高数 对坐标的曲线积分 知识点与例题精讲

令 A (P , Q , R), d s (d x , d y , dz)
t (cos , cos , cos )
Ad s At ds
记 A 在 t 上的投影为 At
Ad s
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例6. 设 续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
其中cos

2
(t) (t)
2
(
t
)
,cos


(t)
,
2(t) 2(t)
（可以推广到空间曲线上 ）
类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是 P d x Q d y Rd z
P cos Q cos R cos ds
y)d x

Q(x,
y)d y
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
L P ( x , y )d x Q ( x , y )d y 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! • 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、对坐标的曲线积分的计算法
B
A
a o a x
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
则
L y2 dx


0
a2
sin
2
t
( a sin t )d t
2a 3 2 1 4 a3
3
3
(2) 取 L 的方程为y 0, x : a a ,则
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例7.将积分
化为对弧长的积
分,其中L 沿上半圆周
解： y
2x x2,d y
1 x dx 2x x2
y
ds 1 y2 dx 1 dx
2x x2
o
Bx
2x x2,
1 x
L P( x, y)dx Q( x, y)d y 2x x2
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根据定义
n

lim
0
P(i
i1
,
i
)
xi
设分点 xi 对应参数 ti ,
对应参数 i ,由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) ( i ) ti
n

lim P [
0 i1
L
c
x (t)
(3) 推广

:

y


(t
),
t起点 ,终点 .
z (t)
Pdx Qdy Rdz


{
P[
(t
),
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[ (t ), (t ), (t )] (t )
R[ (t ), (t ), (t )] (t )}dt
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 四、小结 思考题
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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
y L
B
F ( x, y) ( P ( x, y), Q( x, y))
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3. 计算
•
对有向光滑弧
L
:

x y


(t) (t)
,
t :






P
[
(t ),
(t )] (t)

Q
[
(t ),
(t )]

(t )d
t
• 对有向光滑弧 L : y ( x ) , x : a b
ab P [ x, ( x )] Q [ x, ( x )] (x)d x
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3) “近似和”
W

n


P (k
,k
) xk

Q(ξk
,k
)
yk

k 1
4) “取极限”
W lim
n

P(ξk
,
ηk
)Δxk

Q (ξ k
,
ηk
)Δ yk

0 k1
(其中 为 n 个小弧段的
最大长度)
y F ( k , k )
L
M yk k B
M xk k1
A
x
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2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
lim
0
n


k 1
P (k
,k
) xk
Q (k
,k
)
yk

记作
L P ( x , y )d x Q ( x , y )d y
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例3. 计算
其中L为 y
B (1 ,1 )
(1) 抛物线 L : y x 2 , x : 0 1; x y 2
(2) 抛物线
y x2
(3) 有向折线 L : OA AB .
o
A(1,0 ) x
解: (1) 原式

4
1 0
x
3
d
x
(2) 原式 01( 2 y2 y 2 y y4 )d y
在L上连
证:
| L P c o s Q c o s ds |
L | P cos Q cos |ds
设 A (P , Q ), t (cos ,cos )
二者夹角为


L A t ds L A t cos ds
说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.
4. 两类曲线积分的联系 L P d x Q d y
Pd x Qd y Rdz
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思考题
当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给定 之后（例如L：x a cos t ， y a sin t ，
t [0,2]，a是正常数），试问如何表示 L的方


2 0
(1

4
cos
2
t
)
d
t

2

o y
x
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三、两类曲线积分之间的联系
设有向平面曲线弧为L：

x y

(t) ,
(t)
L上点( x, y)处的切线向量的方向角为, ,
则L Pdx Qdy L(P cos Q cos)ds
x

x
d
y

zd
z


2
0
k
t
d
t
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例5. 求
其中
从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 的参数方程
x cos t, y sin t, z 2 cos t sin t ( t : 2 0 ) z
(2 2 cos t sin t )cos t
(3) 原式


1 0
(
2
x

0

x2
0 )d x

01( 2 y
0

1 )d
y
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例4. 设在力场 沿移动到
作用下, 质点由
其中为
z
B
试求力场对质点所作的功. 解: (1)
Ay x


2 0
( R2

k 2t
)d
t
(2) 的参数方程为

AB
yd
A
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移x
动过程中变力所作的功W.
常力沿直线所作的功
F W F | AB | cos
A
B F AB
解决办法: “大化小” “常代变” “近似和”
“取极限”
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1) “大化小”. 把L分成 n 个小弧段,F 沿
特殊情形 (1) L : y y( x) x起点为a，终点为b.
则
b
Pdx Qdy {P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)]y( x)}dx.
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
则
d
Pdx Qdy {P[x( y), y]x( y) Q[x( y), y]}dy.
L x yd x AO x yd x OB x yd x 解法2 取 y 为参数, 则
A(1,1)

2
1 0
x
3 2
d
x

4 5
L x yd x 11 y 2 y( y 2 ) d y
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例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “常代变”
y F ( k , k )
L
M yk k B
Mxk k1
A
x
有向小弧段
用有向线段
近似代替, 在
上任取一点
则有
W k F (k , k ) M k 1M k P (k , k ) xk Q (k , k ) yk
(1 x)
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四、小结
1. 定义
2. 性质

lim
n


0 k1
P (k
,k ) xk
Q(k , k ) yk
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
k


i1
Li
P(
x,
y)d x
Leabharlann Baidu
Q(
x,
y )d
y
(2) L－ 表示 L 的反向弧
L P ( x, y)d x Q( x, y)d y 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!

lim
0
Q(k
k 1
,
k
) yk , 称为对
y
的曲线积分.
若记 d s (d x , d y ), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P ( x , y )d x Q ( x , y )d y 类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , d y , d z )
( i
),
(
i
)]

(
i ) ti
因为L 为光滑弧 ,
n

lim
0
P [
i1
(
i
),
( i
)]
(
i
)ti
P [ (t ), (t )] (t)dt
同理可证
Q [ (t ), (t )] (t)d t
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• 对空间有向光滑弧 :
x (t) y (t), z (t)
t :
P [ (t ), (t ) , (t )] (t )
Q [ (t ), (t ) , (t )] (t )
R [ (t ), (t ) , (t )] (t )d t
向（如 L 表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答
曲线方向由参数的变化方向而定.
例如L：x a cos t ，y a sin t ，t [0,2 ]中
当t 从 0 变到2 时，L取逆时针方向; 反之当t 从2变到 0 时，L取顺时针方向.
练习题
一、 填空题:
1、 对______________的曲线积分与曲线的方向有关；
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
连续,
L
的参数方程为

x y

(t (t
) )
t
:

,
则曲线积分
存在, 且有
P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
证明: 下面先证
P [ (t ), (t )] (t)dt
2、设LP( x, y)dx Q( x, y)dy 0,则
P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
____________；
都存在, 则称此极限为函数
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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n
L
P
(
x,
y )d
x

lim
0
P
k 1
(
k
,
k
) xk , 称为对
x
的曲线积分;
n
L
Q(
x,
y)d
y
F ( x, y, z) (P ( x, y, z), Q ( x, y, z), R( x, y, z))
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3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 L P ( x , y )d x Q ( x , y )d y
k


i1
L
i
P(x,
例1. 计算L x yd x , 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点
A(1, 1 )到 B(1, 1) 的一段.
y B(1,1)
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB AO : y x, x :1 0
y x
OB : y x, x : 0 1
o y x x