粘性流体力学课件

dx 0
J 2u2rdru02b02
0
Q 0 2urdr
ve
1 d be dx
0rudr21be ddQ x
（8-5b） （8-6a）
（8-6b） （8-7a） （8-7b）
三、自由平面层流射流的相似解法
对平面层流射流方程和边界条件引入流函数：
u, v
y
x
（8-8）
y
2 xy x
2 y2
2 x y
x
2
2
)
y
A 3 3 2
3
3
y
J A 2 3 2 ( ) 2 d y c o n s t
y
2
y
0, x
0:
x
0, 2 y
0
y , x 0 : 0 y
（8-11）
232132220322
2 3 21,3 1 31
绝对不变量：
y
2
y
2
,
11
x3 x3 x3 x3
(d0：孔口直径，V0：出流速度)，就处于湍流状态。
不过为了简单本章首先介绍层流情况。
a) 边界射流 b)自由射流 图8－1 射流
射流可以分为边界射流（图8-1a）和自由射流（图 8-1b）。在射流中，射流中的流体与周围流体之间相 互渗混，流体质量间发生动量传递，形成－自由剪切 层，同时周围的流体也不断被卷进这一剪切层中，这 样射流体的宽度不断增加，射流体中的流量不断加大， 但是射流的动量是不变化的。
f f 2 1
（8-17）
f df 0 1 f 2
1 ln 1 f 2 1 f
tanh1 f
f
tanh
1 e2 1 e2
（8-18）
积分常数q可以根据 J / ＝常数而决定。
u2q2x13(1tanh2)
3
J u2dy4 q3 (1tanh2)d16 q3
由于外部流动是均匀的，压力沿x方向的梯度为零，
所以流动是有相似性的。
第一节 层流射流和尾迹
一、射流的结构
图8－3 射流的结构
图8－3是从宽度2b0的窄缝或直径为2b0的圆形管 咀中以速度U0喷出的平板射流或圆形射流。
具有均匀速度U0区域由于与周围流体的混合，速 度沿流动方向会小下去。具有均匀速度U0 的区域称为
u y
2q2 3
f ()
x1/3
v
x
2 3
q
x2/3
[
f
()2f
()]
方程与边界条件变换成：
f 2( f 2 ff ) 0
0 : f 0, f 0 : f 0
积分方程，代入 0 边界条件： f2ff0
（8-14） （8-15） （8-16）
再积分一次，并取积分常数为1，即认为：f (0) ＝1，则得：
0 x
0 y
d
1 dQ
ve dx
udy
0
2
dx
圆形射流基本方程：
u
u x
v
u r
1
1 r
( r
r
)
（8-4） （8-5a）
边界条件：
r0 ： uum ax,v0, u r0,0
r :u 0 ,rv b e v e, u r 0 , 0
d
u2rdr 0
x y
y 0：uumax, v0,
u 0, 0
y
（8-1b）
y：u0, vve,
u 0, 0
y
式中，ve称为卷吸速度，表示周围流体向x轴方向的
射流补充流体。 根据式（8－1a）有：
uudyvudydy
0 x
0 y 0y
（8-2a）
| 1du 2 d y(u v u v d y )( )(0 )
无量纲相似变量：
qy , f()
3 x2/3
2qx1/3
2q x1/3 f
（8-12）
x
2q
3
x2/3
[ f ( ) 2 f ( )]
f y
3
q x2/3
f
(
);
2 y
f
2
( 3
q )2 f ( ) x2/3
3 f y3
( 3
q )3 f ( ) x2/3
（8-13）
射流内的速度分布：
a 尖端尾迹 b 方形端尾迹 c 圆形端尾迹 图 8－2 尾迹
尾迹可以分为尖锐后缘的尾迹和钝体后缘的尾迹。
在尖锐绕流体的后缘，上下表面的发达的边界层 在后缘点汇合成一体，流向下游，形成尾迹。由于流 体质点间的动量交换，使流体的最小速度，随着向下 游的流动而加大，尾迹也加宽，出现了速度的平均化。
在有角钝体的后缘，流体与钝体后的死水区之间 形成剪切层，由于剪切层与死水区流体间的相互卷吸， 在层流情况下，会形成稳定卡门涡街，在湍流情况下 形成不稳定的湍流涡团。同时在死水区形成回流。在 离开后缘一段距离后，在上下剪切层中形成湍流（图 8－2b、c）。但不论是层流还是湍流的射流和尾迹，
位势流核心区，具有势流核心区的射流部分是未发达
区，未发达区的长度依管咀的收缩部分的几何形状而
异，在二维射流的情况下约为12b0, 在圆形射流的情 况下约为10b0左右。
未发达区后面为发达区，在此区动量交换的影响
达到射流的中心。在射流中各截面的最大速度随x的增
大而减小，同时宽度b增大。
二、射流的基本方程
2 d x0
0 0 y
d u2dy 0
dx 0
（8-2b）
证明了单位时间通过任何截面的总动量J沿x轴不变：
J u 2 d y 20 u 2 d y 2U 0 2 b 0
（8-2c）
射流中通过任意截面的流量为Q：
Q udy2 udy
0
由连续方程可以得到：
u dy v dy 0
图8－3所示取射流的中心轴为x轴，垂直于流动的 方向为y轴，对N－S方程各项的大小作量阶估计，便可
与边界层方程同样的得到关于射流的基本方程式，而且 由于自由射流的压力与周围流体压力相等，为 p 0 , 因此在定常、二维射流的情况下得到下式： x
u
u x
v
u y
1
y
u
v
0
（8-1a）
边界条件为：
3 y3
J
(
)2 d y
const
y
y
0,
x
0
:
x
0 ， 2 ＝ 0 y2
y
， x 0 : y
0
（8-9）
由于边界条件的外部势流速度Ue(x)与x无关，可
以判断存在相似性解。为此引入线性变换群：
xA 1x, yA 2y, A 3 （8-10）
A ( 2 3 1 2 2 y
第八章 射流和尾迹
第一节 层流射流和尾迹 第二节 自由湍流射流 第三节 湍流尾迹
射流与尾迹是自然界和工程中经常遇到的问题， 属于自由剪切层中的流动，这种剪切层中，流体质 点间的动量交换不受壁面的限制，所以非常不稳定。 在绝大多数的情况下都处于湍流状况，例如孔口喷 出的射流，只要雷诺数
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