椭圆参数方程应用
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。
本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。
一般都是这样定义的：椭圆1b )y y (a )x x (220220=-+-的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。
特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。
一、求椭圆的内接多边形的周长及面积y x 22（20π<α<），22b a 4+，例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。
则，α=+⨯+α=++=cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 4211921sin 6211y 21y y B A +α=+⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数），消去参数得116)3y (64x 22=-+。
三、求函数的最值例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。
解：点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 22=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，），则5553arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+α=+-α+α=。
当53arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当53arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。
椭圆参数方程的应用
椭圆参数方程的应用【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12).在极坐标中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点R 的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时点P 的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)．(2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2，∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 热点四 参数方程与极坐标方程的综合应用【例4】 (2016·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【解】 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.(2017·衡水模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α， (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.(1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，(φ为参数)． (2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧ x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0.所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，(2，π)．1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数) 当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．3．圆与椭圆的参数方程的异同点(1)圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数解决．(2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角．。
椭圆方程参数方程
椭圆方程参数方程1. 引言椭圆是数学中的一种曲线，具有特殊的几何性质和参数方程。
本文将介绍椭圆方程的参数方程以及相关的几何性质和应用。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
称F1和F2为椭圆的焦点，a为椭圆的半长轴。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
3. 椭圆的几何性质椭圆具有许多特殊的几何性质。
首先，椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即椭圆是一个凸曲线。
其次，椭圆的焦距等于2a*e，其中e 为离心率。
此外，椭圆的面积可以表示为πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有对称性，即关于x轴和y轴对称。
4. 椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在天文学中，椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳公转的轨道。
在物理学中，椭圆的参数方程可以用来描述电子在磁场中的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的参数方程可以用来设计椭圆形的建筑物或物体。
5. 椭圆的相关公式除了参数方程之外，椭圆还有一些重要的公式。
椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
6. 椭圆的应用举例椭圆的参数方程在实际生活中有许多应用。
例如，在地理学中，椭圆的参数方程可以用来描述地球的形状。
在航天工程中，椭圆的参数方程可以用来计算卫星的轨道。
在电子工程中，椭圆的参数方程可以用来设计天线的形状。
7. 总结通过本文的介绍，我们了解了椭圆方程的参数方程及其几何性质和应用。
椭圆是一种具有特殊几何性质的曲线，可以通过参数方程来描述。
椭圆的参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用，可以用来描述天体运动、轨道设计以及物体形状等。
掌握椭圆方程的参数方程，对于深入理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
椭圆的参数方程及其应用课件
通过模拟结果的分析，可以深入理解椭圆参数方程的性质，为后续 的应用提供基础。
椭圆参数方程的数值模拟在物理问题中的应用
力学问题
椭圆参数方程可以用于描述力学 问题中的椭圆运动轨迹，如行星
的运动轨迹等。
电磁学问题
椭圆参数方程可以用于描述电磁 学中的椭圆波函数，如电子的波
函数等。
流体力学问题
椭圆曲线上的线积分等问题。
椭圆的参数方程的积分学分析还 可以用于求解一些物理问题，如 质点的运动轨迹、振动问题等。
05
椭圆的参数方程的数值模拟
用数值模拟方法研究椭圆参数方程的性质
椭圆参数方程的表示形式
椭圆参数方程是一种用参数表示的椭圆方程，通过参数的变化可 以研究椭圆的形状和大小。
数值模拟方法
采用数值计算的方法来模拟椭圆参数方程的性质，如参数的变化对 椭圆形状的影响、椭圆的旋转等。
星绕太阳的运动轨迹可以用椭圆的参数方程表示。
02
椭圆参数方程的极坐标形式
在极坐标系中，椭圆的参数方程通常表示为半径r关于角度θ的函数。这
种形式可以直观地描述椭圆的形状和大小。
03
运动轨迹的解析方法
使用椭圆的参数方程描述物体运动轨迹时，可以通过解析方法求解轨迹
的形状和位置。例如，通过已知的行星运动规律，可以推导出其运动轨
椭圆参数方程可以用于描述流体 力学中的椭圆流动，如涡旋的流
动等。
06
椭圆的参数方程在科技论文中的应用
在物理学领域的应用
粒子运动轨迹
01
椭圆的参数方程可以描述许多物理现象中的粒子运动轨迹，例
如行星绕太阳的运动轨迹、电子在电场中的运动轨迹等。
波动现象
02
椭圆的参数方程可以描述一些波动现象，例如声波、电磁波等
(完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结
完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结概述椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。
在数学中，椭圆可以通过参数方程和极坐标方程进行描述和表示。
本文将详细介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，包括定义、推导以及应用等方面。
参数方程定义椭圆的参数方程通常由两个参数表示，分别是水平方向的参数t和垂直方向的参数u。
以坐标点(x,y)表示的椭圆上的任意一点，其参数方程可以用如下形式表示：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
参数方程推导为了推导出椭圆的参数方程，我们可以从椭圆的标准方程出发，即：x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心点坐标。
我们可以通过引入参数u，将标准方程中的变量x和y表示为：x = a * cos(u)y = b * sin(u)通过将x和y的表达式代入标准方程中，可以得到：a * cos(u) - h)^2 / a^2) + ((b * sin(u) - k)^2 / b^2) = 1进一步整理可得：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = 1因为`(cos(u))^2 + (sin(u))^2 = 1`，上式化简为：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = (cos(u))^2 / a^2 + ((sin(u))^2 /b^2) * (a^2 / b^2) = 1比较原式与化简式，可得：a^2 = 1b^2 = a^2 / b^2由此，我们得到了椭圆的参数方程。
极坐标方程定义椭圆的极坐标方程由一个参数θ表示，以坐标点(r,θ)表示的椭圆上的任意一点，其极坐标方程可以用如下形式表示：r(θ) = a * b / sqrt((b * cos(θ))^2 + (a * sin(θ))^2)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的参数方程及其应用
椭圆的参数方程及其应用中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：① 椭圆22221x y a b+=（a >b>0）的参数方程是 cos ,(2sin x a y b θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数方程,且0). ②椭圆22221(0)x y a b b a +=>>的参数方程是cos ,(,02).sin x b y a θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数且 在利用 cos ,sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩研究椭圆问题时，这时椭圆上的点的坐标可记作（cos ,sin a b θθ），结合直角坐标同时并用，常常很方便，下面举例说明椭圆参数方程的应用。
1、求轨迹方程例1 已知椭圆方程为22221x y a b+=，椭圆长轴的左、右顶点分别为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点，引 A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，且A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程。
解：设椭圆的参数方程为cos ,(2sin x a y b θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数,且0).则P 点坐标为（ cos ,sin a b θθ ），由题意知，cos θ≠1，sin θ≠0 . ∵1sin cos A P b k a a θθ=+ 2sin cos A P b k a a θθ=- ∴111(cos 1),sin A Q A P a k k b θθ-+==- 221(cos 1).sin A Q A P a k k b θθ--==- ∴A 1Q 的方程为y=(cos 1)().sin a x a b θθ+-+ ① A 2Q 的方程为y=(cos 1)().sin a x a b θθ--- ② ①×② ，得22222(cos 1)sin a y b θθ-=·(x 2－a 2)=－22a b (x 2－a 2) . 化简整理，得224221(0),x y a ab λ+=≠即为所求的轨迹方程。
「高中数学椭圆的参数方程的几点应用」
「高中数学椭圆的参数方程的几点应用」1.行星轨道椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳的轨道。
根据开普勒第一定律，行星轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
通过给定行星的离心率、半长轴和焦点的位置，可以得到行星在任意时间的位置。
这种方法对于研究行星运动和预测行星位置等方面有重要的应用。
2.船只的航海问题在船只的航海问题中，船只从A点出发经过几个固定的轨迹点到达B 点。
如果船只的航行速度和方向是已知的，可以用椭圆的参数方程来描述轨迹。
这样可以帮助船只确定航线，避免与障碍物相撞。
3.天文测量在天文学中，使用椭圆参数方程可以描述行星、彗星和其他天体的轨道。
通过观测这些天体的位置和运动，并将其拟合到椭圆参数方程中，可以得到更精确的轨道参数，进而研究行星和天体的物理特性。
4.反射镜和抛物面反射椭圆是反射镜和抛物面反射的基础。
抛物面可以被看作是椭圆沿着一个焦点方向拉伸而形成的。
椭圆的参数方程可以用来描述反射镜的形状，使得光线可以聚焦到一个点上。
这种技术在望远镜、摄影镜头等光学仪器中有着广泛的应用。
5.电子轨道在量子物理中，电子围绕原子核的轨道也可以用椭圆参数方程来描述。
这种描述方法可以帮助研究和理解电子在原子中的分布和运动。
通过椭圆参数方程，可以计算电子的能级、轨道半径等物理参数，对于研究原子结构和化学键等方面有重要的应用。
以上是椭圆参数方程的几个应用。
椭圆作为一个重要的数学概念，在物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
椭圆参数方程作为椭圆的数学描述方法，可以帮助我们更准确地描述和计算各种现象，深化对椭圆曲线的理解，提高数学应用能力。
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
平面和椭球面相截所得的椭圆的参数方程及其应用
椭圆是一种抛物线。
它由两个有限点组成，这些点称为焦点，椭圆的形状由两
个焦点和一个有限的线的距离共同决定。
椭圆的参数方程表示的就是椭圆的几何形状，这往往可以帮助我们判断椭圆的性质。
椭圆的参数方程一般形式为x²/a²+y²/b²=1，其中a，b分别为两个焦点之间
的距离，a>b，a,b>0。
利用椭球面和平面相截得到的椭圆可以利用这个方程来表示：x²/a²+y²/b²=1，其中a,b分别为两个焦点之间的距离。
椭圆参数方程的应用十分广泛，比如在数学计算中应用椭圆可以更容易地计算
椭球面和平面的交点，椭圆参数方程在天文学中也有应用，它可以帮助我们求解太阳系中行星的轨道。
此外，椭圆参数方程也可以用于图像处理，可以利用椭圆参数方程计算图像中
物体轮廓的拟合，从而实现图像的识别处理等。
总之，椭圆的参数方程可以用于科学计算，天文学研究，图像处理等多个领域，也可以用来简化复杂的数学模型，为研究者提供有用的工具。
如何理解椭圆的参数方程
如何理解椭圆的参数方程椭圆作为一种常见的几何形状，在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆的参数方程是一种以参数表示的椭圆方程，它对于解决某些问题具有优势。
本文将介绍椭圆的几何性质、椭圆的参数方程的建立、椭圆参数方程的应用、椭圆参数方程与直角坐标方程的转化、椭圆参数方程在极坐标系中的应用、椭圆的参数方程的导数与曲线形状的关系以及椭圆的参数方程在数值计算中的应用。
1. 椭圆的几何性质椭圆是一种二次曲线，它由两个焦点和其周围的曲线组成。
椭圆的焦点到椭圆中心的距离之和等于常数，这个常数等于椭圆的长轴长。
椭圆的长轴在垂直方向上，短轴在水平方向上。
椭圆的中心位于两个焦点的连线上，离焦点越远，椭圆越大。
2. 椭圆的参数方程的建立椭圆的参数方程是以参数表示的椭圆方程，它通常用于解决某些问题。
参数方程的形式通常为：x = a * cosθ，y = b * sinθ其中a和b是椭圆的长半轴和短半轴长，θ是参数。
这个参数方程可以表示一个椭圆，其中焦点到中心的距离之和等于常数。
3. 椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程在解决某些问题时具有优势。
例如，在物理学中，椭圆的参数方程可用于描述振动的模式或旋转的轨迹。
在工程学中，椭圆的参数方程可用于设计图形或模型。
此外，椭圆的参数方程还可以用于数值计算和统计分析等领域。
4. 椭圆参数方程与直角坐标方程的转化椭圆的参数方程和直角坐标方程之间可以通过转换关系相互转化。
具体来说，将椭圆的参数方程中的参数θ用反正弦函数或反正切函数表示，即可得到椭圆的直角坐标方程。
同样地，将椭圆的直角坐标方程中的变量x和y用三角函数表示，即可得到椭圆的参数方程。
5. 椭圆的参数方程在极坐标系中的应用极坐标系是一种以极点为中心的坐标系，其中极径表示到极点的距离，极角表示方向角。
椭圆的参数方程也可以用于极坐标系中。
具体来说，将椭圆的参数方程中的x用极径表示，y用极角表示，即可得到椭圆的极坐标方程。
这个极坐标方程可以用来描述一个椭圆的极坐标图形。
谈谈椭圆参数方程的应用技巧
解题宝典中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为{x =a cos α,y =b sin α,α为参数；中心在原点、焦点在y 轴上的椭圆的参数方程为{x =b cos α,y =a sin α,α为参数，其中a 是椭圆的长半轴长、b 是短半轴长，α∈R .利用椭圆的参数方程可以将椭圆上任意一点的坐标用参数和三角函数式表示出来，如()a cos α,b sin α、()b cos α,a sin α.对于与椭圆上的动点有关的距离、角度、面积、周长的最值问题，运用椭圆的参数方程，可使问题快速获解.在解答与动点有关的椭圆最值问题时，可先将椭圆的普通方程化为参数方程，然后设出动点的坐标，将其代入两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、弦长公式等中，即可得到关于参数α的三角函数式，通过恒等变换将其化简，便可直接运用三角函数的有界性、单调性，求得最值.例1.求椭圆x 24+y 2=1上的点P 到直线l :x -y -25=0的最小距离.解：将椭圆的方程x 24+y 2=1化为{x =2cos α,y =sin α,α是参数，设点P 的坐标为（2cos α,sin α）,则点P 到直线l 的距离d =5=5sin(5，而≤1，所以5≤||5sin(α+φ)-25≤35,因此点P到直线l 的最小距离为d min ==首先将椭圆的方程化为参数方程，用参数表示出P 点的坐标，即可根据点到直线的距离公式求得P 点到直线的距离的表达式，再结合辅助角公式和正弦函数的有界性，就能求得距离的最小值.例2.求椭圆x 29+y 24=1上的点P 与点Q (1,0)之间距离的最小值.解：将椭圆的方程化为{x =3cos α,y =2sin α,α为参数，设点P 的坐标为（3cos α,2sin α）,则||PQ =(3cos α-1)2+(2sin α)2=当cos α=35时d 最小，||PQ min 即||PQ 的最小值为根据椭圆的参数方程设出椭圆上的点P 的坐标，便可根据两点间的距离公式求得PQ 的距离，然后利用三角函数、二次函数的单调性求解即可.例3.求椭圆x 24+y 23=1的内接矩形的最大面积.解：将椭圆的方程化为ìíîx =2cos α,y =3sin α,α为参数，取椭圆的内接矩形在第一象限内的顶点P ，设其坐标为（2cos α,3sin α）,其中α为锐角，则椭圆的内接矩形的长为4cos α,宽为23sin α,其面积为4cos α∙23sin α=43∙2sin αcos α=43sin 2α,而2α∈(0,π)，则sin 2α∈(0,1],所以43sin 2α∈(0,43],所以当2α=π2，即α=π4时，椭圆的内接矩形的最大面积为43.将椭圆的方程化为参数方程，并设出内接矩形在第一象限内的点的坐标，就能根据椭圆的对称性快速求得矩形的长、宽与面积的表达式，进而根据正弦函数的单调性求得面积的最值.由于椭圆的参数方程中的参数是与角相关的量，所以运用椭圆的参数方程解答与动点有关的椭圆最值问题，就需将问题转化为三角函数问题.在求得目标式后，再灵活运用三角函数中的基本公式、性质来辅助解题.（作者单位：陕西省神木市职业技术教育中心）贾淑婵43。
443第2课时圆椭圆的参数方程的应用
第2课时圆、椭圆的参数方程的应用i •能用曲线的参数方程去研究曲线的性质.2•会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题.［基础初探］1. 圆的参数方程x= a+ rcos a圆的参数方程的常见形式为彳（a为参数）.其中，参数a的y= b+ rsi n a几何意义是以圆心A（a, b）为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角.2. 椭圆的参数方程x= acos 0,椭圆的参数方程的常见形式为（0为参数）.y= bsin 0［思考探究］1. 椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？2 2【提示】椭圆+治=i（a>b>0）和圆x2+ y2= r2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同.2 2椭圆字+ y2=1可以变成圆x，2+ 丫2= 1.利用圆x' 2+ y' 2= 1的参数方程2 2（©是参数）可以得到椭圆a2+ b2= 1的参数方程d= :-_:—|2cos 0+ 3sin (—7|.132. 椭圆的参数方程中参数 ©的几何意义是什么?【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令a x ，1 by ，X ’ = cosx= acos- （©是参数）•因此，参数©的几何意义应是椭圆上任意一点M所y= bsin © 对应的圆的半径0A（或0B）的旋转角（称为离心角），而不是0M的旋转角，如图.［质疑手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1: _____________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________疑问2: _____________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________疑问3: _____________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________疑问4：____________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________在圆x2+ 2x+ y2= 0上求一点，使它到直线2x+ 3y—5= 0的距离最大.【自主解答】圆的方程x2+ 2x+ y2= 0可化为（x+ 1）2+ y2= 1，所以设圆的x=—1 + cos 0,参数方程为［y= sin 0设P( — 1 + cos 0, sin 0,则点P到直线2x+ 3y—5= 0的距离为|2 —1 + cos 0 + 3sin 0—5|=| 13sin 7|(其中sin a=耆；13.13即点P (—1—2133,—翠弓即为所求. ［再练一题］1.已知点P(x , y)在圆X 2 + y 2A 1上，求X 2 + 2xy + 3y 2的最大值和最小值.22l x =cos a 【解】 圆x + y = 1的参数方程为j( a 为参数).y = sin a2 2 2 . . 2.'x + 2xy + 3y = cos a+ 2cos osin a+ 3sin a1 + cos 2a 1 — cos 2a =2 + sin 2 a+3 x =2+ sin 2 a — cos 2a = 2+ 2si n(2 则当 a k n+)时，x 2 + 2xy + 3y 2取最大值为2+ 2,当 a kn — 8(k^Z )时，x 2 + 2xy + 3y 2 取最小值为 2— 2.适______________ 椭圆参数方程的应用已知实数x , y 满足3x + 2y = 6x ,求：(1) x + y 的最大值；(2) x 2 + y 2的取值范围.【导学号：98990035】【思路探究】 本题表面上看是代数题，但由于方程3x 2 + 2y 2 = 6x 可以表示 一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解.COS a= 3\j1313)• 当 sin( 0+ a = 一 1,3n0+ a= ~2,3 n即0="2 —a 时，d 取到最大值 13+ 7,13 13 ,此匕时—1 + cos A — 1 — 2,1313，y = sin 0= —3 1313，冗2【自主解答】 方程3x 2+ 2y 2= 6x ,即(x - 1)2+卷=2所以x + y 的最大值为1 +弓0=1 +2cos 0+ cos 2 0+ 3sin 2 A |-goW 0+ 2cos 0=因为 cos 旳一1,1］，所以 0W X 2 + y 2<4.x = acos 6,利用椭圆的参数方程* （6是参数）,将问题转化为三角函数问题y= bs in 6处理.［再练一题］x = acos 6,2 •在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为'「.（6为参数，$= bs in 6a>b>0）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴）中,直线I 与圆O 的极坐标方程分别为 p in ：0+nn=22m （m为非零常数）与 p= b.若直线I 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的 离心率为 ___________ .2 2【解析】 由已知可得椭圆标准方程为 拿+浮=1（a>b>0）.由p in 0+ 4 = "2^m 可得 p in 0+ p os 0= m ,即直线的普通方程为 x + y = m.又圆的普通方程为x 2+ y 2= b 2,不妨设直线I 经过椭圆C 的右焦点（c,0）,则得 c = m.又因为直线I 与圆O 相切，所以黑=b ,因此c ={2b,即c 2= 2（a 2-c 2）.整第4页x = 1 + cos0, 1.设；sin （ 0+ a （其中 tan 尸中, 旳0,2 n.))(2)x 2 + y 2 = (1 + cos 02+ ( ： ；sin 0)2*cos 0- 2)2+ 2,^sin 0.=1 +(1)x + y = 1 + cos 0+；sin 0【答案】-3［真题链接赏析］2 2f 岳(教材第47页例1)如图445，已知M 是椭圆鈴b 2- 1(a > b > 0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0, b)是椭圆的两个顶点，0为原点，求四边形 MAOB 的面积的最大值.图 4-4-5x - 1+*在平面直角坐标系xOy 中，已知直线I 的参数方程为x — cos 0, (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为 c . (0为参数).设直线I 与椭圆C 相比—2si n 0 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【命题意图】 知识：考查直线与椭圆的参数方程、 参数方程与普通方程的 互化以及直线与椭圆的位置关系等. 能力：通过参数方程与普通方程的互化及求 线段AB 长的过程，考查了运算求解能力.2【解】 椭圆C 的普通方程为X 2 +诗-1.X —将直线I 的参数方程［y -即 7t 2 + 16t -0，16 16-0，t 2- —所以 AB - |t 1 —12|-〒.1.已知圆的方程为x 2 + y 2-4x ，则它的参数方程是理, 得 a 2- 3 故椭圆C 的离心率为e -解得t 1 1+|t ，【解析】 X + y 2 = 4x 可化为(x — 2)2 + y 2 = 4, •••圆心为(2,0)，半径r = 2.x = 2+ 2cos 0,•••参数方程为』 (0为参数，0W 0<2n)y = 2s in 0x= 2 + 2cos 0,【答案】(0为参数，0W 0V 2n)y = 2sin 0x = 3^/2COS 6,2 •椭圆 厂(©为参数)的焦距是 _________ .y= 2^3si n 6【解析】 根据参数方程，可知a = 3 2, b = 2 3. ••c — ：‘3 '22- 2 . 3 2 ―：18— 12= 6, •••焦距为2c = 2 6. 【答案】 2 623.椭圆—+ y 2 = 1上的点到直线x —y + 6 = 0的距离的最小值为 _________ .【导学号：98990036】设P(U3COS 0, sin 0)是椭圆上的点，则点 P 到直线x — y + 6= 0 的距离当cos(0+ 6) = — 1时，d 取到最小值，最小值为2 2. 【答案】 2 24.点P(x ,y)在圆(x — 1)2 + (y — 1)2 = 1上运动，则3x + 4y 的最大值为 _____ ,【解析】 | '3cos 0- sin 0+ 6|n|2cos0+ 6+ 6|y的最小值为x【解析】 设 x = 1 + cos 0, y = 1 + sin 0,3所以 3x + 4y = 7+ 3cos 0+ 4sin 0= 7+ 5sin( 0+ a (其中 sin a= 5, 所以当sin(0+ a= 1时，3x + 4y 取到最大值12.y 1+ sin 0设 t == ，贝U sin 0— tcos 0= t — 1,x1+cos 0 从而寸 1 +12sin(0- a = t — 1(其中 sin a= / t 2,\/1+11t — 1cos a=— 7 —2),2= sin (0—a,+1 ：1+1【答案】 12 0我还有这些不足：(1) ____________________________________________________⑵ ____________________________________________我的课下提升方案：(1) ____________________________________________________⑵ ____________________________________________t — 1 所以” t 2三1,解得t >0,即x 的最小值为0.入。
椭圆的参数方程教学课件
• 椭圆的参数方程的推导 • 椭圆的参数方程的求解方法 • 椭圆的参数方程的应用举例 • 椭圆的参数方程的思考题与练习
题
01
引言
椭圆的定义与性质
椭圆的定义
一个椭圆是由一个焦点和两个点 之间的所有连线组成的图形。
椭圆的性质
椭圆是一个封闭图形，其长度和 宽度之间的比例是固定的。
椭圆与圆的关系及其应用
椭圆与圆的形状相似，但它们的方程 和性质存在差异。
当b=0时，椭圆变为圆，因此椭圆和 圆之间存在一种特殊的关系。
圆的方程为x^2+y^2=r^2，而椭圆 的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1， 其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半 轴。
在实际应用中，椭圆和圆可用于描述 物体运动的轨迹等。
利用三角恒等式，将三角函数、 角度、半径等参数联系起来， 推导出椭圆的参数方程。
通过对比和推导，得到椭圆的 参数方程的表达式。
椭圆的参数方程的几何意义
椭圆的参数方程中， 角度θ表示在椭圆上 的点的方位角，r表 示该点到椭圆中心的 距离。
椭圆的参数方程在极 坐标系中也有广泛的 应用。
通过参数方程，可以 清晰地描述椭圆上点 的位置和运动情况。
练习题：求解下列椭圆的参数方程。
1. 根据给定的a、b、c值，计算出椭圆的焦点到中心的距离d； 2. 根据d和c的关系，确定椭圆的偏心率e；
3. 利用e和a、b的关系，计算出椭圆的长轴和短轴的长度；
练习题：求解下列椭圆的参数方程。
01
4. 根据长轴和短轴的长度，以及 给定的θ值，计算出P点的极径ρ；
数学建模和数据处理
在掌握了椭圆的参数方程之后，可以通过数学建模和数据处理的方 法，解决与椭圆相关的实际问题，提高数学应用能力。
椭圆的参数方程及其应用
在航空航天工 程中，椭圆的 参数方程用于 描述飞行器的 轨迹和姿态控
制。
在土木工程中， 椭圆的参数方 程用于描述桥 梁、建筑等结 构的振动和稳
定性分析。
在电力系统工 程中，椭圆的 参数方程用于 描述交流电的 波形和稳定性。
参数方程在日常生活中的应用
卫星轨道计算： 椭圆的参数方程 在卫星轨道计算 中有着广泛的应 用，可以精确地 描述卫星的运行 轨迹。
物理实验：椭圆 的参数方程在物 理实验中也有着 重要的应用，例 如在研究抛物线 运动、行星运动 等实验中都需要 用到椭圆的参数 方程。
机械制造：椭圆 的参数方程在机 械制造领域也有 着广泛的应用， 例如在制造汽车、 飞机等机械时需 要用到椭圆的参 数方程来描述零 件的形状和尺寸。
经济学：椭圆的 参数方程在经济 学中也有着重要 的应用，例如在 研究股票价格、 供需关系等经济 问题时需要用到 椭圆的参数方程 来描述数据的变 化趋势。
参数方程在解决几何问题、物理问题等领域中有着广泛的应用，可以帮助 我们更方便地描述和分析曲线。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程定义 参数方程中各参数的意义 参数方程与直角坐标方程的转换 参数方程在几何学中的应用
参数方程的推导
椭圆参数方程的推导过程 参数方程与直角坐标方程的转换关系 参数方程的应用场景和优势 参数方程在解决实际问题中的应用案例
描述电子云分布： 在量子力学中，椭 圆的参数方程可以 用来描述电子云的 分布。
描述电磁波的传播 ：椭圆的参数方程 可以用来描述电磁 波在介质中的传播 路径。
描述振动和波动： 椭圆的参数方程可 以用来描述某些振 动和波动现象，如 弹簧振荡和波动传 播。
参数方程在工程学中的应用
椭圆参数方程 在机械工程中 的应用，例如 用于描述旋转 机械的振动特
椭圆的参数方程课件
利用复数推导椭圆的参数方程
总结词
深奥、抽象
详细描述
通过引入复数，利用复数的性质 推导椭圆的参数方程，这种方法 较为深奥、抽象，需要较高的数 学素养和理解能力。
05
椭圆的参数方程的扩展知 识
利用椭圆的参数方程研究圆
椭圆的参数方程与圆的参数方程之间的联系
通过椭圆的参数方程，可以推导出圆的参数方程，从而对圆进行更深入的研究。
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
• 将椭圆的参数方程转化为直角坐标方程，可以得 到以下形式
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
$$\begin{aligned} x = a\cos\theta \\
y = b\sin\theta
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
对应的直角坐标方程为
这个直角坐标方程描述了一个以$(a/2, b/2)$为圆心， $\sqrt{a^{2}/4 + b^{2}/4}$为半径的圆。
02
当t=0时，表示椭圆中心，当t在 实数范围内变化时，表示椭圆上 的点的横坐标在椭圆上移动。
椭圆的焦点与离心率
椭圆的焦点是指椭圆上与椭圆中 心距离相等的两个点，它们位于
椭圆的长轴上。
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭 圆中心的距离与椭圆长轴半径的
比值，用e表示。
当e增大时，椭圆变得更扁平； 当e减小时，椭圆变得更接近圆
\end{aligned}$$
$$(x - \frac{a}{2})^{2} + (y - \frac{b}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4}$$
02
椭圆的参数方程的几何意 义参数t的几何意义 Nhomakorabea01
椭圆的参数方程例题
椭圆可以用参数方程来表示，其中参数方程的变量可以是角度或参数t。
以下是一个椭圆的参数方程的例子：
在这个参数方程中，a表示椭圆的横向半轴长度，b表示椭圆的纵向半轴长度。
参数t的范围通常是[0, 2π]，可以根据需要进行调整。
例如，如果a = 3，b = 2，则椭圆的参数方程为：
通过在不同的t值上计算x和y的对应值，可以得到椭圆上的一系列点。
这些点连接在一起就形成了椭圆的轮廓。
【例题】
当a = 4、b = 2时，椭圆的参数方程为：
在这个例子中，椭圆的横向半轴长度为4，纵向半轴长度为2。
我们可以选择在[0, 2π]范围内取一些t值，然后计算相应的x和y坐标。
例如，当t = 0时：
因此，椭圆上的一点是(4, 0)。
再例如，当t = π/4时：
因此，椭圆上的一点是(2√2, √2)。
通过类似的方式，可以选择其他t值，计算得到椭圆上的更多点，从而绘制出整个椭圆的轮廓。
椭圆变参数方程
椭圆变参数方程椭圆是一个熟悉的几何图形，它有着独特的形状和性质。
在数学中，我们可以利用参数方程的方式来描述和研究椭圆，这也是一项非常重要的研究内容。
本文将介绍椭圆的参数方程，并探究其相关的性质和应用。
首先，我们可以通过一个简单的例子来理解椭圆的参数方程。
例如，我们希望以点$(a, 0)$和点$(-a,0)$为焦点，长轴长度为$2c$的椭圆的参数方程。
我们可以采用如下的参数方程：$$x = a\cos t \\y = c\sin t$$其中，$a$表示焦点的横向距离，$c$表示长轴的长度，$t$表示参数，$x$和$y$则表示椭圆上的点的坐标。
这个参数方程的意义是，在平面直角坐标系中，我们令$x$和$y$分别等于$a\cos t$和$c\sint$，得到的一组点就是椭圆上的点。
可以发现，当$t$从$0$变化到$2\pi$时，我们可以得到椭圆上的所有点。
同时，当长轴等于短轴时，即$a=c$时，上述参数方程也可以描述圆。
接下来，让我们来探究椭圆的一些性质。
首先，我们可以发现，参数方程中的$t$实际上是描述椭圆上一点相对于焦点距离的角度。
具体来说，当$t=0$时，点$(x,y)$位于椭圆的右焦点；当$t=\pi$时，点$(x,y)$位于椭圆的左焦点；当$t=\frac{\pi}{2}$时，点$(x,y)$位于椭圆的上端点；当$t=-\frac{\pi}{2}$时，点$(x,y)$位于椭圆的下端点。
此外，椭圆还有多种重要的性质，例如：椭圆的周长和面积分别为$4aE(e)$和$\pi ab$，其中$E(e)$为椭圆的椭圆积分，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$为椭圆的离心率，$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴长度。
此外，椭圆还有很多重要的应用，例如在天文学、物理学等领域中，椭圆被广泛用于描述行星轨道、电子轨道等。
总结一下，椭圆的参数方程是一种重要的数学描述方式，可以方便地描述椭圆上的点，并揭示出一些重要的性质和应用。
椭圆以焦点的参数方程
椭圆以焦点的参数方程1. 引言椭圆是数学中的一种重要几何图形，具有许多独特的性质和应用。
在几何学中，椭圆可以通过焦点和直线段之间的距离之和等于常数的性质来定义。
本文将介绍椭圆以焦点的参数方程，探讨其定义、性质和应用。
2. 椭圆的定义和参数方程椭圆可以通过焦点和直线段之间的距离之和等于常数的性质来定义。
假设焦点为F1和F2，直线段之间的距离之和为2a，椭圆上的任意一点P到焦点的距离之和为PF1 + PF2 = 2a。
椭圆的参数方程可以表示为： x = a cos(t) y = b sin(t)其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴，t为参数。
3. 椭圆的性质3.1. 焦点和直线段之间的距离之和根据椭圆的定义，焦点F1和F2到椭圆上的任意一点P的距离之和为常数2a。
这个性质可以用参数方程来证明。
首先，计算椭圆上一点P的坐标(x, y)到焦点F1和F2的距离之和： PF1 + PF2 = sqrt((x - a)^2 + y^2) + sqrt((x + a)^2 + y^2)将参数方程代入上式，得到： PF1 + PF2 = sqrt((a cos(t) - a)^2 +(b sin(t))^2) + sqrt((a cos(t) + a)^2 + (b sin(t))^2) = sqrt(a2cos^2(t) - 2a2cos(t) + a^2 + b^2sin^2(t)) + sqrt(a2cos^2(t) + 2a2cos(t) + a^2 + b^2sin^2(t)) =sqrt(a2(cos^2(t) + sin^2(t)) + b^2(sin2(t) + cos^2(t))) + sqrt(a2(cos^2(t) + sin^2(t)) + b^2(sin2(t) + cos^2(t))) = sqrt(a^2 + b^2) + sqrt(a^2 + b^2) = 2sqrt(a^2 + b^2)根据上述计算可知，焦点F1和F2到椭圆上的任意一点P的距离之和为常数2a。
高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例
高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例圆锥曲线是高中数学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在解析几何中，我们通常使用直角坐标系来描述这些曲线，但是在某些情况下，参数方程的使用会更加方便和有效。
本文将介绍圆锥曲线的参数方程解析方法，并举例说明其应用。
一、椭圆的参数方程解析椭圆是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，θ为参数。
通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点。
例如，给定一个椭圆，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解椭圆上的点。
当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (0, 2), (-3, 0), (0, -2)这些点恰好构成了一个椭圆。
椭圆的参数方程在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道通常可以近似为椭圆。
通过求解椭圆的参数方程，我们可以计算出行星在不同时间点的位置坐标，从而预测其轨道和运动状态。
二、双曲线的参数方程解析双曲线也是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*coshθy = b*sinhθ其中，a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴，θ为参数。
与椭圆类似，通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到双曲线上的所有点。
例如，给定一个双曲线，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解双曲线上的点。
当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (3.6, 1.6), (3, 3.5), (2.4, 4.8)这些点恰好构成了一个双曲线。
双曲线的参数方程在物理学和工程学中有着重要的应用。
例如，在电磁学中，双曲线可以用来描述电场和磁场的分布。
通过求解双曲线的参数方程，我们可以计算出电场和磁场在空间中的分布情况，从而研究电磁场的性质和应用。
三、抛物线的参数方程解析抛物线是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*t^2y = 2*a*t其中，a为抛物线的参数，t为参数。
椭圆参数方程y轴
椭圆参数方程y轴
椭圆参数方程y轴，在建筑当中受到了广泛应用，它可以有效地弥补矩形空间中所无法满足的各种连续遗漏，极大地提升了建筑风格和功能性，常被用于建筑的外墙、室内装修、屋顶等。
椭圆参数方程的必要条件是A > 0，以及一个椭参数C > 0，这个椭参数是定
义一个椭圆y轴的核心部分，一般情况下，此参数应小于一个特定的正数。
给定参数C，在椭圆的y轴上可以求出一条新的线段，两点直线段内恰有一个椭圆，同时
也就定义了一个椭圆参数方程。
在建筑当中，椭圆参数方程y轴可以帮助建筑延伸一个统一而独特的造型，同时，它也保证空间里的连续性和完整性，一般来说，这种空间性需求可以得到极高的满足度。
此外，在如此精致的建筑当中，以及其他场景，焦点的重点更多去体现艺术性，因而椭圆参数方程y轴可以轻易满足这样的需求，为建筑带来极大的装饰和美感效果。
总之，椭圆参数方程y轴在建筑当中具有广泛的应用，不仅可以补足矩形空间
中所无法满足的各种遗漏，而且能够为建筑带来全新的风格和功能，帮助将设计者的计划变为现实，打造出一种高雅又不失活力的建筑境界。
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椭圆的参数方程及其应用
大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。
本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。
一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (22022
0=-+-的参数方程是⎩⎨⎧α
+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。
特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是⎩⎨
⎧α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。
一、求椭圆的内接多边形的周长及面积
例1 求椭圆)0b a (1b
y a x 22
22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。
解：如图，设椭圆1b
y a x 2222=+的内接矩形在第一象限的顶点是A （ααsin b cos a ，）（20π<α<），矩形的面积和周长分别是S 、L 。
ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α⋅α=⨯=，
当且仅当4a π
=时，22max b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，
22max b a 4L +=，此时α存在。
二、求轨迹
例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2
1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。
解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，）
，并且设M （x ，y ）。
则，α=+⨯+α=++=cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 42
11921sin 6211y 21y y B A +α=+⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩
⎨⎧+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116
)3y (64x 2
2=-+。
三、求函数的最值
例3 设点P （x ，y ）在椭圆19
y 16x 2
2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。
解：点P （x ，y ）在椭圆19
y 16x 2
2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则5553arcsin sin 53
4|5sin 4cos 3|d 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+α=+-α+α=。
当5
3arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5
3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。
四、求解有关离心率等入手比较困难的问题
例4 椭圆)0b a (1b
y a x 22
22>>=+与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原点，若这个椭圆上存在点P ，使得OP ⊥AP 。
求该椭圆的离心率e 的取值范围。
解：设椭圆)0b a (1b
y a x 22
22>>=+上的点P 的坐标是（ααsin b cos a ，）（α≠0且α≠π），A （a ，0）。
则a cos a 0sin b k cos a sin b k AP OP -α-α=αα=
，。
而OP ⊥AP ， 于是1a
cos a 0sin b cos a sin b -=-α-α⋅αα，整理得0b cos a cos )b a (22222=+α-α- 解得1cos =α（舍去），或2
22
b a b cos -=α。
因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。
可转化为1e
e 1122<-<-，解得21e 2>，于是1e 22<<。
故离心率e 的取值范围是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛122，。