如何确定销售价才能获取最大利润

如何确定销售价才能获取最大利润

在商品经济的时代，人们往往最关心的是如何以最少的投入，获得最大的经济效益。下面以二次函数为例说明如下：

一、直接确定销售价

例1（南通市）某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台．假设这种品牌子的彩电每台降价100x （x 为整数）元，每天可以多销售出3x 台。（注：利润=销售价－进价）

（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？

分析：利润=销售价－进价是解答问题的关键。

解：（1）每台彩电的利润是(39001003000)x --元，每天销售(63)x +台，

则2(39001003000)(62)30021005400y x x x x =--+=-++

（2）2300( 3.5)9075y x =--+

300-=a ＜0，又x 为整数，

∴当3x =或4时，9000y =最大值

当3x =时，彩电单价为3600元，每天销售15台，营业额为36001554000⨯=元， 当4x =时，彩电单价为3500元，每天销售18台，营业额为35001863000⨯=元， 所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元，此时每台彩电的销售价是3500元时，能保证彩电的销售量和营业额较高。

点评：关注生活，关注社会是提高自身数学素养的一个基本的有效途径。

二、结合图象确定销售价

例2（莆田市）某种日记本的专卖柜台，每天柜台的租金，人员工资等固定费用为160

元，该日记本每本进价是4元，规定销售单价不得高于8元/本，也不得低于4元/本，调查发现日均销售量y （本）与销售单价x （元）的函数图象如图线段AB 。

（1）求日均销售量y （本）与销售单价x （元）的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，日均获利最多，获得最多是多少元？

分析：根据题意，结合图象可以知道线段AB 表示的是一次函数的图象，

因此，本题可以先构建一次函数模型再确定销售价，从而求出获取最大利润。

解：（1）由题意设日均销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y kx b =+

则得：4240880.k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得40400.k b =-⎧⎨=⎩， 40400y x ∴=-+（48x ≤≤） （2）设日均获利为A 元，则

(40400)(4)160A x x =-+--240(7)200x =--+

∴当7x =时，A 最大值为200

答：当销售单价为7元时，日均获利最多为200元．

点评：读懂题意，弄清图象的真实含义是解答本题的关键。

三、挑战自我

1、（青岛市）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240。设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题：

（1）求y 与x 的关系式；

（2）当x 取何值时，y 的值最大？

（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

（例2题图）

（销售单价/元）

2、（贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少

参考答案：

1、解：⑴ y ＝(x －50)∙ w ＝(x －50) ∙ (－2x ＋240)＝－2x 2＋340x －12000，

∴y 与x 的关系式为：y ＝－2x 2＋340x －12000

⑵ y ＝－2x 2＋340x －12000＝－2 (x －85) 2＋2450，

∴当x ＝85时，y 的值最大

⑶ 当y ＝2250时，可得方程 －2 (x －85 )2 ＋2450＝2250

解这个方程，得 x 1＝75，x 2＝95

根据题意，x 2＝95不合题意应舍去．

∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元

2、（1）903(50)y x =--化简得：3240y x =-+

（2）2(40)(3240)33609600w x x x x =--+=-+-

（3）2

33609600w x x =-+- 0a < ，∴抛物线开口向下． 当602b x a

=-=时，w 有最大值 又60x <，w 随x 的增大而增大

∴当55x =元时，w 的最大值为1125元

当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润 (2015)(4535)(100)750(2015)(4535)(100)760

a a a a -+--⎧⎨-+--⎩≥≤ 因此，不等式组的解集为4850a ≤≤

根据题意，a 的值应是整数，48a ∴=或49a =或50a = ∴该商场共有三种进货方案：

方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件，

方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件，

方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件．

（3）根据题意，得

第一天只购买甲种商品不享受优惠条件 2002010∴÷=（件）

第二天只购买乙种商品有以下两种情况：

情况一：购买乙种商品打九折，32490458÷÷=％（件） 情况二：购买乙种商品打八折，32480459÷÷=％（件） ∴一共可购买甲、乙两种商品10818+=（件）

或10919+=（件）

答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件．