定积分的定义 ppt课件

【互动探究】本题2若改为“求定积分
3
3
9x2dx
的值”，
结果怎样？
【解题指南】根据定积分的几何意义，通过求规则图形的面
积求定积分的值.
【解析】被积函数 y 9的图x2象是以原点为圆心，半径
r=3的圆位于x轴下方的部分（包括与x轴的交点）. 由积分的
几何意义可知，定积分
3
3
9表x2示dx此半圆的面积S=
因为
2 0
2
x
表d x 示x=0,x=2,y=0,y=2x围成的图形的面积，
132 的 9相反数，故
2
2
3
9x2dx9.
3
2
【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步 骤 （1）准确画出各曲线围成的平面区域. （2）把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下 方有没有区域. （3）解曲线组成的方程组确定积分的上、下限. （4）根据积分的性质写出结果.
类型 三 定积分性质的应用
二、定积分的运算性质 正确理解定积分的性质，思考下列问题： 探究1:定积分的性质（2）能推广到多个函数和或差的定积分 运算吗？ 提示:能.推广公式为
a［ b （ f1x） f（ 2x） f（ mx） ］ dx ab（ f1x） dxabf（ 2x） dx abf（ mx） dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和
类型 一 利用定义求定积分
1.利用定积分的定义求
1 x2 2 dx 0
的值.
【技法点拨】用定义法求积分的步骤
（1）分割：将积分区间［a,b］n等分.
（2）近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，可取ξi=xi-1或者
ξi=xi.
（3）求和：n
i1
b
n
a
f（i）.
（4）求极限：abf（ x） dxlni m i n1bn af（ i） .
吗？
提示:能.推广公式为
b f（ x ） d xc 1f（ x ） d xc 2f（ x ） d x bf（ x ） d x
a
a
c 1
c k
（ a c 1 c 2 c k b ） .
【探究提升】定积分的运算性质的关注点 （1）线性运算：定积分的性质（1）（2）称为定积分的线 性运算，等式两边积分区间保持不变. (2)区间可加性：定积分的性质（3），称为定积分对积分区 间的可加性，等式右边任意两个积分区间的交集都是空集， 各个积分区间的并集等于左边的积分区间.
2.定积分 3 3
9 x2 dx
的几何意义是什么？
【解题指南】1.根据定积分的几何意义,通过求相应图形的面
积求定积分的值.
2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答.
【解析】1.（1）
1 0
2
d
表x 示的是图（1）中阴影所示长方形的
面积，由于这个长方形的面积为2，所以
1
0
2dx
2.
答案:2
积分号
积分上限
积分下限
被积函数
2.定积分的几何意义
如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且恒有_f_(_x_)_≥__0_，那么定
积分
b
a f
x
dx
表示由直线_x_=_a_,_x_=_b_,_y_=_0_和曲线_y_=_f_(_x_)_所围
成的曲边梯形的面积.
3.定积分的性质
（1） abkfxdx_k__ a_ b f__ x__ d_x__ （k为常数). （2） a ［ bf 1 x f 2 x ］ d x _ a_ b_ f1_ _ x_ _ d_ x_ _ _ _ ab_ f_ 2_ x _ _ d _ x _ . （3） a b f x d x _ a c _ f _ _ x _ _ d _ x _ _ _ _ c b _ f _ _ x _ _ d _ x _ _ 其 _ _ 中 _ _ a _ _ _ c _ _ _ b _ .
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成 两个定积分的和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积 分的差,然后再根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
2fx d x1 x 1 d x22 x 2 d x .
0
0
1
2. 0 ［ 2fx － 2 x ］ d x 0 2 fx d x － 0 2 2 x d x
所以 2x1dxlim 5n－ 15.
1
n 2n 2
类型 二 定积分几何意义的应用
根据定积分的几何意义结合函数图象求解定积分的值，
并总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤.
1.利用定积分的几何意义填空.
(1)
1
2dx______________.
0
2
(2) 1xdx______________.
(2)
2 1
x
表d x 示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯形的面积为 3 所, 以
2
答案: 3
2
2 xdx
3
.
1
2
2.被积函数 y 9的x图2 象是以原点为圆心，半径r=3的圆
位于x轴上方的部分（包括与x轴的交点）. 由积分的几何意
义可知，定积分 3 3
9表x2示dx此半圆的面积.
熟练根据定积分的性质进行相关的运算，并总结利用定
积分的性质求定积分的策略.
1.已知
fx2xx21,1,0xx21,,
则
2
0
f
x
dx
(
)
A . 2x1dxB . 22x2dx
0
0
C .1x1dx22x2dxD . 12x2dx2x1dx
0
1
0
1
2.已知 0 2 f x d x 8 ,则 0 ［ 2fx － 2 x ］ d x _ _ _ _ _ _ _ _ .
1.5.3 定积分的概念
1.定积分的概念
（1）定积分的定义式 bf（ x ） d x _ lni_ m_ _ i_ n1_ b_ _ n_ a_ f_ （ _ _ _ i） _ . a
(2)积分下限_a_，积分上限_b_，积分区间_［__a_,_b_］__，被积函
数_f_(_x_)_,积分变量x,被积式_f_(_x_)_d_x_.
【变式训练】利用定积分的定义计算
2
1
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1 dx 的值.
【解析】把区间［1,2］分成n等份,
每个小区间的长度为 x 1 ,
n
在 [xi－ 1,xi][1i上－ n1 取,1n i]
ixi－ 11i－ n1i1 ,2, ,n,
所以 fi11i－ n12i－ n1.
作积求和 i n 1fi xi n 1(2i－ n1)g n 15n 2 － n1 ，