数值分析复习题

13.数值积分求步长，见教材273页习题4
14.数值积分求步长，见教材273页习题6
15.数值积分复化梯形公式，见教材273页习题3
16.分别计算 的数值积分的复化梯形公式 和复化Simpson公式 。
17.数值积分复化Simpson公式，见教材273页习题4
18.Romberg，教材259页例7.3.2。
4.LU分解，见教材71页例3.2.1
5.LU分解，见教材104页习题5
6.收敛性判定，见教材119页例4.2.3
7.已知线性方程组分别使用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法
（1）写出两种迭代法的迭代格式；
（2）写出Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代公式的分量形式。
（3）讨论两种迭代法的收敛性；
A高；B相同；C不能确定
53.Simpson求积公式经过Romberg加速得到。
54.若 为柯斯特系数， ， ， ，则
55.Newton-Cotes系数 与积分区间和被积函数。
A与积分区间有关；B与被积函数有关；
C与两者都有关；D与两者都无关；
56.Newton-Cotes系数和 将随着节点数n-1的增加而增加。（）
57.对n=4的Newton-Cotes求积公式作Romberg加速，所得公式仍属于Newton-Cotes求积公式序列。（）
58.Newton-Cotes求积公式的系数和 。
59.用数值积分法求 的近似值时，有。
ANewton-Cotes求积公式 一定收敛；
B组合梯形公式 一定收敛；
C组合Simpson公式 一定收敛；
67.当行列式 时，线性方程组 有唯一解。（）
68.线性方程组的直接方法是指B。
A方法误差极小；B有限次运算求出的精确解；
C无穷次运算求出精确解。
69.若n阶方阵A的所有均不为0，则A的LU分解唯一（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）。
70.如果线性方程组可以采用Gauss顺序消去法求解，则一定可以用LU分解法求解。（）
71.对于 的向量序列 ，且 ，和两个向量范数 ，并且满足： ，则。
72.若 ，则。
73.在 中，对于一个收敛的矩阵序列 （收敛到矩阵A）及两个矩阵范数 ，若对所有i有： ，则以下表示肯定正确的有。
74. 两个范数 ，由范数的等价性知。
75.设A为n阶方阵，若 ，则 。（）
76.设 要使 ，a与b应满足。
若考虑到矩阵范数大于谱半径，从而定理结论由“ ”改为“ ”，定理。
A仍然正确；B不正确；C不一定
28.若n阶方阵A的谱半径 ，则解 的Jacobi迭代法必定收敛。（）
29.设 ，则 是求解 的Jacobi迭代矩阵。
30.对系数矩阵A的方程组 ，A=Gauss-Seidel迭代收敛，A=Jacobi迭代收敛。
；Runge-Kutta方法不是A—稳定的，则选择方法，选择的理由是：
。
64.数值求解常微分方程初值问题的闭型Adams公式是式格式。
65.常微分方程数值解的方法中，稳定区域大的方法计算精度必然高。（）
66.解初值问题 时，为保证计算稳定性，若用经典的四阶Runge-Kutta方法，步长<h<；若用Euler方法，步长<h<；若用向后Euler方法，步长<h<；若用梯形方法，步长<h<。
（3）解法方程可得一次拟合多项式
50.若用梯形公式求数值积分 ，则计算的近似值比积分真值。A大；B小；C不确定；
51.Simpson数值求积公式具有次代数精度，用来计算 所产生的误差值为。
52.Simpson公式的代数精确度是，梯形公式的代数精确度是，由此可知Simpson公式计算的某个积分值比梯形公式计算同一积分的值的数值精确度。
13.设 ，要使迭代法 局部收敛到 ，则 取值范围是。
14.迭代法 收敛于 ，此迭代格式是阶收敛的。
15.用Newton法求方程 的根 的近似值时，收敛阶是，此时称为。
16.若列主元Gauss方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为 ，则第三步主行是第行。
17.设 进行LU分解，则 ， 。
18.设 ，欲使A可进行Cholesky分解，则 需要满足 。
31.给定方程组 ，a为实数。当a满足 ，且 时SOR迭代法收敛。
32.设 ，欲使Jacobi迭代收敛，则 需要满足 。
33.超松弛法（SOR）中的 称为， 取 时， 的超松弛法收敛。
34.设 和 都是n次多项式，如果在n+1个不同节点 ，上都有 ，则 。（）
35.对于 的线性插值函数 ，当x在整个插值区间 时。
（4）取 ，计算到 。
8.试求一个三次插值多项式 ，使在节点 上满足下列条件 ，并写出余项 。
9.二阶正交多项式的构造，见教材212页例6.1.3，6.1.4（两题实际是一道题）
10.最小二乘法拟合，线性，见教材224页例6.3.1
11.最小二乘法拟合，化为线性，226页例6.3.3
12.最小二乘法拟合，二次，233页习题10。
（5）
（6）
27.教材135页习题4.
28.教材48页习题15
29.教材48页习题19
结束时间：历时：大题得分：
错误题号及原因
1
2
3
4
5
6
7
8
大题每题10分，根据大题情况，自己给分。
A. B. C.
36.若某插值问题用Lagrange插值方法求得插值多项式 ，其绝对误差限为 ，则用Newton插值方法求得插值多项式为 ，其绝对误差限为 。
37.若函数 的Newton插值 和Lagrange插值 ，则。
A.
B.
C.
38.设 ， 关于节点 ， ， ， 的3次插值多项式为 ，则 。
39. 是以整数点 为节点Lagrange插值函数则
19.已知函数 在 处的函数值，使用复化梯形公式和复化Simpson公式求积计算 ，当 时，使用上述两个公式N各取多少？
20.Euler法，见教材277页例8.1.1
21.稳定性，见教材299页例8.3.2；
22.稳定性，见教材308页习题8.5；
23.Runge-Kutta，教材308页习题4。
24.设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式
DRomberg积分序列 一定收敛；
60.Newton-Cotes系数 与积分区间a，b，与被积函数 。
A.有关B.无关
61.某求积公式的误差为 ，其中h是步长，当h=0.1时，用该计算公式计算的积分值一定有4位有效数字。（）
62.改进的Euler方法是阶方法。
63.微分方程的稳定性分析中，向后Euler方法是A—稳定的，梯形法也是A—稳定的，你选择哪种方法?；并简要说出两条理由：
47.函数 ，则 ， ， _。
48.设 是Chebyshev多项式序列，则 是区间 上带权 的多项式序列。
49.设有实验数据如下：
x
0
1
2
3
5
f
1.1
1.9
3.1
3.9
4.9
要求按最小二乘法拟合上述数据，试问：
（1）求最小二乘法拟合曲线可分为两个主要步骤：一是，二是。
（2）设要求上述数据的一次多项式拟合 ，则可得法方程为。
。
40.设 ，如 ，则 。
41.设 ，则 ，则 。
42.已知函数表：
0.2
0.3
0.4
0.04
0.09
0.16
则一次差商 ，二次差商 ，
43.设 ，则 。
44.区间 上四次样条函数是一个次数不超过四次的多项式。（）
45.样条插值多项式是分段函数吗?；是分段三次函数吗？；是分段光滑函数吗？。
46.举出一个 区间上权函数 的正交多项式的名称为。
19.向量 ，则 。
20.向量 ，则 ， ， 。
21.设 ， ，则 。
22.设 ，则 ， 。
23.设 ，则 ， ， ， 。
24.设 ，则矩阵A的条件数 ， ， 。
25.设 ，则矩阵A的条件数 。
26.用高斯消元法解线性方程组 时，不论条件数 多大，在没有舍入误差的情况下，得到的都是精确解。（）
27.有定理：对任意 和f，由： 产生的向量序列 收敛 ，其中 是矩阵M的谱半径。
模拟测试
姓名：学号：总分：
题型
得分
系数
得分
选择题
计算题
开始时间：
1.1
1.二分法不适用于求 的复根。（）
2.二分法不适用于求 的重根。（）
3.在 区间有唯一解的非线性方程 一定可以用二分法求解。（）
4.二分法序列 的收敛性与初始区间 有关。（）
5.二分法和Newton法都是大范围收敛的。（）
6.迭代函数的映内性和压缩性是迭代收敛的最基本保证。（）
求证：
（1）对任意初始向量 ， 收敛；
（2） 收敛到 的解。
25.设 ，其中 为非奇异阵，证明
（1） 为对称正定矩阵；
（2）
（3）如果A是正交阵，则 。
26.设 ，经过一步Gauss消去得到
证明：
（1）若A对称，则 对称；
（2）若A对称正定，则 对称正定；
（3）若 严格对角占优，则 严格对角占优；
（4） ，且A绝对值最大的元素在对角线上；
结束时间：历时：选择题得分：
错误题目号码及原因分析
1
2
3
4
5
6
开始时间：
1.2
1.二分法计算，见教材45页，课后习题1。
2.Newton法迭代收敛构造，见教材48页习题16。
3.设有解方程 在 内的根 ，若采用如下迭代公式
（1）证明 均有 （ 为方程的根）；
（2）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。