第五章 变形监测网的稳定性分析
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朱宝训 测量与国土信息系
1.什么是秩亏？秩亏包括什么？请分别说明。 2.为什么要用秩亏自由网平差？ 3.秩亏自由网平差与经典自由网平差有什么关系？ 4.什么是 tr(Q xx)？
5.对于测角网，如果没有起算数据，产生秩亏数为多少？ 测边网或边角网呢？高程网？
学习要求
理解参考系的选择对变形分析的影响； 掌握平均间隙法用于变形监测网稳定性检
在这种情况下，一方面要尽可能提高观测精度，另 一方面应在成果处理上尽可能精确地把观测误差和 移动鉴别开来。
5.2.2.平均间隙法
原理：1. 通过两期观测，可分别进行平差，得出 各点两期的坐标值，而且这些点的坐标值对同名 点各不相同（这时两期的近似坐标应相同）。
2. 如果“各点在两期观测期间没有移动”，
心坐标作为坐标起算数据。也就是说，预先给定的网点坐标 （近似值）的平均值与平差后网点坐标的平均值相同。
四. 参考系的选择
选用某种平差方法去计算网点的位移，实 质上是选用某种变形模型去模拟实际变形。
当所选的数学模型与实际变形不相符时， 将使所计算的位移值伴随有误差，这一误差 我们称它为参考系模型误差，简称为模型误 差。
1 0 1
G 0 1 0
y10
x10
y
0 2
0
1
x
0 2
T
1 0
0
1
ym0 xm0
三. 秩亏自由网平差参考系的特点 1. 秩亏自由网平差（附加条件法）
误差方程为： V AX L 坐标向量的解：
X (N GG T )1 AT PL
2. 秩亏自由网平差参考系的特点
水准网：
GT X (1
S
2 01
(V T PV) f1
S
2 02
(V T PV ) f2
一般情况下不同周期的精度是相等的（必要时需进行验证），
可以将
， S
2 01
S
2 02
联合起来求一个共同的单位权
方差估值，即：
S
2 0
(V
T
PV )
f
(V T
PV )
式中 f 为两期自由度之和，即
f f1 f2
作假设H0：“两观测期间点位没有变动”，则可从两个
水准网： G (1 0 0 0)T (假设第1个点是基准点)
测边网或边角网：
1 0 0 0 0 0 0 0T
G 0 1 0 0 0 0 0 0
y10 x10
y
0 2
x
0 2
0
0 0
0
这里假设第1个点为已知点，第1个点到第2个点的方向为已知方向。
2. 秩亏自由网平差参考系方程的系数矩阵 水准网： G (1 1 1 1)T 测边网或边角网：
坐标差只反映观测误差
S
2 0
，
与通常使用的经验方差比较和检验S
2 0
。
3. 这两个方差的比构成的统计量服从F分布。用 此量进行检验，看这两个方差是否相等，即是否 出自同一统计总体，如果是，则表示坐标值的差 完全由观测误差所引起的，因此判断点位确实没 有移动，否则点位产生了移动。
1.整体检验
对变形监测网，根据每一周期观测的成果，由平差可计 算单位权方差的估值：
平差模型的比较
参考系的选择时注意：
在变形分析中，选择哪种平差方法最好， 关键在于了解平差方法中所定义的参考系 是否与实际变形情况相符合。
要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定的是监测网中哪些点是稳定的或相对 稳定的点，哪些点是不稳定的点。
参考点稳定性分析的必要性
基准点或参考点的作用是为测定变形体上的监测 点的绝对位移提供参考系。
为了能够发现不稳定的参考点，通常布设多个参 考点构成一个参考网。通过定期对参考网的复测 来检查参考点是否稳定，并将不稳定的参考点剔 除。
但是当参考点的位移不大时，需要一种发现位移 较小的参考点的方法。
对监测网进行稳定性分析，并根据稳定性分析结 果选择平差方法、确立一个对变形分析比较有利的 参考系，是变形观测数据处理的一项重要任务。
验的方法。
5.1 绝对网和相对网
变形监测网一般可分为绝过网和相对网。 绝对网是指有部分点子位于变形体外的监测网。 相对网是指网的全部点位于变形体上的监测网。
5.2 监测网的参考系
一、参考系的定义
在监测网平差中的起算数据，称为平差问题的 基准。基准给出了控制网的位置、尺度和方位的定 义，实际上是给出了控制网的参考系。所以往往将 基准与参考系作为同一个内涵的概念来称谓。
平差基准：经典平差基准；秩亏自由网平差基 准：拟稳平差基准。
认识平差基准对位移计算结果的影响，并合理 地确定基准，是变形观测数据处理的一个基本问题。
二、参考系方程
平差问题的基准或参考系的定义可以由参考系方程
GT X 0
来表达。式中，G 是参考系方程系数矩阵，X 是网的坐标向量。 1. 经典平差参考系方程系数矩阵
Pd
Qd1 (QX
பைடு நூலகம்
QX
)1
1 2
Q 1 XX
A0T A0 2
（2）当采用秩亏自由网平差时
Pd
Qd
1 Q 2
AT A 2
可以证明方程估值
S
2 0
， S 02是相互独立的。
利用F检验法，我们可以组成统计量
F
S02 S02
（1）如果 F F ，则表明我们没有足够的证据来怀疑
原假设，即认为点位是稳定的，变形分析即告完成。
§5.3用平均间隙法判断相对稳定点
5.2.1.概述
坐标差的产生的原因： 一是由于点位在两期观测之间所产生移动的影响； 二是由于两期观测误差所引起的。
为此，在判断点位是否有移动中，当移动量很大、 比观测误差大很多时，容易得出点位是否移动的结 论。如果情况不是这样，就很难作出点位是否移动 的判断，这时只能借助数理统计假设检验手段。
x1
1
1)xx2m
m i 1
xi
0
令
x
1 m
m
xi
i 1
0
，
x
为水准网的高程重心。
x ＝0说明水准网自由网参考系是网的高程重心。
又以测边网或边角网为例，秩亏自由网平差的坐标向量X满足
由
可见
m
xi 0
i 1
m
yi 0
i 1
x
1 m
m i 1
xi
0
y
1 m
m i 1
yi
0
x 、y 是网的重心改正数，说明秩亏自由网平差是以网的—重
周期所求得的坐标差（即所谓间隙di）(i 1,2, ,t) 来计算另一
方差估值
S
2 0
：
S
2 0
d T Pd d h
式中 h R(A) 为独立的d的个数；d X X 。Pd为d的权阵，且
Pd Qd1
Qd QX1 QX 2
如果两期观测的设计矩阵和观测方法相同： Qd 2QXX
（1）当采用经典网平差时
1.什么是秩亏？秩亏包括什么？请分别说明。 2.为什么要用秩亏自由网平差？ 3.秩亏自由网平差与经典自由网平差有什么关系？ 4.什么是 tr(Q xx)？
5.对于测角网，如果没有起算数据，产生秩亏数为多少？ 测边网或边角网呢？高程网？
学习要求
理解参考系的选择对变形分析的影响； 掌握平均间隙法用于变形监测网稳定性检
在这种情况下，一方面要尽可能提高观测精度，另 一方面应在成果处理上尽可能精确地把观测误差和 移动鉴别开来。
5.2.2.平均间隙法
原理：1. 通过两期观测，可分别进行平差，得出 各点两期的坐标值，而且这些点的坐标值对同名 点各不相同（这时两期的近似坐标应相同）。
2. 如果“各点在两期观测期间没有移动”，
心坐标作为坐标起算数据。也就是说，预先给定的网点坐标 （近似值）的平均值与平差后网点坐标的平均值相同。
四. 参考系的选择
选用某种平差方法去计算网点的位移，实 质上是选用某种变形模型去模拟实际变形。
当所选的数学模型与实际变形不相符时， 将使所计算的位移值伴随有误差，这一误差 我们称它为参考系模型误差，简称为模型误 差。
1 0 1
G 0 1 0
y10
x10
y
0 2
0
1
x
0 2
T
1 0
0
1
ym0 xm0
三. 秩亏自由网平差参考系的特点 1. 秩亏自由网平差（附加条件法）
误差方程为： V AX L 坐标向量的解：
X (N GG T )1 AT PL
2. 秩亏自由网平差参考系的特点
水准网：
GT X (1
S
2 01
(V T PV) f1
S
2 02
(V T PV ) f2
一般情况下不同周期的精度是相等的（必要时需进行验证），
可以将
， S
2 01
S
2 02
联合起来求一个共同的单位权
方差估值，即：
S
2 0
(V
T
PV )
f
(V T
PV )
式中 f 为两期自由度之和，即
f f1 f2
作假设H0：“两观测期间点位没有变动”，则可从两个
水准网： G (1 0 0 0)T (假设第1个点是基准点)
测边网或边角网：
1 0 0 0 0 0 0 0T
G 0 1 0 0 0 0 0 0
y10 x10
y
0 2
x
0 2
0
0 0
0
这里假设第1个点为已知点，第1个点到第2个点的方向为已知方向。
2. 秩亏自由网平差参考系方程的系数矩阵 水准网： G (1 1 1 1)T 测边网或边角网：
坐标差只反映观测误差
S
2 0
，
与通常使用的经验方差比较和检验S
2 0
。
3. 这两个方差的比构成的统计量服从F分布。用 此量进行检验，看这两个方差是否相等，即是否 出自同一统计总体，如果是，则表示坐标值的差 完全由观测误差所引起的，因此判断点位确实没 有移动，否则点位产生了移动。
1.整体检验
对变形监测网，根据每一周期观测的成果，由平差可计 算单位权方差的估值：
平差模型的比较
参考系的选择时注意：
在变形分析中，选择哪种平差方法最好， 关键在于了解平差方法中所定义的参考系 是否与实际变形情况相符合。
要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定的是监测网中哪些点是稳定的或相对 稳定的点，哪些点是不稳定的点。
参考点稳定性分析的必要性
基准点或参考点的作用是为测定变形体上的监测 点的绝对位移提供参考系。
为了能够发现不稳定的参考点，通常布设多个参 考点构成一个参考网。通过定期对参考网的复测 来检查参考点是否稳定，并将不稳定的参考点剔 除。
但是当参考点的位移不大时，需要一种发现位移 较小的参考点的方法。
对监测网进行稳定性分析，并根据稳定性分析结 果选择平差方法、确立一个对变形分析比较有利的 参考系，是变形观测数据处理的一项重要任务。
验的方法。
5.1 绝对网和相对网
变形监测网一般可分为绝过网和相对网。 绝对网是指有部分点子位于变形体外的监测网。 相对网是指网的全部点位于变形体上的监测网。
5.2 监测网的参考系
一、参考系的定义
在监测网平差中的起算数据，称为平差问题的 基准。基准给出了控制网的位置、尺度和方位的定 义，实际上是给出了控制网的参考系。所以往往将 基准与参考系作为同一个内涵的概念来称谓。
平差基准：经典平差基准；秩亏自由网平差基 准：拟稳平差基准。
认识平差基准对位移计算结果的影响，并合理 地确定基准，是变形观测数据处理的一个基本问题。
二、参考系方程
平差问题的基准或参考系的定义可以由参考系方程
GT X 0
来表达。式中，G 是参考系方程系数矩阵，X 是网的坐标向量。 1. 经典平差参考系方程系数矩阵
Pd
Qd1 (QX
பைடு நூலகம்
QX
)1
1 2
Q 1 XX
A0T A0 2
（2）当采用秩亏自由网平差时
Pd
Qd
1 Q 2
AT A 2
可以证明方程估值
S
2 0
， S 02是相互独立的。
利用F检验法，我们可以组成统计量
F
S02 S02
（1）如果 F F ，则表明我们没有足够的证据来怀疑
原假设，即认为点位是稳定的，变形分析即告完成。
§5.3用平均间隙法判断相对稳定点
5.2.1.概述
坐标差的产生的原因： 一是由于点位在两期观测之间所产生移动的影响； 二是由于两期观测误差所引起的。
为此，在判断点位是否有移动中，当移动量很大、 比观测误差大很多时，容易得出点位是否移动的结 论。如果情况不是这样，就很难作出点位是否移动 的判断，这时只能借助数理统计假设检验手段。
x1
1
1)xx2m
m i 1
xi
0
令
x
1 m
m
xi
i 1
0
，
x
为水准网的高程重心。
x ＝0说明水准网自由网参考系是网的高程重心。
又以测边网或边角网为例，秩亏自由网平差的坐标向量X满足
由
可见
m
xi 0
i 1
m
yi 0
i 1
x
1 m
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xi
0
y
1 m
m i 1
yi
0
x 、y 是网的重心改正数，说明秩亏自由网平差是以网的—重
周期所求得的坐标差（即所谓间隙di）(i 1,2, ,t) 来计算另一
方差估值
S
2 0
：
S
2 0
d T Pd d h
式中 h R(A) 为独立的d的个数；d X X 。Pd为d的权阵，且
Pd Qd1
Qd QX1 QX 2
如果两期观测的设计矩阵和观测方法相同： Qd 2QXX
（1）当采用经典网平差时