圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理

1．圆锥曲线的定义：

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；

(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .

圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时

要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1

（0a b >>）。

%

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2

2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

椭圆：由x

2

,y 2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

双曲线：由x 2

,y 2

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222

c a b =+。

|

3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2

b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可．

4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系．

解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标．

(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式．

(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．

—

5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ，

则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋1

k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法，

通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2

2－4x 1x 2，|y 1

－y 2|＝

y 1＋y 2

2－4y

1y 2.

6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系

(2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤：

①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程．

②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式．

③应用斜率公式及中点坐标公式求解． —

特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问

题时，务必别忘了检验0∆>！

6．求曲线方程的基本方法有：

(1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以省略)，此法适用于较简单的问题；

(2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；

(3)相关点法(坐标代换法)：若动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先写出关于x 1，y 1的方程，再根据x 1，y 1与x ，y 的关系求出P (x ，y )的轨迹方程；

(4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等)，可用待定系数法； (5)点差法：求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作差；

(6)交轨法：先根据条件求出两条动曲(直)线的交点，然后消去其中的参数即得轨迹方程.

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7.常见类型转化：

①“以弦AB 为直径的圆过点0”

⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=-（提醒：需讨论K 是否存在）⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y +=

②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“钝角、直角、锐角问题”⇔“向量的数量积小于、等于、大于0问题”⇔1212x x y y +<0；1212x x y y +=0; 1212x x y y +>0 ③“等角、角平分、角互补问题”⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； 例如： EF 平分AEB ∠⇔0AE BE K K +=

一、圆锥曲线的定义及标准方程，性质及应用 .

例1. (1)如图，已知圆O 的方程为x 2+y 2=100,点A 的坐标为(-6,0),M 为圆O 上的任意一点,AM 的垂直平分线交OM 于点P,则点P 的轨迹方程（ ）

A.x 225 +y 2

16 =1 B. x 225 －y 2

16 =1 C.(x+3)225 + y 2

16 =1

D. (x+3)225 - y 2

16 =1

解：由于

P

为

AM

的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以

|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为x 2

25 +y 2

16 =1.所以选A

(2)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝

0，则|FA

→|＋|FB →|＋|FC →|＝( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，

抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.

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