张量分析中文翻译(最新整理)

柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛

，其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，

指数之间的变换规律如下：

11111111,,,,11,,,,=n

n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++⋅⋅⋅∧⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）（）这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。

定义：（n,m-n

）型的张量是多线性映射的分配，即：

对于基f=(e 1,...,e N )

是如此，如果应用如下基变换

多维阵列变成“协变”规律形式

11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ]

n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。

张量场

在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。

本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示，

，定义如下坐标变换

多线性映射

有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。

copies copies

:,

n m T V V V V R **⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯→ 式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。

通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即：

1111(,,,,)i in i in j jm

j jm T T e e εε⋅⋅⋅⋅⋅⋅≡⋅⋅⋅⋅⋅⋅

就可以得到n+m 维阵列。选择不同的基底会产生不同的元素组成。但是，由于T 的所有变元都是线性的，所以在多线性阵列定义中，T 的元素都满足“协变”规律。根据这种定义，T 的多线性阵列元素就组成了一个张量。更重要的是，这样的阵列可以用多线性映射T 的一些元素表示。

使用张量积

在有些数学应用中，更抽象的方法有时候更适用。这种更抽象的方法可以通过定义矢量空间张量积的元素来实现，反过来，向量空间的泛性质也就被定义了。（n,m ）型的张量就可以用矢量空间张量积的形式定义了，即：

n copies m copies

T V V V V **∈⊗⋅⋅⋅⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗

如果V 1是V 的基，W 1是W 的基，那么张量积V W ⊗自然就有了基底i j V W ⊗。

张量T 的元素是张量关于V 的基{e 1}和共轭基{ε1}的系数，即：

1111n m m n

i i j j j j i i T T e e εε⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⊗⋅⋅⋅⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗在使用张量积的特性中我们可以看到，这些元素满足（n,m ）型张量“协变”规律。另外，张量积的泛性质使得这种定义下的张量和多线性映射定义的张量呈现一对一的对应关系。

运算

张量可以进行多项基本运算，这些运算也可以产生张量。张量的线性特性表明两个同类型的张量可以相加，张量也可以与标量相乘，其结果与矢量的标量化类似。这些运算作用在张量元素上时，结果也只反应在元素上。这些运算并不改变张量的类型，当然，也存在可以改变张量类型的运算。

升阶或降阶

当矢量空间可以进行内积（或者是本文提到的矩阵），张量的运算定义为把高阶逆变指标转换成低阶的协变指标，反之亦然。这种度量本身就是对称的（0,2）-张量，因此可以合并张量的高阶指标和度量的低阶指标。和之前一样，这样就生成了一个新的张量，低阶指标取代了高阶指标。这种运算就是降阶运算。

反过来，可以定义度量该运算的矩阵，该矩阵起到（2,0）张量的作用。这种反度量可以把低阶指标转化成高阶指标。

应用

连续介质力学

连续介质力学提供了很重要的例子。固体或流体力学中的应力用张量来表示。应力张量和应变张量都是二阶张量，二者通过线性弹性材料中的四阶弹性张量联系起来。详细一点来讲，固体力学中的三维应力张量中的元素都是3×3阵列。固体中取有限体积元素，其中的三个面都受到给定力的作用。力矢量的元素都含有三个数。因此，可以用3×3或是9个元素来描述正方体有限体积元受到的应力。固体边界内受到的是整个的应力（值不同），每一个应力需要9个量来

描述。所以，使用二阶张量就显得很有必要了。

如果材料内部有一个特殊表面单列出来，材料的一个面就会在另一个面上施加一个力。一般情况下，这个力不会正交于表面，但是会取决于这个面在线性方法中的方位。在线性弹性力学中，这个力用(2,0)型张量表示，或者用更加精确的(2,0)型张量场表示，因为节点与节点之间的应力会不同。

物理中的其他例子

常规应用包括

•电磁学当中的电磁场张量（法拉第张量）

•描述变形的有限变形张量和描述连续介质应变的应变张量

•各向异性介质中的电容率和磁化率

•用来描述动量流率的广义相对四阶张量

•球面坐标中的球面张量算子是量子论动量算子的本征函数

•扩散张量成像技术中的扩散张量代表了生物环境的扩散率

•量子力学和量子计算中使用张量积来凝聚量子态

二阶以上张量的应用

二阶张量的概念通常和一个矩阵合并起来。高阶张量随着自身的发展的确能够提取在科学和工程上的重要的构想，而且在很多领域已经被成功的展现出来。例如，在计算机视觉领域的三焦张量归纳基础矩阵方面已经有所展现。

非线性光学领域研究了在极电场条件下材料极化的转变。极波的产生主要与在非线性磁化率张量条件下电场的产生有关。如果P极化与E电场不是直线对称，该媒介被称为非线性。对于好的相似（在充分弱电场条件下，假定不存在永久偶极子），P极化由泰勒级数在E电场条件下给定，该E电场系数是非线性磁化率：

公式中是线性磁化率，代表波克尔斯效应和二次谐波振动，代表克尔效应。该扩展展示出了高阶张量在主题上的出现的方式。

概括

无限维下的张量

在无限维条件下，张量的概念可以通过多种方式概括出来。例如，一种是通过希尔伯特空间的张量积。另外一种张量总结的方式，在非线性分析中常见，是通过多线性管理系统定义在这里代替使用有限维矢量空间和它们代数双数，一种用于无限维巴拿赫空间和它们连续的双数。张量因此依靠巴拿赫组。

张量密度

张量场也可能有自己的“密度”。密度为r的普通张量随坐标变换而变换，除非它是随r次方雅克比行列式倍增。不变地，在多重线性代数中，可以把张量密度认为是多线性映射，其值取密度束，例如，n形态（空间维度为n）的一维空间取值与R中相反。在该空间里，高“权重”的值采用额外的张量积。