八年级数学几何综合复习
人教版数学八年级上几何知识要点
八年级数学上册几何知识点总结1.三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形三边的关系（重点）（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b3三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD 叫做△ABC的边BC上的高。
4三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
5三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。
三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。
6.三角形具有稳定性7.三角形的内角和定理三角形的内角和为180°8.直角三角形两个锐角的关系直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
9三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角10.三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
11.一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(−nn12.n边形的内角和定理n边形的内角和为(n−2)∙180°13.n边形的外角和定理多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
14.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；15.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS）（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
人教版八年级数学下册期末复习专题在直角坐标系中求几何图形的面积(含答案)
人教版八年级数学下册期末复习专题训练——在直角坐标系中求几何图形的面积1.如图，四边形是矩形，点，在坐标轴上，是由绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点，线段＝2，＝4（1）求直线的解析式．（2）求的面积．2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC的面积；（3）求四边形ADOC的面积；（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4的解集和不等式﹣x+4≤0的解集．3.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b 与y=﹣2x+4是“平行一次函数”（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的，求y=kx+b的解析式．4.如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式5.如图1，直线3=xy分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为(－3，0)，D -3+3为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E(1) 点B的坐标为__________，不等式+-x的解集为___________3>33(2) 若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标(3) 如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°．当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式.6.在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．（1）求a的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．7.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=10，点A、B的坐标分别为（2，0）、（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x﹣5上时，求线段BC扫过的面积8.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；9. 如图,已知直线343+=x y 与坐标轴交于B,C 两点,点A 是x 轴正半轴上一点,并且15=∆ABC S .点F 是线段AB 上一动点(不与端点重合),过点F 作FE ∥x 轴,交BC 于E.(1) 求AB 所在直线的解析式;(2) 若FD ⊥x 轴于D,且点D 的坐标为)0,(m ,请用含m 的代数式,表示DF 与EF 的长;(3) 在x 轴上是否存在一点P,使得△PEF 为等腰直角三角形,若存在,请直接写出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），与x 轴交于点B ．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD 与（1）中所求的直线相交于点D （﹣1，n ），点A 的坐标为（﹣3，0）．①求n 的值及直线AD 的解析式； ②求△ABD 的面积；③点M 是直线y=﹣2x+a 上的一点（不与点B 重合），且点M 的横坐标为m ，求△ABM 的面积S 与m 之间的关系式．11.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．12.如图，边长为5的正方形OABC的顶点0在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是0A边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3，O)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．13.已知一次函数的图象经过（1，1）和（﹣1，﹣5）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出该图象与两坐标轴围成的三角形的面积．14.直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋4(k≠0)与y轴交于点A.(1)如图，直线y＝－2x＋1与直线y＝kx＋4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②直线y＝－2x＋1、直线y＝kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于____________；(2)直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点E(x0，0)，若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．16.如图，己知直线l：y=x+1（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若P是x轴上的一个动点，求出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上.若△ACD面积等于4.请直接写出D的坐标.17.如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B →C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?18.已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF ⊥y轴于点F，连接EF，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；答案：1. （1）OC=4,BC=2,B(-2,4)，．设解析式为，．（2），．直线，．当，，，．2.（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x+2中y=0，则x+2=0，解得：x=﹣2，∴点B（﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=4，∴点C（4，0）；联立两直线解析式得：，解得：，∴点A （1，3）．S △ABC =BC•y A =×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x +2中x=0，则y=2，∴点D （0，2）．S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x ＜1时，直线a 在直线b 的下方，∴不等式x +2≤﹣x +4的解集为x ≤1；当x ＞4时，直线b 在x 轴的下方，∴不等式﹣x +4≤0的解集为x ≥4．3.（1）∵一次函数y=kx +b 与y=﹣2x +4是“平行一次函数”，∴k=﹣2，即y=﹣2x +b ． ∵函数y=kx +b 的图象过点（3，1），∴1=﹣2×3+b ，∴b=7．（2）在y=﹣2x +4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，∴A （2，0），B （0，4），∴S △AOB =OA•OB=4．由（1）知k=﹣2，则直线y=﹣2x +b 与两坐标轴交点的坐标为（，0），（0，b ），于是有|b |•||=4×=1，∴b=±2，即y=kx +b 的解析式为y=﹣2x +2或y=﹣2x ﹣2．4.设直线l 和10个正方形的最上面交点为A ，过A 作AB ⊥OB 于B ，过A 作AC ⊥OC 于C ， ∵正方形的边长为1，∴OB=3，∵经过原点的一条直线l将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边分别是5，∴三角形ABO 面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线l 经过（，3），设直线方程为y=kx （k ≠0），则3=k ，解得k=∴直线l 解析式为y=x ．故答案为：y=x ．5.(1) (3，0)、x ＜3(2) ∵S △COE ＝S △ADE ∴S △AOB ＝S △CBD 即33321621⨯⨯=⨯⨯D y ，y D ＝233 当y ＝233时，23233333==+-x x ，∴D (23323，) (3) 连接CF ∵∠CDF ＝60°∴△CDF 为等边三角形连接AC ∵AB ＝AC ＝BC ＝6∴△ABC 为等边三角形∴△CAF ≌△CBD （SAS ）∴∠CAF ＝∠ACB ＝60°∴AF ∥x 轴设D (m ，333+-m )过点D 作DH ⊥x 轴于H ∴BH ＝3－m ，DB ＝6－2m ＝AF∴F (2m －6，33)由平移可知：G (m －9，m 3-)令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=m y m x 39∴点G 在直线393--=x y 上6. （1）设直线的解析式为y=kx +b ，把A （﹣1，5），B （3，﹣3）代入，可得：{533=+--=+b k b k ，解得：，所以直线解析式为：y=﹣2x +3，把P （﹣2，a ）代入y=﹣2x +3中，得：a=7； （2）由（1）得点P 的坐标为（﹣2，7），令x=0，则y=3，所以直线与y 轴的交点坐标为（0，3），所以△OPD 的面积=．7.∵点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（8，0），∴AB=6，∵∠CAB=90°，BC=10， ∴CA==8，∴C 点纵坐标为：8，∵将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=x ﹣5上时，∴y=8时，8=x ﹣5，解得：x=13，即A 点向右平移13﹣2=11个单位， ∴线段BC 扫过的面积为：11×8=88．故选：B ．8.（1）令x=0，则y=8，∴B （0，8），令y=0，则﹣2x +8=0，∴x=4，∴A （4，0）， （2）∵点P （m ，n ）为线段AB 上的一个动点，∴﹣2m +8=n ，∵A （4，0），∴OA=4，∴0＜m ＜4∴S △PAO =OA ×PE=×4×n=2（﹣2m +8）=﹣4m +16，（0＜m ＜4） )3,0(30343)1(,9B y x x y 即时，中，当在==+= ∴OB=3同理OC=4 ∵15)(21=⋅+OB OA OC ,153)4(21=⨯+⨯OA ∴OA=6 即点A 的坐标为(6,0) 设AB 所在直线的解析式为y=kx+b⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=-==213063k b b k b 解得则∴AB 所在直线的解析式为 (2)在中,当,即DF= 在中,当m x m y 32,321-=+-=时 mm m EF 35)32(=--= (3)10.（1）∵直线y=﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴a=6，∴该直线解析式为y=﹣2x +6 （2）①∵点D （﹣1，n ）在直线BC 上，∴n=﹣2×（﹣1）+6=8，∴点D （﹣1，8）设直线AD 的解析式为y=kx +b ，将点A （﹣3，0）、D （﹣1，8）代入y=kx +b 中，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y=4x +12．②令y=﹣2x +6中y=0，则﹣2x +6=0，解得：x=3，∴点B （3，0）．∵A （﹣3，0）、D （﹣1，8），∴AB=6．S △ABD =AB•y D =×6×8=24．③∵点M 在直线y=-2x+6上，∴M （m ，-2m+6），时，即S=6m-18．11. （1）设函数解析式为y=kx +b ， 由题意将两点代入得：{15=+-=+-b k b k ，解得：{32=-=k b ．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=32，令x=0，得y=﹣2， 3232221=⨯⨯=∴s 12．（1）在OC 上截取OK =OE .连接EK .∵OC =OA ，∠1=90°，∠OEK =∠OKE =45°，∵AP 为矩形外角平分线，∴∠BAP =45°∴∠EKC =∠PAE =135°.∴CK =EA .∵EC ⊥EP ，∴∠3=∠4.∴△EKC ≌△PAE . ∴EC =EP （2）y 轴上存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形.如图，过点B 作BM ∥PE 交y 轴于点M ，∴∠5=∠CEP =90°，∴∠6=∠ 4.在△BCM 和△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,46C O E B C M OC BC ∴△BCM ≌△COE ，∴BM =CE 而CE =EP ，∴BM =EP .由于BM ∥EP ，∴四边形BMEP是平行四边形由△BCM ≌△COE 可得CM =OE =3，∴OM =CO -CM =2.故点M 的坐标为（0，2）.13.（1）设函数解析式为y=kx +b ，由题意将两点代入得：，解得：．∴一次函数的解析式为：y=3x ﹣2；（2）令y=0，得x=，令x=0，得y=﹣2，∴S=×2×=．14.(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2.∴直线AB 的解析式为y ＝2x －2.(2)S △BOC ＝12×2×2＝2.15.（1）32 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋1＝3，∴B(－1，3)．将B(－1，3)代入y ＝kx ＋4，得k ＝1.(2)y ＝kx ＋4与x 轴的交点为(－4k ，0)，∵－2＜x 0＜－1，∴－2＜－4k＜－1，(1)解得2＜k＜4.16.（1）当y=0时，x+1=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0），当x=0时，y=x+1=1，则B（0，1）；（2）AB==，当AP=AB时，P点坐标为（﹣，0）或（，0）；当BP=BA时，P点坐标为（2，0）；当PA=PB时，作AB的垂直平分线交x轴于P，连结PB，如图1，则PA=PB，设P（t，0），则OA=t+2，OB=t+2，在Rt△OBP中，12+t2=（t+2）2，解得t=﹣，此时P点坐标为（﹣，0）；（3）如图2，设D（x，x+1），当x＞0时，∵S△ABC+S△BCD=S△ACD，∴•2•2+•2•x=4，解得x=2，此时D点坐标为（2，2）；当x＜0时，∵S△BCD﹣S△ABC=S△ACD，∴•2•（﹣x）﹣•2•2=4，解得x=﹣6，此时D点坐标为（﹣6，﹣2），综上所述，D点坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）.故答案为（﹣2，0），（0，1）；（2，2）或（﹣6，﹣2）.17.略18.（1）令x=0，则y=8，∴B（0，8），令y=0，则﹣2x+8=0，∴x=4，∴A（4，0），（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8=n，∵A（4，0），∴OA=4，∴0＜m＜4∴S△PAO=OA×PE=×4×n=2（﹣2m+8）=﹣4m+16，（0＜m＜4）。
湘教版八年级数学几何知识汇总
八年级数学几何知识要点汇总上册：三角形知识小结与复习1、三角形有关概念（1）三角形、内角、外角、高、中线、角平分线（2）三角形三中线相交于三角形内一点——重心（3）三角形三高或其延长线相交于一点——垂心（4）三角形三内角平分线相交于三角形内一点——内心（5）三角形三边垂直平分线相交于三角形内一点——外心（6）三角形高、中线、角平分线都是线段2、三角形有关性质（1）三边关系：任意两边之和大于第三边：a+b>c；a+c>b；b+c>a（2）内角关系：三角形三内角和等于180o，即：∠A+∠B+∠C=180o（3）外角定理：一个外角等于与其不相邻两个内角之和。
（4）中线平分对边，角平分线平分一个角，有高就有直角。
3、命题（1）概念的定义：对概念的含义加以描述说明或作出明确规定（2）命题的定义：对一件事情做出判断的语句。
（由条件和结论组成）（3）命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题假命题举反例说明，真命题通过证明说明。
（4）互逆命题：条件和结论互换，不一定同真假。
（5）证明：从条件出发，通过讲道理，得出结论成立。
（6）定理：经过证明为真的命题叫做定理，由定理得出的真命题叫做定理的推论。
4、等腰三角形（1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
（2）等腰三角形的性质：轴对称性；三线合一；等边对等角。
（3）等腰三角形的判定：等角对等边。
（4）等边三角形的特殊性质：三个角都相等，等于60o。
（5）等边三角形的判定：有一个角为60o的等腰三角形是等边三角形。
5、全等三角形的性质与判定（1）定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形（2）性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
全等三角形周长相等、面积相等，对应边上的中线、高相等，对应角平分线相等。
（3）判定：SAS、ASA、AAS、SSS，至少有一条边相等。
（4）综合应用：证线段相等、线平行，角相等，找它们所在三角形，寻找条件证全等，全等三角形证明不超过两次。
人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题(含答案)
人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题1、如图，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE=CF．2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α．3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结DE．（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；（2）求∠DEB的度数．4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．6、如图,∠ABC=∠BAD=90°，点E，F分别是AC，BC的中点。
北京市各区数学期末复习资料-初二下学期(几何综合+新定义问题)
每日一题—几何部分1．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，将线段BC 绕点B 逆时针旋转α°（0<α<180），得到线段BD ，且AD ∥BC ． （1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值； （3）若AB =2，求AD 的长．2．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ．点D 为线段BC 上一个动点（点D 不与点B ，C重合），连接AD ，点E 在射线AB 上，连接DE ，使得DE =DA ．作点E 关于直线BC 的对称点F ，连接BF ， DF . （1）依题意补全图形； （2）求证：∠CAD =∠BDF ； （3）用等式表示线段AB ，BD ，BF 之间的数量关系，并证明．3.如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C ʹ，连接ACʹ并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ． （1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明． （3）连接AC ，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC ′的面积最大值．FP C'BCA DE4.已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC .(1) 如图1，点D 是BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE . 若∠BAD =α，求∠DBE 的大小 (用含α的式子表示) ； (2) 如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE . ①依题意补全图2；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明.图1 图25.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ， D 为AB 的中点，点E 为AC 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE 交CB 的延长线于点F ．（1）求证：BF= CE ； （2）若CE =AC ，用等式表示线段DF 与AB 的数量关系，并证明．ABA6．如图，在等腰直角△ABC中，90CA CD），连接BD，ABC°，D是线段AC上一点（2过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）若ACE α，求ABD的大小（用含α的式子表示）；（3）若点G在线段CF 上，CG BD，连接DG．①判断DG与BC的位置关系并证明；②用等式表示DG，CG，AB之间的数量关系为．7．如图，等边△ABC中，P是AB上一点，过点P作PD⊥AC于点D，作PE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接ME，MD．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，AD 与AB的数量关系，并加以证明；（3）求证：MD=ME．C8．如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE交OA 于点E ．以点P 为旋转中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F ． （1）根据题意补全图1，并证明PE = PF ；（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系．图1 图29.已知ABC ∆为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）.将线段CD 绕点C 逆时针旋转60︒得到线段CE.连结DE 、BE. （1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系. （2）过点A 作AF EB ⊥交EB 延长线于点F.用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明.PPEECCBBOOAA图2D CBA图1A B CD10.在△ABC 中，∠ABC =120°，线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AD ，连接CD ，BD 交AC 于P ．（1）若∠BAC =α，直接写出∠BCD 的度数 （用含α的代数式表示）； （2）求AB ，BC ，BD 之间的数量关系；（3）当α=30°时，直接写出AC ，BD 的关系．11,如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC ，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．12.已知：如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠B =45°， 点D 是BC 边上一点，且AD=AC ，过点C 作CF ⊥AD 于点E ，与AB 交于点F ．（1）若∠CAD =α，求∠BCF 的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：AC =FC ；（3）用等式直接表示线段BF 与DC 的数量关系．D BAB CDFE13.如图，在等边ABC △中，点D 是线段BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F .（1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数；（2）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明.14.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ．将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，E 是边BC 上的一动点，连接DE 交AC 于点F ，连接BF ． （1）求证：FB =FD ；（2）点H 在边BC 上，且BH =CE ，连接AH 交BF 于点N ．①判断AH 与BF 的位置关系，并证明你的结论；②连接CN ．若AB =2，请直接写出线段CN 长度的最小值．H O DCBA15.已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H ． （1）求证：ADB ACB ∠=∠；（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明．16.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．(1) ① 依题意补全图1；② 求证：∠EDC ＝∠BAD ；(2) ① 小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示，并证明.图1 D C B A备用图AB CD每日一题—新定义部分1．在平面直角坐标系xOy 中，如果等边三角形的一边与x 轴平行或在x 轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形.(1)已知A （1，0），B （-1，0），若△ABC 是水平正三角形，则点C 坐标的是 （只填序号）； ①，②，③，④（2）已知点O ，E ，F ，以这三个点中的两个点及平面内的另一个点P为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是 ，并求出此时点P 的坐标.2.在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P ，Q 两点为“等距点”．下图中的P ，Q 两点即为“等距点”．(1)已知点A 的坐标为(-3，1)，①在点E (0，3)，F (3，-3)，G (2，-5)中，为点A 的“等距点”的是________；②若点B 在直线y =x +6上，且A ，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为________； (2)直线l ：y =kx -3(k >0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若T 1(-1,t 1)，T 2(4,t 2)，是直线l 上的两点，且T 1与T 2为“等距点”，求k 的值.()12,(0()01,-(0()00,(1()02,-3.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：若在图形G 上存在两个点A ，B ，使得以P ，A ，B 为顶点的三角形为等边三角形，则称P 为图形G 的“等边依附点”．已知M （-3，N （3，. ①在点C （-2,2），D （0,1），E （1,3）中，是线段MN 的“等边依附点”的是 ；②点P (m ，0)在x 轴上运动，若P 为线段MN 的“等边依附点”，求点P 的横坐标m 的取值范围。
北师大版八年级数学下册几何综合复习练习题(有答案)
几何练习题一．选择题1．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC 的长等于（）A．12B．10C．8D．62．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．线段B．等腰三角形C．平行四边形D．等边三角形3．已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则a b的值为（）A．B．C．﹣5D．54．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，∠ADC＝30°，①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10+2；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（）A．32B．16C．8D．46．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4B．5C．6D．8二．填空题7．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF．其中正确的是（填序号）8．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝15°，则S△ABC＝．9．如图，已知动点P可在射线OB上运动，∠AOB＝40°，当∠A＝°时，△AOP为直角三角形．10．如图，AB＝AC，AC的垂直平分线MN交AB于点D交AC于点E，若AE＝5，△BCD的周长为17，则△ABC的周长为．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积等于．12．在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是．13．如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O如果AB＝4cm，AD＝3cm，OF＝1cm，则四边形BCEF的周长为．14．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EF A．其中正确结论的序号是．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是．16．如图，已知在等边△ABC中，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝．三．解答题17．已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD，EH∥BC，分别交AC、CF于点G、H．求证：GE＝GH．18．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．19．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝6cm，求AD的长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝度；（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝度；（3）如图（3），若∠A＝120，则∠NMB＝度；（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．21．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．22．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．23．如图，△ABC是等边三角形，△ABP旋转后能与△CBP′重合．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角度是多少度？（3）连结PP′后，△BPP′是什么三角形？简单说明理由．24．一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大100°，求这个多边形的边数．25．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．26．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，顺次连接B、E、D，F．求证：四边形BEDF是平行四边形．27．已知：如图是某城市部分街道示意图，AF∥BC，且AF⊥CE，AB＝DC，AB∥DE，BD∥AE．甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路车，路线是B→D→C→F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？说明理由．28．如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，BE＝CF．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝4，求四边形DEFC的面积．29．如图，已知在等边△ABC中，AD，CF分别为边CB，BA上的中线，以AD为边作等边△ADE．求证：（1）四边形CDEF是平行四边形；（2）EF平分∠AED．30．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，ED∥AF且ED＝AF，延长FD到点G，使DG＝FD，求证：ED，AG互相平分．答案一．选择题1．B．2．A．3．B．4．C．5．C．6．B．二．填空题7．①②③．8．25．9．50°或90°．10．27．11．32．12．等边三角形．13．9cm．14．①②③④．15．6．16．240°．三．解答题7．解：∵EH∥BC，∴∠BCE＝∠GEC，∠GHC＝∠DCH，∵∠GCE＝∠BCE，∠GCH＝∠DCH，∴∠GEC＝∠GCE，∠GCH＝∠GHC，∴EG＝GC＝GH，∴GE＝GH．18．证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）．∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．19．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝6cm，∴AD＝2cm．20．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝20°，故答案为20．（2）如图2中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣70°）＝55°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝35°，故答案为35．（3）如图3中，如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝60°，故答案为60．（4）结论：∠NMB＝∠A．理由：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．21．解：如图，点P为所作．22．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，（SAS），∴BD＝CD．23．解：（1）∵△ABP旋转后能与△P'BC重合，点B是对应点，没有改变，∴点B是旋转中心；（2）AB与BC是旋转前后对应边，旋转角＝∠ABC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴旋转角是60°；（3）连结PP′后，△BPP′是等边三角形，理由：∵旋转角是60°，∴∠PBP′＝60°，又∵BP＝BP′，∴△BPP′是等边三角形．24．解：设每个内角度数为x度，则与它相邻的外角度数为180°﹣x°，根据题意可得x﹣（180﹣x）＝100，解得x＝140．所以每个外角为40°，所以这个多边形的边数为360÷40＝9．答：这个多边形的边数为9．25．证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴FG＝AD，EG＝BC，∵AD＝BC，∴FG＝GE，∵H是EF的中点，∴GH⊥EF．26．证明：连接BD，交AC于点O，如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形．27．解：同时到达，理由如下：连接AC，如图，∵AF∥BC，AB＝CD，∴四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∵AB∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD＝AC，AB＝DE，∵AF⊥CE，∴AF为线段CE的垂直平分线，∴CF＝EF，∴甲乘1路车，路程＝BA+AE+EF＝CD+BD+CF，乙乘2路车，路程＝BD+DC+CF，∴两人同时到达．28．解：（1）∵ED∥BC，∴∠BDE＝∠DBC．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠ABD，∴BE＝DE．∵BE＝CF，∴DE＝CF．又∵ED∥BC，∴四边形DEFC是平行四边形；（2）如图所示：过点B作BG⊥DE，垂足为G．由（1）可知∠EDB＝∠ABC．∵∠ABC＝60°．∴∠EDB＝30°．又∵∠G＝90°．∴BG＝BD＝2．∵ED∥FC，∴∠AED＝∠ABC＝60°．∴∠GEB＝60°．∴ED＝BE＝BG÷＝．∴平行四边形EDCF的面积＝ED•BG＝．29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，AD，CF分别为边CB，BA上的中线，∴AD＝CF，AD⊥BC，∠BCF＝30°，∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∠ADE＝60°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°＝∠BCF，∴DE＝CF，DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）∵四边形CDEF是平行四边形，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠BCF＝30°，∵△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠AEF＝30°＝∠DEF，∴EF平分∠AED．30．证明：连接EG、AD，如图所示：∵ED∥AF，且ED＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF，又DG＝DF，∴AE＝DG，∴四边形AEGD是平行四边形，∴ED，AG互相平分．。
2020年北京市中考数学专题复习 专题八 几何综合题
拓展2题解图
专题八 几何综合题
而∠DAH＋∠BAH＝90°，
∴∠BAG＋∠BAH＝90°，
即∠GAH＝90°，
∴∠GAE＝90°－∠EAF＝45°， ∴∠GAE＝∠HAE，
拓展2题解图
在△AEG和△AEH中，AG＝AH ，∠EAG＝∠EAH ，AE＝AE ，
∴△AEG≌△AEH(SAS)，
∴EG＝EH，即BE＋BG＝EH，
专题八 几何综合题
证明：如解图，连接BD， ∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC， ∵∠ECA＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中，CE＝CD ， ∠ACE＝∠BCD ，AC＝BC ， ∴△ACE≌△BCD(SAS).
拓展1题解图
专题八 几何综合题
∴BD＝AE，∠BDC＝∠E， ∵∠E＋∠CDE＝90°， ∴∠BDC＋∠CDE＝90°， 即∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，BD2＋AD2＝AB2， ∵AB2＝2AC2，BD＝AE， ∴AE2＋AD2＝2AC2.
拓展1题解图
专题八 几何综合题
教材母题3
(人教八下P62习题18.2第15题)
拓展3题解图②
专题八 几何综合题
W
点击链接至综合训练
专题八 几何综合题
专题八 几何综合题
【专题解读】几何综合题通常结合“平移、对称、旋转”三种变换方式， 通过构造全等三角形及构造直角三角形证明线段之间的数量关系. 常见解题 思路如下： 两条线段之间的数量关系：当问题中出现45°角时，线段之间的数量关系 往往与 2 有关，当问题中出现30°或60°角时，线段之间的数量关系往往 与 3 有关.尤其是要证明的结论与 2 或 3 有关时，就要想方设法构造含 30°，45°或60°角的直角三角形，从而通过等量代换证明结论. 三条线段之间的数量关系：通常通过构造全等三角形将三条线段进行等量 转换得出结论，或者将三条线段通过等量代换放入同一个直角三角形通过 勾股定理得出结论.
人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题(含答案)
人教版八年级数学上册期末专题复习：几何压轴题强化训练试题1、如图，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC边的中垂线GD相交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE=CF．2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1B1C1全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α．3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结DE．（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；（2）求∠DEB的度数．4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．5、概念学习：规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．6、如图,∠ABC=∠BAD=90°，点E，F分别是AC，BC的中点。
精选八年级数学一次函数与几何综合压轴题练习汇总
精选八年级数学一次函数与几何综合压轴题44题1．如图，在平面直角坐标系中，已知A（7a，0），B（0，﹣7a），点C为x轴负半轴上一点，AD⊥AB，∠1=∠2．（1）求∠ABC+∠D的度数；（2）如图①，若点C的坐标为（﹣3a，0），求点D的坐标（结果用含a的式子表示）；（3）如图②，在（2）的条件下，若a=1，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x 轴于点F，点M为线段DF上一点，若第一象限内存在点N（n，2n﹣3），使△EMN 为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的N点坐标，并选取一种情况计算说明．2．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB，点C 和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣2|=0．（1）求点D的坐标；（2）求∠AKO的度数；（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP=OQ，直线ON ⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．3．如图①，平面直角坐标系XOY中，若A（0，a）、B（b，0）且（a﹣4）2+=0，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB=90°，AB=AC．（1）求C点坐标；（2）如图②过C点作CD⊥X轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；（3）如图③在（1）中，点A在Y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交Y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请直接写出它们的比值（不需要解答过程或说明理由）．4．等腰Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．（1）如图1，求证：∠BCO=∠CAO（2）如图2，若OA=5，OC=2，求B点的坐标（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA=18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．5．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上．（1）如图1，点A与点C关于y轴对称，点E、F分别是线段AC、AB上的点（点E不与点A、C重合），且∠BEF=∠BAO．若∠BAO=2∠OBE，求证：AF=CE；（2）如图2，若OA=OB，在点A处有一等腰△AMN绕点A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°．连接BN，点P为BN的中点，试猜想OP和MP的数量关系和位置关系，说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（﹣b，0）且a、b满足+|a﹣2b+2|=0．（1）求证：∠OAB=∠OBA；（2）如图1，若BE⊥AE，求∠AEO的度数；（3）如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在AB的延长线上，∠EOF=45°，连接EF，试探究OE和EF的数量和位置关系．7．如图，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（a﹣5）2=0（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图，若点C的坐标为（﹣3，﹣2），且BE⊥AC于点E，OD⊥OC交BE 延长线于D，试求点D的坐标；（3）如图，M、N分别为OA、OB边上的点，OM=ON，OP⊥AN交AB于点P，过点P作PG⊥BM交AN的延长线于点G，请写出线段AG、OP与PG之间的数列关系并证明你的结论．8．如图，在平面直角坐标系中，A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），且+|b﹣2|+（c+2）2=0．（1）直接写出A、B、C各点的坐标：A、B、C；（2）过B作直线MN⊥AB，P为线段OC上的一动点，AP⊥PH交直线MN于点H，证明：PA=PH；（3）在（1）的条件下，若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转，且AP=PQ，∠APQ=90°，连接BQ，点G为BQ的中点，试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．9．如图，平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，a+b），B（a，0），且+（a﹣2b）2=0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．（1）求证：AO=AB；（2）求证：OC=BD；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？10．等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点．（1）如图1，若A（0，2），B（1，0），求C点的坐标；（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y 轴于点E，且点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；（3）如图3，在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E，若BD始终是∠ABC平分线，试探究：线段BD与OA+OD 之间存在的数量关系，并说明理由．11．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．（1）如图1，若A、B两点的坐标分别是A（0，4），B（﹣2，0），求C点的坐标；（2）如图2，作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，过C点作CE⊥BD于点E，求证：CE=BD；（3）如图3，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，当点P运动时，点Q 是否恒在射线BD上？若在，请证明；若不在，请说明理由．12．已知点A与点C为x轴上关于y轴对称的两点，点B为y轴负半轴上一点．（1）如图1，点E在BA延长线，连接EC交y轴于点D，若BE=8，EC=6，CB=4，求△ADE的周长；（2）如图2，点G为第四象限内一点，BG=BA，连接GC并延长交y轴于F，试探究∠ABG与∠FCA之间有和数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，A（﹣3，0），B（0，﹣4），点E（﹣6，4）在射线BA上，以BC 为边向下构成等边△BCM，以EC为边向上构造等腰△CNE，其中CN=EN，∠CNE=120°，连接AN，MN，求证：．13．已知A（0，a）和B（b，0），且a、b满足（a﹣4）2+|b﹣4|=0（1）试通过计算判断△AOB的形状．（2）如图1，若D为OB的中点，过O作AD的垂线交AB于E，连DE，求证：AD=OE+DE．（3）如图2，M、N同时从D点出发，以相同的速度向x轴正方向和负方向运动到如图所示的位置，过O作AM的垂线交AB于E，连NE，求证：∠AMB=∠ONE．14．如图1，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线CE上一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AB于M．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠BAE；（3）当A点运动时（如图2），的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，∠BAC=90°，AB=AC，已知点A点的坐标是（m，n），且m，n满足等式+|m﹣n+1|=0．（1）求点A的坐标；（2）若B点的坐标为（6，0），求点C的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OA，作AD⊥AO，且AD=AO，连接CD，已知点E（3，0），线段AE与CD有何数量关系与位置关系？写出你的结论并加以证明．16．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，S△ABC=25．点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA、PB，D为线段AC的中点．（1）求D点的坐标；（2）设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，DP与DB垂直相等；（3）若PA=PB，在第四象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠QBA=∠PBQ+∠QAB=30°．当Q在第四象限内运动时，判断△APQ的形状，并说明理由．17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣1），AB=．（1）如图1，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，与x轴的负半轴交于点C，过点A作AH⊥BC于H交y轴于D，求点D的坐标；（2）如图2，在线段OA上有一点E满足S△OEB：S△EAB=1：，直线AN平分△OAB的外角交BE于N．求∠BNA的度数；（3）如图3，动点Q为A右侧x轴上一点，另有在第四象限的动点P，动点P、Q，总满足∠PAB=∠PBA和∠PQA=∠PAQ．①请画出满足题意的图形；②若点B在y轴上运动，其他条件不变，∠ABO=α，请直接用含α的式子表示∠BPQ 的值（不需证明）．18．如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣2，2）．（1）如图（1），在△ABO为等腰直角三角形，求B点坐标．（2）如图（1），在（1）的条件下，分别以AB和OB为边作等边△ABC和等边△OBD，连结OC，求∠COB的度数．（3）如图（2），过点A作AM⊥y轴于点M，点E为x轴正半轴上一点，K为ME延长线上一点，以MK为直角边作等腰直角三角形MKJ，∠MKJ=90°，过点A作AN⊥x轴交MJ于点N，连结EN．则①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．19．如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y 轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标．20．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（﹣5，0），C（0，﹣4），点B在y 轴正半轴上，满足S△ABC=20，点P（m，0），（﹣4＜m＜0），线段PB绕点P顺时针旋转90°至PD．（1）求证：OB=OC；（2）求点D的坐标；（用含m的式子表示）（3）如图2，连接CD并延长交x轴于点E，求证：∠PDC=45°+∠PBO．21．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？22．已知：如图1：点A（5，0）B（0，2），AB=AC，∠BAC=90°．（1）求点C的坐标．（2）以AB为斜边作等腰直角△ABD，请直接写出点D的坐标；（3）如图2，若E、F分别在BC、AB上，∠AEC=75°，FE⊥BC．求证：BF=AE．23．在平面直角坐标系中，点A（0，b）、点B（a，0）、点D（d，0）且a、b、c满足++（2﹣d）2=0，DE⊥x轴且∠BED=∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求点E、F的坐标；（3）如图，过P（0，﹣1）作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM=45°，QE交x轴于N，ME交y轴正半轴于M，求的值．24．如图1，A、B分别为x、y轴上的点，O为坐标原点，设OA=a，OB=b，AB=c，（1）若正数a、b、c满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50=0，且OP⊥AB于P，求OP的长；（2）如图2，若P为线段AB的中点，试探究线段OP与AB间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若P是线段AB上一动点（不与A、B点重合），在射线OP上取一点E，使AE=a，此时∠AOE=∠AEO．在第一象限内，过E作AE的垂线，并截取ED=b，连AD、BD，BD交射线OP于F点．当P点运动时，的值不变，请说明理由，并求这个不变的值．25．如图：平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标为A（a，0），B（b，0），C（0，c），且a，b，c满足．点D为线段OA上一动点，连接CD．（1）判断△ABC的形状并说明理由；（2）如图，过点D作CD的垂线，过点B作BC的垂线，两垂线交于点G，作GH⊥AB于H，求证：；（3）如图，若点D到CA、CO的距离相等，E为AO的中点，且EF∥CD交y 轴于点F，交CA于M．求的值．26．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．（1）证明：OB=OC；（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标．27．已知，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b），a、b满足．C 为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．（1）求∠OAB的度数；（2）设AB=6，当点P运动时，PE的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值；（3）设AB=6，若∠OPD=45°，求点D的坐标．28．在平面直角坐标系中，A（a，b）在第一象限内，且a、b满足条件：b﹣a=，AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．（1）求△AOC的面积；（2）如图，E为线段OB上一点，连AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求的值；（3）如图，D为x轴上一点，AC=CD，E为线段OB上一动点，连DA、CE，F 是线段CE的中点，若BF⊥FK交AD于K，请问∠KBF的大小是否变化？若不改变，请求其值；若改变，求出变化的范围．29．如图1，在直角坐标系中，A点的坐标为（a，0），B点的坐标为（0，b），且a、b满足．（1）求证：∠OAB=∠OBA．（2）如图2，△OAB沿直线AB翻折得到△ABM，将OA绕点A旋转到AF处，连接OF，作AN平分∠MAF交OF于N点，连接BN，求∠ANB的度数．（3）如图3，若D（0，4），EB⊥OB于B，且满足∠EAD=45°，试求线段EB 的长度．30．已知：在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点。
人教版八年级数学第一学期几何压轴题期末复习提高训练试题
人教版八年级数学第一学期几何压轴题期末复习提高训练试题1、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）若AD＝12，DE＝7，求BE的长．2、已知，如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点D在AC上．（1）求证：AE∥BC；（2）直接写出AE，AD和AB之间的关系；3、如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．4、根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：如图，_____________________________．求证：________________________．5、已知：如图，点A，B在∠MON的边OM，ON上，OA的垂直平分线CP与OB的垂直平分线DP相交于点P，连接P A，PO，PB，AB．（1）求证：①P A＝PB；②∠APB＝2∠CPD；（2）探究：∠MON满足什么条件时，△P AB是等边三角形，并说明理由；（3）若OA＝OB，请在备用图中画出符合条件的图形，并探究∠CPO与∠APB之间的数量关系，并说明理由．6、如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？7、已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数；（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①∠AEB的度数为°；②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为．（直接写出答案，不需要说明理由）8、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．9、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE＝3cm，AD＝9cm．求：（1）DE的长；（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？10、已知∠MAN＝120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接BD．【发现】（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，则∠BCD＝°，△CBD是三角形；【探索】（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，请判断△CBD的形状，并证明你的结论；【应用】（3）如图3，已知∠EOF＝120°，OP平分∠EOF，且OP＝1，若点G，H分别在射线OE，OF上，且△PGH 为等边三角形，则满足上述条件的△PGH的个数一共有．（只填序号）①2个②3个③4个④4个以上11、如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．12、【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．13、如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CD，连接BD．（1）如图1，当D、E两点重合时，求证：BD＝DF；（2）延长BD与EF交于点G．①如图2，求证：∠BGE＝60°；②如图3，连接BE，CG．若∠EBD＝30°，BG＝4，则△BCG的面积为．14、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝度；（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．参考答案1、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）若AD＝12，DE＝7，求BE的长．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，∴∠ECB+∠ACD＝90°∠ECB+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE；（2）∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，∵AD＝12，DE＝7，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝12﹣7＝5．2、已知，如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点D在AC上．（1）求证：AE∥BC；（2）直接写出AE，AD和AB之间的关系；【解答】证明：（1）∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝∠C＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，∴∠DBC＝∠EBA，∴△DBC≌△EBA（SAS），∴∠C＝∠EAB＝∠ABC，∴EA∥BC（2）∵△DBC≌△EBA，∴AE＝CD，∵AD+CD＝AC＝AB，∴AE+AD＝AB．3、如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE＝∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF，∴CB﹣EC＝EF﹣EC，∴EB＝CF，∵BF＝13，EC＝5，∴EB＝＝4，∴CB＝4+5＝9．4、根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程．命题：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．【解答】解：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE，证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD，CE是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝CE．故答案为：△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，BD＝CE．5、已知：如图，点A，B在∠MON的边OM，ON上，OA的垂直平分线CP与OB的垂直平分线DP相交于点P，连接P A，PO，PB，AB．（1）求证：①P A＝PB；②∠APB＝2∠CPD；（2）探究：∠MON满足什么条件时，△P AB是等边三角形，并说明理由；（3）若OA＝OB，请在备用图中画出符合条件的图形，并探究∠CPO与∠APB之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：①∵CP为OA的垂直平分线，∴P A＝PO，同理：PB＝PO，∴P A＝PB；②∵P A＝PO，PC⊥OA，∴∠APC＝∠OPC＝∠APO，同理，∠BPD＝∠OPD＝∠BPO，∠APB＝∠APO+∠BPO＝2∠CPO+2∠DPO＝2（∠CPO+∠DPO）＝2∠CPD；（2）∠MON＝150°．理由：∵∠CPO+∠COP＝90°，∠DPO+∠DOP＝90°，∴∠MON+∠CPD＝180°，∵∠MON＝150°，∴∠CPD＝180°﹣150°＝30°，由（1）得∠APB＝2∠CPD＝60°，P A＝PB，∴△P AB是等边三角形；（3）在备用图中画出符合条件的图形如备用图，∠CPO＝∠APB．理由：∵OC＝OA，OD＝OB，OA＝OB，∴OC＝OD，在Rt△PCO和Rt△PDO中，，∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），∴∠CPO＝∠DPO，由（1）得∠APC＝∠OPC，∠BPD＝∠OPD，∴∠APC＝∠CPO＝∠OPD＝∠BPD，∴∠CPO＝∠APB．6、如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，理由如下：∵AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，∴AD＝12cm，BD＝6cm，∠B＝∠C，∵经过2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，∴BP＝PC＝BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，∴t＝，∴点Q的运动速度＝＝cm/s，∴当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，由题意可得：x﹣2x＝36，解得：x＝90，∴90﹣（）×3＝21（s），∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．7、已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数；（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①∠AEB的度数为90°；②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为AE＝BE+2CM．（直接写出答案，不需要说明理由）【解答】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°；（3）①如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝180﹣45＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，故答案为：90；②如图2，∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，∴CM＝DM＝EM，∴DE＝DM+EM＝2CM，∵△ACD≌△BCE（已证），∴BE＝AD，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM，故答案为：AE＝BE+2CM．8、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝30°，∠DEC＝110°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝30°，∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，故答案为：30，110，∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，∴∠BDA＝140°﹣∠BAD∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小，故答案为：小（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形9、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE＝3cm，AD＝9cm．求：（1）DE的长；（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ECA＝90°，∴∠CBE＝∠ECA，∠BEC＝∠CDA，∵在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD，∵BE＝3cm，AD＝9cm，∴CD＝3cm，CE＝9cm，∴DE＝CE﹣CD＝6cm．（2）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠DCA＝90°，∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，∵在△CBE和△ACD中，，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD，∵BE＝3cm，AD＝9cm，∴DE＝CD+CE＝BE+AD＝12cm．10、已知∠MAN＝120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，AM上，连接BD．【发现】（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，则∠BCD＝60°，△CBD是等边三角形；【探索】（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，请判断△CBD的形状，并证明你的结论；【应用】（3）如图3，已知∠EOF＝120°，OP平分∠EOF，且OP＝1，若点G，H分别在射线OE，OF上，且△PGH 为等边三角形，则满足上述条件的△PGH的个数一共有④．（只填序号）①2个②3个③4个④4个以上【解答】解：（1）如图1，连接BD，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝120°，根据四边形的内角和得，∠BCD＝360°﹣（∠ABC+∠ADC+∠MAN）＝60°，∵AC是∠MAN的平分线，CD⊥AM．CB⊥AN，∴CD＝CB，（角平分线的性质定理），∴△BCD是等边三角形；故答案为：60，等边；（2）如图2，同（1）得出，∠BCD＝60°（根据三角形的内角和定理），过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，∵AC是∠MAN的平分线，∴CE＝CF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△CFB中，，∴△CDE≌△CFB（AAS），∴CD＝CB，∵∠BCD＝60°，∴△CBD是等边三角形；（3）如图3，∵OP平分∠EOF，∠EOF＝120°，∴∠POE＝∠POF＝60°，在OE上截取OG'＝OP＝1，连接PG'，∴△G'OP是等边三角形，此时点H'和点O重合，同理：△OPH是等边三角形，此时点G和点O重合，将等边△PHG绕点P逆时针旋转到等边△PG'H'，在旋转的过程中，边PG，PH分别和OE，OF相交（如图中G''，H''）和点P围成的三角形全部是等边三角形，（旋转角的范围为（0°到60°包括0°和60°），所以有无数个；理由：同（2）的方法．故答案为④．11、如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．【解答】（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．（2）结论：AE＝2CF+BE．理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵CF⊥DE，∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF，∵AD＝BE，∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．12、【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为32．【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．【解答】解：问题原型：如图1中，如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED＝∠ACB＝90°，∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，∴AB＝BD，∠ABD＝90°．∴∠ABC+∠DBE＝90°．∵∠A+∠ABC＝90°．∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC＝DE＝8．∵S△BCD＝BC•DE∴S△BCD＝32，故答案为32．初步探究：△BCD的面积为a2．理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED＝∠ACB＝90°∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB＝BD，∠ABD＝90°．∴∠ABC+∠DBE＝90°．∵∠A+∠ABC＝90°．∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC＝DE＝a．∵S△BCD＝BC•DE∴S△BCD＝a2；简单应用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．∴∠F AB+∠ABF＝90°．∵∠ABD＝90°，∴∠ABF+∠DBE＝90°，∴∠F AB＝∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB＝BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF＝DE＝a．∵S△BCD＝BC•DE，∴S△BCD＝•a•a＝a2．∴△BCD的面积为a2．13、如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CD，连接BD．（1）如图1，当D、E两点重合时，求证：BD＝DF；（2）延长BD与EF交于点G．①如图2，求证：∠BGE＝60°；②如图3，连接BE，CG．若∠EBD＝30°，BG＝4，则△BCG的面积为2．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵AD＝DC＝CF，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠F＝∠CDF，∵∠ACB＝∠F+∠CDF＝60°，∴∠F＝30°，∴∠DBC＝∠F，∴BD＝DF．（2）①证明：如图2中，作EH∥BC交AB于H，连接BE．∵EH∥BC，∴∠AHE＝∠ABC＝60°，∠AEH＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE＝EH＝AH，∵AB＝AC，∴BH＝CE，∵AE＝CF，∴EH＝CF，∵∠BHE＝∠ECF＝120°，∴△BEH≌△EFC（SAS），∴∠EBH＝∠CEF，∵AB＝BC，∠A＝∠BCD，AE＝CD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠ABE＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DEG，∵∠CDB＝∠GDE，∴∠EGD＝∠DCB＝60°，即∠BGE＝60°．②解：如图3中，在BC上取一点T，使得BT＝TG，连接TG，设CG＝x．由题意：∠ABE＝∠CBD＝15°，∵∠BCE＝∠BGE＝60°，∴B，C，G，E四点共圆，∴∠ECG＝∠EBG＝30°，∴∠BCG＝90°，∵TB＝TG，∴∠TBG＝∠TGB＝15°，∴∠GTC＝∠TBG+∠BGT＝30°，∴BT＝GT＝2GC＝2c，TC＝x，∵BG2＝CG2+BC2，∴42＝x2+（2x+x）2，∴x2＝4（2﹣）∴S△BCG＝•BC•CG＝×（2+）x2＝2，故答案为2．14、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝90度；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝120度；（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．。
人教版八年级数学下册专题复习(十一) 几何图形的面积等分
思维特训(十一)几何图形的面积等分方法点津面积等分基本模型：1．三角形的中线把三角形面积等分；2．夹在两条平行线间的距离相等，同底等高的两个三角形面积相等；3．过平行四边形对角线中点(对称中心)的任意一条直线把平行四边形面积等分．典题精练类型一作一个图形的面积等于已知图形1．(1)如图11－S－1①，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上．①写出图①中面积相等的三角形：________；②当点P在直线m上移动到任一位置时，总有________与△ABC的面积相等；(2)如图11－S－1②，已知一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积？图11－S－1类型二等分面积2．阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线，M为BC边上任意一点(不与点D重合)，过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．他的作法是：如图11－S－2①，连接AM，过点D作DN∥AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．请你参考小明的作法，解决下列问题：(1)如图②，在四边形ABCD中，AE平分四边形ABCD的面积，M为CD边上一点，过点M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图②中画出直线MN，并保留作图痕迹)；(2)如图③，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积(要求：在图③中画出直线AE，并保留作图痕迹)．图11－S－23．有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如三角形的中线所在的直线一定是三角形的“二分线”．解决下列问题：(1)在图11－S－3①中，试用三种不同的方法分别画出平行四边形ABCD的“二分线”；(2)解决问题：兄弟俩分家时，有原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口井P，如图②所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗(画图，并说明结果)?图11－S－34．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图11－S－4①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，AC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于点E，则直线AE即为一条“好线”．(1)试说明：直线AE是“好线”的理由；(2)如图②，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过点F的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)．图11－S－45．自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．(1)如图11－S－5①，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．(2)如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC 于点E，已知AB＝3，BC＝8，CD＝5.求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在△ABC中，AB＝BC＝6，AC＝8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF(要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E)，并说明理由．图11－S－5典题讲评与答案详析1．解：(1)①图①中符合条件的三角形有：△CAB与△P AB，△BCP与△APC，△ACO 与△BPO.②△P AB(2)如图，连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC的延长线于点M，作直线EM，直线EM即为所求的直线．2．解：(1)如图①，连接AM，过点E作EN∥AM，交AD于点N，再作直线MN即可．(2)如图②，取对角线BD的中点O，连接AO，CO，AC，过点O作OE∥AC交CD于点E，直线AE就是所求直线．3．解：(1)答案不唯一，示例如下：(2)能解决这个问题．连接AC，BD相交于点O，过点O，P作直线与DC，AB分别交于点E，F，如图所示．则一人分四边形ADEF，一人分四边形CEFB.4．解：(1)∵OE∥AC，∴S△AOE＝S△COE，∴S△AOF＝S△CEF.又∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．(2)连接EF，过点A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则FG为一条“好线”．∵AG∥EF，∴S△AGE＝S△AFG. 设AE与FG的交点是O，则S△AOF＝S△GOE.又∵AE为一条“好线”，∴FG为一条“好线”．5．解：(1)不能．理由：如图①，取AB的中点D，连接CD，则S△ADC＝S△DBC，且过点C只能画CD一条直线平分△ABC的面积．∵AC≠BC，∴AD＋AC≠BD＋BC，∴过点C不能画出△ABC的一条“等分积周线”．(2)证明：如图②，连接AE，DE，设BE＝x，∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF.∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，∴在Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理，得AB2＋BE2＝CE2＋DC2，即32＋x2＝(8－x)2＋52，解得x＝5，∴BE＝5，CE＝3，∴AB＋BE＝CE＋DC，S△ABE＝S△DCE.∴AF＋AB＋BE＝DF＋CE＋DC.∵S四边形ABEF＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE，∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”．(3)如图③，在AC上取一点F，使得FC＝AB＝6，在BC上取一点E，使得BE＝2，作直线EF，则直线EF是△ABC的“等分积周线”．理由：由作图可得AF＝AC－FC＝8－6＝2，在CB上取一点G，使得CG＝AF＝2.∵AB ＝BC，∴∠A＝∠C.在△ABF和△CFG中，AF＝CG，∠A＝∠C，AB＝CF，∴△ABF≌△CFG(SAS)，∴S△ABF＝S△CFG.又易得BE＝EG＝2，∴S△BFE＝S△EFG，∴S△EFC＝S四边形ABEF，AF＋AB＋BE＝CE＋CF＝10，∴直线EF是△ABC的“等分积周线”．。
八年级下册数学- 一次函数与几何大综合
第23讲一次函数与几何大综合【板块一】探求点的坐标或坐标关系题型一 求点的坐标【例1】已知一次函数y ＝2kx －3k ＋12(k ≠0). (1)不论k 为何值，函数图象必过一定点，求定点的坐标；(2)如图1，设(1)中的定点为P ，C 为y 轴正半轴上一点，∠CPO ＝45°，求S △CPC ； (3)如图2，若k ＝14-，函数图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，在直线AB 上是否存在点Q ，使25QA QB =?若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.图1针对练习11.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点O 是AB 的中点，直线l ：y ＝kx －2k ＋4过定点C ，交x 轴于点E . (1)求正方形ABCD 的边长；(2)如图2，在直线l 上有一点N ，CN ＝12AB ，连接AN ，点M 为AN 的中点，连接BM ，求线段BM 的长度的最小值，并求出此时点N 的坐标.图1图22.已知一次函数y ＝－3x ＋3的图象与x 轴、y 轴交于点A ，B ，点C (3，0). ⑴求线段AB 的长度；(2)点G 和点B 关于x 轴对称，点P 在直线CG 上，若△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标.图2图1【板块二】 字母系数求解析式或解析式中的的值题型二求解析式或字母系数的值【例2】在平面直角坐标系中，已知点A （a ，0），C （0，b ）且a ，b 满足(a ＋1)2＝0.⑴直接写出:a ＝_______，b ＝_______；(2)如图1，点B 为x 轴正半轴上的一点:BE ⊥AC 于点E ，交y 轴于点D 连接OE ，若OE 平分∠AEB ，求直线BE 的解析式；(3)如图2，在(2)的条件下，点M 为直线BE 上的一动点:连接OM ，将线段OM 绕点M 逆时针旋转90°，点O 的对应点为N ，当点M 运动时，判断点N 的运动路线是什么图形，并说明理由.图2图1针对练习21.在平直角坐标系中，直线y ＝ax ＋b 与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，且a ，b 满足a ＋3，不论k 为何值，直线l :y ＝kx －2k 都经过x 轴上一定点A .⑴a ＝____，b ＝_____；点A 的坐标为________.(2)如图1，当k ＝1时，将线段BC 沿某个方向平移，使点B ，C 对应的点M ，N 恰好分别在直线l 和直线y ＝2x －4上，请你判断四边形BMNC 的形状，并说明理由；⑶图2，当k 的取值发生变化时，直线l ：y ＝kx －2k 绕着点A 旋转，当它与直线y ＝ax ＋b 相交的夹角为45°时，求出相应的k 的值.图22.如图，直线l 1：y ＝2kx ＋4k ＋4交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，经过点B 的直线l 2：y ＝x ＋4k ＋4交x 轴于点C .⑴若A (4，0)，求两直线的解析式；⑵直线 y ＝－2x 交直线l 1于点M ，，交直线l 2于点N ，若S △MNB ＝S △NCO 求BMAB的值； ⑶直线x ＝k 交l 1于点D ，交l 2于点E ，若2DE －kAC ＝5，求k 的值.图2图1针对练习21．在平面直角坐标系中，直线y ＝ax ＋b 与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，且a ，b 满足a ＋3，不论k 为何值，直线l ：y ＝kx 一2k 都经过x 轴上一定点A ． (1)a ＝ ，b ＝ ；点A 的坐标为 ；(2)如图1，当k＝1时，将线段BC沿某个方向平移，使点B，C对应的点M，N恰好分别在直线l和直线y＝2x －4上，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；(3)如图2，当k的取值发生变化时，直线l：y＝kx－2k绕着点A旋转，当它与直线y＝ax＋b相交的夹角为45°时，求出相应的k的值．图1 图22．如图，直线l1：y＝2kx＋4k＋4交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，经过点B的直线l2：y＝x＋4k＋4交x轴于点C．(1)若A(4，0)，求两直线的解析式；(2)直线y＝－2x交直线l1于点M，交直线l2于点N，若S△MNB＝S△NCO，求BMAB的值；(3)直线x＝k交l1于点D，交l2于点E，若2DE一kAC＝5，求k的值．【板块三】探求点的轨迹模型三探求点的轨迹【例3】在平面直角坐标系中，点A(0，8)、C(8，0)，四边形AOCB是正方形，点D（a，0）是x轴正半轴上的一动点，∠ADE＝90°，DE交正方形AOCB的外角的平分线CE于点E．（1）点D(a，0)在x轴正半轴上运动，点P在y轴上，若四边形PDEB为菱形，求直线PB的解析式；（2）连接AE，点F是AE的中点，当点D在x轴正半轴上运动时，点F到CE的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．针对练习32．已知直线l 1:y ＝mx －4m 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线l 2:y ＝nx －12m ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，交l 1于点E （1）求点A 坐标；（2）如图1，若B 为线段AE 中点，求证：EC ＝EA ；（3）如图2，P （0，t ），将线段P A 绕点P 逆时针方向旋转90°至PF ，连接AF ，OF ，求OF ＋AF 的最小值．【板块四】 探求线段关系题型四 探求线段关系【例4】 直线y ＝kx －2k 交x 轴于点B ，交y 轴于点A（1）当k ＝－2时，①点P 为直线AB 上的一动点，求OP 的最小值；②若点Q 为x 轴上的一点，∠QAB ＝45°，求点Q 坐标；（2）若直线CD :Y ＝22kk x -交AB 于点D ，点C 的横坐标为－1，求AD ACBD-针对练习41．已知点C （0，－2），直线l :y ＝kx －2k ，无论k 取何值，直线总经过点B ． (1)求定点B 的坐标；(2)若直线BC 关于x 轴对称后再向上平移5个单位得到直线B 1C 1，如图，点G （1，a ）和H (6，b )是直线B 1C 1上的两点，点P (m ，n )为第一象限内(G ，H 两点除外)的一点，且mn ＝6，直线PG 和PH 分别交y 轴M ，N 两点，问线段OM ，ON 有什么数量关系?请证明．2．如图1，直线AB 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，OA ＝OB ． (1)当AB＝AB 的解析式；(2)如图2，直线y ＝kx 交直线AB 于点C ，点D 是AB 上的一点，过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线交直线y ＝kx 于点E ，F ，若CF ＝2CE ，求k 的值；图1 图2。
八年级数学复习必背几何定理定义公式
八年级数学复习必背几何定理定义公式班级姓名第一部分相交线、平行线1、直线公理：经过两点有且只有一条直线两点确定一直线;2 、线段公理：两点之间线段最短;3、同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等;4、对顶角相等;5、垂线的性质：①经过一点．．有且只有一条直线和已知直线垂直;②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短;简写为：垂线段最短;6、平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线;7、在同一平面中两条直线的位置关系有两种,相交和平行;在空间几何中两条直线的位置关系有三种,相交、平行和异面;8、平行公理：经过直线外一点．．．．．,有且只有一条直线与这条直线平行;7、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行;9、平行线的判定：①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;10、平行线的性质：①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补;第二部分三角形1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形,叫作三角形;2、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线;3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与对边相交,顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线;4、三角形的高：经过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高;5、三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边;6、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°7、推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;8、真命题：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;9、多边形的内角和公式：n-2180°10、任意多边的外角和等于360°;11、连接多边形的不相邻顶点的直线叫作对角线;从n 边形n ≥3的一个顶点可以引n-3条对角线,n 边形n ≥3一共有)3(21 n n 条对角线;12、能够完全重合的两个图形叫作全等形;13、能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形;全等三角形的对应边、对应角相等 ;14、全等三角形的判定：①边角边SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;②角边角ASA ：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ;③角角边AAS ：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等; ④边边边SSS ：有三边对应相等的两个三角形全等;⑤斜边、直角边HL ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 第三部分 轴对称图形 1、轴对称：如果把一个图形沿着一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合,那么这两个图形关于直线成轴对称;2、轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形是轴对称图形;3、轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形;②如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;③两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;④真命题：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称;①线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;③线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的所有点的集合;6、角的轴对称性：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;②在角的内部到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上;③角的平分线是角的内部到角的两边距离相等的所有点的集合;7、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形;8、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等即等边对等角②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;9、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等等角对等边10、等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形;11、等边三角形的性质：等边三角形的各角都相等,并且每个角都等于60° ;12、等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;13、直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互余;②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半③勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方;④在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半;⑤在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于3014、直角三角形的判定：①两个锐角互余的三角形是直角三角形;②真命题：如果三角形的一边上的中线等于这边长的一半,那么这个三角形是直角三角形;③勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形;第四部分中心对称图形1、中心对称：如果把一个图形绕一个点旋转180°后能够与另一个图形完全重合,那么这两个图形关于这点成中心对称;2、中心对称图形：把一个图形绕一个点旋转180°后能够与自身完全重合,那么这个图形是中心对称图形;3、中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等的;②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分;4、真命题：如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点成中心对称;5、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形;6、平行四边形性质：①平行四边形的对角相等;②平行四边形的对边相等;③平行四边形的对角线互相平分;7、平行四边形判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形;②对角线互相平分的四边形是平行四边形;③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;④真命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形;⑤真命题：一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形;注意：假命题．．．：一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形;×8、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形;9、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线相等;10、矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;11、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形;12、菱形的性质：①菱形的四条边都相等;②菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;13、菱形面积等于对角线乘积的一半;推而广之：真命题对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半;14、菱形的判定：①四边都相等的四边形是菱形;②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;③真命题：一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;15、正方形的定义：有一个角是直角,并且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形;16、正方形性质：正方形的四个角都是直角,四条边都相等,正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;17、正方形的判定：既是矩形,又是菱形的四边形是正方形;18、梯形的定义：有一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫作梯形;19、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形;20、等腰梯形性质：①等腰梯形在同一底上的两个角相等;②等腰梯形的两条对角线相等;21、等腰梯形判定：①在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;②真命题对角线相等的梯形是等腰梯形;22、三角形的中位线的定义：连接三角形的两边中点的线段叫作三角形的中位线;23、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半;24、梯形的中位线：连接梯形的两腰中点的线段叫作梯形的中位线;25、真命题：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底之和的一半;26、真命题：梯形的两条对角线的中点的连线平行于两底,并且等于两底之差的一半;27、梯形的面积等于中位线与高的乘积;28、真命题：①连接任意四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形;真命题：②连接对角线相等．．．．．的四边形的各边中点所得四边形是矩形;真命题：③连接对角线互相垂直．．．．．．．的四边形的各边中点所得的四边形是菱形;。
八年级上册数学期末复习：几何常用模型
八年级几何模型整理一．几种常见的三角形角度模型1.“8”字模型结论：∠A+∠D=∠B+∠C。
模型分析：8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到【例1】如图①，线段AB\CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图①的图形称之为“８字形”。
如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：（1）在图①中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系______；（2）应用（1）的结果，猜想∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系并予以证明。
2.飞镖模型如图所示角度结论：∠D=∠A+∠B+∠C。
长度结论：AB+AC >BD+CD模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到1.如图,BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,BE、CF交于G,若∠BDC=140∘,∠BGC=110∘，则∠A=___.2.如图∠A＝70°，点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝______________.【例2】（1）如图①，在△ABC中，∠A=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB。
求∠BPC 的度数；（2）如图②，若BP、CP分别为△ABC的外角∠ABC、∠ECB的平分线，且∠A=50°，求∠BPC的度数；（3）如图③，若CP平分∠ACE，BP是∠ABC的平分线，∠A=50°求∠P。
【方法归纳】涉及到三角形的内外角平分线的问题常常可借用如下三个基本图形和基本结论：（1）如图①，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点（即三角形两内角平分线相交所成的角），则∠P＝90°＋∠A；（2）如图②，若点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点（即三角形一内角平分线和一外角平分线相交所成的角），则∠P＝∠A；（3）如图③，若点P是∠CBF和∠BCE的平分线的交点（即三角形两外角平分线相交所成的角），则∠P＝90°－∠A．3.问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图a,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60，则BM=CN；②如图b,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90，则BM=CN；然后运用类比的思想提出了如下命题：③如图c,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108，则BM=CN；任务要求：(1)请你从①,②,③三个命题中选择一个进行证明;(2)请你继续完成下面的探索：ⅰ、如图d,在正n(n⩾3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立?(不要求证明)ⅱ、如图e,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108时，试问结论BM=CN是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立。
八年级数学上册几何期末综合复习题1
八年级期末几何综合复习（一）1．如图：设△ABC和△CDE都是等边三角形：且∠EBD=65°：则∠AEB的度数是（）A．115°B．120°C．125°D．130°2．如图：在四边形ABCD中：AB=AC：∠ABD=60°：∠ADB=78°：∠BDC=24°：则∠DBC=（）A．18°B．20°C．25°D．15°3．如图：等腰Rt△ABC中：∠BAC=90°：AD⊥BC于点D：∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点：M为EF的中点：AM的延长线交BC于点N：连接DM：下列结论：①DF=DN：②△DMN为等腰三角形：③DM平分∠BMN：④AE=EC：⑤AE=NC：其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图：等腰Rt△ABC中：∠ABC=90°：AB=BC．点A、B分别在坐标轴上：且x轴恰好平分∠BAC：BC交x轴于点M：过C点作CD⊥x轴于点D：则的值为．5．已知Rt△ABC中：∠C=90°：AC=6：BC=8：将它的一个锐角翻折：使该锐角顶点落在其对边的中点D处：折痕交另一直角边于E：交斜边于F：则△CDE的周长为．6．如图：∠AOB=30°：点P为∠AOB内一点：OP=8．点M、N分别在OA、OB上：则△PMN周长的最小值为．7．如图：已知四边形ABCD中：对角线BD平分∠ABC：∠BAC=64°：∠BCD+∠DCA=180°：那么∠BDC为度．8如图：在直角坐标系中：点A（0：a2﹣a）和点B（0：﹣3a﹣5）在y轴上：点M在x轴负半轴上：S△ABM=6．当线段OM最长时：点M的坐标为．9．如图：△ABC中：AC=BC：∠ACB=90°：点D为BC的中点：点E与点C关于直线AD对称：CE与AD、AB分别交于点F、G：连接BE、BF、GD：求证：（1）△BEF为等腰直角三角形：（2）∠ADC=∠BDG．10．如图：等腰△ABC中：AB=CB：M为ABC内一点：∠MAC+∠MCB=∠MCA=30°（1）求证：△ABM为等腰三角形：（2）求∠BMC的度数．11．如图：直线AB交x轴于点A（a：0）：交y轴于点B（0：b）：且a、b满足|a+b|+（a ﹣5）2=0（1）点A的坐标为：点B的坐标为：（2）如图：若点C的坐标为（﹣3：﹣2）：且BE⊥AC于点E：OD⊥OC交BE延长线于D：试求点D的坐标：（3）如图：M、N分别为OA、OB边上的点：OM=ON：OP⊥AN交AB于点P：过点P作PG⊥BM交AN的延长线于点G：请写出线段AG、OP与PG之间的数列关系并证明你的结论．12．如图：在等边三角形△ABC中：AE=CD：AD、BE交于P点：BQ⊥AD于Q：（1）求证：BP=2PQ：（2）连PC：若BP⊥PC：求的值．13．在△ABC中：AD平分∠BAC交BC于D．（1）如图1：∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点：过D作DF⊥AC于F：DM=DN：证明：AM+AN=2AF：（2）如图2：若∠C=90°：∠BAC=60°：AC=9：∠MDN=120°：ND∥AB：求四边形AMDN 的周长．14．如图1：在平面直角坐标系中：点A、B分别在x轴、y轴上．（1）如图1：点A与点C关于y轴对称：点E、F分别是线段AC、AB上的点（点E不与点A、C重合）：且∠BEF=∠BAO．若∠BAO=2∠OBE：求证：AF=CE：（2）如图2：若OA=OB：在点A处有一等腰△AMN绕点A旋转：且AM=MN：∠AMN=90°．连接BN：点P为BN的中点：试猜想OP和MP的数量关系和位置关系：说明理由．15.已知点C为线段AB上一点：分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE：且CA=CD：CB=CE：∠ACD=∠BCE：直线AE与BD交于点F．（1）如图1：若∠ACD=60°：则∠AFD=：（2）如图2：若∠ACD=α：连接CF：则∠AFC=（用含α的式子表示）：（3）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转如图3：连接AE、AB、BD：∠ABD=80°：求∠EAB 的度数．16.等腰Rt△ACB：∠ACB=90°：AC=BC：点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．（1）如图1：求证：∠BCO=∠CAO（2）如图2：若OA=5：OC=2：求B点的坐标（3）如图3：点C（0：3）：Q、A两点均在x轴上：且S△CQA=18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM：连接MN交y轴于P点：OP的长度是否发生改变？若不变：求出OP的值：若变化：求OP的取值范围．17．如图：在平面直角坐标系中：已知A（0：a）、B（﹣b：0）且a、b满足+|a﹣2b+2|=0．（1）求证：∠OAB=∠OBA：（2）如图1：若BE⊥AE：求∠AEO的度数：（3）如图2：若D是AO的中点：DE∥BO：F在AB的延长线上：∠EOF=45°：连接EF：试探究OE和EF的数量和位置关系．19.如图①：平面直角坐标系XOY中：若A（0：a）、B（b：0）且（a﹣4）2+=0：以AB 为直角边作等腰Rt△ABC：∠CAB=90°：AB=AC．（1）求C点坐标：（2）如图②过C点作CD⊥X轴于D：连接AD：求∠ADC的度数：（3）如图③在（1）中：点A在Y轴上运动：以OA为直角边作等腰Rt△OAE：连接EC：交Y轴于F：试问A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化：请直接写出它们的比值（不需要解答过程或说明理由）．20.如图1：点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上：且OA=OB：点C和点D分别在第四象限和第一象限：且OC⊥OD：OC=OD：点D的坐标为（m：n）：且满足（m﹣2n）2+|n ﹣2|=0．（1）求点D的坐标：（2）求∠AKO的度数：（3）如图2：点P：Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上：且OP=OQ：直线ON⊥BP交AB 于点N：MN⊥AQ交BP的延长线于点M：判断ON：MN：BM的数量关系并证明．21.如图：△AOB和△ACD是等边三角形：其中AB⊥x轴于E点(1) 如图：若OC＝5：求BD的长度(2) 设BD交x轴于点F：求证：∠OF A＝∠DF A(3) 如图：若正△AOB的边长为4：点C为x轴上一动点：以AC为边在直线AC下方作正△ACD：连接ED：求ED的最小值。
人教版八年级上册期末数学备考---几何综合 Word版
人教版八年级上册期末数学备考----几何综合(Word版)1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD，点C 关于直线AD 的对称点为点E，射线BE 与射线AD 交于点F．（1）在图中，依题意补全图形；（2）记∠DAC＝α（α＜45°），求∠ABF的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE 是等边三角形，猜想EF 和BC 的数量关系，并证明．2．如图，CN 是等边△ABC 的外角∠ACM 内部的一条射线，点A 关于CN 的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD 分别交射线CN 于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC 与PE 之间的数量关系，并证明．3．数学老师布置了这样一道作业题：在△ABC 中，AB＝AC≠BC，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α+β＝120°，连接AD，求∠ADB 的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30° 时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB 的度数；（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D 和点A 在直线BC 的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为（直接写出结果）．4．如图1，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线AO 交BC 于点D，点H 为AO上一动点，过点H 作直线l⊥AO 于H，分别交直线AB、AC、BC 于点N、E、M．（ 1 ）当直线l 经过点 C 时（如图 2 ），证明：BN ＝CD ；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD 之间的等量关系．5．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 在BC 边上，连接AD，AE⊥AD，AE＝AD，连接CE，DE．（1）求证：∠B＝∠ACE；（2）点A 关于直线CE 的对称点为M，连接CM，EM．①补全图形并证明∠EMC＝∠BAD；②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当D，E，M 三点恰好共线时点D 的位置．请直接写出此时∠BAD 的度数，并画出相应的图形．6．在△ABC 中，AB＝AC，在△ABC 的外部作等边三角形△ACD，E 为AC 的中点，连接DE 并延长交BC 于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF 的度数；（2）如图2，∠ACB 的平分线交AB 于点M，交EF 于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．7．在△ABC 中，∠A＝60°，BD，CE 是△ABC 的两条角平分线，且BD，CE 交于点F．（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD＝BC．他发现先在BC 上截取BM，使BM＝BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM＝CD 即可．①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC 上截取BM，使BM＝BE，连接FM，则可以证明△BEF 与全等，判定它们全等的依据是；ⅱ）由∠A＝60°，BD，CE 是△ABC 的两条角平分线，可以得出∠EFB＝°；…②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD＝BC的过程．（2）如图2，若∠ABC＝40°，求证：BF＝CA．8．在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，DE＝DA（如图1）（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）点E 关于直线BC 的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2 补全；②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有DA＝AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明DA＝AM，只需证△ADM 是等边三角形；想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM 即可．请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA＝AM（一种方法即可）9．已知：△ABC 是等边三角形．（1）如图1，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，BD＝CE，BE 与CD 交于点F．试判断BF 与CF 的数量关系，并加以证明；（2）点D 是AB 边上的一个动点，点E 是AC 边上的一个动点，且BD＝CE，BE 与CD 交于点F．若△BFD 是等腰三角形，求∠FBD 的度数．10．已知：在△ABC 中，∠ABC＜60°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D，点E 在线段CD 上（点E不与点C、D重合），且∠EAC＝2∠EBC．（1）如图1，若∠EBC＝27°，且EB＝EC，则∠DEB＝°，∠AEC＝°．（2）如图2，①求证：AE+AC＝BC；②若∠ECB＝30°，且AC＝BE，求∠EBC 的度数．11．在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线．（1）如图1，过C 作CE∥AD 交BA 延长线于点E，若F 为CE 的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；（2）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN∥AD 交AC 于点N，若AB＝4，AC＝7，求NC 的长．12．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD ＝AC，CE⊥AD 于E，且CE＝5．（1）求BC 的长；（2）求证：BD＝CD．13．在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC 是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG 交DE 延长线于点G．请你在图2 中画出完整图形，并直接写出MD，DG 与AD 之间的数量关系；（3）如图3，点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG＝60°，NG 交DE 延长线于点G．试探究ND，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．14．已知：如图，在△ABC 中，如果∠A 是锐角，点D，E 分别在AB，AC 上，且∠DCB＝求证：BD＝CE．15．在△ABC 中，AB＞BC，直线l 垂直平分AC．（1）如图1，作∠ABC 的平分线交直线l 于点D，连接AD，CD．①补全图形；②判断∠BAD 和∠BCD 的数量关系，并证明．（2）如图2，直线l 与△ABC 的外角∠ABE 的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD＝∠BCD．16．在平面直角坐标系xOy 中，△ABO 为等边三角形，O 为坐标原点，点A 关于y 轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD 分别交y 轴于点E，P．（1）如图1，若点B 在x 轴的负半轴上时，直接写出∠BDO 的度数；（2）如图2，将△ABO 绕点O 旋转，且点A 始终在第二象限，此时AO 与y 轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果17．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P 作PE⊥AC 于E，Q 为BC 延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ 交AC 于D，求DE 的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P 作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE 的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC 边长为2，当P 为BA 的延长线上一点时，作PE⊥CA 的延长线于点E，Q 为边BC 上一点，且AP＝CQ，连接PQ 交AC 于D．请你在图2 中补全图形并求DE 的长．2．已知等边△ABC，当P 为AB 的延长线上一点时，作PE⊥射线AC 于点E，Q 为（①BC 边上；②BC 的延长线上；③CB 的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ 交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）18．如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP，点C 关于直线AP 的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD 交直线AP 于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB 的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE 之间的数量关系，并证明你的结论．19．如图1，在△ABC 中，∠A 的外角平分线交BC 的延长线于点D．（1）线段BC 的垂直平分线交DA 的延长线于点P，连接PB，PC．①利用尺规作图补全图形1，不写作法，保留痕迹；②求证：∠BPC＝∠BAC；（2）如图2，若Q 是线段AD 上异于A，D 的任意一点，判断QB+QC 与AB+AC 的大小，并予以证明．第10页（共17页）20．如图，在△ABC 中，BA＝BC，点D 为△ABC 外一点，连接DA，∠DAC 恰好为25°，线段AD 沿直线AC 翻折得到线段AD′，过点C 作AD 的平行线交AD′于点E，连接BE．（1）求证：AE＝CE；（2）求∠AEB 的度数．21．如图①，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE 分别延长至M、N，使BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：（1）在图②中，BD 与CE 的数量关系是；（2）在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系，∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想．22．在等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED＝EC．（1）若点E 是AB 的中点，如图1，求证：AE＝DB．（2）若点E 不是AB 的中点时，如图2，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并写出证明过程．23．在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路，如：在图1 中，若C 是∠MON 的平分线OP 上一点，点A 在OM 上，此时，在ON上截取OB＝OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC 和△OAC，参考上面的方法，解答下列问题：如图2，在非等边△ABC 中，∠B＝60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，且AD，CE 交于点F，求证：AC＝AE+CD．24．如图：在Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到△ABC 的三个顶点A、B、C 距离之间的关系；（2）如果点M、N 分别在线段AB、AC 上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．25．如图，△ABC 是等边三角形，△ADC 与△ABC 关于直线AC 对称，AE 与CD 垂直交BC 的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF 与AB 在AE 的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE 上找一点P，使点P 到点B，点C 的距离和最短；②求证：点D 到AF，EF 的距离相等．26．如图，△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点D，延长AB 至点E，使∠AEC＝∠DAB．判断CE 与AD 的数量关系，并证明你的结论．27．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC，以AC 为边作等边三角形ACD，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E，连接BC，AE．（1）如图1，点C 在线段AB 上．①根据题意补全图1②求证：∠EAC＝∠EDC；（2）如图2，点C 在直线AB 的上方，0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE 之间的数量关系，并证明．28．在等边△ABC 外作射线AD，使得AD 和AC 在直线AB 的两侧，∠BAD＝α（0°＜α＜180°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC．（1）依题意补全图1；（2）在图1 中，求∠BPC 的度数；（3）直接写出使得△PBC 是等腰三角形的α的值．29．在△DEF 中，DE＝DF，点B 在EF 边上，且∠EBD＝60°，C 是射线BD 上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C 在线段BD 上时，①若点C 与点D 重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE 与BF 的数量关系为；②如图2，若点C 不与点D 重合，请证明AE＝BF+CD；（2）当点C 在线段BD 的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD 之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．30．解决下面问题：如图，在△ABC 中，∠A 是锐角，点D，E 分别在AB，AC 上，且∠A，BE 与CD 相交于点O，探究BD 与CE 之间的数量关系，并证明你的结论．小新同学是这样思考的：在平时的学习中，有这样的经验：假如△ABC 是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a，BE，CD 分别是两底角的平分线（或者如图b，BE，CD 分别是两条腰的高线，或者如图c，BE，CD 分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角．这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决．请参考小新同学的思路，解决上面这个问题．31．如图，在△ABC 中，AB＝AC，P 为△ABC 内一点，且∠BAP＝70°，∠ABP＝40°，（1）求证：△ABP 是等腰三角形；（2）连接PC，当∠PCB＝30°时，求∠PBC 的度数．32．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0＜α＜60°），点A关于射线CP 的对称点为点D，BD 交CP 于点E，连接AD，AE．（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°＜α≤60°）的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB 的大小；（3）用等式表示线段AE，BD，CE 之间的数量关系，并证明．33．如图，在等边△ABC 中，点D 是线段BC 上一点作射线AD，点B 关于射线AD 的对称点为E，连接EC 并延长，交射线AD 于点F．（1）补全图形；（2）求∠AFE 的度数；（3）用等式表示线段AF、CF、EF 之间的数量关系，并证明．34．△ABC 是等边三角形，AC＝2，点C 关于AB 对称的点为C'，点P 是直线C'B 上的一个动点，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC 于点D．（1）若点P在线段C'B上（不与点C'，点B重合）．①如图1，若点P 是线段C'B 的中点，则AP 的长为；②如图2，点P 是线段C'B 上任意一点，求证：PD＝PA；（2）若点P 在线段C'B 的延长线上．①依题意补全图3；②直接写出线段BD，AB，BP 之间的数量关系为：．35．等边△ABC 的边长为4，D 是射线BC 上任一点，线段AD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．（1）当点D 是BC 的中点时，如图1，判断线段BD 与CE 的数量关系，请直接写出结论：（不必证明）；（2）当点D 是BC 边上任一点时，如图2，请用等式表示线段AB，CE，CD 之间的数量关系，并证明；（3）当点D 是BC 延长线上一点且CD＝1 时，如图3，求线段CE 的长．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例.(梅苑八上10月第16题)已知△ABC 的周长是20，三边为c b a ,,，且三边互不相等，a 是最大边，c 是最小边， c a 3=，c b a ,, 均为整数，则b = 。
【课堂练习】1.(武大外校八上摸底16题)各边长度都是整数，最大边长为8的三角形共有___________个。
2.（武珞路八上期中）用一条长20 cm 的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为x cm ，第二条边长比第一条边长的2倍少4 cm ．若第一条边最短，则x 的取值范围是（ ） A ．2＜x ＜8B ．6314<<x C ．0＜x ＜10 D ．7＜x ＜8知识点二：利用三角形的三线相关知识点 【例题精讲】例1.（武珞路八上期中10）已知△ABC 的两条边上的高的长分别为5、20，若第三条边上的高的长要是整数，则第三条高的长的最大值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8例2.（硚口区八上期末第9题）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，BE 交AC 于F ．若BE ＝AC ，BF ＝9，CF ＝6，则AF 的长度为（ ） A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5例3.（新动力一八上期中）如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC＝4，S △BEF ＝( )A ．2B ．1C ．12 D ．14【课堂练习】1.(东西湖区期末)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 、CE 、CF 分别为△ABC 的高、角平分线、中线，则下列结论中：① ∠A ＝∠BCD ；② AC×BC ＝AB×CD ；③ S △AFC ＝S △BFC ；④ EDEFCD CF，其中正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.（外校八上期中第15题）AE 、CD 为△ABC 的高，它们所在的直线相交于点F ．若AF ＝CB ，AB ＝m ，BD ＝n ，则CD 长为___________（用含有m 、n 的式子表示）。
3.（东西湖八上期中第9题）△ABC 的高BD 、CE 所在的直线交于点H ．若∠BHC ＝55°，则∠BAC 的度数为__________。
4.（江岸区八上期中,16）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm 、BC=8cm ，点I 为三角形的重心（中线的交点），HI ⊥BC 于点H ，则HI= cm 。
知识点三：利用三角形有关角的性质求角度【知识梳理】三角形有关角的性质：__________________________________________________【例题精讲】例 1.（华一寄宿八上10月月考16）如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB=123°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠DAC的度数为_________度.例2.（东西湖八上期中10）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝110°，O为△ABC内一点，且∠OBC＝25°，∠OCA＝5°，则∠BAO的度数为（）A．60°B．75°C．80°D．85例 3.(南湖八上10月第15题)AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=42°，则∠AEB=。
例4.(二十五中八上12月第15题)如图，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度数和是___________例5.(梅苑八上10月) 已知在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°；（1）ADC ABC ∠+∠= ______ ；（2）如图1，若DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC 的外角，请写出DE 与BF 的位置关系，并证明； （3）如图2，若BP 、DP 分别四等分∠ABC 、∠ADC 的外角（即CBM CBP CDN CDP ∠=∠∠=∠41.41），试求∠P 的度数。
【课堂练习】1.(六中八上10月16题)如上右图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD=∠BCD=60°，∠CBD=54°，∠ADB=48°．则∠AOB 的度数为 。
第1题图 第2题图2.(梅苑八上10月)如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为()A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°3.（江岸区八上期中）将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE （如图①）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图②）；再展平纸片（如图③）．则图③中∠α的大小为（）A．20°B．22.5°C．25.5°D．30°4.（七校联考八上期中）已知D、E分别为ΔABC中AB、BC上的动点，直线DE与直线AC相交于F,∠ADE的平分线与∠B的平分线相交于P，∠ACB的平分线与∠F的平分线相交于Q，﹙1﹚如图1，当F在AC的延长线上时，求∠P与∠Q之间的数量关系；﹙2﹚如图2，当F在AC的反向延长线上时，求∠P与∠Q之间的数量关系﹙用等式表示﹚。
5.（武汉XD一23）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC内一点，使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC 的度数。
知识点四：利用角平分线性质求角 【知识梳理】性质一：角平分线平分角 【例题精讲】例1.如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_________度。
例1图 例2图例 2.如图,四边形ABDC 中，对角线AD 平分∠BAC ，∠ACD=138°，∠BCD=42°,则∠ADB 的度数为（ ）A ．42°B ．48°C ．50°D ．53°【课堂练习】1.（青山区八上期末第10题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB ，∠ABD ＝52°，∠ABC＝116°，∠ACB ＝α°，则∠BDC 的度数为（ ） A ．α B ．α32C ．α-90D ．α3290-ACMB第1题图第2题图2.如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=30°，∠E=25°，则∠BAC= 度【知识梳理】性质二：角平分线上的点到角两边距离相等【例题精讲】例1.（洪山八上期中）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交x轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，大于12的长为半径画弧，两弧在第四象限交于点P．若点P的坐标为（－2a，4a＋6），则a的值为________。
例2.已知△ABC的周长为16，面积为20，其内角平分线交于点O，则点O到边BC的距离为________。
【课堂练习】1.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是。
第1题图第2题图2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点I为Rt△ABC三条角平分线的交点，则点I 到边AB的距离为．3.（东湖高新区八上期中）如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（）A．图中共有三个等腰三角形 B．点D在AB的垂直平分线上C．AC+CD=AB D．BD=2DC知识点五：三角形平分线与全等三角形【知识梳理】利用角平分线的性质证明三角形全等【例题精讲】例1.如图，已知△ABC的面积为8cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△BCP的面积为是____________。
例2.如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC，求证：∠PCB＋∠BAP＝180º。
【课堂练习】1.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．7 C．5.5 D．3.52.如图，△ABC中，∠C=60°，P是角平分线AD、BE的交点。
求证：AB=AE+BD。
知识点六：轴对称图形及其性质【例题精讲】例1.在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）A．1个B．2个C．3个 D．4个例2.、如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（）A．5个B．6个C．7个D．8个例3.（江岸区八上期中,9）图中有三个正方形，最大正方形的边长为6，利用轴对称的相关知识，得到阴影部分的面积为（）A.16B.17C.18D.20例4.（江岸区八上期中,10）如图，在3×3的正方形网格中，与△ABC关于某条直线对称的格点三角形（顶点格线交点的三角形）共有（）个A.5B.6C.7D.8A CB【课堂练习】（江汉区八上期中25题）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形。
图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出个格点三角形与△ABC成轴对称。
CA B知识点七：垂直平分线的性质、判定的运用【例题精讲】例1.（华师一八上10月月考15）如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，射线BM为∠ABC 的角平分线，直线l与BM相交于P点，若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为______.（例1图）（例2图）例2.如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC折叠，使一边的两个端点重合，折痕为MN，则没有重合部分的三角形的周长是。
例3.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F。
（1）求证：∠BAF＝∠ACF；（2）求证：∠B＝∠CAF。
例4.（东湖高新八上期中15）如图：△ABC中，AB=AC, ∠BAC＝54°∠BAC 的平分线与AB的垂直平分线交于点0，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为。