ARMAARIMA模型介绍及案例分析

BOX-JENKINS 预测法
1 适用于平稳时序的三种基本模型
（1） AR( p) 模型（Auto regression Model）——自回归模型 p 阶自回归模型：
式中， 为时间序列第 时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量； ，
为时序 的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量； 是随
机误差项； ， ， ，
4.4 建立 ARIMA 模型
4.4.1 ARIMA（3,1,3）模型 Step1：菜单栏：分析——预测——创建模型
在变量栏中，将农村居民收入移入因变量框中；方法选择 ARIMA 模型，点 击右侧“条件”，输入自回归，差分和移动平均数的值。 Step2：确定输出的统计量和相关信息。
其中拟合值和置信区间可备选，根据需要选择。 如果需要预测下一年的数据值，必须要在变量栏中的时间变量下再加入一个 年份值，否则不会显示预测值，如下图。
4.1 数据准备
年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
某城市农村居民收入数据（1980-2015 年）
数据
年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
模型
AR( p)
MA(q )
ARMA( p, q)
拖尾
拖尾
自相关函数
指数衰减和（或） 截尾
指数衰减和（或）
正弦衰减
正弦衰减
拖尾
拖尾
偏自相关函数
截尾（阶）
指数衰减和（或） 指数衰减和（或）
正弦衰减
正弦衰减
关于 p, q 的取值 当不包括时滞 k 12（或 4），24（或 8）， p 取落入随机区间之外的偏相关系
数 PACF 的个数或与 0 有显著差异的 PACF 的个数，q 取落入随机区间之外的自
相关系数 ACF 的个数或与 0 有显著差异的 ACF 的个数。 当仅观察时滞 k 12 （或 4），24（或 8）， p 取显著不为 0 的 PACF 的个数，
q 取显著不为 0 的季节自相关数目。
4 案例分析
（1） ARIMA( p, d, q) 模型 这里的 d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳 （具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说 d 的取值一般为 0,1,2。 对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立 ARMA模型，只能对经过平稳化 处理，而后对新的平稳时序建立 ARMA( p, q) 模型。这里的平文化处理可以是差 分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。 （2） ARIMA( p, d, q)(P, D,Q)s 模型 对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同 样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。这里的 D 即为进行季节差分的阶数； P,Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如
3.1 自相关函数
自相关是时间序列Y1,Y2, Yt 诸项之间的简单相关。它的含义与相关分析中变 量之间的简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。 自相关程度的大小，用自相关系数 rk 度量。
nk
( yt y)( ytk y)
rk t1 n
( yt y)2
t 1
式中， n 为样本数据的个数； k 为滞后期； y 为样本数据平均值。 自相关系数 rk ，可看作自变量 k 的函数，即自相关函数。它表示时间序列滞 后 k 个时间段的两项之间相关的程度。如 r1 表示每相邻两项间的相关程度； r2 表 示每隔一项的两个观察值得相关程度。 随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以 0 为均值，1 n 为标准差的正态 分布。自相关系数的 95%置信区间为 (1.96 ,1.96 ) ，此处 1 n 。如果一个 时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则认为该序列是纯随机序列。 将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间（通常采用 2 倍 标准差作为置信区间的两个端点），被称作自相关分析图。 中的操作 1. 输入变量数据；定义时间序列日期（数据 定义日期） 2. 分析 预测 自相关（如下）；将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中
3.3 ARIMA 模型的参数确定
Step1：判断时序是否平稳，若不平稳，经过若干次逐期差分或季节差分使其 平稳，则可确定 d 和 D 。对于社会经济现状，一般 d 和 D 的数值取 0,1 或 2。
若自相关系数 ACF 随着滞后期（一般设为 16）增大，而迅速趋于 0，则认 为该时序是平稳的。
若自相关系数 ACF 随着滞后期增大，自相关系数 ACF 不趋于 0，则认为该 时序是非平稳的。更具体地说，若随着时滞 k 的增大，自相关系数 ACF 缓慢减 小，说明随着序列两项间隔的提前，相关程度变弱，则序列具有趋势性；若对于 季度数据或月度数据，当滞后期为 4（或 12），8（24）等时，自相关系数 ACF 显著地部位 0，即在随机区间之外，则意味着该时序具有季节性。如果时序具有 趋势性，那么需要进行逐期差分，由逐期差分的次数决定 d 的取值；如果序列具 有季节性，那么要进行季节差分，由季节差分次数决定 D 的值。
4.3 差分平稳化
对时间序列进行差分平稳，并绘制相关系数图和偏自相关系数图如下。 操作为：分析——预测——自相关（勾选：1 阶差分）
从右侧图形可以看出，在滞后期 k=3 之后，自相关函数衰减，并且均在置信 区间范围之内，因此可以认为该序列平稳了。
再观察变换后的序列的偏自相关函数图，如下图。
其中33 =较大，其他并没有明显趋于 0，可以认为在 K=3 后拖尾，而自相关 函数可以看做是 K=3 后截尾，也可以看做为拖尾。（自拖，偏拖）——ARIMA 模 型，（自截，偏拖）——MA 模型，因此，经过一阶差分变换后的农村居民收入 所选定的模型为 ARIMA(3,1,3) 或 ARIMA(0,1,3) 。分别对两个模型进行拟合和预 测，比较其精度。
Step3：绘制其时序图，观察其是否平稳。分析——预测——序列图
此时可以看出该曲线有明显上升趋势，为非平稳序列，需要进行差分平稳化。 同时，也可以绘制自相关图形（操作：分析——预测——自相关）来观察其 趋势，如下图。
由上面自相关系数图可知，随着延迟数目的增加，系数并没有显著的趋近于 0，且许多数值较大的系数落在了置信区间之外，说明该时间序列并非平稳的。
yt c 1 yt1 2 yt2 p yt p et 1et1 2et2 qetq 显然， ARMA( p, q) 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。当 q =0, 时，退化为纯自回归模型 AR( p) ；当 p =0 时，退化为移动平均模型 MA(q) 。
2 改进的 ARMA 模型
j 1
rk j
k 1 k 2,3,
偏自相关系数kk ，可看作自变量 k 的函数，即偏自相关函数， 1 kk 1。 它用以测量当剔除其他滞后期（ t 1, 2,3, , k 1）的干扰的条件下，Yt 与Ytk 之 间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行
识别。
数据
年份 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
单位：元
数据
对 36 年农村居民收入建立 B-J 模型，并预测 2016 年的收入情况。
4.2 时序分析
Step1：将数据输入到中，并定义变量的精度为小数点后两位； Step2：定义日期。数据——定义日期——输入“1980” 因为本次数据没有季节性，所以只需要选择年份为 1980 年，如下图。
为待估的自回归参数。
（2） MA(q) 模型（Moving Average Model）——移动平均模型 q 阶移动平均模型：
yt et 1et1 2et2 qetq 式中， 为时间序列的平均数，但当{yt}序列在 0 上下变动时，显然 =0， 可删除此项； et ， et1 ，et2 ，…， etq 为模型在第 t 期，第 t 1期，…，第 t q 期 的误差；1 ，2 ，…， q 为待估的移动平均参数。 （ 3 ） ARMA( p, q) 模 型 — — 自回归 移动 平均模 型（ Auto regression Moving Average Model） 模型的形式为：
3.2 偏自相关函数
偏自相关函数是时间序列 Yt ，在给定了 Yt1,Yt2 , Ytk1 的条件下，Yt 与Ytk 之 间的条件相关。由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。
偏自相关系数kk 计算公式如下。
r1
k 1
kk
rk
k 1, j
j 1
rk j
k 1
1
k 1, j
3 模型的识别
模型的识别的本质是确定 ARIMA( p, d, q)(P, D,Q)s 中的 p, d, q 以及 P, D,Q 与 S 的取值。借助于自相关函数（Auto correlation Function, ACF）以及自相关分析 图和偏自相关函数（Partial Correlation Function, PACF）以及偏自相关分析图来 识别时序特性，并进一步确定 p 、 q 、 P 、 Q 。
3. 勾选自相关、偏自相关，转换暂时不选（如果为非平稳序列，可勾选差分/ 自然对数转换，其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定，通常为 0,1,2）
未进行差分处理，由图可知几乎一半的自相 关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，此时需要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行差分处理，即在重复 第 2 步时，差分选项选择 1 或 2。
左侧图形为未经过差分处理的某城市农村居民收入的 ACF 图，可以看出自
相关系数并未迅速趋于 0，说明该时序是非平稳的。右侧为该序列的线性图，也