张量分析中文翻译(最新整理)
(完整版)《张量分析》报告
一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。
写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。
1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。
这是一个约定，称为求和约定。
例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。
不求和的指标称为自由指标。
1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。
张量分析清华大学张量分析你值得拥有
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2
张量分析(Tensor Analysis)
ds 2 (dx1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx3 ) 2
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds ij dx dx
2 i
j
克罗内克符号的一些常用性质：
i j xi x j
x j ij x i
i
j i k
j k
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
r i dr i dx x
空间一点P的位置矢量可用直角坐标表示为：
r z ji j
式中 ij 为沿坐标轴 zj 方向的单位矢量。
r r z j z j j i i ij i x z x x
r 上式表明， i 是单位矢量 ij 的线性组合，因此也是矢量。 x
基矢量（续）
r r i 变化时位置矢量r的变化，因此 i i 表征当 x i 的方向是沿坐标曲线 x x x r 的切线方向。矢量 i 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）： x
r z j gi i i i j x x
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。 基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交； 基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
1 张量的概念
在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中， 有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些 分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。例如受力 物体内一点的应力状态，有9个应力分量， 如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则 有：
xx xy xz ij yx yy yz zx zy zz
克罗内克符号 i j 的定义是:
(最新整理)张量基础知识
2021/7/26
30
二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a Tjl kl
T* ijk
aila jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk
ali
amj
ank
T* lmn
Tijkl
ami
anj
aok
a
pl
T* mnop
2021/7/26
xi' x i' j j
2021/7/26
27
同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
2021/7/26
28
于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
2021/7/26
4
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
2021/7/26
19
1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
张量分析——初学者必看精选全文
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j, k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 eijk 1 若i, j, k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2
0 若有两个或三个指标相等
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij akeier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
坐标变换式 xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei iiei
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii i
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
kp kq kr
pk
eijk ekqr
iq jq
ir jr
iq jr ir jq
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 eijk a1ia2 j a3k eijk ai1a j2ak3
张量分析翻译 英文原文
TensorTensors are geometric objects that describe linearrelations between vectors, scalars, and other tensors.Elementary examples of such relations include thedot product, the cross product, and linearmaps.Vectors and scalars themselves are also tensors.A tensor can be represented as a multi-dimensionalarray of numerical values. The order (also degree orrank )of a tensor is the dimensionality of the arrayneeded to represent it, or equivalently, the number ofindices needed to label a component of that array. For example, a linear map can be represented by a matrix, a 2-dimensional array, and therefore is a 2nd-order tensor. A vector can be represented as a 1-dimensional array and is a1st-order tensor. Scalars are single numbers andare thus 0th-order tensors.Tensors are used to represent correspondences between sets of geometric vectors. For example, the Cauchy stress tensor T takes a direction v as input and produces the stress T (v ) on the surfacenormal to this vector for output thus expressinga relationship between these two vectors, shown in the figure (right).Because they express a relationship between vectors, tensors themselves must beindependent of a particular choice of coordinate system. Taking a coordinate basis or frame of reference and applying the tensor to it results in an organized multidimensional array representing the tensor in that basis, or frame of reference. The coordinate independence of a tensor then takes the form of a "covariant" transformation law that relates the array computed in one coordinate system to that computed in another one. This transformation law is considered to be built into the notion of a tensor in a geometric or physical setting, and the precise form of the transformation law determines the type (or valence ) of the tensor.Tensors are important in physics because they provide a concise mathematical framework for formulating and solving physics problems in areas such as elasticity, fluid mechanics, and general relativity. Tensors were first conceived by Tullio Levi-Civita and Gregorio Ricci-Curbastro, who continued the earlier work of Bernhard Riemann and Elwin Bruno Christoffel and others, as part of the absolute differential calculus . The concept enabled an alternative formulation of the intrinsic differential geometry of a manifold in the form of the Riemann curvature tensor.[1] Cauchy stress tenso r , a second-order tensor. The tensor's components, in a three-dimensional Cartesian coordinate system, form the matrix whose columns are the stresses (forces per unit area) acting on the e 1, e 2, and e 3 faces of the cube.HistoryThe concepts of later tensor analysis arose from the work of Carl Friedrich Gauss in differential geometry, and the formulation was much influenced by the theory of algebraic forms and invariants developed during the middle of the nineteenth century.[2]The word "tensor" itself was introduced in 1846 by William Rowan Hamilton[3] to describe something different from what is now meant by a tensor.[Note 1] The contemporary usage was brought in by Woldemar V oigt in 1898.[4]Tensor calculus was developed around 1890 by Gregorio Ricci-Curbastro under the title absolute differential calculus, and originally presented by Ricci in 1892.[5] It was made accessible to many mathematicians by the publication of Ricci and Tullio Levi-Civita's 1900 classic text Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (Methods of absolute differential calculus and their applications).[6]In the 20th century, the subject came to be known as tensor analysis, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's theory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them, with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann.[7]Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915–17, and was characterized by mutual respect:I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot.—Albert Einstein, The Italian Mathematicians of Relativity[8]Tensors were also found to be useful in other fields such as continuum mechanics. Some well-known examples of tensors in differential geometry are quadratic forms such as metric tensors, and the Riemann curvature tensor. The exterior algebra of Hermann Grassmann, from the middle of the nineteenth century, is itself a tensor theory, and highly geometric, but it was some time before it was seen, with the theory of differential forms, as naturally unified with tensor calculus. The work of Élie Cartan made differential forms one of the basic kinds of tensors used in mathematics. From about the 1920s onwards, it was realised that tensors play a basic role in algebraic topology (for example in the Künneth theorem).[citation needed] Correspondingly there are types of tensors at work in many branches of abstract algebra, particularly in homological algebra and representation theory. Multilinear algebra can be developed in greater generality than for scalars coming from a field, but the theory is then certainly less geometric, and computations more technical and less algorithmic.[clarification needed]Tensors are generalized within category theory bymeans of the concept of monoidal category, from the 1960s.DefinitionThere are several approaches to defining tensors. Although seemingly different, the approaches just describe the same geometric concept using different languages and at different levels of abstraction.As multidimensional arraysJust as a scalar is described by a single number, and a vector with respect to a given basis is described by an array of one dimension, any tensor with respect to a basis is described by a multidimensional array. The numbers in the array are known as the scalar components of the tensor or simply its components.They are denoted by indices giving their position in the array, in subscript and superscript, after the symbolic name of the tensor. The total number of indices required to uniquely select each component is equal to the dimension of the array, and is called the order or the rank of the tensor.[Note 2]For example, the entries of an order 2 tensor T would be denoted T ij, where i and j are indices running from 1 to the dimension of the related vector space.[Note 3]Just as the components of a vector change when we change the basis of the vector space, the entries of a tensor also change under such a transformation. Each tensor comes equipped with a transformation law that details how the components of the tensor respond to a change of basis. The components of a vector can respond in two distinct ways to a change of basis (see covariance and contravariance of vectors),where the new basis vectors are expressed in terms of the old basis vectors as,where R i j is a matrix and in the second expression the summation sign was suppressed (a notational convenience introduced by Einstein that will be used throughout this article). The components, v i, of a regular (or column) vector, v, transform with the inverse of the matrix R,where the hat denotes the components in the new basis. While the components, w i, of a covector (or row vector), w transform with the matrix R itself,The components of a tensor transform in a similar manner with a transformation matrix for each index. If an index transforms like a vector with the inverse of the basis transformation, it is called contravariant and is traditionally denoted with an upper index, while an index that transforms with the basis transformation itself is called covariant and is denoted with a lower index. The transformation law for an order-m tensor with n contravariant indices and m−n covariant indices is thus given as,Such a tensor is said to be of order or type (n,m−n).[Note 4] This discussion motivates the following formal definition:[9]Definition. A tensor of type (n, m−n) is an assignment of a multidimensional arrayto each basis f = (e1,...,e N) such that, if we apply the change of basisthen the multidimensional array obeys the transformation lawThe definition of a tensor as a multidimensional array satisfying a transformation law traces back to the work of Ricci.[1]Nowadays, this definition is still used in some physics and engineering text books.[10][11]Tensor fieldsMain article: Tensor fieldIn many applications, especially in differential geometry and physics, it is natural to consider a tensor with components which are functions. This was, in fact, the setting of Ricci's original work. In modern mathematical terminology such an object is called a tensor field, but they are often simply referred to as tensors themselves.[1]In this context the defining transformation law takes a different form. The "basis" for the tensor field is determined by the coordinates of the underlying space, and thedefining transformation law is expressed in terms of partial derivatives of thecoordinate functions, , defining a coordinate transformation,[1]As multilinear mapsA downside to the definition of a tensor using the multidimensional array approach is that it is not apparent from the definition that the defined object is indeed basis independent, as is expected from an intrinsically geometric object. Although it is possible to show that transformation laws indeed ensure independence from the basis, sometimes a more intrinsic definition is preferred. One approach is to define a tensor as a multilinear map. In that approach a type (n,m) tensor T is defined as a map,where V is a vector space and V* is the corresponding dual space of covectors, which is linear in each of its arguments.By applying a multilinear map T of type (n,m) to a basis {e j} for V and a canonical cobasis {εi} for V*,an n+m dimensional array of components can be obtained. A different choice of basis will yield different components. But, because T is linear in all of its arguments, the components satisfy the tensor transformation law used in the multilinear array definition. The multidimensional array of components of T thus form a tensor according to that definition. Moreover, such an array can be realised as the components of some multilinear map T. This motivates viewing multilinear maps as the intrinsic objects underlying tensors.Using tensor productsMain article: Tensor (intrinsic definition)For some mathematical applications, a more abstract approach is sometimes useful. This can be achieved by defining tensors in terms of elements of tensor products of vector spaces, which in turn are defined through a universal property. A type (n,m) tensor is defined in this context as an element of the tensor product of vectorspaces,[12]If v i is a basis of V and w j is a basis of W, then the tensor product has anatural basis . The components of a tensor T are the coefficients of the tensor with respect to the basis obtained from a basis {e i} for V and its dual {εj}, i.e.Using the properties of the tensor product, it can be shown that these components satisfy the transformation law for a type (m,n) tensor. Moreover, the universal property of the tensor product gives a 1-to-1 correspondence between tensors defined in this way and tensors defined as multilinear maps.OperationsThere are a number of basic operations that may be conducted on tensors that again produce a tensor. The linear nature of tensor implies that two tensors of the same type may be added together, and that tensors may be multiplied by a scalar with results analogous to the scaling of a vector. On components, these operations are simply performed component for component. These operations do not change the type of the tensor, however there also exist operations that change the type of the tensors.Raising or lowering an indexMain article: Raising and lowering indicesWhen a vector space is equipped with an inner product (or metric as it is often called in this context), operations can be defined that convert a contravariant (upper) index into a covariant (lower) index and vice versa. A metric itself is a (symmetric) (0,2)-tensor, it is thus possible to contract an upper index of a tensor with one of lower indices of the metric. This produces a new tensor with the same index structure as the previous, but with lower index in the position of the contracted upper index. This operation is quite graphically known as lowering an index.Conversely the matrix inverse of the metric can be defined, which behaves as a (2,0)-tensor. This inverse metric can be contracted with a lower index to produce an upper index. This operation is called raising an index.ApplicationsContinuum mechanicsImportant examples are provided by continuum mechanics. The stresses inside a solid body or fluid are described by a tensor. The stress tensor and strain tensor are both second order tensors, and are related in a general linear elastic material by a fourth-order elasticity tensor. In detail, the tensor quantifying stress in a 3-dimensional solid object has components that can be conveniently represented as a 3×3 array. The three faces of a cube-shaped infinitesimal volume segment of the solid are each subject to some given force. The force's vector components are also three in number. Thus, 3×3, or 9 components are required to describe the stress at this cube-shaped infinitesimal segment. Within the bounds of this solid is a whole mass of varying stress quantities, each requiring 9 quantities to describe. Thus, a second order tensor is needed.If a particular surface element inside the material is singled out, the material on one side of the surface will apply a force on the other side. In general, this force will not be orthogonal to the surface, but it will depend on the orientation of the surface in a linear manner. This is described by a tensor of type (2,0), in linear elasticity, or more precisely by a tensor field of type (2,0), since the stresses may vary from point to point.Other examples from physicsCommon applications include∙Electromagnetic tensor(or Faraday's tensor) in electromagnetism∙Finite deformation tensors for describing deformations and strain tensor for strain in continuum mechanics∙Permittivity and electric susceptibility are tensors in anisotropic media∙Four-tensorsin general relativity (e.g. stress-energy tensor), used to represent momentum fluxes∙Spherical tensor operators are the eigen functions of the quantum angular momentum operator in spherical coordinates∙Diffusion tensors, the basis of Diffusion Tensor Imaging, represent rates of diffusion in biologic environments∙Quantum Mechanicsand Quantum Computing utilise tensor products for combination of quantum statesApplications of tensors of order > 2The concept of a tensor of order two is often conflated with that of a matrix. Tensors of higher order do however capture ideas important in science and engineering, as has been shown successively in numerous areas as they develop. This happens, for instance, in the field of computer vision, with the trifocal tensor generalizing the fundamental matrix.The field of nonlinear optics studies the changes to material polarization density underextreme electric fields. The polarization waves generated are related to the generating electric fields through the nonlinear susceptibility tensor. If the polarization P is not linearly proportional to the electric field E, the medium is termed nonlinear. To a good approximation (for sufficiently weak fields, assuming no permanent dipole moments are present), P is given by a Taylor series in E whose coefficients are the nonlinear susceptibilities:Here is the linear susceptibility, gives the Pockels effect and secondharmonic generation, and gives the Kerr effect. This expansion shows the way higher-order tensors arise naturally in the subject matter.Generalizations[edit]Tensors in infinite dimensionsThe notion of a tensor can be generalized in a variety of ways to infinite dimensions. One, for instance, is via the tensor product of Hilbert spaces.[15]Another way of generalizing the idea of tensor, common in nonlinear analysis, is via the multilinear maps definition where instead of using finite-dimensional vector spaces and their algebraic duals, one uses infinite-dimensional Banach spaces and their continuous dual.[16] Tensors thus live naturally on Banach manifolds.[17]Tensor densitiesMain article: Tensor densityIt is also possible for a tensor field to have a "density". A tensor with density r transforms as an ordinary tensor under coordinate transformations, except that it is also multiplied by the determinant of the Jacobian to the r th power.[18] Invariantly, in the language of multilinear algebra, one can think of tensor densities as multilinear maps taking their values in a density bundle such as the (1-dimensional) space of n-forms (where n is the dimension of the space), as opposed to taking their values in just R. Higher "weights" then just correspond to taking additional tensor products with this space in the range.In the language of vector bundles, the determinant bundle of the tangent bundle is a line bundle that can be used to 'twist' other bundles r times. While locally the more general transformation law can indeed be used to recognise these tensors, there is aglobal question that arises, reflecting that in the transformation law one may write either the Jacobian determinant, or its absolute value. Non-integral powers of the (positive) transition functions of the bundle of densities make sense, so that the weight of a density, in that sense, is not restricted to integer values.Restricting to changes of coordinates with positive Jacobian determinant is possible on orientable manifolds, because there is a consistent global way to eliminate the minus signs; but otherwise the line bundle of densities and the line bundle of n-forms are distinct. For more on the intrinsic meaning, see density on a manifold.SpinorsMain article: SpinorStarting with an orthonormal coordinate system, a tensor transforms in a certain way when a rotation is applied. However, there is additional structure to the group of rotations that is not exhibited by the transformation law for tensors: see orientation entanglementand plate trick. Mathematically, the rotation group is not simply connected. Spinors are mathematical objects that generalize the transformation law for tensors in a way that is sensitive to this fact.Einstein summation conventionThe Einstein summation convention dispenses with writing summation signs, leaving the summation implicit. Any repeated index symbol is summed over: if the index i is used twice in a given term of a tensor expression, it means that the term is to be summed for all i. Several distinct pairs of indices may be summed this way.。
张量分析3
2.9克里斯托弗尔符号 ij i g j gkk ig j gkrgr gkr ig j g r gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk g kr ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把 i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk 0 ， ij 0k(2.9.10)k ij ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故 ijk 0 和 (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。
事实上，由于g ij , k gk 0。
ig j 这里分解系数 ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。
在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p 和 表示。
ij gigj kgi gj g i k gj kij kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i ijk ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j jki jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk 1 2 g k ijp kp k ijk i g j g kk ij ig j ggkrjk , i g ki , j gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。
(完整版)张量分析中文翻译
张量张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性关系的几何对象。
这种关系最基本的例子就是点积、叉积和线性映射。
矢量和标量本身也是张量。
张量可以用多维数值阵列来表示。
张量的阶（也称度或秩）表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。
例如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该阵列是一个二阶张量。
矢量可以通过一维阵列表示，所以其是一阶张量。
标量是单一数值，它是0阶张量。
张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。
例如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。
因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。
取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。
张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。
这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。
张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。
张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。
张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。
历史现今张量分析的概念源于卡尔•弗里德里希•高斯在微分几何的工作，概念的制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。
“tensor ”这个单词在1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。
[注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。
“张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。
张量分析总结[范文]
![张量分析总结[范文]](https://img.taocdn.com/s3/m/d287c132fd4ffe4733687e21af45b307e971f94b.png)
张量分析总结[范文]第一篇：张量分析总结[范文]中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 1 页一、知识总结张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。
性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。
例：A11x1+A12x2+A13x3=B1A21x1+A22x2+A23x3=B2 A31x1+A32x2+A33x3=B3式(1.1)可简单的表示为下式：(1.1)Aijxj=Bi(1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。
特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。
在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。
1.2 Kronecker符号定义δij为：δij=⎨⎧1,i=j0,i≠j⎩(1.3)δij的矩阵形式为：⎡100⎤⎥δij=⎢010⎢⎥⎢⎣001⎥⎦(1.4)可知δijδij=δii=δjj=3。
δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。
如：δijδjk=δikδijδjkδkl=δil(1.5)中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 2 页δij的作用：更换指标、选择求和。
1.3 Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：⎧1,i,j,k为偶排列⎪lijk=⎨-1,i,j,k为奇排列⎪0,其余情况⎩(1.6)图1.1 i,j,k排列图lijk的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。
Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为ei，新坐标系的基矢为ei'。
张量分析 陈国荣 徐芝纶
8
gi j ,k k ( gi g j ) k gi g j k g j gi
g j k ,i i ( g j gk ) i g j gk i gk g j
（ａ） （ｂ） （ｃ）
gk i, j j ( gk gi ) j gk gi j gi gk
2
g i j 称为度量张量
r r ds dr.dr . dxi dxj gij dxi dxj xi x j
2
例1
求圆柱坐标系的自然基 gi 和度量张量g i j
空间任意点的向径为
r r cos e1 r sin e 2 ze 3 r g1 cos e1 sin e 2 r r g2 r sin e1 r cos e 2 r g3 e3 z
（b）＋（c）－（a），并考虑到
k gi g j i gk g j
得到
1 i g j g k ( g j k ,i g k i , j g i j ,k ) 2
9
1 1 1 i j k [ ( g j k ,i g k i , j g i j ,k ) g j j ( )g jk ] xi g j j gii g j j g k k 2
张量分析-第2讲
张量分析 ( Tensor analysis)
华中科技大学力学系 罗俊
版权所有 2011 华中科技大学力学系
1
1.5 坐标变换
已知某物理量或数学物理方程在一个坐标系的表达式, 求它在其它坐标系的相应形式。 旧坐标系 新坐标系
10
3. n阶张量 设物理量T共有3 个分量，且满足坐标变换关系:
n
T
' ' i1 i n
T
' ' i1 in
' i1 j1
' i2 j2
' in j2
j1 j n
则称T为n阶张量。 T
称为n阶张量T的逆变分量。
总共多少种分量? 每种多少个分量? 坐标变换关系如何写? 指标升降关系如何写?
T ab 是二阶张量，将a, b在基矢上分解 :
T ab a i g i b j g j ai g i b j g j a i b j g i g j ai b j g i g j
相应地:
T T g i g Ti g g j T g i g j Tij g g
5
坐标变换系数求法
协变变换 旧---新
j x i 'j i ' x
j' x i j ' i x
逆变变换
i' x ij ' j x
i x ij ' j ' x
互逆
新---旧
4. 矢量分量的坐标变换关系 根据基矢的坐标变换关系可以得到矢量分量的坐标变 换关系:
连续介质力学第二章new
T T
3、散度
矢量场的散度，为标量 矢量场的左散度定义为：
r r diva a
u r ur 原式 ( i ei )( a j e j )
i a jij i ai
1a1 2 a2 3a3
ax ay az x y z
ekjp j Tik
一 般
T T
小
结： 哈密顿算子
u r i ei
梯
度
u r gradf f ei i f
散
度
r r diva a i ai
curla a
旋
度
2.2
定义：
克里斯托弗尔符号
在基矢量组 g 1，g 2 ，g 3中把 i g j 按下式分解
r ir g
r ir
i g
g
i log g
k k 由于 l g j g ，故有
i g j g k i g j g k i g k g j 0
于是
i g k g j ijk
i g j ipj g p
T pk e p e k
其中：
T pk
e jip j Tik
右旋度定义为：
c url T T
Tik e i e k e j
e kjp j Tik e i e k
T ip e i e p
其中：
j
T ip
i g j ijp g p
ig j pij g p
这里分解系数 ijp和 ij分别称为第一类和第二类克 里斯托弗尔(Christoffel ijk关于指标i和j对称。
张量概念及其基本运算.
1,
ij
0,
当i j时； 或： 当i j时；
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
ij 的作用与计算示例如下：
(1) ii 11 22 33 3
(2) ij ij (11)2 ( 22 )2 ( 33 )2 3
u3 x3
ai2i ai2i a121 a222 a323 i 1
ii
2
3
ii
2
( 11
22
33 )2
i1
33
ijij
ij ij
i1 j1
1111 12 12 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j
4.张量的基本运算
A、张量的加减：
张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：
Байду номын сангаас
a11 a12 a13
aij a21
a22
a23
a31 a32 a33
凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。 即：
张量概念及其基本运算
tensor单词记忆
tensor单词记忆1. 定义与释义- 单词：tensor- 1.1词性：名词- 1.2中文释义：张量，是一个在多个线性代数、物理和工程等领域广泛使用的数学概念，是向量和矩阵概念的推广。
- 1.3英文释义：In mathematics and physics, a tensor is a geometric object that maps in a multi - linear fashion.- 1.4相关词汇：tensor product（张量积，近义词）、tensor field（张量场，派生词）。
2. 起源与背景- 2.1词源：“tensor”源于拉丁语“tensus”，有拉伸的意思。
最初在数学和物理学的发展过程中，为了描述具有多个线性关系的量而被定义。
- 2.2趣闻：在爱因斯坦的广义相对论中，张量被广泛使用来描述时空的弯曲等复杂概念。
如果没有张量这个数学工具，爱因斯坦很难准确地用数学公式表达他关于时空和引力的伟大理论。
3. 常用搭配与短语- 3.1短语：- tensor analysis：张量分析。
例句：Tensor analysis is very important in modern theoretical physics.翻译：张量分析在现代理论物理中非常重要。
- tensor algebra：张量代数。
例句：He is studying tensor algebra to solve the complex problems in his research.翻译：他正在学习张量代数以解决他研究中的复杂问题。
- second - order tensor：二阶张量。
例句：The stress in a material can be represented by a second - order tensor.翻译：材料中的应力可以用二阶张量来表示。
4. 实用片段- （1）. “I'm having a hard time understanding this tensor concept in my math class. It seems so abstract.” John complained to his friend. His friend replied, “Well, you can start with the basic examples of vectors and matrices, since tensors are just a generalization of them.”翻译：“我在数学课上理解张量这个概念好难啊，它看起来太抽象了。
张量概念及其基本运算.
ii
2
3
ii
2
( 11
22
33 )2
i1
33
ijij
ij ij
i1 j1
1111 12 12 1313
物理量，可是标量加上向量都不能完整地表达所有 的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就 必须扩大，于是张量就出现了。
2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。
u3 x3
(3) ij jk i11k i2 2k i3 3k ik
(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii
(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
3.求和约定
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和， 这就叫做求和约定。 例如：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
3
aijbj aijbj ai1b1 ai2b2 ai3b3 j 1 3
1,
ij
0,
当i j时； 或： 当i j时；
1 0 0
ij 0 1 0
张量分析简介
ji,j fii 0
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值， 关系式将始终成立。
例如：表达式 xi aij x j
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
xx21
a11x1 a21x1
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
a1jxj a2jxj
x3 a31x1 a32x2 a33x3 a3jxj
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指 标应防止重名。
ji, j fi 0
★ 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现 的同名自由指标全部改成同一个新名字。
ji, j fi 0 i 换成k jk, j fk 0
张量基本概念
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
26
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
42
坐标与坐标转换
➢ 笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)
r ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x ie i
ei ej eijkek 而对于左手系，有： ei ej eijkek
e3 e2
e3 e1
e1
e2
32
符号ij 与erst
2. 矢量的点积：
ab(ajej)(bkek)ajbk(ej ek)
《张量分析》报告(最新整理)
。从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。
设 为三维区域 中的向量场，关于 的左右散度为
， 从上面两式可以看出向量的左右散度相等。
关于向量场 的左右旋度为
，
对于 的左右旋度，有关系式
。
标量场 的 Laplace 算子 为，
向量场 的 Gauss 公式为
其中 为区域 的边界曲面， 外法向量。
向量场 的 Stokes 公式为
， 为 上的单位
这里 为任意曲面， 为 的边界曲线，在边界 上积分 的环向与 的外法向 依右手定向规则： 指向观察者，从观察者 来看，曲线沿反时针为正。
第二部分 张量的简单运用
张量分析在许多领域有着广泛的应用，现在所学的弹塑性力学就 有简单的运用介绍，而且张量分析在岩石流变中的应用也非常有意 义。
对称张量之和，即：
Cij Aij Bij
Aij
1 2
C ij
C ji
Aji
Bij
1 2
C ij
C ji
1 2
C ji
Cij
B ji
4）高阶张量的对称和反对称
高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置
换张量，它关于任一对下标是反对称的：
ijk jik ,ijk ikj ,ijk kji
2.3 张量的乘法
两个张量的外积是将它们的分量相乘。这样的运算产生一个新张
量，其阶数是相乘两张量的阶数之和。
设 Aij 、 Bk 是张量，则外积
Cikj Aij Bk
Aˆij y
Amn
x
x m y i
x n y j
Aˆij yBˆ k y
y k xl
x m y i
张量概念及其基本运算.
◆ 如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则
算子 i作用的结果，将产生一个新的升高一阶
的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号，
则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。
例如：
'i
xi
x1
,
x2
,
x3
ui 'i
ui xi
u1 x1
u2 x2
aii2 a121 a222 a323
(aii )2 (a11 a22 a33 )2
★ 关于自由标号：
◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同，
即同阶且标号字母相同。
◆自由标号的数量确定了张量的阶次。
★ 关于Kronecker delta（ ）符号： ij ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号 （或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：
aij bij cij
其中各分量（元素）为：
aij bij cij
B、张量的乘积
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的
每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积
ai2i ai2i a121 a222 a323 i 1
ii
2
3
iiBiblioteka 2 ( 11 22
33 )2
i1
33
ijij
ij ij
i1 j1
1111 12 12 1313
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
柯西应力张量是一个二阶张量。
该张量的元素在三维笛
，其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，
指数之间的变换规律如下：
11111111,,,,11,,,,=n
n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++⋅⋅⋅∧⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）（）这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。
定义：（n,m-n
）型的张量是多线性映射的分配，即：
对于基f=(e 1,...,e N )
是如此，如果应用如下基变换
多维阵列变成“协变”规律形式
11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ]
n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。
如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。
张量场
在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。
事实上，这只是Ricci 早期的工作。
在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。
本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示，
，定义如下坐标变换
多线性映射
有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。
尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。
一种方法是张量定义成多线性映射。
这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。
copies copies
:,
n m T V V V V R **⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯→ 式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。
通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即：
1111(,,,,)i in i in j jm
j jm T T e e εε⋅⋅⋅⋅⋅⋅≡⋅⋅⋅⋅⋅⋅
就可以得到n+m 维阵列。
选择不同的基底会产生不同的元素组成。
但是，由于T 的所有变元都是线性的，所以在多线性阵列定义中，T 的元素都满足“协变”规律。
根据这种定义，T 的多线性阵列元素就组成了一个张量。
更重要的是，这样的阵列可以用多线性映射T 的一些元素表示。
使用张量积
在有些数学应用中，更抽象的方法有时候更适用。
这种更抽象的方法可以通过定义矢量空间张量积的元素来实现，反过来，向量空间的泛性质也就被定义了。
（n,m ）型的张量就可以用矢量空间张量积的形式定义了，即：
n copies m copies
T V V V V **∈⊗⋅⋅⋅⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗
如果V 1是V 的基，W 1是W 的基，那么张量积V W ⊗自然就有了基底i j V W ⊗。
张量T 的元素是张量关于V 的基{e 1}和共轭基{ε1}的系数，即：
1111n m m n
i i j j j j i i T T e e εε⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⊗⋅⋅⋅⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗在使用张量积的特性中我们可以看到，这些元素满足（n,m ）型张量“协变”规律。
另外，张量积的泛性质使得这种定义下的张量和多线性映射定义的张量呈现一对一的对应关系。
运算
张量可以进行多项基本运算，这些运算也可以产生张量。
张量的线性特性表明两个同类型的张量可以相加，张量也可以与标量相乘，其结果与矢量的标量化类似。
这些运算作用在张量元素上时，结果也只反应在元素上。
这些运算并不改变张量的类型，当然，也存在可以改变张量类型的运算。
升阶或降阶
当矢量空间可以进行内积（或者是本文提到的矩阵），张量的运算定义为把高阶逆变指标转换成低阶的协变指标，反之亦然。
这种度量本身就是对称的（0,2）-张量，因此可以合并张量的高阶指标和度量的低阶指标。
和之前一样，这样就生成了一个新的张量，低阶指标取代了高阶指标。
这种运算就是降阶运算。
反过来，可以定义度量该运算的矩阵，该矩阵起到（2,0）张量的作用。
这种反度量可以把低阶指标转化成高阶指标。
应用
连续介质力学
连续介质力学提供了很重要的例子。
固体或流体力学中的应力用张量来表示。
应力张量和应变张量都是二阶张量，二者通过线性弹性材料中的四阶弹性张量联系起来。
详细一点来讲，固体力学中的三维应力张量中的元素都是3×3阵列。
固体中取有限体积元素，其中的三个面都受到给定力的作用。
力矢量的元素都含有三个数。
因此，可以用3×3或是9个元素来描述正方体有限体积元受到的应力。
固体边界内受到的是整个的应力（值不同），每一个应力需要9个量来
描述。
所以，使用二阶张量就显得很有必要了。
如果材料内部有一个特殊表面单列出来，材料的一个面就会在另一个面上施加一个力。
一般情况下，这个力不会正交于表面，但是会取决于这个面在线性方法中的方位。
在线性弹性力学中，这个力用(2,0)型张量表示，或者用更加精确的(2,0)型张量场表示，因为节点与节点之间的应力会不同。
物理中的其他例子
常规应用包括
•电磁学当中的电磁场张量（法拉第张量）
•描述变形的有限变形张量和描述连续介质应变的应变张量
•各向异性介质中的电容率和磁化率
•用来描述动量流率的广义相对四阶张量
•球面坐标中的球面张量算子是量子论动量算子的本征函数
•扩散张量成像技术中的扩散张量代表了生物环境的扩散率
•量子力学和量子计算中使用张量积来凝聚量子态
二阶以上张量的应用
二阶张量的概念通常和一个矩阵合并起来。
高阶张量随着自身的发展的确能够提取在科学和工程上的重要的构想，而且在很多领域已经被成功的展现出来。
例如，在计算机视觉领域的三焦张量归纳基础矩阵方面已经有所展现。
非线性光学领域研究了在极电场条件下材料极化的转变。
极波的产生主要与在非线性磁化率张量条件下电场的产生有关。
如果P极化与E电场不是直线对称，该媒介被称为非线性。
对于好的相似（在充分弱电场条件下，假定不存在永久偶极子），P极化由泰勒级数在E电场条件下给定，该E电场系数是非线性磁化率：
公式中是线性磁化率，代表波克尔斯效应和二次谐波振动，代表克尔效应。
该扩展展示出了高阶张量在主题上的出现的方式。
概括
无限维下的张量
在无限维条件下，张量的概念可以通过多种方式概括出来。
例如，一种是通过希尔伯特空间的张量积。
另外一种张量总结的方式，在非线性分析中常见，是通过多线性管理系统定义在这里代替使用有限维矢量空间和它们代数双数，一种用于无限维巴拿赫空间和它们连续的双数。
张量因此依靠巴拿赫组。
张量密度
张量场也可能有自己的“密度”。
密度为r的普通张量随坐标变换而变换，除非它是随r次方雅克比行列式倍增。
不变地，在多重线性代数中，可以把张量密度认为是多线性映射，其值取密度束，例如，n形态（空间维度为n）的一维空间取值与R中相反。
在该空间里，高“权重”的值采用额外的张量积。
矢量束表示法中，切丛的行列式束是把线性束捻度r次。
一般地，用更普遍情形的变换规律来标记这些张量，因此这就出现了全球性的问题，即在这种规律下，你可以写出雅克比行列式或是它的绝对值。
密度变换函数的非整数项就会有必要，这种情况下密度的权重对整数的值并无严格要求。
在定向流形方面，有可能要限制坐标随雅克比行列式的变化，因为估算判据有一致的方法；但是密度的线性束和n形态的线性束是不同的。
从内在的本质讲，只把密度看在流形上。
旋量
正交坐标系中，运用旋度时，张量变形有特点的方式。
然而，旋度群中有一种并没有通过张量变换规律表现相互来的额外结构：观察定位方向和面。
数学上，旋度群不是简单的联系在一起。
事实上，旋量是数学对象，它起到推广张量变换规律的作用。
爱因斯坦求和约定
爱因斯坦求和约定免去了累加符号的书写，含蓄的表达了加号。
任何重复的指标符号都被概括起来。
如果指标i在一个张量表达式里面出来了两次，这意味着这个术语是为了所有的i的累加。
一些显示的指标可以通过这种方式累加。