第八讲 比和比例的应用
比例与比例的应用
比例与比例的应用比例是数学中常见的概念，它描述了两个或多个量之间的关系。
在现实生活中，比例的应用十分广泛，涉及到金融、商业、科学等各个领域。
本文将介绍比例及其应用的相关知识，并探讨在实际问题中如何应用比例进行解决。
一、比例的定义和性质比例是指两个或多个数之间的关系，可以用等式或分数的形式表示。
设有两个数a和b，且b不为0，则a与b的比例可以表示为a:b，读作"a与b的比例"。
比例的性质包括等量性、可逆性和可加性。
1. 等量性：如果两个比例的比相等，即a:b=c:d，那么a与b的比例等于c与d的比例。
2. 可逆性：如果两个比例的一个比等于另一个比的倒数，即a:b=c:d，那么a与b的比例等于d与c的比例。
3. 可加性：如果两个比例的一个比等于另一个比的相加形式，即a:b=c:d，e:f=g:h，那么a+e:b+f=c+g:d+h。
二、比例的应用比例在各行各业中都有广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 金融中的比例应用在金融领域中，比例被广泛应用于利率、股票、汇率等方面。
例如，存款利率可以看作本金和利息之间的比例关系；股票的涨跌幅可以表示为购入价格和售出价格的比例；汇率可以表示为两种货币之间的比例。
比例的运用使得金融交易更加清晰和准确。
2. 商业中的比例应用比例在商业领域中的应用非常重要。
商业中的价格、销售量、利润等都可以通过比例来进行分析和决策。
例如，一件商品的定价可以考虑成本和利润之间的比例关系；销售量可以与广告投入和市场规模的比例相关；利润率可以表示为利润和销售额的比例。
比例的运用帮助企业做出科学的经营决策和管理。
3. 科学中的比例应用在科学研究中，比例也扮演着重要的角色。
科学家们经常使用比例来描述实验数据、计算物理量等。
例如，密度可以定义为物体的质量和体积的比例；速度可以表示为物体移动的距离和时间的比例。
比例的应用使得科学研究更加精确和严谨。
三、应用比例解决实际问题的步骤在实际问题中，应用比例进行解决可以遵循以下步骤：1. 确定已知信息：仔细阅读问题，理解问题所给的条件和要求，将已知的数量关系和比例关系进行整理。
比例和比例的应用
比例和比例的应用比例是数学中常见的概念，它描述了两个或多个数值之间的关系。
比例的应用广泛，在日常生活和各个学科领域都能看到它的身影。
本文将介绍比例和比例的应用，并探讨其中的一些具体例子。
一、比例的概念与性质比例是指两个或多个数之间的关系，表现为相等的比值。
具体而言，比例可以表示为a:b，读作"a与b成比例"。
在比例中，a和b称为比例的两个项，a称为被比项，b称为比项。
比例的性质有以下几点：1. 比例中的两个比例项不能同时为零。
2. 如果比例的两个比例项互为倍数关系，那么这两个比例是等比例的。
3. 等比例的比例项交叉相乘的积是相等的。
二、比例的应用1. 比例在商业领域的应用比例在商业领域的应用广泛，例如在制定商品的定价上。
商家通常会根据成本和利润率来确定商品的定价，而成本和利润率之间存在着比例关系。
通过合理运用比例，商家可以根据不同的成本和利润率来制定不同的商品定价策略。
2. 比例在地理学中的应用比例在地理学中也具有重要的应用。
例如，在绘制地图时，为了保持地图的准确性和可读性，需要将地球表面的实际距离缩小到纸面上的某个比例尺。
这个比例尺就是比例的应用之一，它表示了地图上的一单位长度对应实际距离上的多少单位长度。
3. 比例在数学问题中的应用在解决数学问题时，比例也经常被用到。
例如，当我们在解决关于长度、面积、体积等问题时，可以通过建立相应的比例关系来进行计算。
比例关系可以帮助我们快速而准确地解决问题，提高计算的效率。
4. 比例在科学实验中的应用比例在科学实验中也有着重要的应用。
科学家们经常需要对实验结果进行比较和分析，这时比例就派上了用场。
通过把实验结果与某个标准值进行比较，可以判断实验结果的优劣，并从中获得有价值的信息。
5. 比例在艺术设计中的应用艺术设计中也能看到比例的应用。
在绘画、雕塑等艺术作品中，艺术家们通常会运用比例来达到艺术效果的平衡与协调。
例如，在绘画中，通过合理运用比例关系，可以在画面上展现出逼真的透视效果，使画面更加生动。
比例和比例的应用
比例和比例的应用比例是数学中常见且重要的概念，它用于描述两个或多个量之间的关系。
在现实生活中，比例广泛应用于各个领域，包括商业、经济、科学等等。
本文将讨论比例的基本概念和一些常见的应用。
一、比例的定义比例是指两个或多个量之间的相对关系。
通常使用分数、比率或百分比来表示。
例如，假设一个购物篮里有5个苹果和3个橙子，我们可以表示为5:3的比例。
这表示苹果和橙子的数量之间存在一个固定的相对关系。
我们也可以将这个比例化简为5/3或者1.67。
二、比例的性质比例具有以下性质：1. 乘法性质：如果两个比例相等，那么它们的任意一个数乘以同一个非零数后，仍然是相等的。
例如，假设有两个比例A和B，A:B = 3:2。
如果我们将A和B分别乘以2，那么得到的新比例为2A:2B = 6:4，它与原始比例相等。
2. 除法性质：如果一个比例的两个项与另一个比例的两个项成比例，那么这两个比例也是成比例的。
例如，假设有两个比例A和B，A:B = 4:3，C:D = 8:6。
如果A/C =B/D，那么A:B与C:D也成比例。
三、比例的应用比例在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 商业领域：比例常常用于商业中的销售和财务分析。
例如，销售团队可以使用比例来评估他们的销售额和目标之间的关系。
财务分析师可以使用比例来分析公司的财务指标，比如利润率、成本比率等等。
2. 化学和物理学：比例在化学和物理学中也有重要的应用。
例如，摩尔比例可以用于计算化学反应中物质的摩尔量。
在物理学中，比例用于描述物理量之间的相对关系，如速度和加速度的比例关系。
3. 地理学：比例在地理学中常用于描述地图的比例尺。
比例尺是指地图上距离和实际距离之间的比例关系。
它使我们能够在地图上准确地估算和测量距离。
4. 统计学：比例在统计学中被广泛应用于样本调查和统计数据的分析。
比例可以用于计算比例样本的数量，并推断总体的特征。
总之，比例是数学中重要且应用广泛的概念。
数学学习比例和比例的应用
数学学习比例和比例的应用在数学学习中，比例和比例的应用是一个非常重要的概念。
比例是指两个或多个数之间的相对关系，它可以用来解决各种实际问题。
本文将介绍比例的基本概念和应用，并讨论如何在数学学习中有效地应用比例。
一、比例的基本概念比例是指两个或多个数之间的相对关系。
通常用a:b或a/b来表示。
其中，a和b称为比例中的项，a称为第一个项或者是分子，b称为第二个项或者是分母。
比例也可以用百分数或小数来表示。
比例有以下性质：1. 等比例：如果两个比例相等，则称它们为等比例。
例如，2:4和3:6是等比例，因为它们都可以化简为1:2。
2. 反比例：如果两个比例的乘积为常数，则称它们为反比例。
例如，2:4和4:2就是反比例，它们的乘积都为8。
二、比例的应用比例在数学中有广泛的应用，尤其在实际问题的解决中起到重要的作用。
以下是一些常见的比例应用：1. 比例定理比例定理是一个基本的几何定理，它指出如果在一个三角形中，某一直线与两个边上的点分别构成了两个等比例的长度比，那么这条直线就是三角形两边所对应的那个边的等比分点。
比例定理在解决各种三角形几何问题中经常被使用。
2. 比例方程比例方程是指一个或多个含有比例的方程。
解决比例方程可以帮助我们找到未知量的值。
比例方程在解决实际问题时尤为重要。
例如，如果某件商品的原价为x元，打了y折之后，最终的售价为z元，我们可以建立如下的比例方程：(1-y)x=z。
通过解这个方程，我们可以求解出售价z。
3. 比例尺比例尺是地图上的一个重要概念。
它指出地图上的一个长度与现实中相应长度之间的比例关系。
比例尺通常用分数的形式表示。
例如，1:10000的比例尺表示地图上的1单位长度相当于现实中的10000单位长度。
比例尺在地图制作和地理测量中具有重要的应用价值。
4. 比例乘法比例乘法是指利用已知的比例来求解未知的比例。
通过观察比例中的项与项之间的关系，我们可以得到比例乘法的规则。
例如，如果已知2:3=4:x，我们可以通过乘法计算得到x的值为6。
第八讲比和比例的应用提高篇
比和比例的应用课前复习【比与比例】比的性质：比的前项和后项都乘或除以 ,比值不变。
比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积相等。
比例的性质用于解比例。
【最简整数比】结果必须是一个最简比，即前、后项是的数。
【比例尺】比例尺= ————，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。
【正比例和反比例】（1）正比例，用字母表示 K(一定)=（2）反比例，用字母表示 k(一定)=【正反比例关系的判断】先判断两个量是不是相关联的量，再判断两种量中相对应的两个数积一定还是商一定。
如果积一定，这两种量就成关系；如果商一定，这两种量就成关系。
小升初总复习比与比例的应用教学目标：1、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化2、单位“1”变化的比例问题3、方程解比例应用题知识点拨：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容。
而且经常合在一起进行考察，所以必须要对比与比例、百分数透彻理解。
百分比的难点回顾1、小明有50元钱，小红比小明少10元钱。
小青有80元钱，比小丁少20元钱。
（１）小明的钱与小青的钱之比是_________________。
（２）小明的钱与小红的钱之比是_________________。
（３）小青的钱与小丁的钱之比是_________________。
（４）小青比小明多_________________（百分之几）。
（５）小红比小明少_________________（百分之几）。
（6）小明比小红多_________________（百分之几）。
2、(判断题)一筐苹果比一筐梨重20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻20％？一、比和比例的性质性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、主要比例转化实例①x ay b=⇒y bx a=；x ya b=；a bx y=；②x ay b=⇒mx amy b=；x may mb=(其中0m≠)；③x ay b=⇒x ax y a b=++；x y a bx a--=；x y a bx y a b++=--④x ay b=，y cz d=⇒x acz bd=；::::x y z ac bc bd=；⑤x的ca等于y的db，则x是y的adbc，y是x的bcad．三、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。
比和比例的关系及应用
比和比例的关系及应用比和比例是数学中常见的概念，它们描述了不同物体或量之间的关系。
比可以理解为两个数的比较，比例则表示两个相似图形或等比数列中的对应关系。
在现实生活和数学问题中，比和比例广泛应用于各个领域。
比的概念最早出现在古代的商业交易中，用来表示商品的价格和数量之间的关系。
比通常是两个数的商，例如3：1表示两个物体的数量比为3比1。
比的大小可以给出物体的数量关系，如比为1：2，表示第一个物体比第二个物体少一倍。
比的应用在商业中非常常见。
比如在超市购物时，商品的价格通常以比率的形式标示，例如“买一送一”就是指两个商品的价格的比例为1比1。
这种比例可以帮助我们快速计算出优惠的程度。
在投资领域，比例也被广泛用于计算收益率和利润的比率。
比的概念还在几何中得到应用。
在平面几何中，比可以用来表示线段的长度比例。
例如在一个长方形中，两个边的比为3：2，则表示一个边的长度是另一个边的2/3。
这种比例关系可以帮助我们计算出未知边的长度。
比例是一种更加广义的概念，它用来描述两个相似图形之间的对应关系。
在几何中，两个形状相似意味着它们的对应边长之间存在一个比例关系。
比例可以用来计算缩放图形的尺寸，或者计算相似图形的面积和体积。
比例还可以用来解决三角形的相似性问题，以及计算圆的周长和面积。
在数学问题中，比和比例也被广泛应用。
例如，在解决比例问题时，我们可以利用已知比例的两个数找到未知数。
比如题目中给出“男生和女生的比例为3：5，男生有120人，求女生的人数”。
我们可以先找到男生和女生总人数的比例，再通过代入已知男生的数量求出未知女生的数量。
比例还可以应用于解决比例方程。
比例方程是指含有未知比例的方程，可以用来解决一些实际问题，例如计算混合物中的成分比例。
比如题目中给出“一个杯子里的水和果汁的比例为2：5，杯子里一共有200毫升液体，求水和果汁的容量各是多少”。
我们可以设水的容量为2x，果汁的容量为5x，通过设立方程可以解得x=40，进而得到水和果汁的容量。
小学数学教案：比例与比例应用
小学数学教案：比例与比例应用比例与比例应用一、引言比例是小学数学中的重要概念，通过学习比例，学生能够掌握数与数的关系，并将其应用到实际生活中。
因此，本篇教案将通过设计一系列有趣的活动和练习，帮助学生深入理解比例与比例应用的概念。
二、比例的基本概念1. 比例的定义比例是指两个量之间的对应关系。
当两个量之间的比例关系可以用一个固定的数来表达时，我们就称这两个量成比例。
2. 比例的表示比例可以用等式或冒号来表示。
比如：a:b、a/b或a÷b。
3. 比例的性质比例具有如下性质：- 比例中的两个量必须同向变化。
- 比例关系可以用比例系数表示，比如：a:b = 2:3可以写作2a = 3b。
三、比例应用1. 比例与实际问题比例在现实生活中有广泛的应用。
例如，我们可以用比例来计算折扣、找零钱、制定食谱等等。
通过练习解决实际问题，学生将能够将数学知识与实际情境相结合，提高问题解决能力。
2. 比例的应用举例下面是几个比例应用的实例：- 折扣计算：某商品原价100元，现优惠了20%，学生需要计算折扣后的价格。
- 配方计算：一道菜需要2千克的鸡肉和3千克的青菜，学生需要根据比例调整食材的数量。
四、教学活动1. 活动一：比例探索让学生自由搭建Lego积木，并观察积木的大小。
请学生回答以下问题：两块积木的大小是否成比例？如果成比例，比例系数是多少？2. 活动二：比例应用练习给学生一组实际问题，让他们根据所学的比例知识，解答问题。
例如：- 一张地图上的距离比实际距离的比例是1:1000000，学生需要计算地图上两个城市的实际距离。
- 学校举办了一个植树活动，比例是2个学生植一棵树，学生需要计算学校植树总数和每个学生植树数量。
五、巩固练习为了加强学生对比例的理解，设计一些巩固练习是必要的。
例如，让学生完成以下练习题：1. 4:6和6:9是否成比例？如果是，比例系数是多少？2. 一辆自行车每小时可以骑行12千米，学生需要计算3小时后自行车的总行程。
六年级上册数学培优奥数讲义-第8讲比的应用1
第8讲 比的应用1知识装备1、在实际生活中，把一个数量按一定的比分成几部分，求每个部分各是多少，这就是按比分配。
在按比分配问题中，有时要先求出分配的数量，有时要先求出几个部分的比，有时把一个问题转换成按比分配的问题，可以找到解决问题的简便方法。
2、按比分配应用题的关键： （1）先找出或求出总数量。
（2）再找出或求出总份数。
（3）最后求出各部分的量。
初级挑战1一个长方体的棱长总和是48厘米，它的长、宽、高的比是3:2:1，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？思路引领∶已知长方体的棱长总和及长、宽、高的比，可先找出长、宽、高之和，再根据比分别求出长、宽、高，即可求出体积。
答案： 48÷4＝12（厘米），1份数：12÷（3＋2＋1）＝2（厘米）， 长：2×3＝6（厘米）；宽：2×2＝4（厘米），高2×1＝2（厘米）长方体的体积：6×4×2＝48（立方厘米）。
能力探索1甲、乙、丙三个数的平均数是60。
甲、乙、丙三个数的比是3:2:1。
甲、乙、丙三个数各是多少？答案： 60×3＝180 180÷（3＋2＋1）＝30甲：30×3＝90 乙：30×2＝60 丙：30×1＝30初级挑战2中心小学六（一）班共有学生51人，男生人数的43等于女生人数的32。
这个班男、女生各有多少人？思路引领：根据男、女生人数的关系，找出他们的人数比，再按比分配求男、女生人数各是多少。
答案：由男生人数的43等于女生人数的32，得知男生和女生人数之比为8:9，再按比例分配得：男生：51÷（8＋9）×8＝24（人） 女生：51÷（8＋9）×9＝27（人）能力探索21、粮店里有大米、面粉和玉米共900吨，大米重量的41等于面粉重量的31，玉米重200吨。
大米和面粉的重量各是多少吨？答案：大米和面粉共重：900－200＝700（吨），大米重量和面粉重量之比为4:3。
数学讲义-比和比例的应用
比和比例一、重要知识点比和比值：两个数相除又叫做两个数的比。
比的大小叫比值。
比的性质：比的前项和后项同乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
按比例分配：把一个量按一定比例分为几份，叫做按比例分配。
比例及其性质：表示两个比相等的式子叫做比例。
a ：b=c ：d 或b a = dc ,则ad=bc 。
比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
正比例：①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，②这两种量中相对应的两个数值的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫正比例关系。
[字母表示：x/y=к（一定）]反比例：①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，②这两种量中相对应的两个数值的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫反比例关系。
[字母表示：ху=к（一定）]二、经典例题知识点1、比和比的应用例1：王军行走的路程比陈晨多41，而陈晨行走的时间却比王军多101，求王军与陈晨的速度比。
学生自测：甲、乙两个长方形的周长相等，甲的长与宽的比是3:2，乙的长与宽的比是7:5，它们的面积的比是多少？ ②甲仓有粮100吨，乙仓有粮80吨，从甲仓取出多少吨给乙仓，使甲、乙两仓粮食的吨数比是2：3？③A 、B 两地相距320千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相向而行，2小时相遇，已知甲乙速度比是3：5，乙每小时行多少千米？④有一块铜锌合金，其中铜和锌的比是2：3，现在加入锌6克，共得新合金36克。
求新合金中铜与锌的比。
知识点2、比与比例的基本性质例.甲商品的价钱是乙商品价格的7/3，如果这两种商品的价格分别上涨70元，那么它们的价格比就是7:4，这两种商品原来的价钱各是多少元？学生自测：①小明和小强原有的图纸之比是4：3，小明又买来15张，小强用掉了8张，他们现有的图纸之比是5：2，原来两人各有多少张图画纸？②学校原有跳绳36根，其中短跳绳根数与长跳绳根数比为7：2，又买进一批短跳绳后，短跳绳根数与长跳绳根数比是23：4，现在学校一共有跳绳多少根？③分数47/97，分子、分母分别加上、减去同一个数以后，约分后的最简分数为 3/5，求分子加上、分母减去的这个数。
小学五年级数学解析：比和比例的概念与应用
小学五年级数学解析：比和比例的概念与应用一、比的概念与表示方法1. 比的定义定义：比是表示两个数之间关系的数学表达式，如a比b记作a，读作“a比b”。
例题解析：例题1：表示5和10的比，并简化这个比。
解答：5:10，简化为1:2。
2. 比的性质基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的非零数，比值不变。
例题解析：例题2：将比6:8简化，并证明比值不变。
解答：6:8 = 3:4，证明：6 ÷ 8 = 3 ÷ 4 = 0.75，比值不变。
二、比例的概念与解法1. 比例的定义定义：比例是表示两个比相等的数学表达式，如a= c，读作“a比b等于c比d”。
例题解析：例题3：判断6:9和10:15是否成比例。
解答：6 ÷ 9 = 0.666…，10 ÷ 15 = 0.666…，所以6:9与10:15成比例。
2. 解比例的方法交叉相乘法：若a= c，则a × d = b × c。
例题解析：例题4：已知比例3= 5:10，求x的值。
解答：3 × 10 = 5 × x，30 = 5x，x = 6。
三、比与比例的实际应用1. 比例尺的使用例题解析：题目：在一张地图上，比例尺为1:50000，测量两个城市的距离为2厘米，求实际距离。
解答：实际距离 = 2厘米× 50000 = 100000厘米 = 1公里。
2. 配制溶液的浓度计算例题解析：题目：配制一杯糖水，要求糖与水的比为1:4，若糖的质量为50克，求需要加多少水？解答：糖:水 = 1:4，糖的质量为50克，则水的质量为50克× 4 = 200克。
3. 日常生活中的比例问题例题解析：题目：某物品打七折后售价为140元，问原价是多少？解答：设原价为x元，则7/10x = 140，解得x = 200元。
四、练习题1. 比的计算问题1：将比9:12简化。
解答：9:12 = 3:4。
《比和比例》课件
三、比例的概念
1 比例的定义
2 比例的性质
比例是指两个具有相同单位的比之间的关 系，用等号表示。
比例具有相等性、可倒数性和可扩大或缩 小的性质，有助于进行数量的换算和比较。
3 比例的种类
4 比例中的术语
常见的比例种类包括长度比例、面积比例、 质量比例等，适用于不同的问题。
在比例中，有被比较量、比较量、比例因 子和比例常数等术语，用于描述不同方面 的关系。
3 比和比例的应用
比和比例广泛应用于各 行各业，包括商业、科 学、艺术等领域。
二、比的概念
比的定义
比是用来表示两个数值之间 的关系，通常以冒号或分数 的形式呈现。
比的性质
比有可加性、可乘性和可约 性等特点，可以通过简化比 的形式来简化计算。
比的表示法
比可以用冒号、分数或百分 比表示，根据具体情境选择 合适的表示方法。
案例三：工人的工作时间比较
比较不同工人的工作时间比例，评估生产效率和工作质量。
六、总结
1 比和比例的应用范围 2 解题方法的总结
比和比例广泛应用于数 学、经济、统计等各个 领域，对问题的解决和 决策具有重要意义。
填空法、相乘法和套路 法是解决比和比例问题 的常用方法，根据具体 情况选择合适的方法。
3 学习建议
掌握比和比例的概念、 性质和应用方法，多进 行实例分析和练习，加 深理解和掌握。
七、参考资料
• 书籍 • 网站资源 • 相关视频
《比和比例》PPT课件
本课件介绍了比和比例的概念及应用，以及解题方法。通过实例分析和总结， 帮助学生更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、引言
1 什么是比
比是一种表示两个数量 之间关系的表达方式， 有助于理解大小、数量 和比较。
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按比例分配
把一个数量按照一定的比来进行分配的 分配方法通常叫做按比例分配。
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解答按比例分配应用题的步骤： （1）求出总份数； （2）把比转化成分数； （3）求一个数的几分之几是多少； （4）检验答题。
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平均分是不是按比例分配？ 如果是，又是按照几比几分 配的？
1:1
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学校把栽1288棵树的任务，按照 六年级三个班的人数分配给各班。一 班有16人，二班有18人，三班有22人。 三个班各应栽树多少棵？
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学校把栽1288棵树的任务，按照 六年级三个班的人数分配给各班。一 班有16人，二班有18人，三班有22人。 三个班各应栽树多少棵？
小升初奥数专题-第八讲比和比例关系
第八讲比和比例关系比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题.8.1 比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比.例1甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.解：设甲的周长是2.甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是864∶875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.答：AB∶CD=3∶14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求与之比.解：大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4，中杯与小杯容量之比是4∶3，大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.∶=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）=44∶75.答：两者容量之比是44∶75.把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，3∶5=3×7∶5×7=21∶35，7∶4=7×5∶4×5=35∶20，甲∶乙∶丙=21∶35∶20.花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2=32∶48∶63.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？解：设甲的长度是6份.∶x=5∶4.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25.甲∶乙∶丙=30∶25∶26.答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.平均数是（15+11+10）÷3=12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此例8加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是700×3=2100分钟）=35小时 .答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例9某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，那么丙有多少名男会员？解：甲组的人数是100÷2=50（人）.乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时设小龙走完全程用x小时.可列出比例式8.2 比的变化已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来甲得22.5÷5×20=90（分），乙得 22.5÷5×16=72（分）.答：原来甲得90分，乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=12×22.5x=18.甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.解：其他球的数量没有改变.增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14-5）=5∶9.在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.现在总球数是答：现在共有球224个.本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：（x+8）∶2x=5∶9.例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有240∶x=8∶5，x=150（元）.实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出答：张家收入720元，李家收入450元.解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图：张家开支的3倍是（8份-240）×3.李家开支的8倍是（5份-270）×8.从图上可以看出5×8-8×3=16份，相当于270×8-240×3=1440（元）.因此每份是1440÷16=90（元）.张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.本题也可以列出比例式：（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.A数是17×8=136，B数是17×5=85.答：A，B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.例15小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？解一：充分利用已知数据的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份=原来1份+1原来4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-1×4=11（张）.小明原有图画纸11×5-15=40（张），小强原有图画纸11×2+8=30（张）.答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶3=20∶155∶2=20∶8.但现在是20∶8，因此这个比的每一份是当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）.因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点等需要时间是答：这两支蜡烛点了3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.例17箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.白球有 7×7＋3＝52（只）.原来红球比白球多 158-52＝106（只）.答：箱子里原有红球数比白球数多106只.8.3 比例的其他问题，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：（甲-7）∶乙= 2∶3.因此，有些分数问题，就是比例问题.加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？答：这些画片有261张.解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是样重，就有因此原有水的重量是答：容器中原来有8.4千克水.例18和例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比”有前项和后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比（或除法）写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.例20 有两堆棋子， A堆有黑子 350个和白子500个， B堆有黑子堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个？子100个，使余下黑子与白子之比是（40-100）∶100＝3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.现在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450个），与已有白子500个，相差从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是50÷（3-1）＝25（个）.再要拿出黑子数是 25×3＝ 75（个）.答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.人，问高、初中毕业生共有多少人？解一：先画出如下示意图：6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是520÷（30-17）= 40（人）.因此，高、初中毕业生共有40×（17＋12）＝ 1160（人）.答：高、初中毕业生共1160人.计算出每份是例21与例14是完全一样的问题，解一与例14的解法也是一样的.（你是否发现？）解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.例18，19，20，21四个例题说明分数与比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.下的钱共有多少元？解：设钢笔的价格是1.这样就可以求出，钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答：张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比”.用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？这是十八世纪瑞士大数学家欧拉（1707～1783）提出的问题.们设1头猪和5头绵羊为A组，3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B 组的数，要使（1＋ 5）× A＋（3＋ 2）× B＝100，或简写成 6A＋5B＝100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5， B＝ 4， 6×5＋ 5×4＝50，50是 100的约数，符合要求.A＝5，猪 5头，绵羊 25头，B=4，山羊12头，绵羊8头.猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶（25＋8）.现在已把1∶5和3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.要注意，这样的问题常常有多种解答.A= 5， B＝14或 A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.通常求混合比可列下表：下面例题与例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.例24某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买 3件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？解：题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.1人买3件少 5％×3；1人买2件多 5％×2；1人买1件多 15％×1.1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.A组是2人买4件，每人平均买2件.B组是5人买12件，每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.B组人数是（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人），A组人数是 33-25＝8（人），其中买 3件4人，买 1件4人.10＋ 4＝ 14（人）.答：买3件的顾客有14位.建立两种比的A组和B组，与例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足 4A＋12B＝76.这已完全确定了A组和B组的数，不必再求混合比.。
《比的应用》比和比例PPT课件
水泥：2000×
2 =400
10
自己试着解答。
沙子：2000× 3 =600 10
石子：2000× 5 =1000 10
答: 水泥需要400千克，沙子需要600千克，石子需要1000千克。
练一练 防疫站配制一种杀虫剂,药剂和水的比是1:14。
一桶杀虫剂中含有 药剂和水各多少毫 升?
1+14=15
水：1500×
探究新知
984×3 = 369 8
3+5=8 984× 5 = 615
8
答:茄子种( 369 )平方米,西红柿种 ( 615 )平方米。
议一议
建筑工人用水泥、沙子、石子配制一种 混凝土,水泥、沙子、石子质量的比是 2:3:5。要配制2000千克这样的混凝土, 需要水泥、沙子、石子各多少千克?
2+3+5=10
1 15
=100
药剂：1500× 14=1400
15
答：一桶杀虫剂中含
有药剂100毫升，含有
水1400毫升。
课堂练习
国庆节前,春蕾小学举办“我爱祖国”绘画比赛,共收到 198件作品。获奖作品和未获奖作品件数的比是5:13。 获奖作品有多少件?未获奖作品呢?
5+13=18 获奖作品：198× 5 =55
(2)已知各部分量的比和某一个部分量,求其余部分量。
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
冀教版 数学 六年级 上册
2 比和比例
比的应用
课前导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
课前导入 一块长方形菜地有984平方米(如下图)。
计划按3:5种茄子和西红柿。茄子和西红 柿各种多少平方米？
《比的应用》比和比例
04
比和比例在生活中的应用
房屋面积的比例分配
客厅、餐厅与卧室的比例
在房屋面积分配中，客厅和餐厅通常占据较大比例，因为它 们是家庭成员聚会和休息的主要场所。卧室则根据家庭成员 数量和需求进行适当分配。
厨房与卫生间的比例
厨房和卫生间是房屋中必不可少的部分，通常厨房会占据一 定比例的空间，以满足烹饪需求。卫生间则根据家庭成员数 量和需求进行分配。
化学反应中物质质量与比的应用
在化学实验中，了解不同物质之间的质量关系对于实验设计和结果分析非常重要。例如，在制备某种化合物时， 需要按照一定的质量比将反应物混合在一起并进行反应。通过控制反应物的质量比，可以控制化合物的生成量和 纯度。
生物细胞中不同物质含量的比与比例关系
生物细胞中不同物质含量的比与比例关系
制定定价策略
通过比较不同产品的销售额和成本，可以制定更 合理的定价策略，提高盈利能力。
不同股票价格之间的比与比例关系
确定股票估值
通过比较不同股票的价格，可以确定股票的估值，从而做出更明 智的投资决策。
发现投资机会
通过分析不同股票价格之间的比例关系，可以发现哪些股票具有投 资潜力，从而把握投资机会。
《比的应用》比和比例
汇报人： 2023-12-15
目录
• 比和比例的介绍 • 比的应用 • 比例的应用 • 比和比例在生活中的应用 • 比和比例在商业中的应用 • 比和比例在科学研究中的应用
01
比和比例的介绍
比的定义
比是指两个数量之间的关系，通 常表示为两个数量之间的比值。
比值是两个数量相除的结果，通 常用冒号或斜线表示。
制定战略规划
通过比较不同行业增长率之间的比与比例关系， 可以制定更合理的战略规划，提高企业的竞争力 和盈利能力。
比例与比例的应用
比例与比例的应用比例是数学中常用的一种关系表达方式，它描述了两个或者多个相对数量之间的比较关系。
比例的应用非常广泛，涵盖了许多不同的领域，包括商务、科学、工程等。
本文将探讨比例的基本概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、比例的概念和性质比例是指两个或者多个量之间的相对关系，通常用a：b或者a/b来表示，其中a和b是两个不为零的数。
在比例中，a被称为“第一项”，b被称为“第二项”。
比例中的两个项是相对的，它们之间的关系决定了整个比例的大小和性质。
比例的性质有以下几点：1. 等比关系：如果两个比例的第一项、第二项、以及它们的比都相等，那么这两个比例是相等的。
例如，3：6和6：12是相等的比例，因为它们的第一项、第二项都相等。
2. 倍数关系：如果一个比例的第一项是另一个比例的第一项的倍数，并且第二项也是相应倍数关系，那么这两个比例是倍数关系。
例如，4：8和2：4就是倍数关系，因为第一项、第二项之间的倍数关系成立。
3. 反比例关系：如果两个比例的第一项与第二项之间的乘积为一个常数，那么这两个比例是反比关系。
例如，2：8和4：2就是反比关系，因为2乘以8等于4乘以2。
二、比例的应用1. 商务领域应用：比例在商务领域中经常用于物品或者金钱的兑换和折扣计算。
例如，如果一个商店打折的比例是30%，那么一件原价为100元的物品打折后的价格为70元，计算方法是原价乘以打折比例的差值。
2. 科学领域应用：在科学研究中，比例可以用于计算浓度、速度、比例关系等。
例如，化学中的摩尔比例可以用来计算化学反应的物质的配比关系，物理中的速度比例可以用来描述物体的匀速运动关系。
3. 工程领域应用：在工程设计和施工中，比例可以用于计算比例尺、测量模型的缩放比例等。
例如，在建筑设计中，设计师可以使用比例尺将设计图纸上的尺寸与实际建筑物的尺寸进行对应，以便准确地进行施工。
比例的应用不仅限于上述领域，它还可以用于统计学、经济学等多个领域。
2021年小升初奥数22讲-第8讲比与比例
第8讲比与比例 知识要点两个数的比实质是两个数相除，它可以表示成一个分数，用字母表示如下：()0aa b a b b b :=÷=≠.其中 a 称为比的前项，b 称为比的后项.比的前项相当于被除数（或分子），比的后项相当于除数（或分母），比值相当于除得的商（或分数值）.表示两个比相等的式子称为比例式，用字母表示为a b c d :=:.其中a 、d 称为比例外项，b 、c 称为比例内项.比和比例是一个应用极为广泛的概念，它渗透于各类应用问题之中，它最多的表现形式为分数（或百分数）. 典例精讲典例1 一个分数，分子和分母的和是122.如果分子、分母都减去19，得到的分数约简后是15，那么原来的分数是什么？解 分子、分母都减去19后，这时分子、分母的和为12219284-⨯=，约分后分子、分母的和为 156+=，所以约去的公因数为84614÷= .故原来的分数是11419335141989⨯+=⨯+.典例2 有两组数，第一组的平均数是12.8，第二组的平均数是10.2，而这两组数总的平均数是12.02，那么第一组数与第二组数的个数的比值是多少？分析 我们先以10个数，进行以下研究来证明一个事实（规律）.设12344a a a a a +++=，a 称为1a 、2a 、3a 、4a 的平均数， ①56789106a a a a a ab +++++=（同上解释b ）， ②1234567891010a a a a a a a a a a c +++++++++=. ③由 ①得 12344a a a a a +++=； ④由 ②得 56789106a a a a a a b +++++=； ⑤由 ③得 1234567891010a a a a a a a a a a c +++++++++=. ⑥ 将④ ⑤代入⑥得461046a b c c c +==+，即()()46a c c b -=-. 从而 ()()6:4a c c b -÷-=. ⑦⑦式说明的事实是：（第一组数的平均数-所有数的平均数）：（所有数的平均数-第二组数的平均数）=第二组数的个数：第一组数的个数.解 依据上面分析，本题解法为 ()()12.812.0212.0210.20.78:1.823:7--==:.所以第一组数的个数：第二组数的个数=73. 典例3 数学奥林匹克学校某次人学考试，参加的男生与女生人数之比是4：3，结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8：5.在未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3：4，那么报考的共有多少学生？解 在录取的学生中，男生有8915685⨯=+人，女生有915635-=人.在未被录取的学生中，男生与女生人数之比为 34：，可设未被录取的男生有3x 人，女生有 4x 人，于是有35643543x x ++=（）：（）：，解得所以报考的人数共有 91349174119x x ++=+⨯=（）人.典例4 将两筐苹果分给甲、乙、丙三个班，甲班分得总量的25.剩下的按57：分给乙、丙两班.已知第二筐苹果重量是第一筐的910，且比第一筐少5千克.问：甲、乙、丙 三个班分别各得苹果多少千克？解 由已知，第一筐苹果重 9515010⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭千克，从而两筐苹果共重 95019510⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ （千克）.甲班分得295385⨯= （千克）；乙班分得253951235574⎛⎫⨯-⨯= ⎪+⎝⎭（千克）；丙班分得319538233344--=（千克）. 典例5 如图8一1，四边形ABCD 是一个矩形，且长与宽之比为32：.E 在BC 上，F 在CD 上，并且三角形ABE 、三角形ADF 、四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF 与矩形ABCD 面积之比.解 设矩形ABCD 的长为3a ，宽为2a 由于三部分.由于三部分面积相等，所以()213223ABE ADF S S a a a ==⨯⨯=△，从而2BE a =，43DF a =,EC a =，23FC a=,所以211212233ECF S EC FC a a a =⨯⨯=⨯⨯=△，22215233AEF S a a a =-=△.从而225:65:183AEF ABCD S S a a ==△矩形：.典例6 有两袋大米共重440千克.甲袋米吃了13 ，乙袋米吃了12 ，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8：5.问：甲袋米原来重多少千克？乙袋米原来重多少千克？解 甲袋剩下的米是原来的23，乙袋剩下的米是原来的12 ，甲袋和乙袋剩下米的重量之比为8：5，那么8份是甲原来的23，5份是乙原来的12 . 28123÷=（份），15102÷=（份） ，所以甲袋米原来重124402401210⨯=+千克，乙袋米原来重104402001210⨯=+千克.典例7．A B C 、、三个水桶的总容积是1440升.A B 、两桶装满水，C 桶是空的，若将A 桶水的全部和B 桶水的15，或将B 桶水的全部和A 桶水的13倒入C 桶，C 桶都恰好装满.求A B C 、、三个水桶容积各是多少升．解 根据题意可知,A 桶水的全部加上B 桶水的15等于B 桶水的全部加上A 桶水的13，所以A 桶水的23等于B 桶水的45，那么A 桶水的全部等于B 桶水426535÷=，C 桶水为B 桶水的617555+=.所以A B C 、、三个水桶的容积之比是67165755=：：：：.又A B C 、、三个水桶的总容积是1440升，所以A 桶的容积是 61440480657⨯=++， B 桶的容积是 514404006⨯=升，C 桶的容积是74805606⨯=升.水平测试一、填空题1. 将6枚壹分硬币叠在一起与5枚贰分硬币叠在一起一样高，4枚壹分硬币叠在一起与3枚伍分硬币叠在一起一样高.用壹分、贰分、伍分硬币各叠成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，那这些硬币的币值为 元.2. 三批货物共值152万元，第一、二、三批货物的重量比为243：：，单位重量的价格比为652：：，这批货物各值 万元.3. 某商贩按大个鸡蛋每个3角6分，小个鸡蛋每个2角8分卖出了一批鸡蛋，共收人214元.已知他卖出的大个鸡蛋与小个鸡蛋的个数之比是 ，他卖出大个鸡蛋 个，小个鸡蛋 个.4. 如图8一2，A B C 、、三个齿轮咬合，当A 转4圈时，B 恰好转3圈，当B 转4圈时，C 恰好转5圈这三个齿轮的齿数最小数分别为 .5.红旗小学在校运动会上买了甲、乙两种钢笔作为个人单项第一、第二名的奖品.若两种钢笔共买100支，甲钢笔每支9元，乙钢笔每支6元，且甲、乙两种钢笔所用钱总数相等.甲种钢笔买了 支，乙种钢笔买了 支.6.甲走的路程比乙多13，乙用的时间却比甲多14，甲、乙速度比为 . 7.一个长方形与一个正方形周长之比是6：5，长方形长是宽的215倍，这个长方形与正方形的面积比为 .8.甲数与乙数比值是2027，甲数与丙数比值是1625，乙数与丙数比值是 ， 甲、乙、丙三数之比为9．两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水体积之比是31：，而另一个瓶子中酒精与水的体积之比是41：.如果把两瓶酒精溶液混合，混合溶液中酒精与水体积之比为 .也甲、乙两个建筑队原有水泥重量比是43：，当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙 两队水泥重量比变为34：，甲队原有水泥 吨.二、解答题11.A B C 、、是三个顺次咬合的齿轮，己知齿轮A 旋转7圈时，齿轮C 旋转6圈.（1）如果的齿数是42，那么C 的齿数是多少？（2）如果B 旋转7圈时，C 旋转1圈，那么A 旋转8圈时，B 旋转了多少圈？12.A B 、两地相距360米，小华前一半时间用速度a 行走，后一半时间用速度b 走完全程.又知54a b =：：，前一半路程所用时间与后一半路程所用时间的比是多少？ 13.如图83-所示，大长方形由面积分别是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的4个小长方形组合而成.请求出阴影部分的面积.B卷一、填空题1.甲、乙两人的钱数之比是31：，如果甲给乙0.6元，则两人的钱数之比变为21：.两人共有元.2.横着剪三刀，竖着剪五刀，将一个大正方形纸片等分成24张同样的长方形纸片，再把其中的一张长方形纸片等分成面积尽可能大的小正方形纸片.已知小正方形纸片的边长是5厘米，大正方形纸片的面积为平方厘米.3.小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多15，小方用的时间比小明多18，小明和小方的速度之比是.4.博爱小学女生是全校人数的181547，又来了8位女生，女生占全校人数的13现在共有学生人.5.一个直角梯形周长是96厘米，两底之和与两腰之和的比是2：1，且其中一腰是另一腰的35.这个直角梯形的面积为.6.如图8-4，在梯形ABCD中，E是BC中点，四边形ADEB与三角形EDC的面积之比是10：7，上底AB与下底CD的长度之比.7.甲班有42名学生，乙班有名学生.已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果两个班数学总成绩相同，各班平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班平均成绩比乙班高出分.8.幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班中男生人数与女生人数的比是5：3，中班中男生人数与女生人数的比为2：1，大班的女生有人.9.张、王、李三人共有54元，张用了自己钱数的35，王用了自己钱数的34，李用了自己钱数的23，各买了一支相同的钢笔，张和李两人剩下的钱数共有元.10.一项任务，师徒合作2天完成全部任务的35，接着师傅因故停工2天，后继续与徒弟合作.已知师徒工作效率之比是2：1，完成这一任务前后一共用了天. 二、解答题11.如图8-5，一个长方形的长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？C卷一、填空题1.一把小刀售价3元，如果小明买了这把刀，小明与小强的钱数之比是2：5.现在小强买了这把小刀，两人的钱数之比是8：13.买刀前小明与小强的钱数之比是，小明原有钱元.2.快、慢两列车的长分别是150米、200米，它们相向行驶在平行轨道上.若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒，则坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是秒钟.3.桌上放有10元、5元、1元的纸币共12张，共计72元，10元有张，5元有张，1元有张.4.水果店运来西瓜个数与白兰瓜个数的比是7：5.如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个.水果店运来西瓜个.5.A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A、B两地同时相向出发，结果在距B地2400米处相遇.如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行米.6.小明与小亮同住在一幢楼，他们同时出发骑车去郊外看王老师，又同时到达王老师家.但途中小明休息的时间是小亮骑车时间的13，而小亮休息的时间是小明骑车时间的14，小明和小亮骑车速度的比是.7.有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2：5.现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（图8-6A)；横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（图8-6B）.做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是.8.甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9：8：3派工，后因丙村不出工，将他承担的任务山甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务.甲、乙两村各应分得丙村所付工资的元.9.有两个圆，它们的面积之差是209平方厘米.已知大圆的周长是小圆周长的119倍，小圆的面积是平方厘米.二、解答题10.甲、乙两列车分别从A、B两站同时相向开出.已知甲车速度与乙车速度的比为3：2，C站在A、B两站之间，甲、乙两列车到达C站的时间分别是上午5时和下午3时，问：甲、乙两车几点相遇？11.张家与李家本月收人的钱数之比是8：5，本月开支的钱数之比是8：3.月底张家节余240元，李家节余270元.问：本月每家各收人多少元？12.某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二次在同一河道中顺流航行12千米逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，问：顺水船速与逆水船速之比是多少？（设船本身的速度及水流的速度都是不变的）13.有甲种糖每千克4.2元，乙种糖每千克4.8元，丙种糖每千克7.8元，现把三种糖混合成售价为每千克6元的什锦糖.(1)甲、乙、丙的配比是多少？（2）如果要混合的重量为105千克，那么甲种糖取多少千克？又乙种糖、丙种糖各取多少千克？。
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第八讲比和比例的应用
知识要点：
比和比例，反映了量与量之间的某种关系，在日常生活与工农业生产中，有着十分广泛的应用.比的概念是借助除法的概念建立起来的，比和除法、分数都有实质性的联系，有了“比”，处理分数、百分数及工程问题都将更加灵活方便。
比和比例问题的重点在于正确找出两种相关的量，并明确二者之间的比例关系。
【例1】淘淘和笑笑原有邮票张数的比是5:4.当淘淘给笑笑48张邮票后，淘淘和笑笑邮票张数的比是3:4.淘淘原来有几张邮票？
【例2】一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为9:7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为7:5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多多少个？
【例3】猎犬发现离它10米远的前方有一只奔跑着的免子，立即追赶.猎犬的步子大，它跑2步的路程，兔子要跑3步；但是兔子的动作快，猎犬跑3步的时间，免子能跑4步.问:猎犬至少要跑多少米才能追上兔子?
【例4】车过河需交渡费3元，马过河需交渡费2元，人过河需交渡费1元，某天过河的车和马数目的比为2:9，马和人数目的比是3:7，共收得渡河费945元，求这天渡河的车、马和人的数目各是多少？
【例5】有一袋糖果分配给甲、乙、丙三人，甲、乙、丙三人依次所得的糖果数目比是5:4:3如果把糖果重新分配给甲、乙、丙三人，使其比依次为7:6:5则其中一人会比原来所得的数目多10颗，求此人原来所得的糖果数目？
【例6】某公司有若干名工人参加宴会，其中男工人数与女工人数的比为7：5
5，现在参加宴会的共有多少名后来又有30名女工参加，这时女工占总人数的
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工人?
【例7】国际形势的不定，对金融市场也造成了巨大的冲击。
某月月初，每盎司黄金价格与每桶原油价格之比为47:5.月末，它们的单价都跌了70美元，每盎司黄金价格与每桶原油价格之比变为96:5.则月初每盎司黄金价格是多少美元?
课堂巩固：
1. 三个分数的和是10
12
，它们的分母相同，分子的比是1:2:3，这三个分数分别是多少?
2. 小聪、小明、小康做红花，小聪比小明多做16朵，小康与小明做的朵数的比是5:6，小明和小康做的总朵数与小聪做的朵数的比是11:8，小聪和小明各做了多少朵?
3. 宏福超市购进一批食盐，第一个月售出这批食盐的40％，第二个月又售出420袋，这时已售出的和剩下的食盐的数量比是3:1，则宏福超市购进的这批食盐有多少袋？
4. 小美过生日，奥斑马拿来一袋红球和白球准备布置生日会场，袋中红球与白球的数量之比为19:13;接着小泉又拿来一些红球后，红球与白球的数量之比变为5:3;最后欧欧又拿来一些白球后，红球与白球的数量之比变为13:11.已知小泉拿来的红球比欧欧拿来的白球少80个，那么奥斑马拿来多少个球?
5.两个水池内有数目相同的金鱼若干条.亮亮和红红进行捞鱼比赛，第一个水池内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4;捞完第二个水池内的金鱼时，亮亮比第一次多捞33条，与红红捞到的金鱼数目比是5:3.那么每个水池内有金鱼多少条？
6.现有若干只鸡和兔子，已知鸡、免的头数与鸡、兔的脚数之比是7:23，那么鸡与兔子的只数之比是多少？
7.猎犬发现离它10米远的前方有一只奔跑着的野免，就马上紧追上去，猎犬步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却跑了3步.问:猎犬至少跑多少米才能追上兔子?
5，又买进一些新书后，新书本数与现8.某校图书室有图书210本，其中新书占
7
有图书本数的比是4:5，现在图书室一共有多少本新书？
9.山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共有财产猴老大来到山洞后将桃子按5:4的比例分成了两部分，并取走较多的一部分;猴老二来到后，将剩下的桃子又按5:4的比例分成了两部分，并取走较多的一部分;其余的桃子归猴老三.已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了多少个桃子？
作业：
1、甲乙两堆煤共重78吨，从甲堆运出25%到乙堆，则乙堆与甲堆的重量比是8:5，原来各有多少吨煤？
2、芳芳和慧慧要制作相同数量的卡片，芳芳和慧慧工作效率之比为4:5。
如果两人合作，10小时可以完成两个人的任务.如果两人单独完成各自的任务，芳芳要比慧慧多花多少小时?
3、张家与李家本月收入钱数之比是8:5，本月开支之比是8:3，月底张家结余240元，李家结余270元，问本月每家各收入多少元?。