【庆福数学】平方根与立方根复习

平方根与立方根复习(一) 平方根1、平方根的含义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

即a x =2，x 叫做a 的平方根。

正数a 的平方根用a ±表示，其中a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根，也称为算术平方根的相反数。

注意点：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数：记作a ±（根指数２省略）０有一个平方根，为０，记作0=，负数没有平方根。

0=，负数没有算术平方根。

（2）平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。

2222222223111211214413169141961522516256172891832419361=========（）熟记：，，，，，，，，（4a ≥0)a ≥0)表示非负数a 的算术平方根。

二次根式的要求：①根指数为2 ②被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数。

（5）二次根式中字母的取值范围：二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。

二次根式无意义的条件：被开方数小于0，二次根式做分母时: 被开方数大于0.例1：求下列各数的平方根： （1）81 （2）1625（3）214 （4）0.49解：（1）∵()±=9812，∴81的平方根是±9， 即：±=±819（2）∵±⎛⎝ ⎫⎭⎪=4516252，∴1625的平方根是±45， 即：±=±162545 （3）∵2149432942=±⎛⎝ ⎫⎭⎪=，，∴214的平方根是±32，即：±=±=±2149432（4）∵()±=070492..，∴0.49的平方根是±07.，即：±=±04907..例2：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，要说明理由。

（1）－64（2）0（3）()-142（4）102-解：（1）因为－64＜0，所以－64没有平方根。

（2）因为0只有一个平方根，它是0。

即：0=（3）∵()-=>1419602，所以()-142有两个平方根，且()±-=±=±14196142（4）因为10110022-=>，所以102-有两个平方根，且±=±⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-1011011022例3：求下列各数的算术平方根：（1）25（2）4964（3）0.81 （4）81 解：（1）∵5252= ∴25的算术平方根是5， 即：255=（2）∵7849642⎛⎝ ⎫⎭⎪=， ∴4964的算术平方根是78，即：496478= （3）∵090812..= ∴0.81的算术平方根是0.9，即：08109..= （4）∵819=（注：计算81的算术平方根，也就是计算9的算术平方根。

）∵9的算术平方根是3 ∴81的算术平方根是3注：区分81的平方根是±3，81的算术平方根是3，81是9, 是±9.81平方根是±9，81算术平方根是9，81开平方后，得±9例4：求下列各式的值： （1）144（2）-36121（3）±00001.（4）214116+ 解：（1）∵121442=，∴14412=（2）∵611361212⎛⎝ ⎫⎭⎪=，∴-=-36121611 （3）∵()001000012..=，∴±=±00001001..（4）21411694116321474+=+=+=例5：（1）已知正方形的边长为5cm ，求这个正方形的面积；（2）已知正方形的面积是25cm 2，求这个正方形的边长。

解：（1）∵边长a =5cm ，∴正方形面积()S a ===22525cm 2答：正方形的面积是25cm 2。

（2）设正方形的边长为x cm ，根据题意，得：x 225=，∴x =±5∵正方形边长是正数 ∴x =-5舍去，∴x =5 答：正方形的边长为5cm 。

说明：（1）是求5的平方数是几？属于平方运算，25是运算的结果，叫做幂；（2）是求25的平方根是几？属于开平方运算，开平方的结果，叫做平方根，可以看出，平方与开平方是互为逆运算。

例6：判断下列语句是否正确，正确的打“√”，错误的画“×”，并将错误改正。

（1）7是()-72的算术平方根； （ ）（2）-25的平方根是±5； （ ） （3）36等于±6；（ ） （4）16的平方根是±2；（）（5）6是()-62的平方根；（ ）（6）10是10的一个平方根；（ ）（7）正数的平方比它的算术平方根大。

（ ）解：（1）√；∵()-=7492，∴49的算术平方根是7，也就是7是49的算术平方根，（1）式正确。

（2）√；∵-=2525，∴25的平方根是±5，（2）式正确。

（3）×；∵36表示36的算术平方根，即366=， ∴366=±是错的。

（4）√；∵164=，求16的平方根，也就是计算4的平方根是±2，正确。

（5）×；∵()-=6362，而36的平方根是±6。

而6只是36的一个正的平方根，即算术平方根。

（6）√；∵10的平方根是±10，10是10的一个平方根，（6）式正确。

（7）×；举反例说明：14的算术平方根是12，141162⎛⎝ ⎫⎭⎪=，116不大于12，∴正数的平方比它的算术平方根大是错的。

例7：求下列各式中x 的值： （1）x 2144=（2）816402x -=分析：（1）从x 2144=中，可以看出，求x ，实质上是问什么数的平方等于144？是求144的平方根。

（2）式中816402x -=，移项后，81642x =，两边再除以81，得x 26481=，实质上是问什 么数的平方等于6481？是求6481的平方根。

解：（1）∵()±=121442，∴x =±12（2）816402x -=，∴81642x =，x 26481=，∴x =±89例8：16的平方根是几？分析：首先要审清题意，问的倒底是什么问题，也就是求谁的平方根，是求16的平方根还是16的平方根，显然是后者；因为164=，又因为4的平方根是±2，∴16的平方根是±2。

解：∵164=，又∵4的平方根是±2 ∴16的平方根是±2。

例9：x y y =若、为实数，且222224040, 14,20,2,4x x x x x x x y --=+==≥，即≥4,≥即≤4, 所以又因为≠所以222140404,20,2432x x x x x y --∴=+∴=∴==== 解:由题意知:≥且≥又≠注：本题根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值。

２、平方根的性质（即二次根式的性质）（1）双重非负性：①被开方数为非负数，即a ≥0；②二次根式的值为非负数，即a ≥0 （2）两个性质：性质1：（a ）2= a （a ≥0） 性质2(0)(0)a a a a a ⎧==⎨-⎩≥＜性质1：语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

或叙述为：一个非负数先开算术平方根再平方等于这个数本身。

性质2：语言叙述：一个数先平方再开算术平方根等于这个数的绝对值。

22222221==2(0),(0)1a (0)(0)(0)(0)x a x x x ax ax x x a a x x x a aa aa a a a =======⎧===⎨-⎩⎧==⎨-⎩证明：性质：设①则 把 把 性质≥两边平方得：≥ 由性质得：≥所以＜≥ ＜注：（1）性质1的逆用：2(0)a a =≥（2） 非负数定理的运用:几个非负数和为0，则这几个非负数均为0。

（3）2不同点：①从运算顺序来看:2先开方后平方即2表示一个正数aa 的平方的算术平方根；②从取值范围来看：2:00a a ≥可以是正数、、负数。

③从运算结果看：（a ）2= a （a ≥0）(0)(0)a a a a a ⎧==⎨-⎩≥＜联系：①当被开方数都是非负数，20a a ==即≥时②20a a a ==-当＜时例1：求下列各数的平方根： （1）81 （2）1625（3）214（4）0.49 （5）()-142（6）102- （7）0解：（1）∵9==±，∴81的平方根是±9（2）∵45==±，∴1625的平方根是±45.（3）∵32===±，∴214的平方根是±32.（4）∵0.7==±，∴0.49的平方根是±07..（5）∵1414=±-=±，所以()-142平方根是±14（6）因为±=±⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-1011011022，所以102-平方根是110±（2）因为0==。

所以0只有一个平方根，它是0例2：求下列各数的算术平方根： （1）25（2）4964（3）0.81（4）81解：（15== ∴25的算术平方根是5.（278==， ∴4964的算术平方根是78.（30.9== ∴0.81的算术平方根是0.9.（43== ∴81的算术平方根是3例3：求下列各式的值： （1）144（2）-36121 （3）±00001. （4）214116+解：（112==（2）611==-（3）0.01==±（4317244===+=例4：求下列各式中x 的值：（1）x 2144= （2）816402x -= ( 3) ()32811212x +=(4) ()4851692x -=（5）()12892-=x （6） 12125162+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=x （7）x 2490+=解：（1）∵x 2144=，∴12x x =∴=±（2）∵816402x -=，∴81642x =，x 26481=，∴x = ∴x =±89(3) ∵32911x +=±，∴32911x =-±，∴329111x =-+，解得：x 11333=-，∴293211x =--，解得：x 23133=-，∴x 11333=-或x 23133=-（4）∵13852x -=±，∴13852x =±，∴851321x =+，解得：x 12316=，∴851322x =-，解得：x 2316=-， ∴x 12316=或x 2316=-（5）∵117-=±x ， ∴x 118=或x 216=-，方法二∵()()1122-=-x x ，∴()x -=12892，∴x -=±117，∴x =±117，∴x 118=或x 216=-。