新课标高中数学必修1必修四公式大全

数学必修1必修4常用公式及结论一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。

记作A B ⊆ 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠⊂B 集合相等：若：,A B B A ⊆⊆,则A B =3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：∉ 空集：φ4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；6.常用数集：自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质1、顶点坐标公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22， 对称轴：a bx 2-=，最大（小）值：a b ac 442-2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.四、指数与指数函数 1、幂的运算法则：（1）a m • a n = a m + n ，（2）nm nmaa a -=÷，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n（5） n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n n a a 1=- （8）m n m na a =（9）m n m na a 1=-2、根式的性质 （1）na =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.4、指数函数y = a x (a > 0且a ≠1)的性质：（15.指数式与对数式的互化： log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.五、对数与对数函数 1对数的运算法则：（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N= N （6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (NM) = log a M -- log a N （8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =aNb b log log（10）推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). （11）log a N =aN log 1（12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…）2、对数函数y = log a x (a > 0且a ≠1)的性质：（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）六、幂函数y = x a 的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .例如： y = x 2 2x x y ==1-==x xy 七.图象平移：若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； 规律：左加右减，上加下减八. 平均增长率的问题:如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.九、函数的零点：1.定义：对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。

即 ()y f x =的图象与X 轴相交时交点的横坐标。

2.函数零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并有()()0f a f b ⋅<，那么()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，C 就是零点。

3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度ε）（1）确定区间[],a b ，验证()()0f a f b ⋅<;(2)求(),a b 的中点12a bx +=（3）计算1()f x ①若1()0f x =，则1x 就是零点；②若1()()0f a f x ⋅<，则零点()01,x a x ∈ ③若1()()0f x f b ⋅<，则零点()01,x x b ∈；（4）判断是否达到精确度ε，若a b ε-<，则零点为a 或b 或(),a b 内任一值。

否则重复（2）到（4）基本三角函数ⅠⅡ ◆ 终边落在x 轴上的角的集合：{}z ∈=κκπαα, ❖ 终边落在y 轴上的角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=z κπκπαα,2♦ 终边落在坐标轴上的角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=z κπκαα,2⌧ 2 21 21 rr l S rl αα=== 弧度度弧度弧度弧度度 18018011801 2360.ππππ====︒︒倒数关系：111cot tan ===ααααααSec Cos Csc Sin平方关系：αααααα222222111tan Csc Cot Cos Sin Sec =+=+=+乘积关系：αααCos Sin tan = ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积Ⅲ 诱导公式◆ 终边相同的角的三角函数值相等()()()zk , tan 2tan z k , 2zk , 2∈=+∈=+∈=+απααπααπαk Cos k Cos Sin k Sin❖ 轴对称关于与角角x αα-()()()ααααααtan tan -=-=--=-Cos Cos Sin Sin♦ 轴对称关于与角角y ααπ-()()()ααπααπααπtan tan -=--=-=-Cos Cos Sin Sin⌧ 关于原点对称与角角ααπ+()()()ααπααπααπtan tan =+-=+-=+Cos Cos Sin Sin⍓对称关于与角角x y =-ααπ2ααπααπααπcot 2tan 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Sin Cos Cos Sin ααπααπααπcot 2tan 22-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+Sin Cos Cos Sin 上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限三角函数的性质 性 质 x Sin y =x Cos y =定义域 RR值 域 []1,1-[]1,1-周期性 π2π2奇偶性 奇函数偶函数单调性减函数增函数,,232,22,,22,22z k k k z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππππππ[][]减函数增函数,,2,2,,2,2z k k k z k k k ∈+∈-ππππππ 对称中心()z k k ∈,0,πz k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,0,2ππ 对称轴z k k x ∈+=,2ππz k k x ∈=,π图 像性 质 x y tan =x y cot =定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z x x κπκπ,2{}z x x ∈≠κκπ,()k x ASin y Sinx y ++==ϕω变化为怎样由 ？振幅变化：Sinx y = ASinx y = 左右伸缩变化：x ASin y ω= 左右平移变化 )(ϕω+=x ASin y 上下平移变化 k x ASin y ++=)(ϕωⅥ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量 ()如果有,,0,b a a ≠()是共线向量与是共线向量；反之如果与则使得一个实数a b a b a a b ,0,,≠=λλ .,a b λλ=使得那么又且只有一个实数Ⅶ 线段的定比分点P P 所成的比的定义式PP P P ↔ ↓当1=λ时 ↓当1=λ时221yyy+=Ⅷ向量的一个定理的类似推广向量共线定理：()0≠=aabλ↓推广平面向量基本定理：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=不共线的向量为该平面内的两个其中212211,,eeeeaλλ↓推广空间向量基本定理：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=不共面的向量为该空间内的三个其中321332211,,,eeeeeeaλλλⅨ一般地，设向量()()aayxbyxa如果且,0,,,2211≠==∥01221=-yxyxb那么反过来，如果ayxyx则,01221=-∥b.Ⅹ一般地，对于两个非零向量ba,有θba=•，其中θ为两向量的夹角。

222221212121yxyxyyxxbaCos+++==θ特别的，2aaa===•Ⅺ()(),,,,,212121212211=+⇔⊥+=•≠==yyxxbayyxxbaayxbyxa特别的则且如果Ⅻ0O,2121=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅nnOAOAAOAAAn则的中心为边形若正三角形中的三角问题◆2-22,22,CBACBACBAπππ=+=++=++()()()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=+22Cos2Cos2CCosCosCSinBACBASinBACSinBASin❖正弦定理：SinCSinBSinAcbaRSinCcSinBbSinAa++++====2221xxx+=余弦定理：2 2 , 2222222222abCosC b a c acCosB c a b bcCosA c b a -+=-+=-+=变形：abcb a CosC acb c a CosB bc a c b CosA 22,2 222222222-+=-+=-+= ♦ C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++三角公式以及恒等变换◆ 两角的和与差公式：()())()(S , S ,βαβαβαβαβαβαβαβα-+-=-+=+Sin Cos Cos Sin Sin Sin Cos Cos Sin Sin()()()())()()()(T , tan tan 1tan tan tan T , tan tan 1tan tan tan C , C , βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+-++-=--+=++=--=+Sin Sin Cos Cos Cos Sin Sin Cos Cos Cos 变形： ()()()()为三角形的三个内角其中χβαχβαχβαβαβαβαβαβαβα,,tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan 1tan tan tan =+++-=--+=+❖ 二倍角公式：ααααααααααα22222tan 1tan 22tan 2112222-=-=-=-==Sin Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin♦ 半角公式：212212ααααCos Cos Cos Sin+±=-±=αααααααSin Cos Cos Sin Cos Cos -=+=+-±=11112tan⌧ 降幂扩角公式：221 , 22122ααααCos Sin Cos Cos -=+= ⍓ 积化和差公式：()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=Cos Cos Sin Sin Cos Cos Cos Cos Sin Sin Sin Cos Sin Sin Cos Sin 21212121和差化积公式：⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+222222222222βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαSin Sin Cos Cos Cos Cos Cos Cos Sin Cos Sin Sin Cos Sin Sin Sin （ SSC C CC C C CS S S SC S S 2222-=-=+=-=+）万能公式:2tan 12tan 12tan 12tan2222αααααα+-=+=Cos Sin2tan 12tan2tan 2ααα-=三倍角公式：θθθθθθCos Cos Cos Sin Sin Sin 34343333-=-= θθθθ23tan 31tan tan 33tan --=“三四立，四立三，中间横个小扁担”补充1．常见三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤|sin ||cos |1x x +≥.2. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 3. 三倍角公式 ：3sin 33sin 4sin4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 4.三角形面积定理：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.。