等距投影等。
1）正轴等角方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大；经线夹角等于相应的经差。
投影变形情况：①无角度变形，任一点长度比相同，极值长度比相等（a=b），经纬线长度比相等(m=n)。
②微分圆投影后保持正圆性质。
③极点为投影中心，是无变形点，距投影中心愈远长度变形和面积变形愈大, 在投影边缘面积变形是中心的四倍。
2）正轴等距方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
经线投影后保持正长，所以投影后的纬线间距相等。
投影变形情况：①经线方向没有长度变形（m=1），各纬圈间的距离与实地相等。
②极点为投影中心，为无变形点。
③等变形线是以极点为中心的同心圆，距投影中心愈远角度变形和面积变形愈大。
等距切方位投影亦称波斯托等距方位投影。
3）正轴等积方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。
投影变形情况：①没有面积变形，面积比等于1，但角度变形较大②沿经线长度比大于1，沿纬线长度比小于1，两者互为倒数，面积比等于1。
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三角测量示意图
4．大地控制网
导线测量：把各个控制点连成连续折线，然后测定这些折
线边长和转角，最后根据起算点坐标及方位角推算其它点 坐标。包括：一种是闭合导线；另一是附合导线。
建立大地控制网时，通常要隔一定距离选测若干大地点的 天文经纬度、天文方位角和起始边长，作为定向控制及校
核数据使用，故大地控制网又有天文大地控制网之称。
星运行至今，导航定位系统工作稳定，状态良好，取得了显著 效益。这次发射的“北斗一号”是导航定位系统的备份星。它
与前两颗“北斗一号”工作星组成了中国完整的卫星导航定位
系统，确保全天候、全天时提供卫星导航信息。它标志着中国 已建立了完善的第一代卫星导航定位系统。对中国国民经济建
设和国防建设的进一步发展将发挥重要作用。
地球椭球体有长半径a（赤道半径）和短半径b（极半径）之分，
f=(a-b)/a为椭圆的扁率。a、b、f是其三要素，决定地球椭球 体的形状和大小。因推算所用资料、年代和方法不同，许多科 学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同。
我国1952年以前采用海福特椭球体，从1953年起采用克拉索夫
斯基椭球体，这是原苏联科学家克拉索夫斯基1940年测定的。
高程控制网
是在全国范围内按照统一规范，由精确测定了高
程的地面点所组成的控制网，是测定其它地面点
高程的基础。
表明地面点高程位置的方法有两种：绝对高程，
即地面点到大地水准面的高度。相对高程，即地 面点到任意水准面的高度。 建立高程控制网的目的是为了精确求算绝对高程， 即高程。
水准测量
借助水准仪提供的水平视线来测定两点之间的高差，是建 立高程控制网的主要方法。两点之间的高差H=a-b，设HA 为已知点的高程，则待求点的高程HB=HA+H
地图的数学基础
一、地球椭球体
第一节 地球椭球体与大地控制
地球自然表面是一个起伏不平，十分不规则的表面。 为了寻求一种规则的曲面来代替地球的自然表面，人们设想当海 洋静止时，平均海水面穿过大陆和岛屿，形成一个闭合的曲面， 该面上的各点与重力方向（铅垂线）成正交，这就是大地水准面。
大地水准面包围的球体，叫大地球体，它是对地球形体的一级逼
定位原理不同：“北斗”是用户先发射需定位的信号，通过卫星转发至地面 控制中心，控制中心解算出位置后再通过卫星转发给用户；而GPS和
求用户需要提供与全球总体适配的地心坐标系统。
3.高程系
高程控制网的建立，必须规定一个统一的高程基准面。我
国利用青岛验潮站1950～1956年的观测记录，确定黄海平
均海水面为全国统一的高程基准面，并在青岛观象山埋设 了永久性的水准原点。以黄海平均海水面建立起来的高程
控制系统，统称“1956年黄海高程系”。
座的组网工作。它也由24颗卫星组成，分布在3个轨道平面上，
每个轨道平面有8颗卫星，原理和方案都与GPS类似。 • GLONASS一开始就没有加SA干扰，GLONASS导航定位精度
较低，约为30—100米，测速精度0.15米/秒。
• 其应用普及情况远不及GPS，这主要是俄罗斯没有开发民用市 场；另外，GLONASS卫星平均在轨道上的寿命较短，由于经 济困难无力补网，在轨可用卫星少，不能独立组网。
颗卫星的定位数据。
2.地面监控部分
监控站
主控站
注入站
2.地面监控部分
主控站一个，设在美国的科罗拉多的斯普林斯。主控站负责协 调和管理所有地面监控系统的工作，包括：根据所有地面监测
站的观测资料推算编制各卫星的星历、卫星钟差和大气层修正
参数等，并把这些数据及导航电文传送到注入站；提供全球定 位系统的时间基准；调整卫星状态和启用备用卫星等。
制作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。 地球的形状确定之后，还需确定大地水准面与椭球体面之
间的相对位置。
• 确定大地水准面与椭球体面之间的相对 位置的方法是在地球表面适当位置选择 一点p,假设椭球体和大地球体相切于 P’, P’位于P点的铅垂线上，过椭球 体面上p’的法线与该点对于大地水准
1987年，因多年观测资料显示，黄海平均海平面发生了微 小的变化，由原来的72.289m变为72.260m，国家决定启用
新的高程基准面，即“1985年国家高程基准”。高程控制
点的高程也发生微小的变化，但对已成图上的等高线的影 响则可忽略不计。
4．大地控制网
大地控制网由平面控制网和高程控制网组成。包 括具有精确测定平面位置和高程的典型的具有控
“北斗一号”与GPS和GLONASS
使用范围不同：“北斗一号”是区域卫星导航系统，只能用于中国及其周边 地区；而GPS和GLONASS都是全球导航定位系统，在全球的任何一点，只 要卫星信号未被遮蔽或干扰，都能接收到三维坐标。
卫星数量和轨道不同：“北斗”是3颗，位于高度近3.6万Km的地球同步轨道。 GPS和GLONASS 是24颗，位于2万Km高度，分别在6个和3个轨道面上。
GPS的组成主要有空间星座部分、地面监控部分和用户设
备部分组成
卫星 导航 系统 工作 原理
1.空间星座
GPS卫星星座由24颗卫
星构成，均匀分布在6 个轨道面内，每个轨道 面有4个卫星；卫星轨 道面与地球赤道面的倾
角为60º ；轨道平均高
度20183km，卫星运行 周期11小时58分。保证
至少可以同时接收到4Βιβλιοθήκη “北斗一号”卫星导航定位系统
我国独立自主的卫星导航定位系统；我国已建立完善的卫星导
航定位系统；区域卫星导航定位系统
2004年5月25日零时34分，“长征三号甲”运载火箭在西昌卫 星发射中心成功将第三颗“北斗一号”导航定位卫星送上太空。
前两颗分别于2000年10月31日和12月21日发射升空。这两颗卫
的实施计划。由于在科索沃战争以及阿富汗战争期间，欧洲军队使用 GPS技术事实上都受到了限制。因此，欧盟首脑们意识到：“如果放
弃伽利略计划，我们将在今后20-30年间失去防务上的主动权。”此
外，伽利略计划带来的经济利润也是不容忽略的。欧盟的一项研究预 测表明，发展伽利略卫星导航定位技术，仅在欧洲就可以创造出14万 多个就业岗位，每年创造的经济收益将会高达90亿欧元，到2020年， 伽利略系统的经济收益将达到740亿欧元。
2008年年底，建成（27+3）伽利略卫星工作星座。 我国已成为建设伽利略系统的合作伙伴，并于2004年1月10日，在长
江上进行了EG－NOS欧洲静地卫星导航重叠系统的动态应用测试，为
合作建设伽利略系统进行科技准备。
俄罗斯的GLONASS
• 1995年俄罗斯耗资30多亿美元，完成了GLONASS导航卫星星
制意义的点，它是测制地图的基础。
平面控制网采用平面控制测量确定控制点的平面
位置，即大地经度（L）和大地纬度（B）。其主
要方法是三角测量和导线测量。
4．大地控制网
三角测量：在平面上选择一系列控制点，建立三角网，经 测量由已知推算未知。为达到层层控制的目的，由国家测 绘主管部门统一布设一、二、三、四等三角网。一等三角 网是全国平面控制的骨干，由近于等边的三角形构成，边 长在20～25km左右，基本上沿经纬线方向布设；二等三角 网是在一等三角网的基础上扩展的，三角形平均边长约为 13km，这样可以保证在测绘1:10万、1:5万比例尺地形图 时，每150km2内有一个大地控制点，即每幅图至少有3个 控制点；以此类推，保证不同比例尺地图的精度。
合好；天文大地坐标网传算误差和天文重力水准路线传算误差都不太
大，而且天文大地坐标网坐标经过了全国性整体平差，坐标统一，精 度优良，可以满足1：5000甚至更大比例尺测图的要求等。
与当今社会发展存在的矛盾：①坐标维的矛盾。随着卫星定位导航技 术在我国的广泛使用，二维不能适应现代的三维定位技术； ②精度 的矛盾。卫星定位技术可达10-7～10-8的点位相对精度，而西安80系 只能保证3×10-6；③坐标系统（框架）的矛盾。 数字地球的发展要
面的铅垂线相重合，椭球体的形状和大
小与大地球体很接近，从而也就确定了 椭球体与大地球体的相互关系。
• 这种与局部地区的大地水准面符合得最
好的一个地球椭球体，称为参考椭球体。 确定参考椭球体，进而获得大地测量基 准面和大地起算数据的工作，称为参考 椭球体定位。地球形体三级逼近
二、大地控制
大地控制的主要任务是确定地面点在地球椭球体上的位置。包括两个 方面：一是点在地球椭球体面上的平面位置，即经度和纬度；二是确定点 到大地水准面的高度，即高程。
当地气象观测资料和时间信息经初步处理后传送到主控站。
地面监控系统除主控站外均由计算机自动控制，勿需人工操作。 各地面站间由现代化通讯系统联系，实现了高度自动化和标准 化。
3.用户设备部分
GPS接收机 GPS数据处理软件
微处理机及终端设备
欧洲伽利略卫星导航定位系统
2002年3月24日，欧盟首脑会议批准了建设伽利略卫星导航定位系统
2.我国的大地坐标系统
1980年国家大地坐标系：1978年采用新的椭球体参数GRS(1975)，以 陕西省西安市以北泾阳县永乐镇某点为国家大地坐标原点，进行定位
和测量工作，通过全国天文大地网整体平差计算，建立了全国统一的
大地坐标系，即1980年国家大地坐标系。
优点：椭球体参数精度高；定位采用的椭球体面与我国大地水准面符
1.地理坐标系
地理坐标系：用经纬度表示地面点位的球面坐标系。在大地测量学中
有三种描述：
天文经纬度：天文经度即本初子午面与过观测点的子午面所夹的二面 角；天文纬度即过某点的铅垂线与赤道面间的夹角。天文经纬度通过