2020届辽宁省沈阳市郊联体高三第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2020届辽宁省沈阳市郊联体高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则M∪N＝（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（2，3] D．（1，3）【答案】A【解析】根据题意，求出集合M、N，由并集的定义计算可得答案．【详解】根据题意，M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则M∪N＝[﹣1，+∞）；故选：A．【点睛】本题考查集合并集的计算，一元二次不等式解法，关键是求出集合M、N，属于基础题．2．若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（）A．3 B．C．D．﹣3【答案】D【解析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．根据图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（）A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C．2008年我国实际利用外资同比增速最大D．2010年以来我国实际利用外资同比增速最大【答案】C【解析】根据图表中的数据对选项逐项分析．【详解】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，所以选项B错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C．【点睛】本题主要考查对图表信息的提取能力，难度不大，属于基础题．4．世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（）A．磅B．磅C．磅D．磅【答案】D【解析】设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为的形式，由此求得最小分的磅数.【详解】由于数列为等差数列，设最小一份为，且公差为，依题意可知，即，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查数学史，考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.5．函数f（x）＝xe﹣|x|的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的定义域为，，所以函数为奇函数，排除A，B；当时，，因为，所以，即在时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.6．正方体A1C中，E、F为AB、B1B中点，则A1E、C1F所成的角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，分别求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．【详解】如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，1，0），C1（0，2，2），F（2，2，1），则，，∴cos．∴A1E、C1F所成的角的正弦值为．故选：B．【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，准确计算是关键，是中档题．7．设，是非零向量，则“”是“2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8．在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A．2 B．C．4 D．【答案】C【解析】设圆的方程为,代入，求得圆的方程，令，解得圆M与轴的交点坐标，即可得到答案.【详解】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长问题，其中解答中利用待定系数法求得圆的方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．已知函数f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+2，则（）A．曲线y＝f（x）+g（x）不是轴对称图形B．曲线y＝f（x）﹣g（x）是中心对称图形C．函数y＝f（x）g（x）是周期函数D．函数最大值为【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）＝sinπx，为轴对称图形，且其中一条对称轴为x，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，为轴对称图形，且其对称轴为x，故y＝f（x）+g（x）＝sinπx+（x2﹣x+2）是轴对称图形，且其对称轴为x，A错误；对于B，g（x）＝x2﹣x+2，不是中心对称图形，则曲线y＝f（x）﹣g（x）不是中心对称图形，B错误；对于C，g（x）＝x2﹣x+2不是周期函数，f（x）g（x）＝（sinπx）（x2﹣x+2）不是周期函数，C错误；对于D，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，当x时，g（x）取得最小值，而f（x）＝sinπx，当x时，f（x）取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选：D．【点睛】本题考查函数的对称性、周期性和最值，推理求解能力，关键掌握函数的性质，属于基础题．10．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．11．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球面面积为（）A．42πB．48πC．54πD．60π【答案】C【解析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】如图，设球的半径为R，O′是△ABC的外心，外接圆半径为r，则OO′⊥面ABC．在Rt△ACD中，cos A，则sin A．在△ABC中，由正弦定理得2r，r，△ABC外接圆的半径，．故选：C．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．12．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【答案】A【解析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.二、填空题13．已知数列{an}满足a1，an+1＝1，则a5＝_____．【答案】-1【解析】根据递推关系逐项求值即可【详解】数列{a n}满足a1，a n+1＝1，则a2＝﹣1，a3＝12，a4＝1，a5＝11．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查数列的求值，推理计算能力，准确计算是关键，是基础题14．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是_____．【答案】【解析】试题分析：以为邻边作平行四边形，则因为，即，所以,由此可得是边上的中线的中点，点到的距离等于到距离的，所以，由几何概型可知将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是.【考点】平面向量的线性运算与几何概型.15．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为C，D．若|AF|＝4|BF|，则|CD|＝_____．【答案】【解析】设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．16．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE＝α，∠ADE＝β，垂直放置的标杆BC 的高度h＝4米，大雁塔高度H＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d为_____米．【答案】.【解析】根据题意建立函数关系式，再根据基本不等式求最值，确定标杆到大雁塔的距离.【详解】由题意得，因此，当且仅当时取等号，因此当时，取最大值，即取最大，即标杆到大雁塔的距离为.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题17．在△ABC中，a＝3，，B＝2A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）试比较∠B与∠C的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）∠B＜∠C【解析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得cosA的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求cosB，进而可求sinB的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC的值，由于cosB＞cosC，根据余弦函数的图象和性质可求∠B＜∠C．【详解】（Ⅰ）∵a＝3，，B＝2A．∴由正弦定理可得：，∴cosA；（Ⅱ）∵A∈（0，π），可得：sinA，∵B＝2A，∴cosB＝cos2A＝2cos2A﹣1，∴sinB，∵A+B+C＝π，∴cosC＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB，∴cosB＞cosC，又∵函数y＝cosx在（0，π）上单调递减，且B，C∈（0，π），∴∠B＜∠C【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），[300，350），[350，400）（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．（1）经计算估计这组数据的中位数；（2）现按分层抽样从质量为[250，300），[300，350）的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300，350）内的概率．（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）268.75；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图和中位数的定义求解．（2）有分层抽样可得，应从内抽取4个芒果，从内抽取2个芒果，列举出从6个中任取3个的所有可能情况，然后判断出这个芒果中恰有个在的所有情况，根据古典概型概率公式求解．（3）分别求出两种收购方案中的获利情况，然后做出选择．试题解析：（1）由频率分布直方图可得，前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在内，设中位数为，则有，解得．故中位数为268.75.（2）设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为. 从这6个芒果中选出3个的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计20种，其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，，共计12种，因此概率．（3）方案A：．方案B：由题意得低于250克：元；高于或等于250克元故的总计元．由于，故B方案获利更多，应选B方案．点睛：利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和；(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP ＝90°，面ADP⊥面ABCD，点F为棱PD的中点．（1）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥面PCE，并说明理由；（2）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．【答案】（1）见解析；（2）45°【解析】（1）点E为棱AB的中点取PC的中点Q，连结EQ、FQ，推导出四边形AEQF为平行四边形，从而AF∥EQ，由此能证明AF∥平面PEC．（2）推导出ED⊥CD，PD⊥AD，且从而PD⊥面ABCD，故以D为坐标原点建立空间坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面ABCD所成的角．【详解】（1）在棱AB上存在点E，使得AF∥面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且，AE∥CD且，故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四边形AEQF为平行四边形．所以，A F∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，所以，AF∥平面PEC．（2）由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且面ADP⊥面ABCD，面ADP∩面ABCD＝AD，所以PD⊥面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间坐标系，设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），，，，设平面FBC的法向量为，则由得，令x＝1，则，，所以取，显然可取平面DFC的法向量，由题意：，所以a＝1．由于PD⊥面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，易知在Rt△PBD中，从而∠PBD＝45°，所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°．【点睛】本题考查满足线面平行的点的位置的判断与证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C 上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM，求证：∠PFQ为定值．【答案】（Ⅰ）k AM∈（，0）（0，）；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据题意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可求得直线AM的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F（，0），M（x0，y0），可得直线AM的方程，求出点P的坐标，再根据直线平行，求出直线AQ的方程，求出Q的坐标，根据向量的数量积即可求出•0，即可证明．【详解】Ⅰ）由题意可得c2＝a2﹣2，∵e，∴a＝2，c，∴椭圆的方程为1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得m，又∵A（﹣2，0），∴直线AM的斜率k AM∈（，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴k AM∈（，0）（0，），（Ⅱ）由题意F（，0），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1，直线AM的方程为y（x+2），令x＝0，得点P的坐标为（0，），∵k BM=k AQ，∴直线AQ的方程为y（x+2），令x＝0，得点Q的坐标为（0，），由（，），（，），∴•20，∴⊥，即∠PFQ＝90°，故∠PFQ为定值【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线的斜率，点在椭圆上的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题21．设函数．（Ⅰ）当曲线y＝f（x）在点（1，f（，1））处的切线与直线y＝x垂直时，求a的值；（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（2）方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根.设函数，根据单调性即可进行求解.试题解析：由题意知，函数的定义域为，，∴，解得. （2）若函数有两个零点，则方程恰有两个不相等的正实根，即方程恰有两个不相等的正实根.设函数，∴.当时，恒成立，则函数在上是增函数，∴函数最多一个零点，不合题意，舍去；当时，令，解得，令，解得，则函数在内单调递减，在上单调递增.易知时，恒成立，要使函数有2个正零点，则的最小值，即，即，∵，∴，解得，即实数的取值范围为.22．已知曲线C的极坐标方程为，直线，直线．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；（2）已知直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB 的面积．【答案】（1）；；为参数；（2）.【解析】（1）利用直角坐标和极坐标的互化原则直接转化即可；（2）根据极坐标的关系，求解出和，利用三角形面积公式直接求得结果.【详解】（1）直线的直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为：，且曲线的直角坐标方程为：即（2）曲线的极坐标方程为：当时，当时，【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化、极坐标应用问题，关键在于能够利用极坐标的求解出三角形两邻边的长度，直接求得结果.23．已知f（x）＝﹣x+|2x+1|，不等式f（x）＜2的解集是M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：|ab|+1＞|a|+|b|．【答案】（Ⅰ）M＝{x|﹣1＜x＜1}；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）分，x去绝对值可得M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|a|＜1，|b|＜1，将不等式作差即可得证．【详解】（Ⅰ）当时，f（x）＝﹣x+2x+1＝x+1．由f（x）＜2，得x＜1，所以x＜1．当x时，f（x）＝﹣x﹣2x﹣1＝﹣3x﹣1．由f（x）＜2，得x＞﹣1，所以﹣1综上可知，M＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）因为a，b∈M，所以﹣1＜a，b＜1，即|a|＜1，|b|＜1所以|ab|+1﹣（|a|+|b|）＝（|a|﹣1）（|b|﹣1）＞0故|ab|+1＞|a|+|b|．【点睛】本题考查了绝对值不等式解法，考查了作差法证明不等式，准确计算是关键，属于中档题．第 21 页共 21 页。