八年级上册数学 全册全套试卷综合测试卷(word含答案)

八年级上册数学
全册全套试卷综合测试卷（word 含答案）
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．△ABC 的两边长为4和3，则第三边上的中线长m 的取值范围是_______．
【答案】
1722
m << 【解析】
【分析】 作出草图，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ，利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE 的取值范围，便不难得出m 的取值范围．
【详解】
解：如图，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD=CD ， 在△ABD 和△ECD 中，
AD DE ADB EDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABD ≌△ECD （SAS ），
∴CE=AB ，
∵AB=3，AC=4，
∴4-3＜AE ＜4+3， 即1＜AE ＜7，
∴1722
m <<． 故答案为：
1722m <<． 【点睛】
本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.
2．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ．
【答案】135
【解析】
解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点
O ，∴∠OBC +∠OCB =45°，∴∠BOC =180°﹣45°=135°．故答案为：135°．
点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
3．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为__cm ．
【答案】22
【解析】
【分析】
底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.
【详解】
试题解析：①当腰是4cm ，底边是9cm 时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是4cm ，腰长是9cm 时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm ．
故填22．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.
4．如果一个n 边形的内角和是1440°，那么n=__．
【答案】10
【解析】∵n 边形的内角和是1440°，
∴(n−2)×180°=1440°，
解得：n=10.
故答案为：10.
5． 如果一个n 边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=______．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式180°（n-2）和外角和为360°可得方程180（n-2）=360×3，再解方程即可．
【详解】
解：由题意得：180（n-2）=360×3，
解得：n=8，
故答案为：8．
【点睛】
此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
6．如图，在△ABC 中，∠A=70°，点O 到AB,BC,AC 的距离相等，连接BO ，CO ，则∠BOC=________．
【答案】125°
【解析】
【分析】
根据角平分线性质推出O 为△ABC 三角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB ，即可求出答案．
【详解】
：∵点O 到AB 、BC 、AC 的距离相等，
∴OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，
∴12OBC ABC ∠=
∠，12
OCB ACB ∠=∠， ∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴1110552OBC OCB ∠+∠=⨯︒=︒， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=125°；
故答案为：125．
【点睛】
本题主要考查平分线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠OBC+∠OCB 的度数是解此题的关键．
二、八年级数学三角形选择题（难）
7．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，点O 在AD 上，如果3AOB S ∆=，2BOD S ∆=，1ACO S ∆=，那么COD S ∆=（ ）
A ．13
B ．12
C ．32
D ．23
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式结合3AOB S ∆=，2BOD S ∆=求出AO 与DO 的比，再根据
1ACO S ∆=，即可求得COD S ∆的值．
【详解】
∵3AOB S ∆=，2BOD S ∆=，且AD 边上的高相同，
∴AO ：DO=3：2．
∵△ACO 和△COD 中，AD 边上的高相同，
∴S △AOC ：S △COD = AO ：DO=3：2，
∵1ACO S ∆=，
∴COD S ∆=
23. 故选D ．
【点睛】
本题考查了三角形的面积及等积变换，利用同底等高的三角形面积相等是解题的关键．
8．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，E ，F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF ，若S △CEF ＝5，则△ABC 的面积为（ ）
A ．15
B ．20
C ．25
D ．30
【答案】B
【解析】
【分析】 根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案
【详解】
解：根据等底同高的三角形面积相等，可得
∵F是BE的中点，
S△CFE＝S△CFB＝5，
∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，
∵E是AD的中点，
∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，
∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE
∴S△BDE+S△CDE＝10
∴S△AEB+S△AEC＝10
∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20
故选：B．
【点睛】
熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用.
9．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点．若∠A＝60°，则
∠BMN的度数为( )
A．45°B．50°C．60°D．65°
【答案】B
【解析】
分析：过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．详解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，
∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点M、N，
∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，
∴NE=NG，NF=NG，
∴NE=NF，
∴MN平分∠BMC，
∴∠BMN=1
2
∠BMC，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，
根据三等分,∠MBC+∠MCB=2
3
(∠ABC+∠ACB)=
2
3
×120°=80°.
在△BMC中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°.
∴∠BMN=1
2
×100°=50°；
故选：B.
点睛：本题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和为180°；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.熟记性质和定理是解本题的关键.
10．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是
（）
A．140米B．150米C．160米D．240米
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知小华走出了一个正多边形，根据正多边形的外角和公式可求解.
【详解】
已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，可得多边形的边数为360°÷24°=15，所以小明一共走了：15×10=150米．故答案选B．
【点睛】
本题考查多边形内角与外角，熟记公式是关键.
11．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）
A．4B．5C．6D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.
【详解】
解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.
12．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【详解】
设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4=9．
故选C.
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于
Q，PQ＝3，EP＝1，则DA的长是________.
【答案】7
【解析】
试题解析：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
AB CA
BAE ACD
AE CD
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
故答案为7.
14．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B的坐标是__________.
【答案】(3，－1)
【解析】
分析：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
详解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE，AC=BC，
∴△ADC ≌△CEB(AAS)，
∴DC=BE ，AD=CE ，
∵点C 的坐标为(1,2),点A 的坐标为(−2,0)，
∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，
∴则B 点的坐标是(3,−1).
故答案为(3,−1).
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.
15．在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，∠C ＜90°，若∠B 满足条件：______________，则△ABC ≌△DEF ．
【答案】∠B≥∠A ．
【解析】
【分析】
虽然题目中∠B 为锐角,但是需要对∠B 进行分类探究会理解更深入：可按“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行，最后得出∠B 、∠E 都是锐角时两三角形全等的条件．
【详解】
解：需分三种情况讨论：
第一种情况：当∠B 是直角时：
如图①，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E=90°，可知：△ABC 与△DEF 一定全等，依据的判定方法是HL ；
第二种情况：当∠B 是钝角时：如图②，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ．
∵∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．
∴180°-∠B=180°-∠E ，
即∠CBG=∠FEH ．
在△CBG 和△FEH 中，
CBG FEH G H
BC EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），
∴CG=FH ，
在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，
AC DF CG FH
⎧⎨⎩＝，＝ ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），
∴∠A=∠D ， 在△ABC 和△DEF 中，
A D
B E
AC DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝
∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；
第三种情况：当∠B 是锐角时：
在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，小明在△ABC 中（如图③）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 于点D ，假设E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 符号已知条件，但是△AEF 与△ABC 一定不全等，
所以有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；
由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD ，
∴∠A ＞∠B ，
∴当∠B≥∠A 时，△ABC 就唯一确定了，
则△ABC ≌△DEF ．
故答案为：∠B≥∠A ．
【点
睛】
本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
16．如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点．∠MDN ＝90°，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点．下列结论：
①△DEF 是等腰直角三角形；
②AE ＝CF ；
③△BDE ≌△ADF ；
④BE +CF ＝EF ；
⑤S 四边形AEDF ＝14
AD 2， 其中正确结论是_____（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
先由ASA 证明△AED ≌△CFD ，得出AE ＝CF ，DE ＝FD ；再由全等三角形的性质得到BE +CF ＝AB ，由勾股定理求得EF 与AB 的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S 四边形AEDF ＝S △ADC ＝12
AD 2，从而判定⑤的正误． 【详解】
解：∵Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，
∴∠C ＝∠BAD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，
∵∠MDN ＝90°，
∴∠ADE +∠ADF ＝∠ADF +∠CDF ＝90°，
∴∠ADE ＝∠CDF ．
在△AED 与△CFD 中，
EAD C AD CD
ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AED ≌△CFD （ASA ），
∴AE ＝CF ，ED ＝FD ．故①②正确；
又∵△ABD ≌△ACD ，
∴△BDE ≌△ADF ．故③正确；
∵△AED ≌△CFD ，
∴AE ＝CF ，ED ＝FD ，
∴BE +CF ＝BE +AE ＝AB
BD ，
∵EF
ED ，BD ＞ED ，
∴BE +CF ＞EF ．故④错误；
∵△AED ≌△CFD ，△BDE ≌△ADF ，
∴S 四边形AEDF ＝S △ADC ＝12
AD 2．故⑤错误． 综上所述，正确结论是①②③．
故答案是：①②③．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．
17．如图，三角形△ABO 中，∠OAB=∠AOB=15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B （6，0）．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA+MN 的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】
在x轴正半轴上取点N’，使ON’=ON，作AD⊥x轴于D点.易证△N’OM≌△NOM，可得MN’=MN，则MA+MN的最小值即为MA+MN’的最小值，由于A点固定，故当N’点与D点重合时，MA+MN’的值最小，即MA+MN的值最小.
【详解】
解：在x轴正半轴上取点N’，使ON’=ON，作AD⊥x轴于D点.
∵ON’=ON，∠N’OM=∠NOM，OM=OM，
∴△N’OM≌△NOM，
∴MN’=MN，
∴MA+MN=MA+MN’，
∵A点固定，
∴MA+MN’的最小值为当N’与D点重合时的MA+MN’值，
∴MA+MN’的最小值为AD，
∵∠OAB=∠AOB=15°，OB=6，
∴∠ABD=30°，AB=6，
∴AD=0.5×6=3，
∴MA+MN的最小值为3，
故答案为3.
【点睛】
理解A点是固定点，而M和N均为动点，然后运用三点共线及点到直线的最短距离概念进行解答是本题的关键.
18．已知AD是△ABC的边BC上的中线，若AB = 4，AC = 6，则AD的取值范围是
___________．
【答案】15AD <<
【解析】
延长AD 到点E ，使DE=AD ，连接BE ，则可用SAS 证明△DAC ≌△DEB ，所以BE=AC. △ABE 中，BE-AB ＜AE ＜BE+AB ，即6-4＜AE ＜6+4，所以2＜AE ＜10.又AE=2AD ，所以2＜2AD ＜10，则1＜AD ＜5.
故答案为1＜AD ＜5.
点睛：本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当题目中有三角形的中线时，如果需要添加辅助线，一般考虑把中线延长一倍（通常称“倍中线法”），构造全等三角形，将已知条件或要解决的问题集中到一个三角形中.
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图，已知在正方形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，给出下列结论：
①BE DF =； ② 15DAF ∠=;
③AC 垂直平分EF ; ④BE DF EF +=．
其中结论正确的共有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
试题分析：四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，
∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF （故①正确）．
∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故③正确）．设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AC=，∴AB=，∴BE=﹣x=，
∴BE+DF=x﹣x≠x．（故④错误）．
∴综上所述，正确的有3个．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．
20．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】
分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG，
故结论①正确.
②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.
由①可知，△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，
∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD、EG，
由②知，BE⊥DG，
则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，
在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，
在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，
在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选：D.
点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（）
A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF
【答案】A
【解析】
【分析】
通过证明△ADF ≌△BDC ，可得AF ＝BC ＝2CE ，由等腰直角三角形的性质可得AG ＝BG ，DG ⊥AB ，由余角的性质可得∠DFA ＝∠AHG ＝∠DHF ，可得DH ＝DF ，由线段垂直平分线的性质可得AH ＝BH ，可求∠EHB ＝∠EBH ＝45°，可得HE ＝BE ，即可求解．
【详解】
解：∵∠BAC ＝45°，BD ⊥AC ，
∴∠CAB ＝∠ABD ＝45°，
∴AD ＝BD ，
∵AB ＝AC ，AE 平分∠BAC ，
∴CE ＝BE ＝
12
BC ，∠CAE ＝∠BAE ＝22.5°，AE ⊥BC ， ∴∠C +∠CAE ＝90°，且∠C +∠DBC ＝90°， ∴∠CAE ＝∠DBC ，且AD ＝BD ，∠ADF ＝∠BDC ＝90°，
∴△ADF ≌△BDC （AAS ）
∴AF ＝BC ＝2CE ，故选项C 不符合题意，
∵点G 为AB 的中点，AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，∠CAE ＝∠BAE ＝22.5°，
∴AG ＝BG ，DG ⊥AB ，∠AFD ＝67.5°
∴∠AHG ＝67.5°，
∴∠DFA ＝∠AHG ＝∠DHF ，
∴DH ＝DF ，故选项D 不符合题意，
连接BH ，
∵AG ＝BG ，DG ⊥AB ，
∴AH ＝BH ，
∴∠HAB ＝∠HBA ＝22.5°，
∴∠EHB ＝45°，且AE ⊥BC ，
∴∠EHB ＝∠EBH ＝45°，
∴HE ＝BE ，
故选项B 不符合题意，
故选：A ．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质与判定,等腰直角三角形的性质,关键在于熟练掌握基本知识点,灵活运用知识点.
22．如图，D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =，DBC DCB ∠=∠，过D 作DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥交BA 的延长线于F ，则下列结论：
①CDE △≌BDF ；②CE AB AE =+；③BDC BAC ∠=∠；④DAF CBD ∠=∠． 其中正确的结论有（ ）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】 BD=CD,AD 是角平分线，所以FD=DE,∠DFB =∠DEC =90°，所以CDE ≌BDF ；①正确.由全等得BF=CE ,因为FA=AE,FB=AB+FA ,所以CE=AB+AE , ②正确.由全等知，
∠DCE=∠FBD,所以∠BAC=∠BDC. ③正确. ∴DBF DCE ∠=∠，
∴A 、B 、C 、D 四点共圆，
∴DAF CBD ∠=∠，④正确．
故选D.
23．如图，AC ⊥BE 于点C ，DF ⊥BE 于点F ，且BC ＝EF ，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL ”来证明△ABC ≌△DEF ，则这个条件应该是( )
A ．AC ＝DE
B ．AB ＝DE
C ．∠B ＝∠E
D ．∠D ＝∠A
【答案】B
【解析】
在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，直角边BC ＝EF ，要利用“HL”判定全等，只需添加条件斜边AB=DE.
故选：B.
24．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE =BC +DE =2，则五边形ABCDE 的面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】
可延长DE至F，使EF=BC，利用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再利用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求解即可．
【详解】
延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，
在△ABC与△AEF中，
=90
AB AE
ABC AEF
BC EF
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，
∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，
∴CD=EF+DE=DF，
在△ACD与△AFD中，
AC AF
CD DF
AD AD
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴五边形ABCDE的面积是：S=2S△ADF=2×
1
2
•DF•AE=2×
1
2
×2×2=4．
故选C.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积是解决问题的关键．
五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
25．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC
∥，PF AC
∥，若ABC的周长为12cm，则PD PE PF
++=____cm．
【答案】4
【解析】
【分析】
先说明四边形HBDP是平行四边形，△AHE和△AHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可．
【详解】
∥
解：∵PD AB，PE BC
∴四边形HBDP是平行四边形
∴PD=HB
∵ABC为等边三角形,周长为12cm
∴∠B=∠A=60°,AB=4
∥
∵PE BC
∴∠AHE=∠B=60°
∴∠AHE=∠A=60°
∴△AHE是等边三角形
∴HE=AH
∵∠HFP=∠A=60°
∴∠HFP=∠AHE=60°
∴△AHE是等边三角形，
∴FP=PH
∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm
故答案为4cm．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．
26．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．
【答案】40°
【解析】
【分析】
作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP 1M=∠OPM=50°，OP 1=OP 2=OP ，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
如图：作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA 、OB 的交点时，△PMN 的周长最短，连接P 1O 、P 2O ，
∵PP 1关于OA 对称，
∴∠P 1OP=2∠MOP ，OP1=OP ，P 1M=PM ，∠OP 1M=∠OPM=50°
同理，∠P 2OP=2∠NOP ，OP=OP 2，
∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2（∠MOP+∠NOP ）=2∠AOB ，OP 1=OP 2=OP ，
∴△P 1OP 2是等腰三角形．
∴∠OP 2N=∠OP 1M=50°，
∴∠P 1OP 2=180°-2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，
故答案为：40°
【点睛】
本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．
27．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断④错误．
【详解】
解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中，
∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC，故①正确．
∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，
∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵∠BDF=∠BHG=90°，
∴∠BGH=∠BFD=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG=67.5°，
∴DG=DF，故③正确．
作GM⊥AB于M．如图所示：
∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，
∴GH=GM＜DG，
∴S△DGB＞S△GHB，
∵S△ABE=S△BCE，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.
【详解】
解：如图：连接BE
∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，
∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠F+∠CEF＝90°，
∵∠AED＝∠FEC，
∴∠A＝∠F＝30°，
∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝∠F，
∴BE＝EF，
在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2，
∴EF ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.
29．如图，在第一个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，在边A 1B 上任取一D ，延长CA 2到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ，在边A 2B 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第三个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，第n 个等腰三角形的底角的度数是_____度．
【答案】
1752n - 【解析】
【分析】
先根据∠B ＝30°，AB ＝A 1B 求出∠BA 1C 的度数，在由A 1A 2＝A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数，同理求出∠EA 3A 2＝
754，∠FA 4A 3＝758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数＝
1752n ． 【详解】
∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，
∴∠BA 1C ＝1802
B ︒-∠＝75°， ∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1
C 是△A 1A 2
D 的外角， ∴∠DA 2A 1＝
12∠BA 1C ＝12×75°＝37.5°； 同理可得，
∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758
, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数＝
1752n ． 故答案为1
752n -．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.
30．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．
【答案】12
【解析】
【分析】
延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF
（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．
【详解】
延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：
∵M为EF中点，
∴ME＝MF，
在△BME和△GMF中，
BM MG
BME GMF
ME MF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BME≌△GMF（SAS），
∴FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，S△BEM＝S△GFM，
∴FG∥BE，
∴∠C ＝∠GFC ，
∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，
∴∠A ＝∠DFG ，
∵AB ＝BE ，
∴AB ＝FG ，
在△DAB 和△DFG 中，
AB FG A DFG
AD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DAB ≌△DFG （SAS ），
∴DB ＝DG ，S △DAB ＝S △DFG ，
∵MG ＝BM ，
∴DM ⊥BM ，
∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝
12×BG ×DM ＝12
×8×3＝12， 故答案为：12．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．
六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
31．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )
A
．2 B
．2 C ．32 D ．不能确定
【答案】B
【解析】
已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH
S △ABC =12BC •AH =12AB •PD+12BC•PE +12
AC •PF ，所以12×3×AH =12×3×PD +12×3×PE +12
×3×PF ，即可得PD +PE +PF =AH
P 到三角形三边
B.
点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．
32．如图，120AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，且2OP =，若点M N 、分别在OA OB 、上，且PMN ∆为等边三角形，则满足上述条件的PMN ∆有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无数个
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ，作∠MPN=60°，只要证明△PEM ≌△PON 即可反推出△PMN 是等边三角形满足条件，以此进行分析即可得出结论.
【详解】
解：如图在OA 、OB 上截取OE=OF=OP ，作∠MPN=60°．
∵OP 平分∠AOB ，120AOB ∠=︒，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OE=OF=OP ，
∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，
∴EP=OP ，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN ，
在△PEM 和△PON 中，
PEM PON
PE PO
EPM OPN
∠
⎪∠
⎧
⎩
∠
⎪
∠
⎨
＝
＝
＝
∴△PEM≌△PON（ASA）．
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：D．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.
33．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；
②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120º；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是
（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意易证：△ACE≅△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE≅△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ≅△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，
即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120º；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．
【详解】
∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB=120°，
∴△ACE≅△DCB(SAS)
∴AE＝BD，
∴①正确；
∵△ACE ≅△DCB ，
∴∠CAE=∠CDB ，
∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC ，
在△ACM 和△DCN 中，
∵60CAE CDB AC DC
ACD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴△ACM ≅△DCN （ASA ）,
∴CM ＝CN ，
∴②正确；
∵CM ＝CN ，∠DCE=60°，
∴△MCN 是等边三角形，
∴∠MNC=60°，
∴∠MNC=∠BCE ，
∴MN ∥AB ，
∴③正确；
∵△ACE ≅△DCB ，
∴∠CAE=∠CDB ，
∵∠AMC=∠DMO ，
∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ，
即：∠ACM=∠DOM=60°，
∴∠AOB ＝120º，
∴④正确；
作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，垂足分别为点G ，点H ，如图，
在△ACG 和△DCH 中，
∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACG ≅△DCH （AAS ），
∴CG =CH ，
∴OC 平分∠AOB ，
∴⑤正确.
故选D.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.
34．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）
A．4 B．24
5
C．5 D．6
【答案】C
【解析】
试题解析：如图，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，
∵AC=10，S△ABC=25，
∴1
2
×10•BE=25，
解得BE=5，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N=BE=5，
即BM+MN的最小值是5．
故选C．
35．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】A
【解析】
【分析】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．
【详解】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，
同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M，
∴∠P1OP2=180°-110°=70°，
∴∠AOB=35°，
故选A．
【点睛】
考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P 1OP 2是等腰三角形是．
36．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：
①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】D
【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出
∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．
详解：∵60BAC ∠=︒，
∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，
∴12EBC ABC ∠=∠，12
ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022
EBC ECB ABC ACB ∠+∠=
∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．
如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，
∴AD 为BAC ∠的平分线，
∴DF DG =，
∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，
又∵120BDC ∠=︒，
∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．
∴BDF CDG ∠=∠， ∵在BDF 和CDG △中，
90BFD CGD DF DG
BDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴BDF ≌()CDG ASA ，
∴DB CD =，
∴1(180120)302
DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，
∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，
∴ABE CBE ∠=∠，1302
BAE BAC ∠=
∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，
∴DEB DBE ∠=∠，
∴DB DE =，故②正确．
∵DB DE DC ==，
∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，
∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，
综上所述，正确结论有①②③，
故选：D ．
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特。