极坐标直角坐标的互化

答案：B
一二
做一做2 在极坐标系中,极坐标
5 2, 4 π
化为直角坐标为
()
A.(1,1)
B.(-1,1)
C.(1,-1) D.(-1,-1)
解析：x=ρcos θ=
2cos54π=
2×
-
2 2
=-1,
y=ρsin θ=
2sin54π=
2×
-
2 2
=-1,
故所求直角坐标为(-1,-1).
答案：D
一二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)任意一个点都有唯一的极坐标. ( × )
(2)若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)关于极点对称.
()
×
(3)直角坐标为(- 3, 3)的点的极坐标一定是
6,
3π 4
.(
×
)
(4)点 M 的极坐标
探究三
思维辨析
变式训练1 在同一个极坐标系中,画出以下各点:
A
1,
π 4
,B
2,
3 2
π
,C
3,-
π 4
,D
4,
9 4
π
.
解：如图.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对称性问题
【例2】
在极坐标系中,点A的极坐标是
π 3, 6
,则
(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是
;
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是
;
(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标
一二
名师点拨将直角坐标化为极坐标时确定ρ和θ的值的方法 由ρ2=x2+y2求ρ时,ρ不取负值.由tan θ= (x≠������������0)确定θ,当x≠0时,θ角 根据点(x,y)所在的象限取最小正角.当x=0时,tan θ没有意义,这时又 分三种情况:(1)当x=0,y=0时,θ可取任何值;(2)当x=0,y>0时,可取θ=
∴θ=34π.
又 ρ= (-π)2 + π2 = 2π,
∴所求点的极坐标为
2π,
3π 4
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)∵tan θ=-43 , π2<θ<π, ∴cos θ=-35,sin θ=45.
∴x=5cos θ=-3,y=5sin θ=4.
∴点M的直角坐标为(-3,4).
答案：(1)
2π,
4,-
π 4
化为直角坐标为(2
2,-2
2). (
)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
极坐标系中点的表示
【例1】 在极坐标系中,作出以下各点:
A(4,0),B
3,
π 4
,C
2,
π 2
,D
3,
7π 4
.
分析：建立极坐标系 作出极角的终边 以极点 O 为圆心, 以极径为半径分别画弧 确定点的位置.
解：如图,A,B,C,D四个点分别是唯一确定的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：(1)①∵tan θ=-1,θ∈[0,2π),点(-1,1)在第二象限,∴θ=34π.
又∵ρ= (-1)2 + 12 = 2,
∴直角坐标(-1,1)化为极坐标为
2,
3π 4
.
②∵tan θ=--13 = 33,θ∈[0,2π),点(- 3,-1)在第三象限,∴θ=76π.
∴点的极坐标
4,
2π 3
化为直角坐标为(-2,2
3).
③∵cos1π2 =
1+cosπ6 2
=
1+ 2
3 2
=
6+ 4
2,
sin1π2 =
1-cosπ6 2
=
1-
3 2
2
=
64
2,
∴x=ρcos θ=4cos
-
π 12
=4cos1π2 =
2+
6,
y=ρsin θ=4sin
-
π 12
=-4sin1π2
6π 的极坐标是
4,-
20π 3
或
4,-
26π 3
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
正 所解以由 ：因题为意点,得A-2π4≤, π3(2的k+极1)坐π+标π3<还0(可k∈以Z为),
-4,(2������
+
1)π
+
π 3
(k∈Z),
解得 k=-1,
故使 ρ<0,-2π≤θ<0 的极坐标是
-4,-
2π 3
个点;极坐标(ρ,θ)与(-ρ,θ+(2k+1)π)(k∈Z)表示同一个点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
在极坐标系中,下列各点中与
π 2, 6
不表示同一个点
的是( )
A.
2,-
11π 6
B.
2,
13π 6
C.
2,
11π 6
D.
2,-
23π 6
解析：与极坐标
2,
π 6
相同的点可以表示为
2,
π 6
是
.(限定ρ>0,0≤θ<2π)
解析：如图,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在
于极角的变化.另外,我们要注意:极角是以x轴正向为始边,按照逆
时针方向得到的.
答案：(1)
3,
11π 6
(2)
3,
7π 6
(3)
3,
5π 6
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟在极坐标系中,点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称的点的极 坐标为(ρ,2kπ-θ)(k∈Z),关于极点对称的点的极坐标为 (ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z),关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极 坐标为(ρ,2kπ+π-θ)(k∈Z).
.
解 所析 以：∠如 OA图B=,因π2-为π6 =|A51O2π|.=|BO|=7,∠AOB=π3
4π 3
(2)(-3,4)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因未正确理解点的极坐标表示而致误
典例导学号已知点A的极坐标是
π 4, 3
,则使ρ<0,-2π≤θ<0的极坐
标是什么?使ρ>0,-10π≤θ<-6π的极坐标是什么?
错解点 A
4,
π 3
的极坐标还可以为
-4,2������π
+
π 3
(k∈Z).于是由-
-8,
7 6
π
,即
8,
π 6
.
答案：A
12345
2.在极坐标系中,若等边三角形 ABC 的两个顶点是 A
2,
π 4
,B
2,
5π 4
,
则可能是顶点 C 的坐标的是( )
A.
4,
3π 4
B.
2
3,
3π 4
C.(2 3,π)
D.(3,π)
解析：如图,由题设,可知A,B两点关于极点O对称,即点O是AB的中
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟由极坐标确定点的位置的步骤 1.取定极点O. 2.作方向为水平向右的射线Ox为极轴. 3.以极点O为顶点,以极轴Ox为始边,通常按逆时针方向旋转极轴 Ox确定出极角的终边. 4.以极点O为圆心,以极径为半径画弧,弧与极角终边的交点即是 所求点的位置.
探究一
探究二
又∵ρ= (- 3)2 + (-1)2=2,
∴直角坐标(-
3,-1)化为极坐标为
2,
7π 6
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)①∵x=ρcos θ=2cosπ6 = 3,y=ρsin θ=2sinπ6=1.
∴点的极坐标
2,
π 6
化为直角坐标为(
3,1).
②∵x=ρcos θ=4cos23π=-2,y=ρsin θ=4sin23π=2 3.
2π≤2kπ+π3<0(k∈Z),得 k=-1,故使 ρ<0,-2π≤θ<0 的极坐标是 -4,-
5π 3
.
由又-10因π≤为(点2k+A1)4π,+π3π3的 <-极6π坐(k∈标Z还),得可以k=为-4
4,(2������
+
1)π
+
π 3
(k∈Z),再
或 k=-5,故使 ρ>0,-10π≤θ<-
π2;(3)当 x=0,y<0 时,可取 θ=32π.
一二
做一做1 点P的直角坐标为(- 2, 2 ),则它的极坐标可表示为
()
A.
2,
π 4
C.
2,
5π 4
B.
2,
3π 4
D.
2,
7π 4
解析：ρ= (- 2)2 + ( 2)2=2,tan θ=- 22=-1,
∵点 P 在第二象限,∴最小正角 θ=34π.
3.将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)时,运用公式 ρ= ������2 + ������2,tan θ=������������(x≠0)即可.在[0,2π)范围内,由 tan θ=������������(x≠0)求 θ 时,要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许 θ∈R,再根据终边相同的角的意义,表示为θ+2kπ,k∈Z即可.
2,
π 4
.
答案：
2,
π 4
探究一
探究二
探究三
思维辨析
点的极坐标与直角坐标的互化 【例3】 (1)分别将下列点的直角坐标化为极坐标 (ρ>0,0≤θ<2π):
①(-1,1);②(- 3,-1).
(2)分别把下列点的极坐标化为直角坐标:
①
2,
π 6
;②
4,
2π 3
;③
4,-
π 12
.
分析：直接利用点的直角坐标和极坐标的互化公式进行转化.
点.
又|AB|=4,△ABC为正三角形,
∴|OC|=2
3,∠AOC=π2,点
C
的极角
θ=π4
+
π 2
=
3π 4
或
5π 4
+
π 2
=
74π,
即点 C 的极坐标为 2
3,
3π 4
或
2
3,
7Βιβλιοθήκη Baidu 4
.
答案：B
12345
3.在极坐标系中,已知直线l过点A
7,
π 3
,B
7,
π 6
,则直线l与极轴所在
直线的夹角等于
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 已知极坐标系中(限定ρ>0,0≤θ<2π),
关于射线OP的对称点的极坐标为
.
P
3,
π 2
,A
2,,则34π点A
解析：如图,因为|OA'|=|OA|=2,∠POA'=∠POA=
3π 4
-
π 2
= π4,
所以∠xOA'=π4,即点 A 关于射线 OP 的对称点的极坐标为
点 M
直角坐标(x,y)
互化 公式
x = ρ������������������θ, y = ρ������������������θ
极坐标(ρ,θ)
ρ2 = x2 + y2, y
������������������θ = x (������ ≠ 0)
在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正 角.
+
2������π
(k∈Z),
只有
2,
11π 6
不合适.
答案：C
12345
1.在极坐标系中,与点
π -8, 6
关于极点对称的点的一个坐标是(
)
A.
8,
π 6
B.
8,-
5 6
π
C.
-8,
5 6
π
D.
-8,-
π 6
解析：点(ρ,θ)关于极点对称的点为(ρ,(2k+1)π+θ),故
-8,
π 6
关于极点
对称的点的一个坐标为
图2
一二
名师点拨建立极坐标系的要素是极点、极轴、单位长度、角度 单位和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射 线,它与极轴所在的直线是有区别的;极角θ的始边是极轴,它的终边 随着θ的大小和正负而取得不同的位置;θ的正方向通常取逆时针方 向,θ的值一般是以弧度为单位的量数;点M的极径ρ表示点M与极点 O之间的距离|OM|,因此ρ≥0,但必要时,允许ρ<0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 (1)直角坐标为(-π,π)的点的极坐标为
(限
定ρ>0,0≤θ<2π).
(2)已知点M的极坐标为(5,θ),且tan θ=-
坐标为
.
4 3
,<π2θ<π,则点M的直角
解析：(1)∵tan θ=-1, ∴当 0≤θ<2π 时,θ=34π或 θ=74π,
又(-π,π)在第二象限,
一二
二、点的极坐标与直角坐标的互化 1.互化的前提条件 如图,建立一个平面直角坐标系,把平面直角坐标系的原点作为 极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相 同的单位长度.
一二
2.互化公式 设点M是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是 (ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表:
§2 极坐标系
一二
一、极坐标系的概念 1.极坐标系的建立 如图1,在平面内取一个定点O,叫作极点,从O点引一条射线Ox,叫 作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样 就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.
图1
一二
2.点的极坐标的规定 (1)如图1,对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以 Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的极径,θ叫作点M的极角, 有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ). 当点M在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值. (2)为了研究问题方便,极径ρ也允许取负值.当ρ<0时,点M(ρ,θ)的 位置可以按下列规则确定:作射线OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延长 线上取一点M,使|OM|=|ρ|,这样点M的坐标就是(ρ,θ),如图2所示.
=
2−
6.
∴点的极坐标
4,-
π 12
化为直角坐标为(
2+
6,
2−
6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条 件:(1)极点与直角坐标系的原点重合;(2)极轴与直角坐标系的x轴的 正半轴重合;(3)两种坐标系的单位长度相同.
2.将点的极坐标(ρ,θ)化为点的直角坐标(x,y)时,运用到求角θ的正 弦值和余弦值,熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角恒等 变换公式是关键.
.
又因为点 A 4, π 的极坐标还可以写成 4,2������π + π (k∈Z),
所以由题意,得-310π≤2kπ+π3<-6π(k∈Z),
3
解得 k=-4 或 k=-5,故使 ρ>0,-10π≤θ<-6π 的极坐标是 4,- 23π 或
3
4,-
29π 3
.
纠错心得在极坐标系中,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一