2航天与力学

许（ H. Cavendish ， 1731–1810 ）于 1798 年用扭秤实验第一
个精确地测量了G的数值为
G 6.754 10 m kg s
-11 3
2
卡文迪许成为第一个“称”出地球质量的人。 以后近 200 年中许多人用相同或不同的方法测量 G 值， 1986 年，国际科学联盟理事会科技数据委员会（ CODATA ）推荐 -11 3 2 的数值为 G 6.67259(85 ) 10 m kg s 在地球上的实验室里测量几个铅球之间的相互作用力，就可 以称出地球的质量，这不能不说是个奇迹。然而它的思 想 基 础和牛顿的月地检 验是一致的，即相 信天上人间服从共同的 规 律，引力常量的数值 都是一样的。
以两个人为例：设两个人的质量均为100Kg，相距1m，则 他们之间引力的数量级为10-7N，非常小。 牛顿的万有引力定律，深刻地提示了宇宙万物间所遵循的 引力规律，打破了以前人们头脑中认为天体运动与地上物体运 动有着天壤之别的鸿沟，把天上和人间和谐地统一了起来。
3．万有引力常数G的测定 牛顿发表万有引力定律后 100 多年，英国科学家卡文迪
帆
x y F’
mv2 P mv1

m

Fx x Fy F
x
②火箭飞行原理
变质量问题--卫星发射.MPG
u m
正方向。
v+dv M-dm
v
dm
t 时刻：火箭主体质量为M，速度为v，取火箭速度方向为
t+dt 时刻：喷出气体质量为dm，气体相对于火箭的速度为 u，火箭速度为 v+dv，则气体对地的速度为 -u+v+dv ，
从苹果到月亮 牛顿“苹果落地”的故事被广泛流传，故 事大意是： 1665–1666 年间，一日他在花园中冥 思重力的动力学问题时，看到苹果偶然落地，引 起他的遐想：苹果落地是受到地球的引力，那么 月球受到地球的引力为什么不掉向地球呢?
１．月亮为什么不掉下来
y
h
v0
为解决这一问题，牛顿(Issac.Newton)将地 面附近物体的下落与月亮的运动认真地作 了一番比较。 高塔上物体平抛运动可看作水平方向的匀 速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 于是有： L
则F 1/R2
②引力与m的关系
由于地球上物体无论轻重都以同样的加速度下落， 根据F＝ma，得出引力Hale Waihona Puke Baidu质量成正比。又应用牛顿第 三定律，物体对地球的引力应与地球对物体的引力相 等，因此引力也应与地球的质量成正比。由此得出万 有引力定律：
F=Gm1m2/r2
其中G=6.67 10-11N· m2/Kg2
地球
月亮可比作抛体，不受地球引力将作直线运动。 当受地球引力时，不断偏向地球。若其运动曲线的 弯曲正好与地球表面的弯曲程度相同时，则月球永 远也掉不到地球上。
２．万有引力定律的建立
行星 月亮绕地球旋转及行星绕太阳旋转使牛顿领 悟到宇宙间任何物体间都有引力作用。
太阳
行星作匀速圆周运动时，受向心力F＝ma, 那么F与什么因素有关呢？
v=u1 ㏑ N1+u2 ㏑ N2 +u3 ㏑ N3 其中u1、u2、u3喷出气体的相对速度，而 N1 、N2、N3各
齐奥尔科夫斯基首 先推导出单级火箭所 能得到的理想速度公 式。
多级火箭示意图
土星”5号运载火箭
“长征”号运载火箭
四、机械能及机械能守恒定律
1．机械能：E=Ek+Ep 2．机械能守恒：在某一过程中，如果外力和非保守内力都 不对系统做功，或做功之代数和为零，则系统的机械能在该 过程中保持不变。 3．应用 ①第一宇宙速度 航天器 在地面上发射一航天器，使之能沿绕地 球的圆轨道运行所需的最小发射速度称 为第一宇宙速度。
第二章 航天与力学
自古以来，人类遥望广袤而深邃的星空，在感叹宇宙深 幻莫测的同时，企盼有朝一日能离开地球，飞向星球。由此 产生出许多美妙而动人的神话故事来。如我国古代“嫦娥奔 月”，以及古希腊“伊卡尔飞向太阳”等。它寄托了人类对 宇宙的关注和向往，也表达了渴望能飞到其它星球的心情。 是哥白尼的“日心说”将人类从神学的枷锁中解放了 出来。牛顿的“万有引力定律”不仅提示了宇宙间万物所 遵循的引力规律，还把“天上”与“人间”和谐地统一起 来。直到本世纪初，随着物理学所取得的极大成功，带动 了整个科学技术的蓬勃发展，高新技术如雨后春笋般不断 涌现。50年代开始兴起的航天技术就是一棵在物理学丰润 士壤里滋生出来的高科技新苗。正是它使人类飞向宇宙的 这一梦想得以实现。
为了发射人造地球卫星或其它航天器，人们制造了由若 干单级火箭串联形成的多级火箭。发射时第一级火箭先点火， 火箭即开始加速上升。等这一级火箭所储存的燃料燃烧完后， 整个这一级就自动脱落，以便增大此后火箭的质量比。随后 第二级点火使火箭继续加速，它的燃料用完后又自动脱落。 然后第三级又点火，这样一级一级地使火箭的有效载荷加速 而最后达到需要的速度。 多级火箭发射后的最终速度为：
人造卫星的上天，载人航天器的发射，人类首次登月 的成功，一个个激动人心时刻的到来，把人类航天活动推 向高潮。到目前为止，共发射了数千颗不同类型的航天器， 这些航天器发挥了各自不同的作用，造福于人类。
一、万有引力定律的发现
中国是最早发明火箭的国家。早在北宋后期，民间流行 的能升空的烟火，已利用了火药燃气的反作用力。到１４世 纪末，我国明朝一位专门设计兵器的官员万虎（又名万户） 就作过首次升空的尝试。他在一把椅子的背后装上４７枚火 药制成的大火箭，让人把自己捆在椅子上，并两手各持一大 风筝，企图借助火箭的推力和风筝的升力飞天。当火箭被点 燃喷火后，这只被称为“飞龙”的座椅一下冲了山头，并急 速上升，但没过多久，当火光消散后，飞龙突然下坠，并撞 毁于山脚之下。
行星作匀速圆周运动
①引力与Ｒ２的关系
由 a=v2/R=4π2R/T2
(T=2πR/v)
则两个行星的向心加速度之比：
a1:a2= 4π2R1/T12: 4π2R2/T22=R1 T22 /R2 T12
又由开普勒第三定律： T12／T22
＝R1３／ R2３
所以
a1:a2 = R2２／ R1２
即 a 1/R2
三、动量定理与动量守恒定律
１. 质点或质点系的动量定理 动量： 动量定理：
p mv F t P P0
称为质点或质点系的动量定理。当研究对象为一个质点时， 力 F 指作用在该质点上的合力，当为质点系时，F 指作用在该
系统上的合外力。 表述为：作用在系统上合外力的冲量等于系统动量的增量。 ２. 动量守恒定律
0
x
x v0 t 1 2 h gt 2
v0=20m/s L=v0t=80m g=9.8m/s2
设:
h=80m
可得：t ≈ 4s
x v0 t
若 v0 增大一倍，则石子的抛程 也将增大一倍。 抛力越大，石块抛得更远，运 动曲线向下弯的程度越小。只要力 足够大，使石块运动曲线的曲率恰 好与地球表面的曲率相同，则石块 就永远落不到地面上。
dm [(v-u)-v]/dt=-udm/dt
为喷出气体受火箭体的推力。 由作用力与作用力定律，喷出气体对火箭体的推力：
F=udm/dt
例如：一种火箭的发动机的燃烧速率为1.38 104Kg/s， 喷出气体的相对速度为2.94 103m/s，则火箭所产生的推力 为4.06 107(N)。这相当于4000 吨海轮所受的浮力。
③多级火箭 要想增大单级火箭（只有一个发动机的火箭叫单级火箭） 的末速度可以采用两个方法： 一是增大喷出气体的相对速度； 二是增大火箭的质量比。 利用高能推进剂如液氧加液氢的喷气速度可达4.1km/s。 考虑到火箭体本身的结构和必要的载荷，火箭质量比增 大有限制。目前单级火箭的质量比可做到15。因此在目前最 好的情况下，单级火箭从静止开始可获得的末速度为11km/s。 由于实际上从地面上发射时，火箭要受到地球引力和空气阻 力，所以末速度只可能达到7km/s左右。这一速度小于第一 宇宙速度（7.9km/s)，所以用单级火箭不能把人造地球卫星 或其它航天器送入轨道。
级火箭的质量比。 由于技术上的原因，多级火箭一般是三级的。以美国发射 “阿波罗”登月飞船的“土星五号”为例，起飞时质量约为 2800吨，高约85m。其中其中u1=2.9Km/s ，u2＝4Km/s， u3= 4Km/s，N1=16，N2=14，N3=12，计算得： v=28Km/s。由于空气阻力和重力的影响，末速度要比此计算 值小得多。但已大于第二宇宙速度，足够完成登月任务了。
万虎的尝试虽以失败告终，但他以自己的鲜血和生 命、勇敢和智慧，宣告了人类航天活动的开始，并 激励后人去进行新的尝试。为了纪念这位航天先驱， 在２０世纪６０年代，国际天文联合会以“万虎山” 来命名月球上的一座环形山，以表彰他对航天事业 作出的贡献。
以后世界各国进行了各种人类升空尝试，如１ ８世纪盛行于欧洲的热气球升空活动等，最终都不 能飞离地球而回落到地面上。为什么人类离天地球 如此困难？是什么原因把万物牢牢束缚在地球上呢？ 这个千百年来一直萦绕于人们心头的疑团，直到牛 顿发现万有引力以后才被解开。
由竖直方向动量守恒，有：
Mv=(M-dm) •(v+dv)+dm •(-u+v+dv)
整理后得：
dv=udm/M
喷出气体质量为火箭主体质量的减少，即dm=-dM，
则：
dv=-udM/M
v u ln M1 / M 2
M1为火箭最初的质量，M2为燃料烧完后的火箭质量 其中M1/M2称为火箭的质量比。上式称为齐奥尔科夫斯基公式。 如果以喷出的气体dm为所考虑的系统，它在dt 时间内 的动量变化率为：
二、海王星的发现
牛顿的万有引力定律建立后，经历了几次重大的考验。如 准确预言了彗星的出现等，从而建立了它的权威。然而，在解 释天王星的运动时却出现了空前的危机。 自1781年英国赫歇耳发现天王星后，理论计算与观测资料 有误差。而木星、士星等却吻合，引力理论能解释行星偏离椭 圆轨道的摄动现象。于是，有人对牛顿的万有引力定律的权威 产生怀疑。如果它不能用来解释天王星运动，岂能称为宇宙间 的普遍规律？ 若大胆设想，原认为土星是太阳系的边界，后来被新发现 的天王星所突破。那么天王星未必是最后的边界。在天王星的 外面可能还有一颗未知行星，由于它的引力作用，使天王星受 到摄动而偏离了它应有的轨道。后来由英国的亚当斯和法国的 勒维烈先后（相隔一年）分别独立完成该工作。
亚当斯（J.Adams）：1845年计算出来行星的轨道和质量，将 结果交给格林威治天文台天文学家爱勒时，遭冷遇，拖了几个 月才开始寻找，而且不认真，让新行星从望远镜视场中溜掉。
勒维烈（J.Le Verrier）：由于巴黎没有详细的星图，因此勒 维烈把自己计算的结果写信给柏林天文台的天文学家伽勒 （Ｊ.Galle）伽勒很快就于1846年9月18日复信给勒维烈，并 高兴地宣布：“先生，你给我们指出位置的新行星是真实存 在的。” 当勒维烈接到信时，真是惊喜交加，消息一经传出，全球 为之轰动。新行星被命名为海王星。这个被誉为“笔尖上的发 现”不仅揭开了天王星“越轨”之迷，也宣告了牛顿引力理论 的彻底胜利。后来，美国天文学家洛威耳（Ｐ.Lowell）和皮 克林（W.Pickering）根据类似的计算，预言海王星之外还有 一颗新行星，直到1930年才由汤博（C.Tombaugh）在照片中 发现，命名为冥王星，这就是太阳系的第九颗行星。 太阳系的九大行星是：水星、金星、地球、火星、木星、 土星、天王星、海王星、冥王星。
当系统所受合外力为零时，则系统动量守恒。即
p p0 常矢量
完全弹性碰撞
（五个小球质量全同）
３.
应用 ①逆风行舟 风沿着帆掠过，向x轴负方向吹去。 动量增量的方向即是冲量的方 向，也是空气团分子受力的方向。 由作用力与反作用力，帆受到空气 团分子的反作用力F，将其分解为 Fx和Fy，则Fx将使帆船前进。 通常帆船在海中行驶走之字型路线。 万吨巨轮装上风帆，对风帆方 位、升降实行电脑控制，可节省燃 料30%。
2006年8月24日，国际天文学联合会第26届大会，经两千 余天文学家表决通过—— 太阳系只有八大行星。不再将传统九大行星之一的冥王 星视为行星，而将其列入“矮行星”。 因为根据“保守新行星定义”： 一是必须围绕太阳运转的天体； 二是质量足够大，能依靠自身引力使天体呈圆球状； 三是其轨道附近应该没有其他物体。 冥王星对后2条条件不符，冥王星的轨道是和海王星有所 交集的