极点配置和观测器的设计
现代控制理论课件PPT极点的配置和观测器的设置
(s *1)(s *2 )
(s
* n
)
sn
a1*s n1
an1*s an*
0
通过比较系数，可知
a1
~k~n
a2 kn1
a1* a2
*
an
~ k1
an*
西华大学电气与电子信息学院
由此即有
k~2k~1aann1**
an an1
~ kn
a1*
a1
又因为
u v Kx v KP1x% v K%x%
要求用状态反馈来镇定系统。
解：系统不稳定。同时系统为不能控的。不能控子系统 特征值为－5，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈 实现镇定，镇定后极点设为 s1,2 2 j2
能控子系统方程为
x&C
AC xC
bCu
1 0
0 1 2 xC 1 u
引入状态反馈 u V KC xC ，设 KC [k1 k2 ]
西华大学电气与电子信息学院
5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵， 使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希 望的动态性能。
5.2.1 能控系统的极点配置 定理 5-2 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
西华大学电气与电子信息学院
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换
~x Px 必能将它变为能控标准形
%:
x&% A%x% b%u y c%x% d%u
这里，P 为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有
利用matlab实现极点配置、设计状态观测器(现代控制)
实 验 报 告实验名称 利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器系 专业 自动化 班 姓名 学号 授课老师 预定时间实验时间实验台号一、目的要求1、掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。
2、掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。
学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
3、掌握状态观测器的设计方法。
学会用MATLAB 设计状态观测器。
4、熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器的状态反馈系统。
二、原理简述1、状态反馈和输出反馈设线性定常系统的状态空间表达式为Cxy Bu Ax x =+=如果采用状态反馈控制规律u= r-Kx ，其中 r 是参考输入，则状态反馈闭环系统的传递函数为：B BK A sIC G k 1)]([---=2、极点配置如果 SISO 线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈, 将闭环系统极点配置到任意期望的位置。
MATLAB 提供的函数acker( )是用Ackermann 公式求解状态反馈阵K 。
该函数的调用格 式为K=acker(A,B,P)其中A 和B 分别为系统矩阵和输入矩阵。
P 是期望极点构成的向量。
MATLAB 提供的函数place( )也可求出状态反馈阵K 。
该函数的调用格式为 K=place(A,B,P)函数place( )还适用于多变量系统极点配置，但不适用含有多重期望极点的问题。
函数acker( )不适用于多变量系统极点配置问题，但适用于含有多重期望极点问题。
三、仪器设备PC 计算机，MATLAB 软件⎣[y1=lsim(G,u,t); plot(t,y1,':',t,y2,'-')蓝色为配置前，绿色为配置后题5-3 某系统状态空间描述如下[]010100134326100x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦= 设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[]123---。
程序>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6]'; C=[1 0 0]; D=0;p=[-1 -2 -3]; L=(acker(A',C',p))' 结果：L = 40 -10。
7状态空间设计法极点配置观测器资料
第7章线性定常离散时间状态空间设计法7.1引言7.2状态反馈配置极点7.3状态估值和状态观测器7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点7.5扰动调节7.6无差调节7.1引言一个被控对象：(1)()()()()():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n+=+⎧⎨=⎩⨯⨯⨯⨯⨯ 7.1当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。
给d L (k )扰动图7.1 控制系统示意图根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。
调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。
包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。
但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。
伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。
本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。
7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。
7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。
7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。
7.5简单地讨论扰动调节问题。
7.6状态空间设计时的无差调节问题。
7.2 状态反馈配置极点工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈()()()u k v k Lx k =+7.2如图7.2所示。
式7.2带入式7.1，得(1)()()()()()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+⎧⎪=⎨⎪=+⎩7.3整理得()(1)()()()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++⎧⎨=⎩7.4(k )v(k )图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点闭环系统的特征方程为[]det ()0zI F GL -+=7.5问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有[]1det ()()0ni i zI F GL z λ=-+=-=∏7.6定理：状态反馈配置极点若被控对象式7.1是状态完全能达的，即（F , G ）是一个能达对（能达性矩阵-1[...]N c W F G FG G =满秩），则一定存在一个r 行n 列的状态反馈矩阵L ，使得在状态反馈()()()u k v k Kx k =+下，闭环系统式7.4具有任意给定的n 个期望的特征根λ1, λ2, ..., λn 。
利用MATLAB实现极点配置、设计状态观测器现代控制
11
装
订
(s+6.319) (s^2 + 2.681s + 2.057)
线
则闭环系统的零点为：-1
>> pole(G)
ans =
-6.3186 -1.3407 + 0.5099i -1.3407 - 0.5099i >> Uc=ctrb(A,B);rank(Uc)
蓝色为配置前，绿色为配置后
题 5-3 某系统状态空间描述如下
0 1 0 1
x
0
0
1
x
3
u
4 3 2 6
y 1 0 0 x
设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为 1 2 3。
程序>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];
p=[-30 -1.2 -2.4+4i -2.4-4i];
k=place(A,B,p);
A1=A-B*k;
G1=ss(A1,B,C,D);
6
装
订
t=0:0.5:20;
线
u=ones(size(t));
y2=lsim(G1,u,t);
y1=lsim(G,u,t);
plot(t,y1,':',t,y2,'-')
(2)分别选取 K=[0 3 0].K=[1 3 2],K=[0 3 1]为状态反馈矩阵，求解闭环系统的零点， 极点和传递函数，并判断系统的能控性和能观测性。它们是否发生改变？为什么？
（1）
程序
>> A=[0 1 0;0 0 1;-12 -16 -7];
线性系统极点配置和状态观测器基于设计(matlab) - 最新版本
一. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：这时，闭环系统的状态空间模型为：()x A BK x Bv y Cx =-+⎧⎨=⎩二. 状态观测器设计原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可观的，则可引入全维状态观测器，且：ˆˆ(y y)ˆˆx Ax Bu G y Cx ⎧=++-⎪⎨=⎪⎩设ˆx x x=-，闭环系统的状态空间模型为： ()x A GC x =-解得：(A GC)t(0),t 0x ex -=≥由上式可以看出，在t 0≥所有时间内，如果(0)x =0，即状态估计值x 与x 相等。
如果(0)0x ≠，两者初值不相等，但是()A GC -的所有特征值具有负实部，这样x 就能渐进衰减至零，观测器的状态向量ˆx就能够渐进地逼近实际状态向量x 。
状态逼近的速度取决于G 的选择和A GC -的特征配置。
三. 状态观测的实现为什么要输出y 和输入u 对系统状态x 进行重构。
u Kx v =-+证明 输出方程对t 逐次求导，并将状态方程x Ax Bu =+代入整理，得2(n 1)(n 2)(n 3)21n n y Cxy CBu CAx y CBu CABu CA x y CBu CABu CA Bu CA x-----=⎧⎪-=⎪⎪--=⎨⎪⎪⎪----=⎩将等号左边分别用z 的各分量12,,,n z z z 表示，有121(n 1)(n 2)(n 3)2n n n y C z y CBu CA z z y CBu CABu x Qx z CA y CBu CABu CA Bu -----⎡⎤⎧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--==⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪----⎩⎣⎦如果系统完全能观，则rankQ n =即1ˆ(Q Q)T Tx Q z -= （类似于最小二乘参数估计） 综上所述，构造一个新系统z ，它是以原系统的输出y 和输入u ，其输出经过变换1(Q Q)T T Q -后得到状态向量ˆx。
实验6极点配置与全维状态观测器的设计
实验6极点配置与全维状态观测器的设计实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计⼀、实验⽬的1. 加深对状态反馈作⽤的理解。
2. 学习和掌握状态观测器的设计⽅法。
⼆、实验原理在MATLAB 中，可以使⽤acker 和place 函数来进⾏极点配置，函数的使⽤⽅法如下：K = acker(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
K = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
[K,PREC,MESSAGE] = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵，PREC 为特征值，MESSAGE 为配置中的出错信息。
三、实验内容1.已知系统（1）判断系统稳定性，说明原因。
（2）若不稳定，进⾏极点配置，期望极点：-1，-2，-3，求出状态反馈矩阵k。
（3）讨论状态反馈与输出反馈的关系，说明状态反馈为何能进⾏极点配置？（4）使⽤状态反馈进⾏零极点配置的前提条件是什么？1.（1）（2）代码：a=[-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1];b=[1,1,1]';p=[-1,-2,-3]';K=acker(a,b,p)K =-1 2 4（3）讨论状态反馈与输出反馈的关系, 说明状态反馈为何能进⾏极点配置?在经典控制理论中,⼀般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律，即输出反馈。
在现代控制理论的状态空间分析⽅法中,多考虑采⽤状态变量来构成反馈律，即状态反馈。
从状态空间模型输出⽅程可以看出，输出反馈可视为状态反馈的⼀个特例。
状态反馈可以提供更多的补偿信息，只要状态进⾏简单的计算再反馈，就可以获得优良的控制性能。
(4)使⽤状态反馈配置极点的前提是系统的状态是完全可控的。
2.已知系统设计全维状态观测器，使观测器的极点配置在12+j，12-j 。
（1）给出原系统的状态曲线。
（2）给出观测器的状态曲线并加以对⽐。
系统稳定性分析报告、利用MATLAB实现极点配置、设计状态观测器
实用实验报告实验名称系统稳定性分析、利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器系专业班姓名学号授课老师预定时间实验时间实验台号一、目的要求掌握系统稳定性的概念。
学会使用MATLAB 确定线性定常系统和非线性定常系统的稳定性。
掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。
掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。
学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
掌握状态观测器的设计方法。
学会用MATLAB 设计状态观测器。
熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器的状态反馈系统。
二、原理简述函数 eig( )的调用格式为V=eig(A) 返回方阵A 的特征值。
函数 roots( )的调用格式为roots(den)，其中den 为多项式的系数行向量。
计算多项式方程的解。
函数 pole ( )的调用格式为pole(G)，其中G 为系统的LTI 对象。
计算系统传递函数的极点。
函数 zpkdata( )的调用格式为[z,p,k]=zpkdata(G,’v’)，其中G 为系统LTI 对象。
返回系统的零点、极点和增益。
函数 pzmap( )的调用格式为pzmap(G)，其中G 为LTI 对象。
绘制系统的零点和极点。
对于线性定常连续系统x Ax ，若 A是非奇异矩阵，则原点是其唯一的平衡状态。
统在原点处大范围渐近稳定的充分条件是：存在李氏函数v(x) x T px，且v(x)正定，v(x)负定。
如果 SISO 线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈, 将闭环系统极点配置到任意期望的位置。
MATLAB 提供的函数 acker( )是用 Ackermann 公式求解状态反馈阵 K。
MATLAB 提供的函数 place( )也可求出状态反馈阵 K。
如果线性定常系统完全能观测，则可构造全维（基本）观测器。
全维（基本）状态观测器的状态方程为观测器的反馈矩阵 L 为其中为系统的能观测矩阵。
其中为期望的状态观测器的极点。
观测器设计是极点配置的对偶问题，故可利用函数 acker( )和 place( )进行求解。
利用matlab 实现极点配置、设计状态观测器现代控制)
>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];
B=[1;3;-6];
C=[1 0 0];
D=0;
p=[-1 -2 -3];
k=acker(A,B,p)
结果：k =1.4809 0.7481 -0.0458
验证：
>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];
B=[1;3;6];
MATLAB 提供的函数acker( )是用Ackermann 公式求解状态反馈阵K。该函数的调用格
式为
K=acker(A,B,P)
其中A 和B 分别为系统矩阵和输入矩阵。P 是期望极点构成的向量。
MATLAB提供的函数place( )也可求出状态反馈阵K。该函数的调用格式为
K=place(A,B,P)
C=[1 0 0];
D=0;
k=[0.5053 0.7052 0.2299];
A1=A-B*k;
sys=ss(A1,B,C,D);
G1=zpk(sys)
结果：Zero/pole/gain:
(s^2 + 5s + 15)
-------------------------
(s+1) (s+1.999) (s+3.001)
函数place( )还适用于多变量系统极点配置，但不适用含有多重期望极点的问题。函数acker( )不适用于多变量系统极点配置问题，但适用于含有多重期望极点问题。
三、仪器设备
PC计算机，MATLAB软件
四、内容步骤、数据处理
题5-1 某系统状态方程如下
理想闭环系统的极点为 ，试
（1）采用直接计算法进行闭环系统极点配置；
状态观测器设计
基于M A T L A B的状态观测器设计预备知识：极点配置基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求。
1. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：这时，闭环系统的状态空间模型为：2. 极点配置的MATLAB函数在MATLAB控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有acker()和place()。
调用格式为：K=acker(A,C,P) 用于单输入单输出系统其中：A，B为系统矩阵，P为期望极点向量，K为反馈增益向量。
K=place(A,B,P)(K,prec,message)=place(A,B,P)place()用于单输入或多输入系统。
Prec为实际极点偏离期望极点位置的误差；message是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息。
3. 极点配置步骤：（1）获得系统闭环的状态空间方程；（2）根据系统性能要求，确定系统期望极点分布P；（3）利用MATLAB极点配置设计函数求取系统反馈增益K；（4）检验系统性能。
已知系统模型如何从系统的输入输出数据得到系统状态？初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。
不足：初始状态不精确，模型不确定。
思路：构造一个系统，输出逼近系统状态称为是的重构状态或状态估计值。
实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
观测器设计状态估计的开环处理：但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！应用反馈校正思想来实现状态重构。
通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
基于观测器的控制器设计系统模型若系统状态不能直接测量，可以用观测器来估计系统的状态。
L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。
真实状态和估计状态的误差向量误差的动态行为：的极点决定了误差是否衰减、如何衰减？通过确定矩阵L来保证。
也即极点配置问题。
要使得误差衰减到零，需要选取一个适当的矩阵L，使得A－LC是稳定的。
(推荐)状态观测器设计
基于MATLAB 的状态观测器设计预备知识： 极点配置基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求。
1. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x & 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：Kx u input -=这时，闭环系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+-=Cxy Bu x )BK A (x & 2. 极点配置的MATLAB 函数在MATLAB 控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有acker()和place()。
调用格式为：K=acker(A,C,P) 用于单输入单输出系统其中：A ，B 为系统矩阵，P 为期望极点向量，K 为反馈增益向量。
K=place(A,B,P)(K,prec,message)=place(A,B,P)place()用于单输入或多输入系统。
Prec 为实际极点偏离期望极点位置的误差；message 是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息。
3. 极点配置步骤：（1）获得系统闭环的状态空间方程；（2）根据系统性能要求，确定系统期望极点分布P ；（3）利用MATLAB 极点配置设计函数求取系统反馈增益K ； （4）检验系统性能。
已知系统模型如何从系统的输入输出数据得到系统状态？初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。
不足：初始状态不精确，模型不确定。
思路：构造一个系统，输出逼近系统状态称为是的重构状态或状态估计值。
实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
观测器设计状态估计的开环处理：但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！应用反馈校正思想来实现状态重构。
通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
基于观测器的控制器设计系统模型若系统状态不能直接测量，可以用观测器来估计系统的状态。
L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。
真实状态和估计状态的误差向量误差的动态行为：的极点决定了误差是否衰减、如何衰减？通过确定矩阵L来保证。
利用MATLAB实现极点配置设计状态观测器现代控制样本
实 验 报 告实验名称 运用MATLAB 实现极点配备、设计状态观测器系 专业 自动化 班 姓名 学号 授课教师 预定期间实验时间实验台号一、目规定1、掌握状态反馈和输出反馈概念及性质。
2、掌握运用状态反馈进行极点配备办法。
学会用MA TLAB 求解状态反馈矩阵。
3、掌握状态观测器设计办法。
学会用MA TLAB 设计状态观测器。
4、熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器状态反馈系统。
二、原理简述1、状态反馈和输出反馈 设线性定常系统状态空间表达式为Cxy Bu Ax x =+=如果采用状态反馈控制规律u= r-Kx ，其中 r 是参照输入，则状态反馈闭环系统传递函数为：B BK A sIC G k 1)]([---=2、极点配备如果 SISO 线性定常系统完全能控，则可通过恰当状态反馈，将闭环系统极点配备到任意盼望位置。
MATLAB 提供函数acker( )是用Ackermann 公式求解状态反馈阵K 。
该函数调用格 式为K=acker(A,B,P)其中A 和B 分别为系统矩阵和输入矩阵。
P 是盼望极点构成向量。
MATLAB 提供函数place( )也可求出状态反馈阵K 。
该函数调用格式为 K=place(A,B,P)函数place( )还合用于多变量系统极点配备，但不合用具有多重盼望极点问题。
函数acker( )不合用于多变量系统极点配备问题，但合用于具有多重盼望极点问题。
三、仪器设备PC 计算机，MATLAB 软件四、内容环节、数据解决⎣[蓝色为配备前，绿色为配备后题5-3 某系统状态空间描述如下[]010100134326100x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦= 设计全维状态观测器，规定状态观测器极点为[]123---。
程序>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6]'; C=[1 0 0]; D=0;p=[-1 -2 -3]; L=(acker(A',C',p))' 成果：L = 40 -10题5-4已知系统。
chapter6极点配置与状态观测器
K
6.3 状态观测器
用 ~x 代替 x
自然要求：
x~ x
渐近意义下： lim~x x 0 t
6.3 状态观测器
uB B
x ∫
+
A
E + x~ ∫
+
A
x
y
C
+
x~ C ~y 观测器
x~
6.3 状态观测器
u
y
+
E
B
+
x~
∫
x~
~y -
C
+
A
观测器
观测器状态方程
x~ A EC x~ Bu Ey
是否可以利用状态反馈，达到极点的 任意配置？
Im
s平面
0
Re
6.2 极点配置
6.2.1 极点配置定理 定理 6.2.1 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
6.2 极点配置
Re
响应快 响应慢
6.2 极点配置 在看一例：
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 3阶系统
1阶系统
6.2 极点配置
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 1阶系统
3阶系统
6.2 极点配置
状态反馈后系统极点
v
uB
-
x
∫
x
y
C
+
A
K
极点配置与状态观测器课件
存在复杂的障碍物和动态环境
案例二：机器人导航中的极点配置与状态观测
机器人的运动状态和控制输入信号可能不稳定 2. 极点配置的作用
提高机器人的运动稳定性和导航精度
案例二：机器人导航中的极点配置与状态观测
优化避障和路径规划的性能 极点配置方法可以有效地抑制噪声和干扰 3. 状态观测器的应用价值
02 极点配置的合理与否直接影响到状态观测的精度 和稳定性。
02 极点配置的稳定性对于状态观测的抗干扰性能有 着至关重要的影响。
状态观测器对极点配置的优化
通过状态观测器的反馈控制，可 以实时调整极点配置，以达到最
优的控制效果。
状态观测器的观测精度和稳定性 对于极点配置的优化有着重要的
影响。
通过状态观测器的实时反馈，可 以实现对极点配置的在线优化和
加强与其他学科领域的交叉融合，如人工智能 、机器学习等，以探索新的理论和方法，推动 极点配置与状态观测器技术的发展。
针对实际应用中的难点和需求，开展更加深入 的研究和应用案例分析，以推动极点配置与状 态观测器在实际工程领域的应用和发展。
THANKS
感谢观看
调整。
二者结合的优势与挑战
优势
极点配置和状态观测器相结合，可以充分发挥各自的优势，实现系统性能的最优控制。
挑战
二者的结合需要考虑到系统的复杂性和实际运行环境，设计合理的控制策略和算法，以实现最 优的控制效果。
05
案例分析
案例一
1. 无人机控制系统的特点
受到风、干扰等外部因素 影响
需要对飞行姿态、位置等 状态进行实时控制
在实际应用中，极点配置与状态观测器面临着诸多挑 战，如模型不确定性、外部干扰、时变参数等。
极点配置与观测器的设计
0 0 0 1 x 1 1 0 x 0u
0 1 1 0
y011x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1* 2
* 2,3
1j
3
解：因为
1 0 0
ranbkA bA2bran0k 1 13
0 0 1
系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能
任意 配置闭环特征值。
1) 由
s 0 0
det(sIA)det1 s1 0 s32s2s
K K C0 1 32 00
0 1 s1
得 a12,a21,a30.
2) 由 (s1 * )(s2 * )(s3 * ) (s 2 )(s 1 j3 )(s 1 j3 )
s 3 4 s 2 8 s 8
得 a1 *4,a2 8,a3 8.
3) k a 3 a 3 ,a 2 a 2 ,a 1 a 1 8 ,7 ,2
x1
y 1
0
0
x
2
x3
2. 计算状态反馈矩阵
0 0 10
QCb AbA2b0 10 110
10100990
ranQ kC 3 所以系统能控
计算出状态反馈矩阵 K K 0K 1K 2 4 1 . 2 0 . 1
状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出 T F ）。
经过结构变换成（d）图所示的状态图
tp
n
1 2
bn 12 224 24 4
将已知数据代入，从前3个指标可以分别求出：
0.707, n9.0 b 9.0
综合考虑响应速度和带宽要求，取 n 。10于是，闭环主导极点
为
s1,2，7.0 取7非j主7.导07极点为
系统稳定性分析报告、利用MATLAB实现极点配置、设计状态观测器
实用实验报告实验名称系统稳定性分析、利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器系专业班姓名学号授课老师预定时间实验时间实验台号一、目的要求掌握系统稳定性的概念。
学会使用MATLAB 确定线性定常系统和非线性定常系统的稳定性。
掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。
掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。
学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
掌握状态观测器的设计方法。
学会用MATLAB 设计状态观测器。
熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器的状态反馈系统。
二、原理简述函数 eig( )的调用格式为V=eig(A) 返回方阵A 的特征值。
函数 roots( )的调用格式为roots(den)，其中den 为多项式的系数行向量。
计算多项式方程的解。
函数 pole ( )的调用格式为pole(G)，其中G 为系统的LTI 对象。
计算系统传递函数的极点。
函数 zpkdata( )的调用格式为[z,p,k]=zpkdata(G,’v’)，其中G 为系统LTI 对象。
返回系统的零点、极点和增益。
函数 pzmap( )的调用格式为pzmap(G)，其中G 为LTI 对象。
绘制系统的零点和极点。
对于线性定常连续系统x Ax ，若 A是非奇异矩阵，则原点是其唯一的平衡状态。
统在原点处大范围渐近稳定的充分条件是：存在李氏函数v(x) x T px，且v(x)正定，v(x)负定。
如果 SISO 线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈, 将闭环系统极点配置到任意期望的位置。
MATLAB 提供的函数 acker( )是用 Ackermann 公式求解状态反馈阵 K。
MATLAB 提供的函数 place( )也可求出状态反馈阵 K。
如果线性定常系统完全能观测，则可构造全维（基本）观测器。
全维（基本）状态观测器的状态方程为观测器的反馈矩阵 L 为其中为系统的能观测矩阵。
其中为期望的状态观测器的极点。
观测器设计是极点配置的对偶问题，故可利用函数 acker( )和 place( )进行求解。
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2016年8月3日
4)
Q b Ab
a2 a A2b 1 1
a1 1 0
1 1 0 0 1 2 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0
直接求K阵方法
2016年8月3日
例
给定系统的状态空间表达式为
0 0 0 1 1 1 0 x 0 u x 0 1 1 0
* 1 2 * 2, 3 1 j 3
y 0 1 1x
0 ，对任意常值都是非奇异的。 I
因此对任意的 和K，均有
rank I A BK B rank I A B
说明，状态反馈不改变原系统的能控性
2016年8月3日
例
系统
1 2 0 x u ： x 3 1 1
Ax Bu Ax B(V Kx) ( A BK ) x BV x y Cx Du Cx D(V Kx) C DK x DV
2016年8月3日5.1.2 Nhomakorabea出反馈当
D 0 时，输出反馈系统动态方程为
A BHC x BV x y Cx
C ( s) 1 1 3 R( s) s( s 6)( s 12) s 18s 2 72s
要求性能指标为：：①超调量： % 5% ；②峰值时 间： t p 0.5s ；③系统带宽： b 10 ；④位置误 差 ep 0 。试用极点配置法进行综合。 解 （1）原系统能控标准形动态方程为
状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计 的主要内容。
2016年8月3日
5.1 反馈控制结构
5.1.1 状态反馈
给定系统
Ax Bu x y Cx Du
在系统中引入反馈控制律
u = V - Kx
则闭环系统 的结构如图 5-1 所示。
2016年8月3日
状态空间表达式为：
2016年8月3日
5.1.3 状态反馈系统的性质 定理5-1 对于任何常值反馈阵K，状态反馈系统 能控的充分必要条件是原系统能控。
证明 对任意的K阵，均有
I A BK
I B I A B K
0 I
I 上式中等式右边的矩阵 K
证: 只就单输入系统的情况证明本定理 充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换 ~ x Px 必能将它变为能控标准形
:
，
bu Ax x du y cx
1 a n 1 1 a1
P 为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有 这里，
将已知数据代入，从前3个指标可以分别求出：
0.707, n 9.0
b 9.0
综合考虑响应速度和带宽要求，取 n 10 。于是，闭环主导 极点为 s1,2 7.07 j7.07 ，取非主导极点为 s3 10n 100
2016年8月3日
3） 确定状态反馈矩阵 状态反馈系统的期望特征多项式为
比较两多项式同次幂的系数，有 ：
2 k 4 , 2 k k 1 8, k k k 8
1 1 2 1 2 3
得： k1 2, k2 3, k 3 3 即得状态反馈增益矩阵为:
k 2 3 3
与解法1的结果相同
2016年8月3日
例5-3 设被控系统传递函数为
2016年8月3日
对应特征多项式为
s3 18s 2 72s
（2）根据技术指标确定希望极点
系统有三个极点，为方便，选一对主导极点 ，另外 一个为可忽略影响的非主导极点。已知的指标计算公式为：
s1 , s2
% e
tp
1 2
n 1 2
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
2016年8月3日
解法2：直接法
解：设所需的状态反馈增益矩阵k为 k k1 k2 k3 因为经过状态反馈 u v kx 后，闭环系统 的
特征多项式为
f s det sI A bk
s 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 k det 0 s 0 1 0 0 s 0 1 1 0 k2 k 3
的闭环特征方程为 系统 K
1 a1 kn
~ n1 ~ ~ n 2 s (a1 kn )s (a2 kn1 )s (an k1 ) 0
n
2016年8月3日
同时，由指定的任意 n 个期望闭环极点*1 , * 2 ,, * n
2016年8月3日
由此即有
~ k1 a n * a n ~ * k 2 a n 1 a n 1 ~ * k a 1 a1 n
v Kx u v Kx v KP1 x
又因为
所以
K KP
2016年8月3日
可求得期望的闭环特征方程
(s )(s 2 )(s
* 1 * * n
) s a s
n
* n 1 1
a
* n 1
s an 0
*
通过比较系数，可知 ~ a1 k n a1* ~ * a 2 k n 1 a 2 ~ * a k a 1 n n
1
5)
1 2 1 0 0 1 0 1 1 P Q 1 1 1 0 1 0 0 1 2 1
6)
0 0 1 8 7 2 0 1 1 2 3 3 k kP 1 2 1
Kv Kv Gyu ( s) 3 2 ( s 100)( s 14.1s 100) s 114.1s 2 1510 s 10000
因为 所以
2016年8月3日
1 e p lim s Geu ( s ) lim[1 G yu ( s )] 0 s 0 s 0 s
lim G yu ( s ) 1 ，可以求出 s 0
Kv 10000
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈 u [3 1]x V 则闭环系统 K的状态空间表达式为 1 2 0 K ： x x v 0 0 1
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再 能观测。
2016年8月3日
5.2 系统的极点配置
s3 2 k1 s2 2k1 k2 1 s k1 k2 k3
2016年8月3日
求得闭环期望特征多项式为
f s s 2 s 1 j 3 s 1 j 3 s 3 4s 2 8s 8
sI ( A bK ) (s 100)(s2 14.1s 100) s3 114.1s2 1510s 10000
由此，求得状态反馈矩阵为
K 10000 0 1510 72 114.1 18 10000 1438 96.1
（4）确定输入放大系数 状态反馈系统闭环传递函数为：
1 0 1 0 x1 0 x x x 0 u 2 0 0 1 2 3 x 0 72 18 x3 1 x1 y 1 0 0 x 2 x3
第5 章 极点配置与观测器的设计
舒欣梅 西华大学电气信息学院
2016年8月3日
第5章 极点配置与观测器的设计
5.1 反馈控制结构
5.2 系统的极点配置
5.3 状态解耦
5.4 观测器及其设计方法
5.5 带状态观测器的反馈系统
5.6 MATLAB在控制系统综合中的应用
2016年8月3日
综合与设计问题，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。 一般说来，这种控制规律常取反馈形式。 经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装臵来配 臵闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除 了利用输出反馈以外，更主要是利用状态反馈配臵极点，它能提 供更多的校正信息。 由于状态反馈提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需 要用可测量的输入输出重新构造状态观测器得到状态估计值。
K阵的求法
根据能控标准形求解
求线性变换P阵，将原系统变换为能控标准 形。然后根据要求的极点配臵，计算状态 反馈阵 K a a , a a , , a n n 1 n 1 1 a1 n
将 K 变换为 K KP 1 根据要求极点，写出希望闭环特征多项式 n * 令 sI A BK f s s * i 1 求解
的状态空间表达式为 则闭环系统 K
)x bK (A bv x : K )x dK dv y (c
2016年8月3日
其中，显然有
1 0 ) bK (A a k a k n 1 2 n 1
得
a1 2, a2 1, a3 0.
s 3 4s 2 8s 8
2) 由 (s 1* )(s 2* )(s 3* ) (s 2)(s 1 j 3 )(s 1 j 3 ) 得
a 4, a 8, a 8.
* 1
2
3
k a a , a a , a 3 2 2 1 a1 8, 7, 2 3) 3