09+10年北航研究生矩阵论 矩阵理论B期末试卷

{ } Ax = 2
i − 2 2 + i + 3 2 + 5i 2 =
40 = 2 10 ； Ax ∞ = max i − 2 , i + 3 , 5i = 5
{ } { } A 的盖尔 G1 = z ∈ | z − (1+ i) ≤ 3 G2 = z ∈ | z +1) ≤ 5 +1
{ } U3
2 0
−11⎟⎟⎟⎠ ，(2) 证明 A 可对角化，求 A 的 Jordan 标准形；
A e (2)求 A 的谱分解并计算
100
及
A ；(3)若 A 可逆求 A−1 的谱分解．
三、(10 分)设 nA∈ C nm×n , rank( A) = m ，证明 nA{1, 4} = {A+}．
A ∈ C n
G3 = z ∈
| z − 2i ≤ 5 + 3 所以特征值 λ ∈
Gi ，或 ρ( A) ≤
A =4+ 1
2
i =1
⎡1 六、解： A ⎯初⎯等⎯变换⎯→ ⎢⎢0
⎢⎣0
−1 0 0
0 1 0
6 −2 0
5⎤
⎡1
4⎥⎥ ，
令
F
=
⎢ ⎢
−1
0⎥⎦
⎢⎣−2
0⎤ 1⎥⎥ 1⎥⎦
，
G
=
⎡1 ⎢⎣0
−1 0
0 1
⎧⎛ λ − 2 D = diag ⎨⎩⎜⎝ 0
λ −1⎞ λ +1⎟⎠,
λ2
−1,
(λ
− 2),
(λ − 2)2,
1,
⎫ 1⎬
⎭
(1) 写出 λ I − A 的初等因子, 不变因子．Smith 标准型．(3) 求最小多项式，Jordan 标准形．
⎛2 0 0 ⎞
二、(15
分)设
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 1
⎡0
五、已知
A
=
⎢⎢−1 ⎢0
⎢⎣ 1
1⎤
0⎥⎥ 2⎥
，试求
A
的奇异值分解.
0⎥⎦
⎡1 六、 A = ⎢⎢0
⎢⎣2
2⎤
⎡1⎤
0
⎥ ⎥
，
b
=
⎢⎢0⎥⎥ .（1）证明
AT
Ax
=
AT b 相容;（2）求
AT
Ax
=
AT b 通解及极小范数解.
4⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
∑ ( ) ( ) ( ) 七、已知
A
=
⎡1 ⎢⎣2
2010 年 1 月 14 日 北京航空航天大学研究生课程 矩阵卷 B：
⎡6 i 1+ i⎤
⎡1⎤
( ) 一、设 A = ⎢⎢3 3 + i
0
⎥ ⎥
，
x
=
⎢ ⎢
i
⎥ ⎥
，
i2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
= −1
（1）计算
A及 1
A ∞；
⎢⎣2 1− i 4 ⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦
（2）计算
Ax ， 1
Ax 及 2
Ax ∞ ； （3）写出 A 的盖尔圆， A 是否可逆？
任取 A(1,4) ∈ A{1, 4}有
⎧⎪⎨⎪⎩(AAA(1(1,4,4) )AA) H=
A =
A(1,4)
A
(2) (3)
由（1）、（2）及 AA(1,4) = I ，从而 A(1,4) AA(1,4) = A(1,4)
(4)
( ) 及 AA(1,4) H = AA(1,4)
(5)
由（2）、（3）、（4）、（5）知， A(1,4) 为 A 的 M-P 逆，由唯一性知 A{1, 4} = {A+}
⎡1
⎢ ⎢
O
⎢
⎢
⎢
故
A
~
⎢ ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
1 −1 O
0
0
−1 0 O
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 为 Jordan 标准形 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0⎥⎦
∑ ∑ 3
3
五、解：
A
1
=
max
1≤i≤3
j =1
a ji
= 4+
2 （列范），
A
∞
=
max
1≤i≤3
j =1
aij
=5+
5 （行范）
3
Ax = (i − 2,i + 3,5i)T 所以 Ax = i − 2 + i + 3 + 5i = 10 + 5 + 5 1
−1⎤ +1⎥⎦
≅
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ (λ +1)(λ − 2)⎥⎦
{ } 所以 λI − A ≅ diag 1,(λ +1)(λ − 2),1,λ2 −1,1,(λ − 2),(λ − 2)2
{ } 初等因子： λ +1,λ − 2,λ +1,λ −1,λ − 2,(λ − 2)2
不 变 因 子 ： d7 (λ) = (λ +1)(λ −1)(λ − 2)2 ， d6 (λ) = (λ +1)(λ − 2) ， d5 (λ) = λ − 2 ， d4 (λ) = d3(λ) = d2(λ) = d1(λ) =1 mA (λ) = dd (λ) = (λ +1)(λ −1)(λ − 2)2 三、证明：由 A+ = AH ( AAH )−1，所以 AA+ = I （1）
2
4
四、(15 分)
rr nn×n ，若 A+ =A 证明
（1） rank(A2 )=rank(A) ； （2） A 是可对角化的；
{ } （3） A 的 Jordan 形为 diag 1,L 1, −1,L −1 , 0,L , 0
⎛1+ i
五、（15
分）设
A
=
⎜ ⎜
−i
⎜⎝ 3
2
−1 1+ 2i
−1 ⎞
⎡ 4 + 5e9t
七、解： eAt
=
1 9
⎢⎢−4 + ⎢⎣−2 +
4e9t 2e9t
−4 + 4e9t 4 + 5e9t 2 − 2e9t
−2 + 2e9t ⎤
2 − 2e9t
⎥ ⎥ ，可得解为：
1+ 8e9t ⎥⎦
∫ z(t) = eAt z(0) + t eA(t−τ )b(τ )dτ = e9t (1+ t,t, 2)T 0
−1 1
−2⎤ 1 ⎥⎦
⎢⎣ 5 4 ⎥⎦
⎡ 50
=
1
⎢ ⎢
−50
⎢ −79
3777
⎢ ⎢
458
⎢⎣−166
−119 119 465 −1644 1265
31 ⎤
−31
⎥ ⎥
228 ⎥
−270⎥⎥
1067 ⎥⎦
因为 秩A = 2 < 秩(A,b)=3， Az = b 不相容 故极小最小二乘解为 x0 = A+b
四、证明：1）、 因为 A+ = A，故 A3 = A 所以 秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以 秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
3）、 A 的特征根为 1、-1 和 0，而 秩A=r 。故非零特根个数为（对角线非零元素的个数为 r）
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
，（1）计算
eAt
．
( ) dx(t)
（2）用矩阵函数方法求微分方程
=
Ax(t) + b(t) 满足条件 x(0) =
1,
0,
2 T 的解．
dt
八、（附加题）设 A∈ Rm×n ，秩 A = n ，证明 A( AT A)−1 AT =1． 2
2
⎡λ − 2 一、解： ⎢⎣ 0
λ λ
6 −2
5⎤ 4⎥⎦
故 A = FG ， ⇒ A+ = G+F + = GT (GGT )−1(FT F)−1 FT
⎡1 0⎤
⎢⎢−1 A+ = ⎢ 0
⎢ ⎢6
0
⎥ ⎥
1⎥
−2⎥⎥
⎛⎜⎝
1 1259
⎞⎟⎠
⎡ 21 ⎢⎣−8
−8⎤ 63⎥⎦
⋅
⎛⎜⎝
1 11
⎞⎟⎠
⎡2 ⎢⎣−1
−1⎤ ⎡1 6 ⎥⎦ ⎢⎣0
二、设 A∈ 8×8，且 λ I − A 等价于准对角阵
diag
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣λ
2 −1 0
1 ⎤ ⎡λ +1 λ + 2⎥⎦ , ⎢⎣λ −1
0⎤ λ −1⎥⎦
,(λ
+
2)2
,
λ
+
2,
1,
1⎫⎪⎬⎪⎭
(1)试求 λ I − A 的初等因子，不变因子；Smith 标准形(3)写出 A 的最小多项式及 Jordan 形.
⎛i⎞
2
+
i
⎟ ⎟
（
i
2
=
−1），
x
=
⎜ ⎜
0 ⎟⎟
2i ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
（1）计算
A与 1
A ∞．
（2）计算
Ax ， 1
Ax 及 2
Ax ∞ ．（3）估计特征值分布范围．
⎛ 1 −1 0 6 5 ⎞
⎛2⎞
六、（15
分）设
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 −2
1 2
1 1
−8 −14
−−61⎟⎟⎟⎠
，
b
=
⎜ ⎜⎜⎝
3⎤ 2⎥⎦
.（1）计算
e
At
;
（2）试求
f
∞
A=
n=0
n +1 n!
A2
+
A
n
.
八、 A∈ n×n. 证明 lim Am = 0 ⇔ ρ ( A) < 1. m→∞
1
2009 年 1 月 16 日北京航空航天大学研究生课程 矩阵 B 及参考解答：
一、(15 分) 设 A 是 7 阶方阵，且 λ I − A 等价于准对角阵：
附加题证明：令 B = A( AT A)−1 AT ，则 BT = B 为实对称矩阵，且 B2 = B
从而 BT B 与 B 由相同的特征值，且 B 的正奇异值就是 B 的正特征值。λ2 −1 = λ(λ −1) 是
B 的 零 化 式 。 故 B 的 最 大 特 征 值 为 1 （ 否 则 B 为 零 矩 阵 ， 从 而 A = 0 ， 矛 盾 ）， 所 以 B = B的最大奇异值= 1 = 1
0 1
⎟ ⎟⎟⎠
A Ax = b （1）求 A 的满秩分解．（2）计算 + ．（3）判断
是否相容，求极小范数解或极小最小二乘解．
⎛5
七、（15
分）设
A
=
⎜ ⎜
4
⎜⎝ 2
4
5 −2
2 −2
8
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
，
b(t
)
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
e9t e9t 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
，
x(t
)
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
x1(t) x2 (t ) x3(t)
( ) ( ) 三、 A∈ n×n. 证明（1） eA + = e− A ; （2） A+ = A ⇔ A2 是幂等 Hermite 阵且秩 A2 =秩 A
⎡1 2 0⎤
四、设
A
=
⎢ ⎢
0
2
0
⎥ ⎥
.（1）证
A
可对角化;
(2)求
A
及
eA
的谱分解;
⎢⎣−2 −2 −1⎥⎦
( ) ( ) (3)写出 A 的 Jordan 标准形；(5)求谱半径 ρ A 及 ρ eA .