高中数学双曲线的简单几何性质(经典)

双曲线的简单几何性质

【知识点1】双曲线22a x -2

2b y ＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.

(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2

＝a 2

+b 2

.

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a b

x ，或令双曲线标准方程22a x -2

2b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c

＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2

(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.

(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -2

2b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注

意方程的表达形式.

注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -2

2b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2

-λ＞0时

为椭圆， b 2

＜λ＜a 2

时为双曲线)

（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c

(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2

，与椭圆相同.

1、写出双曲线方程125492

2

-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程

2、已知双曲线的渐近线方程为x y 4

3

±=，求双曲线的离心率

3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程

4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为4

3

，求双曲线的标准方程。

5、求与双曲线

22

1169

x y -=共渐近线，且经过()

23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．

【知识点2】弦长与中点弦问题

（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长 ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ]4)[()11(1

1212

212

122

y y y y k y y k -+⋅+

=-⋅+

=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想. （2）．中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为椭

圆12222=+b y a x （a>b>0）上不同的两点，M(x 0，y 0)是AB 的中点，则K AB K OM =22a b -；对于双曲线12222

=-b

y a x （a>0，b>0），类似可得：K AB K OM =22a

b ；对于y 2=2px （p ≠0）抛物线有K AB ＝212y y p

+；另外，也可以用韦达定理来处理.

【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P 作直线与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>只有一个交

点，这样的直线有几条？（几何角度）

6、若y=kx-1与双曲线2

2

4x y -=只有一个公共点,求k 的范围.

【变1】有两个公共点？【变2】无公共点？【变3】与右支有两个公共点？【变4】与右支只有一个公共点？

7、过双曲线2

2

12

y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？

【题型2】双曲线离心率的求法

一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率，双曲

线的离心率

，抛物线的离心率

来解决。

8、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂

足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________．

9、已知双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2

－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C

的圆心，则该双曲线的方程为________．

二、直接求出a 、c ，求解e ：已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式

来解决。

10、点P （－3，1）在椭圆（）的左准线上，过点P 且方向为的光线经

直线

反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【 】.

A. B. C. D.

三、构造a ，c 齐次式，解出：根据题设条件关系式，借助之间的关系，沟通的关系（特别是

齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e 。 11、已知

是双曲线

的两焦点，以线段为边作正三角形，若边

的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【 】.

A. B. C. D.

12、过双曲线＝1的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为

直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________。