09王蕊：人教A版选修44第二讲第三节参数方程和普通方程的互化
高二数学,人教A版,选修4-4 , 参数方程,和普通方程的互化, 课件
[规律方法]
①常选择的参数有角度、有向线段的长度、
截距、斜率、某一点的横(纵)坐标等． ②对于同一曲线，参数选择不同，所得参数方程也不同． 因为原曲线(x－1)2＋y2＝1是一个圆，选曲线上任一点与
x＝1＋cos 圆心的连线和x轴正向夹角θ为参数，则 y＝sin θ
θ，
(θ为参
数)，也是原曲线的参数方程．
第三节 参数方程和普通方程的互化
[学习目标]
1．了解参数方程化为普通方程的意义． 2．掌握参数方程化为普通方程的基本方法．
3．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题.
[学法指要]
1．理解参数方程化为普通方程的意义．(重点)
2．常与方程、三角函数和圆锥曲线结合命题． 3．掌握参数方程化为普通方程的方法，忽视等价转化是 易错点．(难点)
普通方程，并画出它所表示的曲线．
解析： 2 1 (1)当t－1>0时，x＝t－1＋ ＋1≥ t －1
1 t－1 ＋1＝3， t－1 时，即t＝2时取“＝”．
1 t－1＝ ， t － 1 当且仅当 t－1>0
(2)当t－1<0时，即1－t>0时， 1 1－ t ＋ ≥ 2， 1－t
－t t x＝2 －2 ， 方程 －t t y ＝ 2 ＋ 2
(t为参数)表示的曲线是什么呢？
曲线的参数方程和普通方程 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一 消去参数 而从参数方程得到普通方程． 般地，可以通过__________ (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如 x＝f(t) ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关 __________
x＝ 1 t－1 (2) y＝ 1 2－t
人教A版高中数学选修4-4课件第二讲一3.参数方程和普通方程的互化
1．求 xy＝1 满足下列条件的参数方程：
(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tan θ(θ≠k2π，k∈Z)． 解：(1)将 x＝t 代入 xy＝1 得：t·y＝1， ∵t≠0，∴y＝1t ，
x＝t， ∴y＝1t (t 为参数，t≠0)． (2)将 x＝tan θ 代入 xy＝1 得：y＝ta1n θ.
x＝tan θ， ∴y＝tan1 θ
(θ 为参数，θ≠k2π，k∈Z).
[例 2] 将下列参数方程化为普通方程：
x＝tt＋ －11 (1)
y＝t3－2t 1
；(2)xy＝＝45scions
θ θ－1
(θ 为参数)．
[思路点拨] (1)可采用代入法，由 x＝tt＋ －11解出 t 代入 y 表达式．
(2)采用三角恒等变换求解．
[解] (1)由 x＝tt＋ －11，得 t＝xx＋ －11. 代入 y＝t3－2t 1化简得 y＝x＋31x2＋x－1 12(x≠1)．
(2)由xy＝＝45scions
θ θ－1
cos θ＝x5
得 sin
θ＝y＋4 1
①2＋②2 得2x52＋y＋1612＝1.
2．方程x＝t＋1t ， 表示的曲线是(
)
y＝2
A．一条直线
B．两条射线
C．一条线段
D．抛物线的一部分
解析：t＞0 时 x＝t＋1t ≥2
当 t＜0，x＝t＋1t ＝－(－t＋－1 t)≤－2.
即曲线方程为 y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．
答案：B
3．把参数方程xy＝＝ssiinn
① ，
②
消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去 参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法 从整体上消去参数．
高中数学人教A版选修4-4学案第二讲 一 3. 参数方程和普通方程的互化 Word版含答案
.参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化()将曲线的参数方程化为普通方程，有利于，曲线的参数方识别曲线类型程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过而从参数方消去参数程得到普通方程．()在参数方程与普通方程的互化中，必须使保持一致．，的取值范围[例] 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．()＋＝，＝θ＋.(θ为参数)()－＋－＝，＝＋.(为参数)[解]()将＝θ＋代入＋＝得：＝＋θ.∴(\\(＝() θ＋，＝() θ＋.))(θ为参数)这就是所求的参数方程．()将＝＋代入－＋－＝得：＝＋－＝(＋)＋＋－＝＋＋∴(\\(＝＋，＝＋＋.))(为参数)这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例()，若令＝θ(θ为参数)，则参数方程为(\\(＝θ，＝θ＋θ－))(θ为参数)．．求＝满足下列条件的参数方程：()＝(≠)；()＝θ(θ≠，∈)．解：()将＝代入＝得：·＝，∵≠，∴＝，∴(\\(＝，＝()))(为参数，≠)．()将＝θ代入＝得：＝θ).∴(\\(＝θ，＝( θ)))(θ为参数，θ≠，∈).[例] 将下列参数方程化为普通方程：()(\\(＝()＋，＝－()))(为参数)．()(\\(＝θ＝θ－)) (θ为参数)．[思路点拨]()可采用代入法，由＝＋解出代入表达式．()采用三角恒等变换求解．[解]()由＝＋≥，有＝－，代入＝－，得＝－＋(≥)，这是以()为端点的一条射线．()由(\\(＝θ＝θ－))得(\\( θ＝() ① θ＝(＋) ②))，①＋②得＋＝.消去参数的方法一般有三种：()利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；。
2017_2018学年高中数学第二章参数方程一3参数方程和普通方程的互化课件新人教A版 选修4_4
① ， ②
消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去 参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法 从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值 范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t) 和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其 对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y＝－2x上，故选B.
答案：B
二、填空题 5．参数方程
将参数方程化为普通方程
[例2] 将下列参数方程化为普通方程：
x＝5cos θ (t为参数)．(2) y＝4sin θ－1
x＝ t＋1， (1) y＝1－2 t
(θ为参数)．
[思路点拨] 达式．
(1)可采用代入法，由x＝ t ＋1解出 t 代入y表
(2)采用三角恒等变换求解．
答案：C
2 x＝cos θ， 2．参数方程 2 y＝sin θ
(θ为参数)表示的曲线是( B．圆 D．射线
)
A．直线 C．线段
解析：x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]， ∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．
答案：C
3．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为(
1 x＝t＋ ， t 2．方程 表示的曲线是 y＝2 A．一条直线 C．一条线段
解：t＞0时 1 x＝t＋ t ≥2
(
)
B．两条射线 D．抛物线的一部分
1 1 当t＜0，x＝t＋ t ＝－(－t＋ )≤－2. －t 即曲线方程为y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．
高中数学 参数方程和普通方程的互化课件 新人教A版选修4
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0<x 2 ，故应选〔B〕
说明 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法
是最好的方法。ຫໍສະໝຸດ 第八页，编辑于星期五：十点 三十九分。
例4 求 椭 圆 x2y21的 参 数 方 程 。 94
( 1 ) 设 x = 3 c o s ， 为 参 数 ；
(2)设 y=2t， t为 参 数 .
解 ： （ 1 ） 参 数 方 程 是 x y 2 3s cio n s 为 参 数 。
由参数方程得：
scionsyx3,sin2cos2(x3)2y2 1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
第二页，编辑于星期五：十点 三十九分。
参数方程和普通方程的互化：
〔1〕普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
（ 2 ） 参 数 方 程 是 x31t2或 x－ 31t2
y2t
y2t
第九页，编辑于星期五：十点 三十九分。
练习 1 .化下列参数方程为普通 （ 1） x t 1
y 1 2 t
x sin t
(3) y
sin
2t
(
5
)
x
t
1 t
y 2
方程
x t
(2)
y
t2
(
4
)
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 〔x≥0〕
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，
高中数学 参数方程和普通方程的互化课件 新人教A版选修4-4
3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,
从整体上消去。
化参数方程为普通方程为f(x,y)=0：在消参过程
中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据
参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的
取值范围。
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二.参数方程和普通方程的互化：
普通方程化为参数方程需要引入参数
如：直线L的普通方程是 2x-y+2=0 ，可以化为参 数方程
注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的
取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
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例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明 它们各表示什么曲线？
(1)xy==t22t+2t-1(t为参数）（2） xy==23scions(为参数）
(3)xy=si2ncos2(为参数）(4)xy==ssiinn2-cos(为参数）
(5)xy==1-+2+44csoisntt (t为参数， 0 t )
(6)x= t+1 (t为参数）
步骤（1）消参 （2）求定义域。
y=1-2 t
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小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参 过程常见方法有三种：
1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代 入消去参数
2.三角法：利用三角恒等式消去参数
方程，即 (x1)2(y3)21
∴参数方程为
x1cos y3sin
(为参)数
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练习3:
曲线 y=x2 的一种参数方程是（ D ）
A 、 x y tt2 4
B 、 x y s s iin n 2 tt
C 、 xt y t
高中数学 2.1 第2课时 参数方程和普通方程的互化教案 新人教A版选修44
第2课时 参数方程和普通方程的互化课标解读1.了解参数方程化为普通方程的意义．2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．3．掌握参数方程化为普通方程的方法.参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f ty ＝g t 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？【提示】不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【思路探究】 (1)运用加减消元法，消t ；(2)当t ＝0时，方程表示一个点，当t 为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【自主解答】 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零， ∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －a t ＝cos θ， ③y －bt ＝sin θ. ④③2＋④2得x －a 2t 2＋y －b 2t 2＝1，即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆． (ⅱ)当t ＝0时，表示点(a ，b )．1．消去参数的常用方法将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x ＋e －x )2－(e x －e －x )2＝4，(1－k 21＋k 2)2＋(2k 1＋k2)2＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 4θ＋cos 4θy ＝1－2sin 2θcos 2θ(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2t ＋1ty ＝b2t －1t(a ，b 为大于零的常数，t 为参数)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ两式平方相加，得x 2＋y 2＝4.∵0≤θ≤π，∴－2≤x ≤2,0≤y ≤2.所以方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 4θ＋cos 4θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2sin 2θcos 2θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12sin 22θ，y ＝1－12sin 22θ，∴x －y ＝0.∵0≤sin 22θ≤1， ∴12≤1－12sin 22θ≤1. 所以方程x －y ＝0(12≤x ≤1)表示一条线段．(3)∵x ＝a 2(t ＋1t)，∴t >0时，x ∈[a ，＋∞)，t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2(t ＋1t)，两边平方可得x 2＝a 24(t 2＋2＋1t2)①由y ＝b 2(t －1t )两边平方可得y 2＝b 24(t 2－2＋1t 2)②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．普通方程化为参数方程曲线的普通方程为x －123＋y ＋225＝1，写出它的参数方程． 【思路探究】 联想sin 2θ＋cos 2θ＝1可得参数方程．【自主解答】 设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ，(θ为参数)，即为所求的参数方程．1．将圆的普通方程化为参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)； (2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．【解析】 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t 2.(t 为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t21＋t 2.(t 为参数)已知x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求：(1)3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值． 【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决．【自主解答】 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，(θ∈[0,2π))．(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4 ＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4,3)．∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5， ∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1.(2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)．其中tan φ＝－34，且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具．2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题．(2)注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)．其中tan φ＝b a(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b )．若本例条件不变，如何求y ＋2x ＋1的取值范围？ 【解】 由于⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，(θ∈[0,2π))，∴k ＝y ＋2x ＋1＝3＋sin θ1＋cos θ.∴sin θ－k cos θ＝k －3即1＋k 2sin(θ＋φ)＝k －3.(φ由tan φ＝－k 确定)∴sin(θ＋φ)＝k －31＋k 2. 依题意，得|k －31＋k2|≤1， ∴(k －31＋k 2)2≤1，解得k ≥43. 所以y ＋2x ＋1的取值范围是[43，＋∞)．(教材第26页习题2.1第4题)把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φy ＝3sin φ(φ为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．(2013·广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【命题意图】 本题考查了极坐标方程、普通方程和参数方程的互化．利用普通方程过渡，三种方程的互化体现了转化与化归思想的应用，同时也考查函数与方程思想的应用，这个过程用计算串联起来，考查考生的运算求解能力．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2xx 2＋y2，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3) D．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【解析】 消去sin 2θ，得x ＝2＋y ，又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3. 【答案】 C2．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t12y ＝t －12B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin t y ＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t【答案】 D3．圆x 2＋(y ＋1)2＝2的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)B.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)D.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)【解析】 由x ＝2cos θ，y ＋1＝2sin θ知参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ.(θ为参数)．故选D.【答案】 D4．(2013·郑州模拟)在直角坐标系中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，若以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为________．【解析】 消去α得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ.【答案】 ρ＝4sin θ(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1【解析】 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1，(0≤t ≤5)表示的曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线【解析】 消去t ，得x －3y －5＝0. ∵0≤t ≤5， ∴－1≤y ≤24. 【答案】 A3．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－ty ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ【解析】 由x 2＋y －1＝0，知x ∈R ，y ≤1. 排除A 、C 、D ，只有B 符合． 【答案】 B4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 由于圆x2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)， 故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝－4＋sin θ，(θ为参数)上的点到原点的最大距离为________．【解析】 设M (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝－4＋sin θ上任意一点，∴|OM |＝3＋cos θ2＋－4＋sin θ2＝26＋6cos θ－8sin θ＝26＋10sin θ＋φ(φ由tan φ＝－34确定)当sin(θ＋φ)＝1时，|OM |取最大值6. 【答案】 66．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8.∴|AB |＝4－42＋8＋82＝16.【答案】 16三、解答题(每小题10分，共30分) 7．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3t ＋1t ，(t 为参数，t >0)．求曲线C 的普通方程．【解】 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3(t ＋1t )，则t ＋1t ＝y3(y ≥6)．代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．8．已知P (x ，y )是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点． (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．【解】 方程x 2＋y 2－2y ＝0变形为x 2＋(y －1)2＝1.其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ为参数)．(1)2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(其中φ由sin φ＝25，cos φ＝15确定)．∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1. ∴当且仅当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．9．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，(233，π2)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．①设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； ②判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 ①由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . ②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．教师备选10．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝(x －12)2，即(x －1)2＝4y 为所求．。
高中数学新人教a版高二选修4-4精品课件：3_参数方程和普通方程的互化
（1）x t 1 y 1 2 t
x sin t
(3)
y
sin 2
t
(5)x
t
1 t
y 2
x t
(2)
y
t
2
(4)x
y
1 2 1 2
(et (et
et et
) )
一分耕耘一分收获
2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
A 、
x y
t2 t4
B 、
x y
sin t sin2
3、参数方程和普通方程 的互化
一分耕耘一分收获
由参数方程
x
y
cos sin
3,
( 为参数)直接判断点M 的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin
x y
3,sin2
cos2
(x
3)2
y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
普通方程
如：①参数方程
x a r cos ,
y
b
r
sin
.
消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的.
t
C、x t y t
D、x y
t t
2
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都
第二讲 一 第三课时 参数方程和普通方程的互化
φ|
2
(φ 为参数)．
人教A版数学 ·选修4－4
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探究二
把参数方程化为普通方程
[例 2] 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．
x＝1－3t， (1) y＝4t
(t 为参数)；
x＝1＋4cos t， (2) y＝－2＋4sin t
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2 x＝3t ＋2， 2．曲线的参数方程为 2 y＝t －1
(t 为参数)，则曲线是( B．双曲线的一支 D．射线
)
A．线段 C．圆
解析：将 t2＝y＋1 代入 x＝3t2＋2 中，得 x＝3(1＋y)＋2，即 x－3y－5＝0.∵y＝t2 －1≥－1，∴曲线是一条射线．
参数方程为普通方程， 则既要掌握几种常见的消参方法， 又要注明未知数的取值范围； 若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量 x，y 表示为关于参数 的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题． (2)强化方程之间的互化意识，在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法 转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想．
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[解析]
x－12 y－22 (1)将 x＝ 3cos θ＋1 代入 ＋ ＝1，得 y＝2＋ 5sin θ. 3 5 3cos θ＋1， 5sin θ＋2 (θ 为参数)，
x＝ 所以 y＝
这就是所求的参数方程． (2)将 x＝t＋1 代入 x2－y＋x－1＝0，得 y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1.
x＝tan t， D. 1－cos 2t y＝1＋cos 2t
人教A版 选修4-4 第二讲 一 3.参数方程与普通方程的互化教案设计
参数方程和普通方程的互化教学目标1．理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的．2．基本掌握消去参数的方法．3．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力．教学重点与难点使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法．教学过程师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：(放投影片)由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线，交圆周于A、B两点，求AB中点P 的轨迹的参数方程(如图3-5)．分析割线过点Q(a，b)，故割线PQ方程为：此斜率k可作为参数．(投影)解设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的即为所求点P的轨迹的参数方程．师：你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗？生：(无言以对)看不出来．(启发学生猜想，培养参与意识．)师：你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状．(学生在纸上画，讨论．)生：点P的轨迹(1)过坐标原点，也就是已知圆的圆心．(2)轨迹不是直线．师：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了．把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0．(4)方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说：点P的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部)．师：以上事例说明，有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程．这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则．例1 炮弹从点(0，0)以初速度v0向倾斜角为α的方向发射，问：(1)在时刻t的高度和水平距离如何？(2)炮弹描绘的(弹道)是一条什么样的曲线？(学生通过物理知识，很容易解决这个问题．)解(1)设炮弹发射后的位置在点M(x，y)(如图3-6)，因为炮弹在Ox方向是以v0cosα为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以v0sinα为初速度的竖直上抛运动，所以按匀速直线运动的公式知：炮弹在时刻t的水平距离是x=v0cosα·t，按竖直上抛运动的位移公式知：炮弹在时即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢？生：消去参数t，转化成为普通方程后，就可看出曲线的形状了．故炮弹描绘的曲线是一条抛物线．(含顶点在内的一部分．因为二次项系数是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合．)例2 把参数方程即3x+5y-11=0是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线．师：这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法．这正与解方程组中代入消元法相类似．他用学过的知识解决了新问题．你认为他的解题过程有问题吗？生：挺好的．我与他解的一样，没问题．师：同学们在解题时注意参数t的取值范围了吗？生：t为不等于-1的实数，即t≠-1．师：答案是否有何不妥？生：没觉得哪儿不妥，轨迹确实是一条直线．师：普通方程是相对于参数方程而言的，它反映了坐标变量x与y之间的直接关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x与y之间的间接关系．如能消去参数(不是所有的参数方程都能化为普通方程)，参数方程就转化为普通方程，所以普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式．为此，在化参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小．这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价．请修正一下你的答案．生：3x+5y-11=0(x≠-3)是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线(去掉点(-3，4))．师：观察一下方程(1)、(2)的形式与你学过的知识中哪个式子类似？(提供类比，用以理解直线的参数方程形式不只一种，它与选定的参数相关．)至此，想必学生悟到t的几何意义：动点P分P1P2所成的比，即t=解过点(2，1)，(-3，4)的直线方程是：化简，得3x+5y-11=0．师：这个事实说明，据参数的几何意义，也能达到消参的目的．师：例2表明，直线的参数方程的形式不只一种．那么对同一个参数方程来说，指定的参数不同，会带来曲线的形状不同吗？你试试看．(激发学生探索问题的兴趣)生：对同一个参数方程来讲，由于指定的参数不同，会带来曲线形状的变化．例4 化下列参数方程为普通方程．(让学生按小组讨论求解，然后在投影仪上打出答案．)略解(1)(x+1)2+y=sin2θ+cos2θ，所以 (x+1)2+y=1，(0≤y≤1)．所以x2-y2=4．师：消去参数的方法常用的有哪些？转化过程中应注意什么？(学生讨论后教师板书)消去参数的方法常用的有以下两种：(1)代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去(如例1)．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．(如例4)转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小．也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价．师：方程组中有3个变量，其中的x和y表示曲线上点的坐标；θ是参变量．参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求出相应的x与y的值，因而也就确定了这时点所在的位置．所以问题可转化为讨论当θ为何值时，点P到直线的距离最小问题．因为tanθ、cotθ同号，又|tanθ+2cotθ+2|≥|tanθ+2cotθ|-|2|，从例5的结论知道，参数θ不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根本性质．这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性．师：这节课我们学习了参数方程化为普通方程的法则．首先通过问题的提出，我们知道有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．又在将参数方程化为普通方程的过程中，掌握了消去参数的常用方法，并且理解了参数方程和消去参数后所得的普通方程为什么要等价．家庭作业：一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．二、关于t的方程t2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，y∈R，i是虚数单位)有实根，求动点P(x，y)的轨迹的普通方程．下面是作业题略解．一、(1)(x-x0)2+(y-y0)2=t2，以(x0，y0)为圆心，|t|为半径的圆．(2)y-y0=tanθ(x-x0)，过点(x0，y0)，斜率是tanθ的直线．(3)2x+y-5=0(0≤x＜3)，缺一个端点的线段．(4)y2-x2=4(y≥2)，双曲线的上支．二、已知方程整理为：(t2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因为x，y，t∈R，得4x2+y2+4x-2y=0为所求．设计说明参数方程与普通方程的互化，应该是两课时，这是第一课时的内容：参数方程化为普通方程．对这一问题课本仅用3／2页的篇幅介绍了互化的方法共3个例题．纵观全章《参数方程、极坐标》也只是对参数方程进行了初步研究．而事实上，参数方程也是解析几何的重要内容之一，是继续学习数学知识的基础，在生产实践中也有广泛的应用．我们知道，参数方程与带有参数的问题固然不同，但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助．更有一类问题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题．这就是所求轨迹的方程，轨迹是双曲线．这解法有些使人莫名其妙，实际上这是参数方程．本来我们应该先把对应直线的交点求出来：这就是所求轨迹的参数方程．为了求x、y的方程而消t的话，可以照这样进行：数学中的参数好像是一种活泼的元素，有它的时候可以添一些麻烦，但这麻烦却多半是有趣的现象．它能使一些问题化繁为简．故活用参数，问题，常规解法是：这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点(cosθ，sinθ)和定点(1，2)直线的斜率取值范围问题．动点P(cosθ，sinθ)的轨迹是以坐标原点为圆心，1为半径的圆(挖去(1，0)点)．如图3-7知：。
09王蕊：人教A版选修44第二讲第三节参数方程和普通方程的互化
2.1.3 参数方程和一般方程的互化班级：姓名： 小组：认识参数方程与一般方程互化的必需性 . 掌握参数方程化为一般方程几种基本方法；选用适合学习 目标 的方法化参数方程为一般方程；学习 要点：参数方程化为一般方程的消参方法．要点(即 x 、 y 的范围 )难点 难点：参数方程与一般方程的等价性学法 经过察看、研究、发现的创建性过程，培育创新意识。
指导曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不一样形式。
一般的能够经过而从课前参数方程获得假如知道变数 x ，y 中的一个与参数 t 的关系，比如 x=f （ x ），把她带入一般方程， 求出另一个变数与参数的关系y=g （ t ），那么就是曲预习线的参数方程。
在参数方程与一般方程的互化中，一定使x ， y 的 保持一致。
（学生独立达成，教师经过批阅认识掌握状况）y cos 1．已知曲线的参数方程为( θ为参数 ) ，则曲线的一般方程为 ( ) ．x sinA ．y 2 ＝ 1＋ xB ．y 2 ＝ 1－ xC ． y 2 ＝ 1－ x( － 2≤ y ≤ 2)D ．以上都不对x t cos x 4 2 cos 2. 直线 l :(t 为参数 ) 与圆( α 为参数 ) 相切，则直线的倾斜角 θy t siny 2 sin为()．预习 A. π或 5πB. π或 3πC.π 或 2π D ．－ π或－5π评论66 4433661y13. 将参数方程t(t 为参数， t0 ) 化为一般方程。
x1 1t讲堂学习商讨、合作沟通（备注：重、难点的研究问题）一、自主学习自学教材第 40 页—— 42 页，思虑以下问题：1. 在解方程组中往常用的消元方法有哪些？2. 怎样将参数方程化为一般方程？3. 消参常有的有哪些方法？4.消参过程中要注意的问题？二、新课解说新课内容：参数方程化为一般方程的过程就是消参过程常有方法有三种：1. 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，而后辈入消去参数2. 三角法：利用三角恒等式消去参数3. 整体消元法： 依据参数方程自己的构造特点， 从整体上消去。
09 王蕊：人教A版选修44第二讲第三节参数方程和普通方程的互化
2.1.3参数方程和普通方程的互化班级：姓名：小组：学习目标了解参数方程与普通方程互化的必要性.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；选取适当的方法化参数方程为普通方程；学习重点难点重点：参数方程化为普通方程的消参方法．难点：参数方程与普通方程的等价性(即x、y的范围)学法指导通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
课前预习曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。
一般的可以通过而从参数方程得到如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=f（x），把她带入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g（t），那么就是曲线的参数方程。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的保持一致。
预习评价（学生独立完成，教师通过批改了解掌握情况）1．已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧==θθsincosxy(θ为参数)，则曲线的普通方程为()．A．y2＝1＋x B．y2＝1－x C．y2＝1－x(－2≤y≤2)D．以上都不对2.直线l:⎩⎨⎧==θθsincostytx(t为参数)与圆⎩⎨⎧=+=ααsin2cos24yx(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为()．A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D．－π6或－5π63.将参数方程0t(1111≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=为参数，ttxty)化为普通方程。
课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）一、自主学习自学教材第40页——42页，思考下列问题：1.在解方程组中通常用的消元方法有哪些？2.如何将参数方程化为普通方程？3.消参常见的有哪些方法？4.消参过程中要注意的问题？二、新课讲解新课内容：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
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2.1.3参数方程和普通方程的互化
班级：姓名：小组：
学习了解参数方程与普通方程互化的必要性.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；选取适当
目标的方法化参数方程为普通方程；
学习重
点
重点：参数方程化为普通方程的消参方法.
难点难点：参数方程与普通方程的等价性（即x、y的范围）
学法
指导
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不冋形式。
一般的可以通过而从
课刖预
习参数方程得到如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x=f(X),把她带入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y-g （t）,那么就是曲线的参数方程。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的保扌寸一致。
（学生独立完成，教师通过批改了解掌握情况）
y = cos&
i •已知曲线的参数方程为彳y （9为参数），则曲线的普通方程为（）.
/ =sinf
2 2 2
A. y = 1 + x
B. y = 1 - x C . y = 1- x( —2< y< 2) D.以上都不对
x = t cos^ x = 4 + 2 cos^
2.直线1 ：彳（t为参数）与圆｛（a为参数）相切，则直线的倾斜角
』=tsi n 日y = 2si n。
9为（）.
预习评
价A兀亠
5n”兀亠3n兀亠2兀g 兀亠5n
A 或
B 或 C. Q或Q D.—或—
6 6 4 4 3 3 6 6
d 1
|y -t
3.将参数方程彳t（t为参数，t式0）化为普通方程。
xh-1
1 t
课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）
一、自主学习
自学教材第40页一一42页，思考下列问题：
1.在解方程组中通常用的消元方法有哪些？
2.如何将参数方程化为普通方程？
3.消参常见的有哪些方法？
4. 消参过程中要注意的冋题？二、新课讲解
新课内容：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
1. 代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数
2. 三角法：利用三角恒等式消去参数
3. 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程为F （x, y） = 0 : 在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f （t）和g（t）值域得x、y 的取值范围。
三、典例精讲
x —1 3t
例1、将参数方程《（t为参数）化为普通方程。
（y=2 十4t
严x = 5cos®
练习1:将参数方程彳輕为参数）化为普通方程
y = 4s in®
当
堂
检
测
1.将参数方程
2 .参数方程｛
1
2 2
A. x + y =
C. x + y =
J
3 .参数方程｛
-
fx = 3t 十1 ”「，
2 一（t为参数）化为普通方程。
ly = t
1-t2
X _ 2
^t（t为参数）化为普通方程为（）.
2t
y"nt2
=1 B. x2+ y2= 1 去掉（0，1）点
2 2
=1 去掉（1，0）点 D . x + y = 1 去掉（一1，0）点
.a丄a
x = si n—+ cos—
2 2 ,（a为参数）表示的普通方程是。