流体动力学

两边同乘以ρgdQ，积分
2 p1 u12 p2 u 2 ∫ z1 + ρg + 2 g ρgdQ = ∫ z 2 + ρg + 2 g + hw ' ρgdQ
（1）势能积分
p p p ∫ z + ρg ρgdQ = z + ρg ∫ ρgdQ = z + ρg ρgQ
第四章
流体动力学
流体运动的连续性方程
1.连续性方程的微分形式
z y o x dmx dz dy dx dmx’
实质：质量守恒
dt时间内x方向： 流入质量 流出质量 净流出质量
dmx = ρu x dydzdt
∂ ( ρu x ) dmx = ρu x + dx dydzdt ∂x ∂ ( ρu x ) ' ∆M x = dmx − dmx = dxdydzdt ∂x
v1 A2 = v2 A2
p1 p2 − z2 + v1 = 2 g z1 + 4 ρg ρg (d1 d 2 ) − 1 1
p1 p2 − z2 + = K ∆h Q = v1 A1 = 2 g z1 + 4 ρg ρg (d1 d 2 ) − 1
1 1 3
2 2 3
4.水头线
总水头线
测压管水头线
水流轴线
基准线
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与 管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
2 v2 H +0+0 = + hw 2g
ρ '− ρ ρ '− ρ u = 2g h → c 2g h ρ ρ
气（ρ） -液（ρ’）
p1 + ρ ' gh = p2 + ρgh
ρ' ρ' u = 2g h → c 2g h ρ ρ
总流的伯努利方程
1.总流的伯努利方程 推导： 元流的伯努利方程
2 p1 u12 p2 u 2 z1 + + = z2 + + + hw ' ρg 2 g ρg 2 g
——能量守恒 3.方程适用范围 恒定流、不可压缩、质量力是重力的元流
4.应用：皮托管测流速
p1 u p2 + = ρg 2 g ρg
p2 p1 h= − ρg ρg
1 2
2
h
u = 2 gh → c 2 gh
c——流速系数（1~1.04）
水（ρ）-水银（ρ’）
p1 + ρ ' gh = p2 + ρgh
u z = −4( x + y ) z
2.连续性方程的积分形式 在dt时间内，流入断面1的流体质量必等
v1 A1 1 A2 v2 2
于流出断面2的流体质量，则
ρ1Q1dt = ρ 2Q2 dt ⇒ ρ1Q1 = ρ 2Q2
——连续性方程的积分形式
ρ1v1 A1 = ρ 2 v2 A2
不可压缩流体 分流时 合流时
= (∇ ⋅ ρu )dxdydzdt = div( ρu )dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
∂ρ div( ρu )dxdydzdt = − dxdydzdt ∂t
∂ρ + div( ρu ) = 0 ∂t
——连续性方程的微分形式
不可压缩流体
1
1 总水头线 H 测压管水头线 0 2 2 0
v2 = 2 g (H − hw ) = 4.43m / s
Q = v2 A2 = 0.35m 3 / s
作水头线
例 文丘里流量计 能量方程（忽略损失）
2 p1 v12 p2 v2 z1 + + = z2 + + ρg 2 g ρg 2 g
连续性方程
（3）物理意义
p z+ ρg
u2 2g
——单位重量流体的总势能（m） ——位置水头+压强水头 ——单位重量流体的动能（m） ——速度水头
p u2 z+ + =c ρg 2 g
单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）
2.粘性流体元流的伯努利方程
2 p1 u12 p2 u 2 z1 + + = z2 + + + hw ' ρg 2 g ρg 2 g
ρ =c
Q = ΣQi ΣQi = Q
Q1 = Q2
v1 A1 = v2 A2
流 函 数
不可压缩平面流场满足连续性方程：
∂u x ∂u y + =0 ∂x ∂y
即：
∂u y ∂u x =− ∂x ∂y
由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x，y）存在的充 要条件
dψ = u x dy − u y dx
联立
2.粘性流体运动微分方程（粘性作用→切应力）
du ∂u f − ∇p + υ∇ u = = + (u ⋅ ∇ )u dt ∂t ρ 1
2
——纳维-斯托克斯方程（N-S方程） 分量式
1 ∂p ∂u x ∂u x ∂u x ∂u x 2 X− + υ∇ u x = + ux + uy + uz ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂u y ∂u y ∂u y ∂u y 1 ∂p 2 Y− + υ∇ u y = + ux + uy + uz ρ ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z
1 ∂p ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z 2 Z− + υ∇ u z = + ux + uy + uz ρ ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z
元流的伯努利方程
1.理想流体元流的伯努利方程Hale Waihona Puke Baidu（1）推导方法一 将（1）、（2）、（3）各式分别乘以dx、dy、 dz，并相加
1 ∂p ∂p ∂p Xdx + Ydy + Zdz − dx + dy + dz ρ ∂x ∂y ∂z
（2）动能积分
u2 u2 1 ρgdQ = ∫ ρgudA = ρg ∫ u 3 dA ∫ 2g 2g 2g
=
αv 3
2g
ρgA =
αv 2
2g
ρgQ
α=
u 3 dA ∫ v A
3
——动能修正系数 紊流α=1.05~1.1≈1
层流α=2
（3）水头损失积分
∫ hw ' ρgdQ = hw ρgQ
2 p1 α1v12 p 2 α 2 v2 z1 + + = z2 + + + hw ρg 2 g ρg 2 g
'
同理： ∆M y =
∂ ( ρu y )
∂y ∂ ( ρu z ) ∆M z = dxdydzdt ∂z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
∂ ( ρu x ) ∂ ( ρu y ) ∂ ( ρu z ) + + ∆M = ∆M x + ∆M y + ∆M z = dxdydzdt ∂y ∂z ∂x
ρ =c
divu = 0
即
∂u x ∂u y ∂u z + + =0 ∂x ∂y ∂z
例：已知速度场
ux =
uy = uz =
(y ρ
1
1
2
− x2
)
ρ
1
(2 xy ) (− 2tz )
ρ
ρ = t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
∂ρ ∂ ( ρu x ) ∂ ( ρu y ) ∂ ( ρu z ) + + + = 2t + (−2 x) + 2 x + (−2t ) = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z
du y du x du z = dx + dy + dz dt dt dt
u2 p → gdz + d + d = 0 ρ 2
积分
u2 gz + + =c ρ 2 p
2 p1 u12 p2 u 2 z1 + + = z2 + + =c ρg 2 g ρg 2 g
⇒ f − 1
ρ
∇p = 0
1 ∂p Z− =0 ρ ∂z
（2）运动微分方程
f − 1
ρ
∇p =
du ∂u = + (u ⋅ ∇ )u dt ∂t
欧拉运动微分方程
分量式
∂u x ∂u x ∂u x 1 ∂p ∂u x X− = + ux + uy + uz ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z
（1） （2） （3）
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处 uz=0，求uz。 解：由 得 积分
∂u x ∂u y ∂u z + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂u z = −4 x − 4 y ∂z
u z = −4( x + y ) z + c
得 c=0
由z=0，uz=0
2 p1 α1v12 p2 α 2 v2 z1 + + + H i = z2 + + + H 0 + hw ρg 2 g ρg 2 g
3.有分流（或汇流）的伯努利方程
2 p1 v12 p 2 v2 z1 + + = z2 + + + hw1→2 ρg 2 g ρg 2 g 2 p3 v3 p1 v12 z1 + + = z3 + + + hw1→3 ρg 2 g ρg 2 g
只有重力 − gdz
p 不可压缩恒定流 − dp = − d ρ ρ 1
2 2 u x + u y + u z2 u2 = d d 2 2
du y du x du z = dx + dy + dz dt dt dt
1 ∂p ∂p ∂p Xdx + Ydy + Zdz − dx + dy + dz ∂y ∂z ρ ∂x
1 1
ΣF = β 2 ρ 2 v2 A2 v2 − β1 ρ1v1 A1v1 = β 2 ρ 2Q2 v2 − β1 ρ1Q1v1
β=
u 2 dA ∫ v A
2
——动量修正系数
层流β=1.33，紊流β=1.05-1.02~1
——总流的伯努利方程
总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别 （1）z1、z2——总流过流断面上同一流线上的两个 计算点相对于基准面的高程； （2）p1、p2——对应z1、z2点的压强（同为绝对压 强或同为相对压强）； （3）v1、v2——断面的平均流速
2.有能量输入（Hi）或输出（H0）的伯努利方程
πd12 4
仪器常数K
∆h
Q = µK ∆h
µ——流量系数（0.96~0.98）
注意：
ρ '− ρ 水（ρ）-水银（ρ’） ∆h → ∆h ρ ρ' 气（ρ）-液（ρ’） ∆h → ∆h ρ
动量方程
解决流体与固体壁面的相互作用力 1.动量方程 控制体内流体经dt时间，由
Ⅰ Ⅰ’ Ⅱ’ Ⅱ 2 Ⅱ 2’ Ⅱ’
函数ψ称为流函数 有旋、无旋流动都有流函数
由函数ψ的全微分： dψ = 得： u x = ∂ψ ∂y
∂ψ ∂ψ dx + dy ∂x ∂y
∂ψ uy = − ∂x
流函数的主要性质： （1）流函数的等值线即是流线； 证明： ψ = c
dx dy = ux u y
dψ = 0
u x dy − u y dx = 0
——流线方程
（2）两条流线间通过的单宽流量等于两流函数之差； 证明： dq = u ⋅ n dl = u x cos(n, x)dl + u y cos(n, y ) dl
= u x dy − u y dx = dψ
q = ∫A dψ = ψ B − ψ A
B
例：不可压缩流体，ux=x2－y2，uy= － 2xy，是否满足连续 性方程？是否无旋流？
∂u y ∂u y ∂u y 1 ∂p ∂u y Y− = + ux + uy + uz ρ ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z
1 ∂p ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z Z− = + ux + uy + uz ρ ∂z ∂t ∂z ∂x ∂y ∂u x ∂u y ∂u z 常与连续性微分方程 + + =0 ∂x ∂y ∂z
Ⅰ-Ⅱ运动到Ⅰ’-Ⅱ’，元流经 dt时间，由1-2运动到1’-2’ 元流动量方程：
1
1’
Ⅰ Ⅰ’
ΣdF = ρ 2 dQ2u 2 − ρ1dQ1u1 = ρ 2u 2 dA2u 2 − ρ1u1dA1u1
总流动量方程：
∫ ΣdF = ∫ ρ u dA u − ∫ ρ u dA u
2 2 2 2 1 1
∂u x ∂u y + = 2x − 2x = 0 解： （1） ∂x ∂y
满足连续性方程
1 ∂u y ∂u x （2） ω z = ∂x − ∂y = 0 2
是无旋流
流体的运动微分方程
1.理想流体运动微分方程 （1）平衡微分方程
1 ∂p X− =0 ρ ∂x ∂x 1 ∂p Y− =0 ρ ∂y