离散数学及其应用(徐凤生版)数学习题解答

(2)(P∧Q)(P∨Q)。
(3)(P∨Q)∧(Q∨R)∧(R∨P∨Q)。
(4)(P∧QR)(P∧R∧Q)。
(5)(QP)∧(P∧Q)。
(6)(PQ)(PQ)。
(7)(P∧Q)∧(P∨Q)。
解 (1)真值表法：
PQ 00 01 10 11
P∨Q 0 1 1 1
P∧Q 0 0 0 1
(P∨Q)(P∧Q) 1 0 0 1
素数，。
(7)符号化为 QP，其中，P：休息好，Q：工作好。
(8)符号化为 PQ，其中，P：努力学习，Q：成绩就会好的。
(9)符号化为 PQ，其中，P：大雁北回，Q：春天来了。
(10)符号化为 PQ，其中，P：小张是山东人，Q：小张是河北人。
4.构造下列命题公式的真值表，并据此说明哪些是其成真赋值，哪些是其成假赋值？
1
0
010
1
0
011
1
0
100
0
0
101
1
1
110
1
1
111
1
1
由真值表可知，公式 P∧(Q∨R)的成真赋值为：101、110、111，成假赋值为 000、001、010、011、
100。
(3)
PQ 00 01 10 11
( P∨Q) 1 0 0 0
P∧Q 1 0 0 0
(P∨Q)(P∧Q) 1 1 1 1
公式法：因为(P∧Q)(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨Q)P∨Q∨P∨QT，所以，公式(P∧Q)(P
∨Q)为重言式。
(3)真值表法：
PQR 000 001 010 011 100 101 110 111
P∨Q 1 1 1 1 0 0 1 1
Q∨R 1 0 1 1 1 0 1 1
R∨P∨Q 1 1 1 1 1 1 0 1
所以，公式(P∧QR)(P∧R∧Q)为可满足式。
(5)真值表法：
PQ 00 01 10 11
QP 1 0 1 1
P∧Q 0 1 0 0
(QP)∧(P∧Q) 0 0 0 0
由真值表可知，公式(QP)∧(P∧Q)为可矛盾式。
公式法：因为(QP)∧(P∧Q)(Q∨P)∧(P∧Q)(Q∧P)∧(P∧Q)F，所以，公式为
习题一
1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？ (1)离散数学是计算机专业的一门必修课。 (2)李梅能歌善舞。 (3)这朵花真美丽！ (4)３＋２＞６。 (5)只要我有时间，我就来看你。 (6)x＝５。 (7)尽管他有病，但他仍坚持工作。 (8)太阳系外有宇宙人。 (9)小王和小张是同桌。 (10)不存在最大的素数。 解 在上述 10 个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值， 因此它也不是命题。其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、 是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。 2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？ (1)(P(P∨Q))。 (2)(PQ)(QP)))。 (3)((PQ)(QP))。 (4)(QR∧S)。 (5)(P∨QR)S。 (6)((R(QR)(PQ))。 解 (1)是命题公式。 (2)不是命题公式，因为括号不配对。 (3)是命题公式。 (4)是命题公式。 (5)不是命题公式，因为 QR 没有意义。 (6)不是命题公式，因为 R(QR)(PQ) 没有意义。 3.将下列命题符号化： (1)我们不能既划船又跑步。 (2)我去新华书店，仅当我有时间。 (3)如果天下雨，我就不去新华书店。
由真值表可知，公式(P∨Q)(P∧Q)为可满足式。
公式法：因为(P∨Q)(P∧Q)(P∨Q)∨(P∧Q)(P∧Q)∨(P∧Q)，所以，公式(P∨Q)(P
∧Q)为可满足式。
3
(2)真值表法：
PQ 00 01 10 11
P∧Q 0 0 0 1
P∨Q 0 1 1 1
(P∧Q)(P∨Q) 1 1 1 1
由真值表可知，公式(P∧Q)(P∨Q)为重言式。
(1)(P∨Q)。
(2)P∧(Q∨R)。
(3)(P∨Q)(P∧Q)。
(4)P(QP)。
解 (1)
PQ 00 01 10 11
P∨Q 1 0 1 1
(P∨Q) 0 1 0 0
由真值表可知，公式(P∨Q)的成真赋值为：01，成假赋值为 00、10、11。
(2)
PQR
Q∨R
பைடு நூலகம்
P∧(Q∨R)
2
000
0
0
001
由真值表可知，公式(P∨Q)(P∧Q)的成真赋值为：00、01、10、11，没有成假赋值。
(4)
PQ 00 01 10 11
QP 1 0 1 1
P(QP) 1 0 1 1
由真值表可知，公式P(QP)的成真赋值为：00、10、11，成假赋值为：01。
5.分别用真值表法和公式法判断下列命题公式的类型：
(1)(P∨Q)(P∧Q)。
1
(4)除非天不下雨，我将去新华书店。
(5)张明或王平都可以做这件事。
(6)“2 或 4 是素数，这是不对的”是不对的。
(7)只有休息好，才能工作好。
(8)只要努力学习，成绩就会好的。
(9)大雁北回，春天来了。
(10)小张是山东人或河北人。
解 (1)符号化为(P∧Q)，其中，P：我们划船，Q：我们跑步。
(P∨Q)∧(Q∨R)∧(R∨P∨Q) 0 0 0 0 0 0 0 0
由真值表可知，公式(P∨Q)∧(Q∨R)∧(R∨P∨Q)为矛盾式。
公式法：因为(P∨Q)∧(Q∨R)∧(R∨P∨Q)(P∨Q)∧Q∧R∧(R∧P∧Q)F，所
以，公式(P∨Q)∧(Q∨R)∧(R∨P∨Q)为矛盾式。
(4)真值表法：
PQR 000 001 010 011 100 101 110 111
(2)符号化为 QR，其中，R：我有时间，Q：我去新华书店。
(3)符号化为 PQ，其中，P：天下雨，Q：我去新华书店。
(4)符号化为PQ，其中，P：天下雨，Q：我去新华书店。
(5)符号化为 P∧Q，其中，P：张明可以做这件事，Q：王平可以做这件事。
(6)符号化为((P∨Q))，“2 或 4 是素数，这是不对的”是不对的，其中，P：2 是素数，Q：4 是
P∧QR 1 1 1 1 1 1 0 1
P∧R∧Q 0 0 0 0 0 0 1 0
(P∧QR)(P∧R∧Q) 0 0 0 0 0 0 1 0
由真值表可知，公式(P∧QR)(P∧R∧Q)为可满足式。
公式法：因为(P∧QR)(P∧R∧Q)(( P∧Q)∨R)∨(P∧R∧Q)
( P∧Q∧R)∨(P∧R∧Q)( P∧Q∧R)