概率论 随机变量的函数及其分布 (课堂PPT)

对于 f ( x) 0的情形可作类似的证明.
例4 设随机变量X ~ N (, 2 ),试证明X的线性函数
Y aX b(a 0)也服从正态分布
证 X 的概率密度为
pX (x)
1
e
(
x μ)2 2σ 2
,
x
.
2πσ
设 y f ( x) ax b,
得 x f 1( y) y b , 知 [ f 1( y)] 1 0.
例1 设离散型随机变量 X 的分布律 X 3 0 3
P1 1 1 632
求Y=X-1的分布律. 解 Y 的可能取值为－4，－1，2.
P{Y 4} P{ X 3} 1 6
P{Y 1} P{ X 0} 1 3
P{Y 2} P{ X 3} 1 2
故 Y 的分布律为
Y 4 P1
6
x f 1( y)在( , )上单调增加.
当 y 时，FY ( y) P{Y y} 0;
当 y 时，FY ( y) P{Y y} 1;
pY
(
y
)
d
FY ( dy
y
)
0.
当 y 时，FY ( y) P{Y y}
FY ( y) P{Y y}
P{ Y } P{ Y y} 0 P{ Y y}
pY ( y) 0p，X [ f 1( y)][ f 1( y)],
0 y , 其他.
1
[
f
1(
y
)]
,
0,
0 f 1( y) 1, 其他.
1
1 y
,
0 ln y 1,
0, 其他.
于是 FY ( y) P{Y y} ( y )
P{ X f 1( y)}
f 1( y)
pX (x)d x
f 1( y)
FY ( y) pX ( x)d x
( y )
当 y 时，
pY
(
y)
d
FY d
( y
y
)
d dy
[
f 1( y)
pX (x)d x]
pX [ f 1( y)][ f 1( y)]
第三节 随机变量的函数
及其分布(1)
(单个随机变量的函数的分布)
一、问题的提出
二、离散型随机变量
的函数的分布
回
三、连续型随机变量 的函数的分布
停 下
一、问题的提出
在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.
例如，已知圆柱截面直径 d 的分布
求截面面积A
πd
2
的分布.
4
已知 t = t0 时刻噪声电压 V 的分布
1 2
11 32
由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.
离散型随机变量的函数的分布律 如果X是离散型随机变量，其函数Y f ( X ) 也是离散型随机变量，若X的分布律为
X
x1
x2
pk
p1
p2
则Y f ( X )的分布律为
xk pk
Y f(X)
pk
f ( x1) f ( x2 ) f ( xk )
0
t0
t
求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等.
设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分 布？这个问题无论在实践中还是在理论上都 是重要的.
下面我们分离散型和连续型两种情况进 行讨论.
二、离散型随机变量的函数的分布
设 f (x)是定义在随机变量X 的一切可能值 x 的集合上的函数，若随机变量Y随着X取x的值 而取y=f(x)，则称随机变量Y为随机变量X的 函数，记为Y=f(X). 问题 如何根据已知的随机变量 X 的分布求得 随机变量Y = f (X)的分布？
FY ( y) P{Y y} P{2X 8 y}
P{ X y 8} 2
y8
2
pX (x)d x
2º由分布函数求概率密度.
y8
pY
( y)
FY
( y) [
2
pX ( x)d x]
pX
(
y
2
8)(
y 8) 2
pX (
y
8) 1 22
pY
( y)
p
X
(
y
2
8
)
1 2
pX
a
a
由公式 pY ( y) pX [ f 1( y)] [ f 1( y)]
得 Y aX b 的概率密度为
pY ( y)
1 a
pX (
y b), a
y b . a
( yb μ)2
1
1
e
a 2σ 2
a 2πσ
得 Y aX b ~ N(aμ b,(aσ)2 )
1
[
e
y(baμ)]2 2(aσ )2
,
a σ 2π
y .
例5 设 X ~ U (0,1), 求 Y eX 的密度函数.
解 X ~U (0,1)
X的密度函数为
pX
(
x
)
1, 0,
x (0,1), x (0,1).
方法1 (公式法)
y ex 在(,)上可导，单调增加
x f 1( y) ln y, [ f 1( y)] 1 y
续型随机变量，其概率密度为
pY
(
y)
pX
[
f
1(
y)] 0,
[
f
1(
y)]
,
y ,
其它.
其中 f 1( y) 是 f ( x) 的反函数,( , )是f 1( y)的定义域，
[
f
1(
y)]
[ f 1( y)],
[
f
1(
y
)],
当 f ( x) 0时, 当 f ( x) 0时.
证 若 f ( x) 0, 则 y f ( x)单调增加，且其反函数
(
x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其它.
18
(
y
2
8)
1 2
,
0 y 8 4, 2
0,
其它.
y8 32
,
8 y 16,
0,
其它.
2. 公式法 定理 (例2.18) 设随机变量X具有概率密度pX ( x), 其中 x .又设函数f ( x)在（a,b）上可导，
且恒有f ( x) 0(或恒有f ( x) 0),则Y f ( X )是连
p1
p2
pk
若 f ( xk ) 中有值相同的, 应将相应的 pk 合并.
X 1 1 2
例2 设
pk
1 6
23 66
求Y X 2 5的分布律.
解 Y 的Y 分 布X 2律为5 4 4 1
X
1 1 2
Y
4 1 1 2
3
p pk
1 6 +1 6
6
2
2
三、连续型随机变量的函数的分布
设 X是连续型随机变量, Y f ( X )
下面给出两种方法来求Y的概率密度函数
1. 分布函数法 先求 : FY ( y) 再求 : pY ( y) FY ( y).
例3 设随机变量X的概率密度为
pX
(x)x 8,0,0 x 4, 其它.
求随机变量Y 2X 8的概率密度.
解 1º 先求Y=2X+8 的分布函数 FY ( y).