静电平衡

二、静电平衡下的导体的性质：
Esurface surface
无净电荷 高斯面
2 处于静电平衡下的导体， 其内部各处净余电荷为零； 电荷只能分布在表面。
Einside 0
3 导体表面电荷面密度与表面 邻近处的场强成正比。
E
n
S1
ES1 e S1 / 0
高斯面
以上四个方程联立可求出： Q Q Q 2 3 1 2S 2S 2S
Q 4 2S
由各板上的电荷面密度、 金属板内场强为零和高斯 定理可得各区间的场强： 设Q0
1 2 3 4
EI
Q 2 o S
Q 2 o S Q 2 o S
方向向左 方向向右
EII EIII
[例二] 一个带电金属球放在另一个带电球壳内， 求此系统的电荷、电场以及球与球壳间的电势差。
[例三] P103 4-5
作业：4-2，4-3，4-4
EI
Q
E II
E III
方向向右
4 0 电荷守恒 ( 1 2 )S Q 由高斯定理得： 2 3 0
因接地 金属板内场强为零得：
1 2 3 4
1 2 3 0
联立解出： 4 0
E III
EI
Q
E II
1 0
Q 2 S
球壳外表面仍保持有 q1 q 的 电量，而且均匀分布，它外面 的电场仍为：
q1 q E 2 4 o r
r R3
[例三] P103 4-5 导体 A含有两个空腔， qb qc qd 在腔中心分别有qb、qc 导体本身不带电。在 距 A中心 r远处有另一 A 电荷qd,。问qb、qc、 qd 各受多大力？ 两空腔内的电场都不受外界影响；内表面感应电荷 均匀分布，因此，腔内场强为零，qb、qc 受力为零。
(q,q，q Q) Einside 0
(q,q) Einside 0
第二类空腔（金属空腔导体内部有带电体） 腔内q与内表面的感应电荷-q ,对外部场的贡献恒为零。 这是二类空腔静电屏蔽的含义。
若第二类空腔导体接地时，外表面 上的感应电荷被大地电荷中和，所以 不带电荷。金属空腔是零等势体。 U=0 –q q 若第二类空腔导体接地，并且腔外 Q' 有带电体时，外表面上的感应电荷被 + 大地电荷部分中和，所带电荷的多少 必须保证腔内、腔内表面、腔外表面 以及腔外电荷在导体内产生的场强为 零，即满足静电平衡条件。金属空腔 是零电位。 Q+q’ U=0
根据上面分析可知当第 不影响外界 E 0 二类空腔导体接地时金 属空腔是零等势体，由 静电场边值问题的唯一性定理 可以证明：此时壳内的任何电场 都不影响外界，也不受外界影响。 U=0
例如高压设备 都用金属导体 Q' 壳接地做保护， 它起静电屏蔽 作用，内外互 不影响。 Q+q’
导体带电Q
— — — —
— —
—
' 外电场与自由电荷移动后的附加场 E 之和 为总场强 ' Eo E Eo E E 0 当导体内部和表面都无电荷定向 E'
移动的状态称为静电平衡状态。
一、导体的静电平衡条件：electrostatic equilibrium
Eo
Q 3 S
EI 0
EIII 0
EII
Q 2 o S
方向向右
[例二] 一个带电金属球半径R1，带电量q1 ，放在另 一个带电球壳内，其内外半径分别为R2、R3，球壳 带电量为 q 。试求此系统的电荷、电场分布以及球 与球壳间的电势差。如果用导线将球壳和球接一下 又将如何？利用高斯定律、电荷守恒、静电平衡条件、 带电体相接后等电势的概念。 高斯面 q 设球壳内外表面电量： 2，q3 由高斯定律 由电荷守恒
U=C1
外界不影响内部
演示静电场 中的导体。
但是腔内有无电荷对 腔外有不同的影响。
看演示caiups 静电场中的导体。fpcai 场离子显微镜。 针尖是被测样品铂，放在氦气中，利用针尖处的高 电荷密度及近邻处的强场强电离成象。
四、例题：清华书第三册
FPCAI
Biblioteka Baidu
[例一] 两个无限大带电平面，接地与不接地的讨论。 面积为 S，带电量 Q 的一个金属 S 板，与另一不代电的金属平板平 A B 行放置。求静电平衡时，板上电 荷分布及周围电场分布；若第二 E ? E ? E ? 板接地，情况又怎样？ Q
第二章 静电场中的导体 本章只限于讨论各向同性均匀 金属导体，与电场的相互影响。
自由电子
金属导电模型
构成导体框架，形状、大小的是那些基本不动的 带正电荷的原子实，而自由电子充满整个导体属 公有化。 当有外电场或给导体充电，在场与导体的 相互作用的过程中，自由电子的重新分布 起决定性作用。
— — —
E 0
在导体内做一高斯面，根据静电平衡 U=C 导体内部场强处处为零，所以导体内 表面电荷的代数和为零。如内表面某处e>0 ,则必有另一处 e<0，两者之间就必有电力线相连，就有电势差存在这与 导体是等势体相矛盾、与导体内场强为零相矛盾。所以导体 内表面处处e=0
空腔内部及导体内部电场 强度处处为零，即它们是 等电势。
r
q1
U AB
R2
R1
1 1 dr ( ) 2 4 o r 4 o R2 R1
q1
如果用导线将球和球壳接一下， 则金属球壳B的内表面和金属 球A球表面的电荷会完全中和， 重新达到静电平衡，二者之间 的场强和电势差均为零。
R1
R2
R3
q1 0，
q2 0， q3 q q1
2第二类空腔（金属空腔导体内部有带电体） 空腔内表面有感应电荷。 用高斯定律可证，内表面 所带总电量与空腔内带电 体的电量相等、符号相反。 导体空腔是等势体，腔内 场强不为零，不等电位。 q –q
Q+q
U=C1 U=C1
空腔外表面上的感应电荷 的电量与内表面上的电量之和，要遵守电荷守恒定律。 空腔外表面上的电荷分布与腔内带电体的位置无关， 只取决于导体外表面的形状。
q1 q2 0
q3 q q2
R1 r R2
r
q2
R2
再由电荷分布和高斯定律及对称性
R1 q1
q3
R3
q1 E 4 o r 2
q1 E 2 4 o r
R1 r R2
q1 q E 2 4 o r
q2
r R3
R2
R1 q1
q3
R3
高斯面
所以金属球A与金属壳B 之间的电势差为：
目录
第二章 静电场中的导体
一、导体的静电平衡条件 二、静电平衡下的导体的性质： 三、静电平衡下空腔导体的性质 静电屏蔽 [例一] 两个无限大带电平面，接地与不接地的讨论
[例二] 一个带电金属球放在另一个带电球壳内， 求此系统的电荷、电场以及球与球壳间的电势差。
[例三] P103 4-5
作业：4-2，4-3，4-4
r
根据电荷守恒，导体外表面感应电量 qb qc 且电荷均匀分布，因此，导体外场强分布类似 于点电荷的场 ，电荷qd, 受力为 (qb qc )qd 2 这个答案是近似的。
4 0 r
目录
第二章 静电场中的导体
一、导体的静电平衡条件 二、静电平衡下的导体的性质： 三、静电平衡下空腔导体的性质 静电屏蔽 [例一] 两个无限大带电平面，接地与不接地的讨论
外界不影响内部
q –q
互壳 不内 影外 响场
U=0
空腔导体壳接地与否，外界 腔外表面的电荷 均对壳内电场无任何影响， 分布不影响腔内 例如在电子仪器、或传输微弱信号 电场分布 外 的导线中都常用金属壳或金属网作 界 静电屏蔽。 不
影 响 内 部
U C
CAIUPS
U=C1
e 0 E
4 孤立导体处于静电平衡时，它的表面 各处的面电荷密度与各处表面的曲率有 关，曲率越大的地方，面电荷密度越大。
S2
尖端放电(point charge) 就与面电荷密度、场强 有关。
三、静电平衡下空腔导体的性质 静电屏蔽electrostatic shielding 1 第一类空腔（金属空腔导体 内部无带电体） 空腔内表面不带任何电荷。 用高斯定律、等势体证明。 U=C
设静电平衡后，金属板各面 所带电荷面密度如图所示
由已知条件：
1 2 3 4
( 1 2 )S Q
S
3 4 0
由静电平衡条件和高斯定理， 做如图所示高斯面可得：
EI
金属板内任一点的场强为零，由叠加原理得：
2 3 0
Q 设Q0
E II
E III
1 2 3 4 0
第一类空腔（金属空腔导体内部无带电体）
空腔内表面不带任何电荷。 1 空腔内部及导体内部电场 E 0 强度处处为零，即它们是 等电势。 U=C1 U=C 1 这些结论不受腔外带电体的影响，
腔外带电体与腔外表面电荷在腔内场强总贡献为零
q +
U=C2
2
3 q
U=C2
U=C3 U=C3
这是静电屏蔽的一种含义。
' Einside E0 Einside 0 时,导体处于静电平衡状态
用反证法，若电场强度不为零，则自由电荷将能移动。
静电平衡条件是由导体的电结构特征和静 电平衡的要求所决定的与导体的形状无关。
1 导体内部场强处处为零 Einside 0
导体是一个等势体 V C 导体表面邻近处的场强 必定和导体表面垂直。