人教版高中数学必修一第三章知识点总结

第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。

②反比例函数(0)k y k x=≠没有零点。

③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。

④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。

⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1.⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。

6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。

7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。

8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a ，]b 上连续不断，且满足()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤：（1）确定区间[a ，]b ，验证()()f a f b ⋅0<，给定精度ε；（2）求区间(a ，)b 的中点1x ；（3）计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若()f a ⋅1()f x <0，则令b =1x （此时零点01(,)x a x ∈）；③若1()f x ⋅()f b <0，则令a =1x （此时零点01(,)x x b ∈）；（4）判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点值a （或b ）；否则重复步骤（2）~（4）．11、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序：① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．13、函数的模型14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ 幂函数模型：12()(0);h x ax b a =+≠指数函数模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠） 利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型2.4.1 函数的零点 测试题一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x 4的零点是（ ）Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个２．函数ｆ（ｘ）＝3222x x x --+的零点是（ ）Ａ． １，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２ Ｄ．－１，１，－２３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）•ｆ（４）的值（ ）Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判断４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ2x ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（ ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．ｆ（ｘ）＝x x 1-，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ）Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５6．设函数)f(x)= c bx x 3++在[-1,1]上为增函数,且0)21(f ).21(f <-,则方程f(x)在[-1,1]内A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C. 有唯一的实数根 D .没有实数根7．设f(x) = 12x 5x -3++，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 （ ）际A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x+x-4=O 的解所在区间为A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c 为常数)的解的情况( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解二、填空题：10．关于ｘ的方程２ｋ2x －２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围 ．11．若函数ｆ（ｘ）＝2x －ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ2x －ａｘ－１的零点 ．三、解答题12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）2x －４ｍｘ＋２ｍ－１（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．13．已知二次函数f （x ）=a 2x +bx （ａ，ｂ是常数且ａ≠０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根 （１）求f （x ）的解析式；（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．第三章检测题一、选择题1、下列函数有2个零点的是（ ）A 、24510y x x =+- B 、310y x =+ C 、235y x x =-+- D 、2441y x x =-+ 2、用二分法计算23380x x +-=在(1,2)x ∈内的根的过程中得： (1)0f <，(1.5)0f >，(1.25)0f <，则方程的根落在区间（ ）A 、(1,1.5)B 、(1.5,2)C 、(1,1.25)D 、(1.25,1.5)3、一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，若该货物的进价为每件21元，则每件的标价应为（ ）A 、27.27元B 、28元C 、29.17元D 、30元4、某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）A 、108元B 、105元C 、106元D 、118元5、若方程0x a x a --=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ）A 、(1,)+∞B 、(0,1)C 、(0,)+∞D 、Φ6、给右图的容器甲注水，下面图像中哪一个图像可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（ ）7、方程12xx +=根的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3容器甲8、假设银行1年定期的年利率为2%，某人为观看2008年的奥运会，从2001年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到2007年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01）（ ）A 、7.14 万元B 、7.58万元C 、7.56万元D 、7.50万元二、填空题9、函数222()(1)(2)(23)f x x x x x =-+--的零点是 （必须写全所有的零点）。

10、若1()x f x x +=，则方程(4)f x x =的根为 。

11、若镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则y 与x 的函数关系式为y ＝ 。

()f x ,()x f x 则函数在区间 有零点。

三、解答题13、有一块长为20cm ，宽为12cm 的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出这个盒子的体积V 与边长x 的函数关系式，并讨论这个函数的定义域。

14、某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形，腰与水平线的夹角为60°，设横截面周长为定值m ，问渠道深h 为多少时，可使其流量最大？15、某厂生产一种新型的电子产品，为此更新专用设备和请专家设计共花去了200000元，生产每件电子产品的直接成本为300元，每件电子产品的售价为500元，产量x 对总成本C 、单位成本P 、销售收入R 以及利润L 之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？16、写一段小作文来说明下图中的图象所对应的函数的实际意义17、纳税是每个公民应尽的义务，从事经营活动的有关部门必须向政府税务部门交纳一定的营业税。

某地区税（2）某饭店5月份的营业额是35000元，这个月该饭店应缴纳税金多少？18、WAP 手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟）按30元记费，超过500分钟按0.15元/分钟记费。

假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟记费。

WAP 手机上网不收通话费和漫游费。

（1）小周12月份用WAP 手机上网20小时，要付多少上网费？（2）小周10月份付了90元上网费，那么他这个月用手机上网多少小时？（3）你会选择WAP 手机上网吗？你是用那一种方式上网的？。