数值计算第三章答案
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证明：如果求积公式（）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立.
()()不能成立
对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度
机械求积公式具有机械求积公式也成立
对于线性组合同理可得
机械求积公式都成立
对于证明：
1m 1321321320
000
0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()]
()([)()()]()([)
()()
()()
()()
()()(),(1++++=======∴+⋅
∴⇐∴==∴⇒+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰
∑⎰∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x
bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n
k k k n
k k k b
a
n k k k b
a
n
k k
k
b
a
n
k k k b
a
n
k k k b
a
n
k k k 直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。
右边左边）（时当右边左边）（时当）（公式：次代数精度中矩形公式具有
右边左边时当右边左边时当右边
左边时当中矩形公式：知：解：根据代数精度定义=-=+++--=
==-=+++--==+++-≈
∴≠--+=+--=
==-=+--=
==-=+--==+-≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰;2)()2(4)(6)(;2)()(;)()2(4)(6)(;
)(1)()()2(
4)(6)()(1;4)2()(;3
)()(;2)2()(;2)()(;)2(
)(;)(1)()2
(
)()(222
23223332
222
2a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f a b b f b
a f a f a
b a b dx x f x f b f b
a f a f a
b dx x f Simpson a b a ab b b a f a b a b dx x f x x f a b b a f a b a b dx x f x x f a b b
a f a
b a b dx x f x f b
a f a
b dx x f b a b a b
a b a b a b a b
a
次代数精度
公式具有右边，左边）（时当右边
左边）（时当右边
左边）（时当3;242255)()2(4)(6)(;
5
)()(;4)()2(4)(6)(;4)()(;3)()2(4)(6)(;3)()(2
3432455554
44443
3
3332
Simpon b a ab b a b a a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f b a b a b
a ∴≠--++-=+++--===-=+++--===-=+++--==⎰⎰⎰ 已知数据表
试分别用Simpson 法与复合梯形法计算积分
dx e x ⎰
5
.11
.1.
）
（复合梯形法：由题意知法：解：4817.46693.320042.31.0)]1.1()21.15.1(2)1.1([221
.15.12
47754.1)4817.46693.340042.3(15
1
)]1.1()2
1
.15.1(4)1.1([6)1.15.1(5.11
.15
.11.1+⨯+⨯=+++-≈==+⨯+=
+++-≈
⎰⎰f f f dx e n f f f dx e Simpon x x
若,0)(''>x f 证明用梯形求积公式计算积分dx x f b
a
⎰
)(所得结果比准确值大，并说明几何
意义.
线围成的曲面面积
为该直线与被积函数曲的直线，，梯形插值函数为连接被积函数为严格凸函数几何意义：果比准确值大
梯形求积公式得到的结即）
（为梯形求积公式，则的准确值，为证明：设1''11''''3
11))(,()),(,(0)(00)(,0]
,[)(12
--)(T I b f b a f a x f T I T I x f a b b a f a b T I T dx x f I b
a -∴>∴<<-∴>>-∈-=⎰ ξξ分别用复合梯形法和复合Simpson 法计算积分dx e x ⎰
1
，怎样取n 才能保证计算结算结果有
6位有效数字.